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圆锥曲线的综合性质（定点、定值、最值、范围）
知识网络
重难点突破
知识点一 定点问题
例1．已知抛物线：的焦点为，点为上异于顶点的任意一点，过的直线交于另一点，交轴正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形.
（1）求的方程；
（2）若直线，且和相切于点，试问直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.
【答案】(1) (2) 直线过定点.
【解析】（1）抛物线的焦点，设，则的中点坐标为，
∵，∴，解得，或（舍），
∵，∴，解得，∴抛物线方程为.
（2）由（1）知，，设，，
∵，则，由得，即，
∴直线斜率，∵，故设直线的方程为，
联立方程组，得，
∵直线与抛物线相切，∴，，
设，则，，
当时，，直线的方程为，
∵，∴直线的方程为，∴直线过定点，
当时，直线方程为，经过定点，
综上，直线过定点.
【变式训练1-1】、已知以动点为圆心的与直线：相切，与定圆：相外切.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；
（Ⅱ）过曲线上位于轴两侧的点、（不与轴垂直）分别作直线的垂线，垂足记为、，直线交轴于点，记、、的面积分别为、、，且，证明：直线过定点.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）设，半径为，则，，所以点到直线的距离与到的距离相等，故点的轨迹方程为.
（Ⅱ）设，，则、
设直线：（）代入中得
，
∵、
∴
又
∴
∴直线恒过。
知识点二 定值问题
例2．已知椭圆的左，右焦点分别为，，，M是椭圆E上的一个动点，且的面积的最大值为.
（1）求椭圆E的标准方程，
（2）若，，四边形ABCD内接于椭圆E，，记直线AD，BC的斜率分别为，，求证:为定值.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】（1）设椭圆E的半焦距为c，由题意可知，当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值.
所以，所以，，
故椭圆E的标准方程为.
（2）根据题意可知，，因为，
所以可设直线CD的方程为.
由，消去y可得，
所以，即.
直线AD的斜率，
直线BC的斜率，
所以
，故为定值。
【变式训练2-1】、设椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交两点，是坐标原点，分别过点作，的平行线，两平行线的交点刚好在椭圆上，判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）是，6.
【解析】（1）设椭圆C的半焦距为c，
椭圆C的离心率为，
.①
又椭圆C经过点，
.②
结合，③
由①②③，解得.
故椭圆C的标准方程是.
（2）
.
①当直线的斜率不存在时，不妨设，，
根据对称性知两平行线的交点在x轴上，
又交点刚好在椭圆C上，
交点为长轴端点，则满足条件的直线的方程是.
此时点，或，，
，
故；
②当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，.
联立方程，
消去得，
则，，，
，
不妨设两平行线的交点为点D，则，
故点D的坐标为，
点D刚好在椭圆C上，
，
即
此时，
则
，
设点O到直线的距离为，则.
.
故.
综上，为定值6.
知识点三 最值问题
例3．已知椭圆过点，
（1）求C的方程；
（2）点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值.
【解析】．(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.
当y=0时，解得，所以a=4，
椭圆过点M(2，3)，可得，解得b2=12.
所以C的方程：.
(2)设与直线AM平行的直线方程为：，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，
此时△AMN的面积取得最大值.
联立直线方程与椭圆方程，
可得：，
化简可得：，
所以，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程：，
直线AM方程为：，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得：，
由两点之间距离公式可得.
所以△AMN的面积的最大值：.
方法二：利用三角换元法，求出N到AM距离的最大值，继而得出面积最大值18.
【变式训练3-1】、在平面直角坐标系中，动点在椭圆上运动，则点到直线的距离的最大值为______．
【答案】
【解析】设直线与椭圆相切
联解消去，得
，解得或
与直线平行且与椭圆相切的直线方程为
其中与直线距离较远的是，且距离为，
到直线的最大距离为。
【变式训练3-2】、过的直线与抛物线交于，两点，以，两点为切点分别作抛物线的切线，，设与交于点.
（1）求；
（2）过，的直线交抛物线于，两点，证明：，并求四边形面积的最小值.
【答案】（1）（2）见解析，最小值为32.
【解析】
（1）设，直线，
所以，得，所以，
由，所以，
即，同理，联立得
即.
（2）因为，
所以，
， 即，
，同理，
当且仅当时， 四边形面积的最小值为32。
知识点四 范围问题
例4．已知点O为双曲线C的对称中心，直线交于点O且相互垂直，与C交于点，与C交于点，若使得成立的直线有且只有一对，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线方程为；所以渐近线方程为
因为直线交于点O且相互垂直，与双曲线C交于点，与C交于点，且使得成立的直线有且只有一对，所以可得，
所以，即，所以，故选D。
【变式训练4-1】、已知双曲线的左 右焦点分别为，，若双曲线上存在点P使，则离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据双曲线的性质可得,双曲线上存在点P使,
则渐近线的斜率,即,因为离心率，
所以,因为，所以离心率的取值范围为，故选B。
【变式训练4-2】、如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设，其中，
由得
从而故.
从而，由得，因此.
所以，故
因此，所求椭圆的标准方程为：
（2）如图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，，,是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知，
由（1）知，所以，再由得，由椭圆方程得，即，解得或.
当时，重合，此时题设要求的圆不存在.
当时，过分别与,垂直的直线的交点即为圆心，设
由得而故
圆的半径
综上，存在满足条件的圆，其方程为：圆锥曲线的综合性质（定点、定值、最值、范围）
知识网络
重难点突破
知识点一 定点问题
例1．已知抛物线：的焦点为，点为上异于顶点的任意一点，过的直线交于另一点，交轴正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形.
（1）求的方程；
（2）若直线，且和相切于点，试问直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.
【变式训练1-1】、已知以动点为圆心的与直线：相切，与定圆：相外切.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；
（Ⅱ）过曲线上位于轴两侧的点、（不与轴垂直）分别作直线的垂线，垂足记为、，直线交轴于点，记、、的面积分别为、、，且，证明：直线过定点.
知识点二 定值问题
例2．已知椭圆的左，右焦点分别为，，，M是椭圆E上的一个动点，且的面积的最大值为.
（1）求椭圆E的标准方程，
（2）若，，四边形ABCD内接于椭圆E，，记直线AD，BC的斜率分别为，，求证:为定值.
【变式训练2-1】、设椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交两点，是坐标原点，分别过点作，的平行线，两平行线的交点刚好在椭圆上，判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由.
知识点三 最值问题
例3．已知椭圆过点，
（1）求C的方程；
（2）点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值.
【变式训练3-1】、在平面直角坐标系中，动点在椭圆上运动，则点到直线的距离的最大值为______．
【变式训练3-2】、过的直线与抛物线交于，两点，以，两点为切点分别作抛物线的切线，，设与交于点.
（1）求；
（2）过，的直线交抛物线于，两点，证明：，并求四边形面积的最小值.
知识点四 范围问题
例4．已知点O为双曲线C的对称中心，直线交于点O且相互垂直，与C交于点，与C交于点，若使得成立的直线有且只有一对，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】、已知双曲线的左 右焦点分别为，，若双曲线上存在点P使，则离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】、如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.

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