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《实数》典型例题
例1 下列各数哪些是有理数，哪些是无理数？
，－5，，0，
解 有理数有：－5，0，．
无理数有：
说明：有理数包括整数与分数，只要是分数就是有理数，而无理数是无限不循环小数，被开方数开不尽方的数都是无理数，在本题中是无理数，不是分数．
例2 比较下列各组数的大小：
（1）和， （2）和， （3）和， （4）0和．
解 （1），而，∴
（2），而，∴
（3），而，∴．
（4）
例3 计算：
（1），（2），（3），（4）
解 （1）
（2）
（3）
（4）
说明：有关无理数的计算问题要按运算法则及运算律进行计算．
例4 计算（精确到0.1）：
（1），（2），（3），（4）
解 （1）
（2）
（3）
（4）
例5 下面命题中，正确的是（ ）
A．不带根号的数一定是有理数
B．有绝对值最大的数，也有绝对值最小的数
C．任何实数的绝对值都是正数
D．无理数一定是无限小数
分析 圆周率是不带根号的数，但它是无限不循环小数，所以它是无理数，可见命题A不正确. 实际上，可以写出很多不带根号的无理数，如0.101001000100001……就是一个无理数；不存在最大的正数（对任何正数a，都不如大），导致不存在绝对值最大的数，所以B是假命题；实数0的绝对值不是正数，可见命题C也不正确.
解答 D
说明 考查实数的意义.
例6 下列说法中正确的是（ ）
A．无理数是开方开不尽的数
B．无限小数不能化成分数
C．无限不循环小数是无理数
D．一个负数的立方根是无理数
分析 实数可分为无理数和有理数. 有限小数和无限循环小数统称为有理数，无限不循环小数称为无理数. 开方开不尽的数一定是无理数，但无理数还包含了其他数，如，任何有理数都能化成分数形成. 所以A、B、D都是错的. C正确.
解答 C
说明 考查实数的分类及定义
无理数主要有3种表现形式：①开方开不尽的数；②一些常数，如、e等；③无限不循环小数，如0.1010010001…
例7 实数，，，3.1416，，，0.2020020002……（每两个2之间多一个零）中，无理数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
分析 其中无理数有：，，0.202002…
解答 B
说明 考查无理数的定义
及有关的数都是无理数.
实数
一、本章知识结构
二、基础知识
1．算术平方根。
（1）定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
记为，读作“根号a”,a叫做被开方数。
（2）规定：0的算术平方根是0
（3）性质：算术平方根具有双重非负性：
①被开方数a是非负数，即a≥0.
②算术平方根本身是非负数，即≥0。
也就是说， 任何正数的算术平方根是一个正数，
0的算术平方根是（ 0 ），
负数没有算术平方根。
2．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根或二次方根
（2）非负数a的平方根的表示方法:
（3）性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数。
0 只有一个平方根，它是0 。
负数没有平方根。
说明：平方根有三种表示形式：± ， ，－，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。要特别注意： ≠±。
3.平方根与算术平方根的区别与联系：
区别：①定义不同算术平方根要求是正数
②个数不同平方根有2个，算术平方根1个
③表示方法不同：算术平方根为，平方根为±
联系：①具有包含关系：
②存在条件相同：
③0的平方根和算术平方根都是0。
4．a2的算术平方根的性质
a (a≥0)
=│a│=
-a (a<0)
从算术平方根的定义可得：=a (a≥0)
5．立方根
定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根
数a的立方根的表示方法:
互为相反数的两个数的立方根之间的关系：互为相反数
两个重要的公式
6．开方运算：
（1）定义：
①开平方运算：求一个数a的平方根的运算叫做开平方。
②开立方运算：求一个数立方根的运算叫做开立方
（2）平方与开平方是互逆关系，故在运算结果中可以相互检验。
7．无理数的定义
无限不循环小数叫做无理数
8．有理数与无理数的区别
有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。而无理数是无限不循环小数小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。有理数可以化成分数，无理数不能化成分数。
9.常见的无理数类型
（1）一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···
（2）看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
（3）有特定意义的数，如：π=3.14159265···
(4)开方开不尽的数。如：。
10．实数
（1）概念：有理数和无理数统称为实数。
（2）分类 按定义
正整数
整数 0
负整数
有理数 有限小数或无限循环小数
正分数
实数 分数
负分数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
按大小 正实数
实数 零
负实数
(3)实数的有关性质
①a与b互为相反数〈=〉a+b=0
②a与b互为倒数〈=〉ab=1
③任何实数的绝对值都是非负数，即≥0
④互为相反数的两个数的绝对值相等, 即=
⑤正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数.
⑥一个正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0
（4）实数和数轴上的点的对应关系：
实数和数轴上的点是一一对应的关系
实数的大小比较
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
正数大于零；零大于负数；正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。
（5）实数中的非负数及其性质
在实数范围内，正数和零统称为非负数
我们已经学过的非负数有如下三种形式
①任何一个实数a的绝对值是非负数，即≥0
②任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
③任何一个非负数a的算术平方根是非负数，即≥0
非负数有以下性质
①非负数有最小值零
②有限个非负数之和仍然是非负数
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。

实数中的数学思想方法
一、分类思想
1.实数分类
(1)根据定义分类
实数
(2)按数的性质分类
实数
值得注意的是，实数的分类还有其他方法，而各种分类方法各有所长、所用，尤其是上述两种分类方法，在今后的数学学习中常用.
二、类比思想
可类比有理数的有关概念，学习实数的有关概念，如相反数、倒数、绝对值等，也可类比有理数的大小比较方法，比较实数的大小.
三、数形结合思想
如何在数轴上作出表示、的点？类似问题的解决，都与数形结合思想有关.
如上图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，则根据勾股定理，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示数，表示的点的作法类似.
数扩充到实数以后，实数与数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都可用一个实数来表示.
实数比较大小的方法
一、平方法
当a＞0，b＞0时，a＞b.
例1：比较与的大小.
分析：从表面上看，好象无从下手，但仔细观察发现，它们的被开方数之间存在关系15+5=13+7，因此可用“平方法”.
解: ,.
∵∴＜
说明:此种方法一般适用于四个无理数两两之和(或差)之间比较大小,且其中两个被开方数的和等于另两个被开方数的和.
二、移动因式法
利用,将根号外的因数移到根号内,再比较被开方数的大小.
例2：比较和的大小.
分析:负无理数之间比较大小,先比较它们绝对值的大小,因此可将根号外的因数移到根号内,也可以用“平方法”.
解: ||=,||=.
∵∴＞.
三、求差法
例3：比较与的大小.
分析：此题可以用“平方法”或“移动因式法”，也可以用“求差法”.
∵-= ∴＜.
四、求商法
例4：比较与的大小.
分析: 此题可以用“平方法”或“移动因式法”，也可以用“求商法”
解:∵÷= ∴＜.
五、分母有理化法
例5：比较与的大小.
分析: 此题可以用“平方法”或“移动因式法”或“求商法”，还可以用分母有理化法.
解:.
∵, ∴ ＞.
六、倒数法
例6：比较与的大小.
分析：观察发现，a,b都是两个无理数的差，被开方数的差相同，因此可取这两个数的倒数，再进行分母有理化.
,.
∵, ∴ ∴a ＜ b.
七、不等式的传递性
.
例7：比较和大小.
解：∵ ∴＞.
八、根指数不同的无理数大小的比较，可先化为同次根式，再比较被开方数的大小
例8:比较与的大小.
解: ∵， ∴＜.

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