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单调性与奇偶性微专题
1. 设计目标.
本节是在学完函数单调性与奇偶性后设计的一次微专题探究课，众所周知，
函数性质是高一上一个教学难点也是高考必考点，所以有必要通过设计此次微专题课达到两方面目标：
1.加强对函数单调性奇偶性的理解与认识，特别是在两个性质的应用方面，要通过题目强化认知，数形结合，提高认知能力.
2.拓展对奇偶性的认知，将其推广到函数对称性，并进一步考虑单调性与对称性的综合应用，再次加强对函数性质的理解，最后通过个别高考题目达到强化，培优的效果.
二．知识回顾
1.函数的单调性定义
2.判断或证明函数单调性的常见方法
3.单调性的常见应用
4. 函数奇偶性定义
5.判断或证明函数奇偶性的常见方法
6. 奇偶性常见应用
三．微专题探究
2.1.奇偶性与单调性综合问题.
例1. 已知偶函数在区间上单调递增，则满足的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例2．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例1.解析∵f（x）为偶函数，∴f（x）＝f（|x|）.则f（|2x－1|）<，
又∵f（x）在[0，＋∞）上单调递增，∴，解得.故选：A.
例2解析：由题得，所以函数是奇函数，
因为，所以是上的增函数，所以，
所以.故选：A
练习1.定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（ ）
A． B．
C． D．
故选：A.
2.2函数的对称性.
函数对称性主要有轴对称和中心对称两种情况. 函数对称性研究的是一个函数本身所具有的性质.
1.轴对称: 函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点到直线的距离相等且函数值时. 我们就称函数关于对称.
代数表示: (1).
(2).
即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线对称.
一般地，若函数满足，则函数的图象关于直线对称.
特别地，偶函数(关于轴对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相等.
2.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心.
用代数式表示：(1).
(2).
一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称.
特别地，奇函数(关于原点对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反.
3.注释: 对称性的作用: 知一半而得全部，即一旦函数具备对称性，则只需分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质.
(1).利用对称性求得函数在某点的函数值.
(2).利用对称性可以在作图时只需作出一半的图象，然后再根据对称性作出另一半的图象.
(3).对于轴对称函数，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；对于中心对称函数，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同.
2.3.对称性的应用
2.3.1对称性与单调性
例3.在上定义的函数是偶函数，且．若在区间上是减函数，则（ ）
A．在区间上是增函数，在区间上是减函数
B．在区间上是增函数，在区间上是增函数
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．在区间上是减函数，在区间上是减函数
例3解析：由可得，所以的对称轴为，
因为函数是偶函数，所以，
由可得：，
所以，所以是周期为的周期函数，
若在区间上是减函数，根据对称性可知在上是增函数，
根据周期为可知：在区间上是增函数，在区间上是减函数，
故选：A.
2.3.2 已知对称性求解析式
例4.已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有根之和等于
A．4 B．5 C．6 D．12
例4解析：因为为奇函数，所以图像关于对称，
所以函数的图像关于对称，即
当时，，
所以当时，
当时，可得
当时，可得
所以的所有根之和为
故选A
2.3.3 对称函数的图象性质
例5.已知函数满足，若函数的图象与函数的图象的交点为,则( )
A. B. C. D.
结论1.若的图像关于直线对称.设
.
例8.已知函数满足,若函数与图像的交点为,，（），则
A. B. C. D.
结论2.若,
即.
一般地，对于
练习2.已知函数是偶函数，当时， 恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
练习3．已知函数在区间上单调递增，且函数为偶函数，则下列结论成立的是（）
A． B．
C． D．
练习2【详解】
当时，，则，
所以，函数为上的增函数，
由于函数是偶函数，可得，
，
，因此，.
故选：A.
练习3【详解】
因为函数f(x＋2)是偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，即函数f(x)的图象关于x＝2对称，
又因为函数y＝f(x)在区间[0，2]上单调递增，所以函数y＝f(x)在区间[2，4]上单调递减.
因为，，所以，即，
故选：B.
一、单选题
1．已知函数满足，若函数与图象的交点为，则 的值为（ ）
A．4m B．3m C．2m D．m
2．已知函数满足，函数的图象与的图象的交点为，，…，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知定义在上的函数在上为增函数，且函数为偶函数，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．若函数为偶函数，且在上单调递增，则的解集为___________．
7．已知定义在上的奇函数满足，且，则的值为___________.
8．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，那么不等式的解集是 ________．
三．直击高考
1．(2021年高考全国甲卷理科)设函数的定义域为，为奇函数，
为偶函数，当时，．若，则
A． B． C． D．
2．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设函数的定义域为，满足
，且当时，．若对任意，都有
，则的取值范围是
A． B． C． D．
3．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知是定义域为的奇函数，
满足．若，则
A． B．0 C．2 D．50
参考答案
1．练习题
1．A
解：由，得，
所以函数的图像关于点对称，
因为，
所以的图像可以看成是由的图像向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，所以函数的图像关于点对称，
所以函数与的图像交点关于点对称，
所以，，
设，则，
所以，所以，
设，则，
所以 ，所以，
所以，
故选：A
2．C由可知的图象关于点对称，
又因为的图象也关于点对称，
所以两个函数的图象的交点关于点对称，
即，，
所以，故选：．
3．D. 由题设知：时，单调递增，
∵是偶函数，
∴关于对称，即上单调递减，
由对称性可知：，而，
∴，即.
故选：D.
4．D. 因为函数为偶函数，所以函数关于对称，
又因为函数在上为增函数，所以函数在上为减函数，
又因为，所以
故选：D
5．C.由于是上的奇函数，且，
所以，
所以是周期为的周期函数.当时，
..
.
.
所以.
故选：C.
6．∵为偶函数，
∴，
∴，即，
∴，
∵在上单调递增，∴，
∵，
∴，解得或，
∴不等式的解集为．
故答案为：.
7．对任意，由是奇函数得，又，所以，则，所以是以4为周期的函数.
由是R上的奇函数得，所以，，故.
故答案为：.
8．；因为当时，，所以，
由可得：，即，
因为函数是定义在R上的偶函数，
所以，
所以，
因为时，，可知在单调递增，
所以，解得，
所以不等式的解集是，
故答案为：.
2．直击高考
1．D【详解】
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
2．B【详解】
时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．
3．C【详解】
详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
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