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直线与圆的方程讲义
知识网络
重难点突破
知识点一 五种直线方程
1. 直线方程
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y1＝k(x－x1) 不能表示与x轴垂直的直线
斜截式 y＝kx＋b 不能表示与x轴垂直的直线
两点式 ＝ 不能表示与坐标轴垂直的直线
截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 适合所有的直线
2. 直线的一般式与斜截式、截距式的互化
直线的一般式、斜截式、截距式如下表：
一般式 斜截式 截距式
不同时为0) 都不为0)
例1．直线的图象可能是(　　)
A． B． C． D．
【变式训练1-1】、过点，且倾斜角比直线的倾斜角大的直线方程为________．
【变式训练1-2】、已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为( )
A． B． C． D．
知识点二 直线与直线的位置关系
1. 一般式方程中两直线平行与垂直的条件
若两条直线的方程是用一般式给出的,设直线的方程分别为,，
则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下：
（1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且.
即,且或.
（2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或.即
2. 直线系方程
1．平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.
2．垂直直线系方程
一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为 (其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.
例2.（2012浙江）设，则“”是“直线：与直线：
平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练2-1】、已知直线与垂直，则的值是（ ）
A. 或 B. C. D. 或
【变式训练2-2】、在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点三 圆的标准方程与一般方程
1. 圆的定义及方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C：(a，b)
半径：r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心：
半径：r＝
2. 点与圆的位置关系
(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三种情况
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
①(x0 －a)2＋(y0 －b)2＝r2 点在圆上；
②(x0 －a)2＋(y0 －b)2>r2 点在圆外；
③(x0－a)2＋(y0 －b)2例3．（1）（江西省南昌二中模拟）圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为(　　)
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝5　 B．(x－1)2＋(y－3)2＝5
C．(x＋1)2＋(y＋3)2＝5 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝5
（2）（山东省日照一中期末）若实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值为(　　)
A. B．10 C．9 D．5＋2
【变式训练3-1】．已知直线在轴上的截距为，且垂直于直线．
（1）求直线的方程；
（2）设直线与两坐标轴分别交于、两点，内接于圆，求圆的一般方程．
知识点四 直线与圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系
(1)三种位置关系：相交、相切、相离．
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
例4.（1）直线与圆相切，则实数等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
（2）直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是 (　　)
A.6 B.3 C.2 D.8
【变式训练4-1】．已知圆，直线．
（1）判断直线与圆C的位置关系；
（2）设直线与圆C交于A，B两点，若直线的倾斜角为120°，求弦AB的长．
知识点五 圆与圆的位置关系
1. 圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).
　方法位置关系　　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离 d>r1＋r2 无解
外切 d＝r1＋r2 一组实数解
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解
例5.（四川树德中学模拟）已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为__________．
【变式训练5-1】．（广西河池高级中学模拟）已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
知识点六 综合性质
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆系方程
(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)。
例6．(1)（山东省青岛二中质检）已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝x＋y的取值范围是(　　)
A．(－2，4) B.[－2，4]
C．[－4,4] D．[－4,2]
(2)．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式训练6-1】．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是_________．
【变式训练6-2】．设三角形的顶点坐标是A（0，a），B（，0），C（，0），其中a>0，圆M为的外接圆．
（1）求圆M的方程；
（2）当a变化时，圆M是否过某一定点 请说明理由．直线与圆的方程讲义
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知识点一 五种直线方程
1. 直线方程
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y1＝k(x－x1) 不能表示与x轴垂直的直线
斜截式 y＝kx＋b 不能表示与x轴垂直的直线
两点式 ＝ 不能表示与坐标轴垂直的直线
截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 适合所有的直线
2. 直线的一般式与斜截式、截距式的互化
直线的一般式、斜截式、截距式如下表：
一般式 斜截式 截距式
不同时为0) 都不为0)
例1．直线的图象可能是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】显然不可能是C，时，直线的斜率为正，纵截距为负，排除A，时，斜率为负，纵截距为正，D不符，只有B符合题意．故选B．
【变式训练1-1】、过点，且倾斜角比直线的倾斜角大的直线方程为________．
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为，由题意有为锐角，且
则所求直线的倾斜角为，则，
则所求直线方程为.
【变式训练1-2】、已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】为的垂心 ，，又，，直线斜率存在且，
设，则，解得： .
知识点二 直线与直线的位置关系
1. 一般式方程中两直线平行与垂直的条件
若两条直线的方程是用一般式给出的,设直线的方程分别为,，
则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下：
（1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且.
即,且或.
（2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或.即
2. 直线系方程
1．平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.
2．垂直直线系方程
一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为 (其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.
例2.（2012浙江）设，则“”是“直线：与直线：
平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】．A
【解析】“直线：与直线：平行”的充要条件是，解得，
或，所以是充分不必要条件。
【变式训练2-1】、已知直线与垂直，则的值是（ ）
A. 或 B. C. D. 或
【答案】C
【解析】由题意得 ，选C.
【变式训练2-2】、在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】．C
【解析】由题意可得
（其中，），∵,
∴，，
∴当时，取得最大值3，故选C．
知识点三 圆的标准方程与一般方程
1. 圆的定义及方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C：(a，b)
半径：r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心：
半径：r＝
2. 点与圆的位置关系
(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三种情况
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
①(x0 －a)2＋(y0 －b)2＝r2 点在圆上；
②(x0 －a)2＋(y0 －b)2>r2 点在圆外；
③(x0－a)2＋(y0 －b)2例3．（1）（江西省南昌二中模拟）圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为(　　)
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝5　 B．(x－1)2＋(y－3)2＝5
C．(x＋1)2＋(y＋3)2＝5 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝5
【答案】C　
【解析】由题意知，所求圆的圆心坐标为(－1，－3)，半径为，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝5，故选C.
（2）（山东省日照一中期末）若实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值为(　　)
A. B．10 C．9 D．5＋2
【答案】B　
【解析】原方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，表示以(1，－2)为圆心，为半径的圆．设x－2y＝b，则x－2y可看作直线x－2y＝b在x轴上的截距，当直线与圆相切时，b取得最大值或最小值，此时＝，所以b＝10或b＝0，所以x－2y的最大值是10.
【变式训练3-1】．已知直线在轴上的截距为，且垂直于直线．
（1）求直线的方程；
（2）设直线与两坐标轴分别交于、两点，内接于圆，求圆的一般方程．
【解析】（1）设直线的方程为．
∵直线的斜率为，所以直线的斜率．则直线的方程为．
（2）设圆的一般方程为．由于是直角三角形，
所以圆的圆心是线段的中点，半径为；
由，得，；
故，解得，，．
则圆的一般方程为：．
知识点四 直线与圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系
(1)三种位置关系：相交、相切、相离．
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
例4.（1）直线与圆相切，则实数等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【解析】圆的方程即为（ ，圆心 到直线的距离等于半径 或者 ，故选C．
（2）直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是 (　　)
A.6 B.3 C.2 D.8
【答案】A
【解析】∵圆的方程为x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,∴圆心为(0,3),半径为3,而直线y=kx+3过定点(0,3),过圆心,故直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长即为直径6.
【变式训练4-1】．已知圆，直线．
（1）判断直线与圆C的位置关系；
（2）设直线与圆C交于A，B两点，若直线的倾斜角为120°，求弦AB的长．
【解析】 (1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，
因此直线l过定点D(1，1)，又＝1<，
所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．
(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，又k＝tan 120°＝－，即m＝－．
此时，圆心C(0，1)到直线l： x＋y－－1＝0的距离d＝＝，
又圆C的半径r＝，所以|AB|＝2＝2＝．
知识点五 圆与圆的位置关系
1. 圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).
　方法位置关系　　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离 d>r1＋r2 无解
外切 d＝r1＋r2 一组实数解
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解
例5.（四川树德中学模拟）已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为__________．
【答案】
【解析】x2＋y2－2y＝0可化为x2＋(y－1)2＝1，则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小，直线AB的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离d＝，又|AB|＝＝5，所以△ABP的面积的最小值为×5×＝.
【变式训练5-1】．（广西河池高级中学模拟）已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
【解析】 两圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和.
(1)当两圆外切时，＝＋，解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心距5，故只有－＝5，解得m＝25－10.
(3)当m＝45时，4－＜|MN|＝5＜＋4，两圆相交，其两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
所以公共弦长为2＝2.
知识点六 综合性质
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆系方程
(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)。
例6．(1)（山东省青岛二中质检）已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝x＋y的取值范围是(　　)
A．(－2，4) B.[－2，4]
C．[－4,4] D．[－4,2]
【答案】B　
【解析】x2＋y2＝4(y≥0)表示圆x2＋y2＝4的上半部分，如图所示，直线x＋y－m＝0的斜率为－，在y轴上的截距为m.当直线x＋y－m＝0过点(－2,0)时，m＝－2.设圆心(0,0)到直线x＋y－m＝0的距离为d，则即解得m∈[－2，4]．
(2)．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】设圆心，则，化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.
【变式训练6-1】．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是_________．
【答案】或
【解析】设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为
与直线的交点为，，①
由，，重心为，代入欧拉线方程，得，②，由 ①②可得或 .
【变式训练6-2】．设三角形的顶点坐标是A（0，a），B（，0），C（，0），其中a>0，圆M为的外接圆．
（1）求圆M的方程；
（2）当a变化时，圆M是否过某一定点 请说明理由．
【解析】 (1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
∵圆M过点A(0,a),B(-,0),C(,0),
∴解得D=0,E=3-a,F=-3a.∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.
(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由
解得x=0,y=-3.
∴圆M过定点(0,-3).

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