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第8章 函数应用
第01讲 二分法与求方程近似解
课程标准 重难点
理解用二分法求方程的近似解的操作流程；掌握二分法的概念应用；掌握用二分法求函数零点的近似解；理解并掌握用二分法求方程的近似解． 1．了解函数零点与方程的关系2．能够使用二分法求方程近似解3. 结合具体连续函数与其图象的特点，了解函数零点存在定理.
一、函数的零点与方程的解
1．函数的零点
对于一般函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有 函数y＝f(x)的图象与x轴有 ．
3．函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，且有 .那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
【想一想】1．函数的零点是点吗？
2．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？
3．函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)·f(b)<0
1．一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立，如函数f(x)＝，易知f(－1)·f(1)＝－1×1<0，但显然f(x)＝在(－1,1)内没有零点．
2．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解c.
3．零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)·f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点．
4．零点存在定理是不可逆的，因为f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)·f(b)<0.如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)·f(b)>0.
5．如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
二、用二分法求方程近似解
1．二分法的概念
条件 (1)函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上 ．(2)在区间端点的函数值满足
方法 不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步 ，进而得到零点近似值
2．二分法求函数零点近似值的步骤
[想一想]
是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？
参考答案
一、1. f(x)＝0 2.零点 公共点 3.连续不断 f(a)·f(b)<0 f(c)＝0
【想一想】1. 不是，是使f(x)＝0的实数x，是方程f(x)＝0的根．
2. 只能判断有无零点，不能判断零点的个数．
3. 不一定，如f(x)＝x2在区间(－1,1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0.
二、1.连续不断 f(a)·f(b)<0 一分为二 逼近零点
【想一想】不是，只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点．
考法01 求函数的零点
求函数y＝f(x)的零点的方法
(1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数解就是函数y＝f(x)的零点．
(2)几何法：若方程f(x)＝0无法求解，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，求定义在R上的减函数f(x)(f(x)为奇函数)的零点．因为奇函数y＝f(x)是定义在R上的减函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0.因为y＝f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.　　　　
SHAPE \* MERGEFORMAT 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x.
【跟踪训练】1．函数f(x)＝的所有零点构成的集合为(　　)
A．{1}　　　　　　　　 B．{－1}
C．{－1,1} D．{－1,0,1}
2．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，则mn＝________.
考法02 函数零点所在的区间
确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．　　　　
SHAPE \* MERGEFORMAT (链接教材P144T2)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
【跟踪训练】
1．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(e，＋∞)
2．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
考法03 判断函数零点的个数
判断函数y＝f(x)的零点的个数的方法
(1)解方程法：方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数．
(2)定理法：借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断．
(3)图象法：如果函数图象易画出，则可依据图象与x轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如y＝h(x)－g(x)的函数，可通过函数h(x)与g(x)的图象的交点的个数来判断函数y＝h(x)－g(x)的零点的个数．　　　　
(1)f(x)＝的零点个数为(　　)
A．3　　　　　　　　　　　　　 B．2
C．1 D．0
(2)判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
【跟踪训练】
1．若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是________．
2．已知0考法04 二分法概念的理解
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．　　
(链接教材P155T1)下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是(　　)
【跟踪训练】1．在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是(　　)
A．[1,4]　　　　　　　 B．[－2,1]
C． D．
2．用二分法求函数f(x)在区间(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结果计算的条件是(　　)
A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001
考法05 用二分法求方程近似解
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．　　　　
　(链接教材P146例2)用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度0.1)
(a，b) 中点c f(a) f(b) f
(0,1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0
(0.5,1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0
(0.5,0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625,0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0
(0.687 5,0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．
[母题探究]
(变条件)若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05”结论又如何？
【跟踪训练】用二分法求方程x2－2x＝1的一个正实数近似解．(精确度0.1)
题组A 基础过关练
1．已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
3．若函数在区间（－1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．（2，＋∞） D．（0，2）
4．函数的零点一定位于区间（ ）
A． B． C． D．
5．函数，则函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
7．下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
8．根据表格中的数据，可以判断方程的一个根所在的区间为（ ）
-1 0 1 2 3
0.37 1 2.72 7.39 20.09
2 3 4 5 6
A． B． C． D．
题组B 能力提升练
1．函数满足以下条件：①的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线；②是偶函数；③在上不是单调函数；④恰有2个零点.则函数的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】显然题设选项的四个函数均为偶函数，但的定义域为，所以选项B错误；
函数的定义域是，在，单调递减，在，单调递增，但有3个零点，选项A错误；
函数的定义域是，当时，的图象对称轴为，其图象是开口向下的抛物线，故在，单调递增，在，单调递减，由图得恰有2个零点，选项C正确；
函数的定义域是，在，单调递减，在，单调递增，且有2个零点，选项D正确.故选：CD.
2．定义在上的函数满足，且时，，时，．令，，若函数的零点有个，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数则函数的所有零点之和为___________.
5．若函数有唯一零点，则实数的值为__________.
6．函数的零点，则a=___________.
7．已知函数．
（1）当时，求函数在区间上的取值范围；
（2）用表示m，n中的最小值，设函数，讨论函数零点的个数．
8．已知，函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，对于，使得恰有四个零点，求的取值范围．
题组C 培优拔尖练
1．已知函数，方程有两解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．设是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若函数有6个不同零点，则实数的可能取值是（ ）
A．0 B． C． D．
4．已知函数，若方程有四个不同的根、、、，且，则的取值范围是__________.
5．已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是___________.
6．已知函数
（Ⅰ）若，求在上的最大值；
（Ⅱ）已知函数，若存在实数，使得函数有三个零点，求实数m的取值范围．
第8章 函数应用
第01讲 二分法与求方程近似解答案解析
课程标准 重难点
理解用二分法求方程的近似解的操作流程；掌握二分法的概念应用；掌握用二分法求函数零点的近似解；理解并掌握用二分法求方程的近似解． 1．了解函数零点与方程的关系2．能够使用二分法求方程近似解3. 结合具体连续函数与其图象的特点，了解函数零点存在定理.
一、函数的零点与方程的解
1．函数的零点
对于一般函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有 函数y＝f(x)的图象与x轴有 ．
3．函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，且有 .那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
【想一想】1．函数的零点是点吗？
2．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？
3．函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)·f(b)<0
1．一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立，如函数f(x)＝，易知f(－1)·f(1)＝－1×1<0，但显然f(x)＝在(－1,1)内没有零点．
2．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解c.
3．零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)·f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点．
4．零点存在定理是不可逆的，因为f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)·f(b)<0.如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)·f(b)>0.
5．如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
二、用二分法求方程近似解
1．二分法的概念
条件 (1)函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上 ．(2)在区间端点的函数值满足
方法 不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步 ，进而得到零点近似值
2．二分法求函数零点近似值的步骤
[想一想]
是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？
参考答案
一、1. f(x)＝0 2.零点 公共点 3.连续不断 f(a)·f(b)<0 f(c)＝0
【想一想】1. 不是，是使f(x)＝0的实数x，是方程f(x)＝0的根．
2. 只能判断有无零点，不能判断零点的个数．
3. 不一定，如f(x)＝x2在区间(－1,1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0.
二、1.连续不断 f(a)·f(b)<0 一分为二 逼近零点
【想一想】不是，只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点．
考法01 求函数的零点
求函数y＝f(x)的零点的方法
(1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数解就是函数y＝f(x)的零点．
(2)几何法：若方程f(x)＝0无法求解，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，求定义在R上的减函数f(x)(f(x)为奇函数)的零点．因为奇函数y＝f(x)是定义在R上的减函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0.因为y＝f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.　　　　
SHAPE \* MERGEFORMAT 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x.
【解析】(1)令＝0，
解得x＝－3，
所以函数f(x)＝的零点是x＝－3.
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无实数解，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．
(3)令2x－3＝0，解得x＝log23.
所以函数f(x)＝2x－3的零点是x＝log23.
(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，
所以函数f(x)＝1－log3x的零点是x＝3.
【跟踪训练】1．函数f(x)＝的所有零点构成的集合为(　　)
A．{1}　　　　　　　　 B．{－1}
C．{－1,1} D．{－1,0,1}
【答案】C
【解析】当x≤0时，f(x)＝x＋1＝0 x＝－1，当x>0时，f(x)＝log2x＝0 x＝1，所以函数f(x)的所有零点构成的集合为{－1,1}．
2．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，则mn＝________.
【答案】4
【解析】因为f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点为1和2，
所以1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两个实数解，
所以解得所以mn＝4.
考法02 函数零点所在的区间
确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．　　　　
SHAPE \* MERGEFORMAT (链接教材P144T2)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
【答案】C　
【解析】法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，
∴f(x)在(0,1)内有零点．
法二：ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，所以原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0,1)．
【跟踪训练】
1．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(e，＋∞)
【答案】B
【解析】∵f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－1<0，
∴在(1,2)内f(x)无零点，A错；
又f(3)＝ln 3－>0，∴f(2)·f(3)<0，
∴f(x)在(2,3)内有零点．
2．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
【答案】C
【解析】易知函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)内是增函数，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，所以所以0考法03 判断函数零点的个数
判断函数y＝f(x)的零点的个数的方法
(1)解方程法：方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数．
(2)定理法：借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断．
(3)图象法：如果函数图象易画出，则可依据图象与x轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如y＝h(x)－g(x)的函数，可通过函数h(x)与g(x)的图象的交点的个数来判断函数y＝h(x)－g(x)的零点的个数．　　　　
(1)f(x)＝的零点个数为(　　)
A．3　　　　　　　　　　　　　 B．2
C．1 D．0
【答案】B
【解析】(1)当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)；
当x>0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0得x＝e2.
∴函数的零点个数为2.
(2)判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
【解析】法一　图象法
函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图所示)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．
法二　定理法
由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
∴f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是连续不断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
【跟踪训练】
1．若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是________．
【答案】0
【解析】∵ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac，b2＝ac，且abc≠0，∴Δ＝－3b2<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0无实根．
∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c无零点．
2．已知0【答案】2
【解析】画出函数f(x)＝a|x|(0考法04 二分法概念的理解
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．　　
(链接教材P155T1)下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是(　　)
【答案】C
【解析】A中，函数无零点．B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，故选C.
【跟踪训练】1．在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是(　　)
A．[1,4]　　　　　　　 B．[－2,1]
C． D．
【答案】D
【解析】∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为，，，.
2．用二分法求函数f(x)在区间(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结果计算的条件是(　　)
A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001
【答案】B
【解析】由二分法求近似值的步骤(4)，其精确度为0.001，应满足的条件为|a－b|<0.001，故选B.
考法05 用二分法求方程近似解
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．　　　　
　(链接教材P146例2)用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度0.1)
【解析】令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b) 中点c f(a) f(b) f
(0,1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0
(0.5,1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0
(0.5,0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625,0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0
(0.687 5,0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．
[母题探究]
(变条件)若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05”结论又如何？
【解析】在本例的基础上，取区间(0.687 5,0.75)的中点x＝0.718 75，因为f(0.718 75)＜0，f(0.75)＞0且|0.718 75－0.75|＝0.031 25＜0.05，所以x＝0.72可作为方程的一个近似解．
【跟踪训练】用二分法求方程x2－2x＝1的一个正实数近似解．(精确度0.1)
【解析】设f(x)＝x2－2x－1.
∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0.
∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.
取2与3的平均数2.5，
∵f(2.5)＝0.25>0，∴2再取2与2.5的平均数2.25，
∵f(2.25)＝－0.437 5<0，
∴2.25如此继续下去，有
f(2.375)<0，f(2.5)>0 x0∈(2.375,2.5)；
f(2.375)<0，f(2.437 5)>0 x0∈(2.375,2.437 5)．
∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，
∴方程x2－2x＝1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.
题组A 基础过关练
1．已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】∵，则函数是周期的周期函数．
又∵函数是定义在上的偶函数，且时，，
∴当时，，
令，则函数的零点个数即为函数和的图象交点个数，
分别作出函数和的图象，如下图，
显然与在上有1个交点，在上有一个交点，
当时，，而，
所以或时，与无交点．
综上，函数和的图象交点个数为2，即函数的零点个数是2．故选：A
2．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，，所以函数的零点在内.故选：A.
3．若函数在区间（－1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．（2，＋∞） D．（0，2）
【答案】B
【解析】因为为开口向上的抛物线，且对称轴为，在区间（－1，1）上有两个不同的零点，
所以，即，解得，
所以实数a的取值范围是.故选：B
4．函数的零点一定位于区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得为连续函数，且在单调递增，
，，，
根据零点存在性定理，，
所以零点一定位于区间.故选：C
5．函数，则函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数的图象在上连续，且函数在上单调递增，
因为，
，所以，，
，因此，函数的零点所在的区间为.故选：C.
6．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在上是增函数，
，，，，
，根据零点存在定理可知，零点在区间.故选：C.
7．下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】选项恒成立，不存在区间使，
所以不能用二分法求零点.故选：C
8．根据表格中的数据，可以判断方程的一个根所在的区间为（ ）
-1 0 1 2 3
0.37 1 2.72 7.39 20.09
2 3 4 5 6
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，由表格中的数据可得:
，，，，，
由零点存在定理可知，方程的一根所在的区间为.
故选：B.
题组B 能力提升练
1．函数满足以下条件：①的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线；②是偶函数；③在上不是单调函数；④恰有2个零点.则函数的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】显然题设选项的四个函数均为偶函数，但的定义域为，所以选项B错误；
函数的定义域是，在，单调递减，在，单调递增，但有3个零点，选项A错误；
函数的定义域是，当时，的图象对称轴为，其图象是开口向下的抛物线，故在，单调递增，在，单调递减，由图得恰有2个零点，选项C正确；
函数的定义域是，在，单调递减，在，单调递增，且有2个零点，选项D正确.故选：CD.
2．定义在上的函数满足，且时，，时，．令，，若函数的零点有个，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】，
自变量每增加2个单位，纵坐标扩大为原来的2倍，
时，，时，，
作出图象如图，
的零点有8个，
即与在上有8个交点，
由图象可知，需满足
，解得.所以可取，故选：BC
3．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数，画出与的图象，如下图：
当时，，
当时，，
函数的零点所在的区间是．
故选：D．
4．已知函数则函数的所有零点之和为___________.
【答案】
【解析】时，，，由，可得或，或；
时，，，由，可得或，或；
函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为故答案为：．
5．若函数有唯一零点，则实数的值为__________.
【答案】
【解析】因为，又，所以函数为偶函数.
因为函数有一个零点，根据偶函数的性质，可得，所以，解得.
当，此时，知，有零点()，不符合题意：
当，此时在上单调递增，，根据偶函数对称性，符合题意；所以.
故答案为：
6．函数的零点，则a=___________.
【答案】3
【解析】因为均为增函数，
所以是增函数，
又，
所以的零点，
又，
所以，故答案为：3
7．已知函数．
（1）当时，求函数在区间上的取值范围；
（2）用表示m，n中的最小值，设函数，讨论函数零点的个数．
【解析】（1）当时，，对称轴为，
则在单调递减，在单调递增，
，故在区间上的取值范围为；
（2）当时，，所以，
所以在上无零点，
①当时，过，且对称轴，则结合函数图象，如图实线部分，可得只有一个零点；
②当时，过，且对称轴，
当，即时，只有一个零点；
当，即时，的零点为，此时有两个零点和；
当，即时，
令，解得，，且，，
若，即时，函数有三个零点，；
若，即时，函数有一个零点；
若，即时，函数有两个零点；
综上，当时，只有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.
8．已知，函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，对于，使得恰有四个零点，求的取值范围．
【解析】(1)当时，，
当时，开口向上，其对称轴为，所以在上单调递增；
当时，开口向下，其对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递减.
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
(2)当时，，所以当时，，
令得，，即，所以或，
若恰有四个零点，即函数与，有四个交点，
作出函数的图象，如图
又，，，，，
所以要使函数与，有四个交点，则
或，解得或，
故的取值范围.
题组C 培优拔尖练
1．已知函数，方程有两解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以且，
当时，在时单调递增，所以；
又在时单调递增，且，
因为方程有两解，所以，所以；
当时，在时单调递减，；
又在时单调递增，，
因为方程要有两解，所以，此时不成立.
综上可得，故选：B.
2．设是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是上的偶函数，所以，对，，
所以函数是周期函数，且周期.
，
依题意，只需使函数的图象与函数的图象在上有5个交点即可.
在同一坐标系中分别作出与的图象，
由图可知，实数满足，解得，即实数的取值范围是.
故选：B.
3．已知函数，若函数有6个不同零点，则实数的可能取值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】BD
【解析】画出函数的图象：
函数有零点，即方程有根的问题．
对于：当时，，
故，，故，，，，
故方程有4个不等实根；
对于：当时，，
故，，，
当时，由图象可知，有1个根，
当时，由图象可知，有2个根，
当时，由图象可知，有3个根，
故方程有6个不等实根；
对于：当时，，
故，，，
当时，由图象可知，有2个根，
当时，由图象可知，有2个根，
当时，由图象可知，有3个根，
故方程有7个不等实根；
对于：当时，，
故，，，
当时，由图象可知，有1个根，
当时，由图象可知，有2个根，
当时，由图象可知，有3个根，
故方程有6个不等实根；
故选：．
4．已知函数，若方程有四个不同的根、、、，且，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】作出函数的图象如下图所示：
方程有四个不同的实根，等价于直线与函数的图象有四个交点，
不妨设，由图可知，只有当时，直线与函数的图象有四个交点.
当时，，
由图可知，，，所以，，即，
即，所以，，
当时，，表示对称轴为直线，开口向上的抛物线，
，，所以，，，且，则，
所以，，
所以，，
因此，.
故答案为：.
5．已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】方程.
画出与的函数图象如图所示：
因为直线过，
联立得，由，得.
又过与两点的直线的斜率，
由图知：当直线过点时，为函数与有两个交点的临界点，此时，
由图可知，若关于的方程有且只有一个实数根，
则实数的取值范围为.
故答案为：
6．已知函数
（Ⅰ）若，求在上的最大值；
（Ⅱ）已知函数，若存在实数，使得函数有三个零点，求实数m的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由题设，，，
∴当时，，即，
当时，，在区间内单调递增，即，
综上，在上的最大值为.
（Ⅱ）由题设，令，
∴在上有三个根，即与有三个交点，
∴当时，在、上递增，在上递减，此时，，可得，故；
当时，在、上递增，在上递减，此时，，可得，故；
综上，.
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