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8.数学广角—找次品
一．选择题（满分12分，每小题2分）
1．有15个零件，其中一个是质量较轻的次品，如果用天平称，至少要称　　次才能找到这个次品．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．一箱药品16盒，其中15盒的质量相同，有一盒的质量不足，轻一些，如果用天平称，至少称　　次才能保证把质量不足的那一盒找出来．
A．3 B．4 C．5
3．有9瓶水，其中8瓶水质量相同，有一瓶水是盐水稍重一些，如果用天平来区分，至少称　　次能保证找出这瓶水．
A．8 B．4 C．3 D．2
4．9盒月饼中，有1盒质量不同，至少称　　次能保证找出这盒月饼．
A．2 B．3 C．4 D．5
5．有13瓶药片，其中12瓶质量相同，另有1瓶多装了4片．用天平至少称　　次能保证找出这瓶药片．
A．2 B．3 C．5
6．9个零件中有一个轻一些，用天平至少称　　次可以保证把它找出来．
A．1 B．2 C．3
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．有10包糖果，其中9包糖果质量相同，另有一包少了几颗糖，用天平称，至少称　 　次可以保证找出这包糖果．
8．有30个零件中混进一个较轻的，你最少用　　次可以找出那个最轻的．
9．同一批次生产的5个零件，其中有1个质量轻一些，其余4个一样重，用天平至少称　 　次才能保证找出这个轻一些的零件．
10．有12瓶水，其中11瓶质量相同，另有一瓶食盐水，比其它的水略重些，至少称　 　次能保证找到这瓶盐水．
11．一箱果汁有24瓶，其中23瓶质量相同，另有一瓶质量略轻．用天平至少称　 　次才能保证找出这瓶比较轻的果汁．
12．8个外观相同的球中有一个次品（次品比正品略轻），至少要用天平称　 　次才能保证找出次品．
13．有15盒饼干，其中14盒质量相同，另有1盒少了几块，如果用天平称，至少称　　次可以保证找出这盒饼干．
14．有5盒茶叶，其中4盒每盒500克，另一盒不是500克，但不知道比500克重还是轻，用天平至少称　 　次才能保证找出这盒茶叶．
15．有8个铁球外表一模一样，其中7个质量相同，1个质量轻一些，如果用天平来称至少称　 　次保证能找出较轻的这个球．
16．有5瓶药，其中4瓶重量相同，另有一瓶少3粒，用天平称至少称　 　次保证能把这瓶药找出来．
三．判断题（满分8分，每小题2分）
17．8颗同样大小的珍珠，一颗较轻，用天平称至少需3次一定能找到次品．　 　．
18．从5件物品中找一件次品，至少要用天平称2次才能找出来．　　．
19．有8颗外观相同的珍珠，其中有一颗是次品（次品比正品略轻），用天平至少称3次才能保证找出次品．　 　．
20．9枚古钱币，其中一枚轻一些，用天平只称两次无论如何也找不出来．　 　．
四．解答题（共10小题，满分60分，每小题6分）
21．（6分）已知一堆物品中有一个次品（比正品轻），如果至少称3次就能保证找出这个次品，这堆物品至少有多少个？最多有多少个？
22．（6分）有12袋方便面，其中11袋的质量相同，另外1袋缺．用天平称，至少称几次能保证找出这袋质量少的方便面？
23．（6分）利用天平称次品时，将下列数量的物品分成3份，应该怎样分？
24．（6分）在包装糖果时，丽丽的妈妈误把一盒质量超重的糖果放入了按标准质量装好的14盒糖果中．妈妈记性不好，不记得是哪一盒．如果用天平称，至写少称几次能保证帮妈妈找出这盒超重的糖果？怎么称？
25．（6分）有6个看上去完全一样的玻璃球，其中有一个的质量比其他的轻一些，用一架天平至少称几次才能保证把质量不同的玻璃球找出来？
26．（6分）有6个颜色大小一样的球，其中一个较轻一些，怎样利用天平把这个较轻的球挑出来？
27．（6分）有49个零件，其中有一个更轻的次品，如果用天平称，至少多少次保证能找到？有可能一次就找到吗？（要求写出过程）．
28．（6分）把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，称几次可以把次品找出来．
29．（6分）有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来．
30．（6分）有5颗外形完全相同的珠子，其中4颗是真珠子，另一颗是假珠子，且假珠子比真珠子重．用天平（无砝码）称，至少称几次才可以把假珠子找出来？
参考答案
一．选择题（满分12分，每小题2分）
1．解：第一次：把15个零件平均分成3份，每份5个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻的即在未取的5个中（按照下面方法操作），若天平秤不平衡；
第二次：从天平秤较高端的5个零件中任取4个，平均分成两份，每份2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那个即为较轻的，若天平秤不平衡；
第三次：把天平秤较高端的2个分别放在天平秤两端，较高端的即为较轻的．
答案：．
2．解：第一次称量：在天平两边各放5盒，可能出现两种情况：（把少的那盒看做次品）
①如果天平平衡，则次品在剩余的那6盒中，把它分成3组，每组2盒，先称2组，如果平衡，就把剩下的2个称量即可，如此经过3次即可找出次品．
②如果左右不平衡，那么说明轻的5盒就有次品，由此再把5盒分成3组：2盒、2盒、1盒，先称2组两盒的，如果平衡，剩下的那一盒就是次品，如果不平衡，称轻的那组，如此经过3次即可找出次品．
答：至少3次才能保证把质量不足的那一盒找出来．
答案：．
3．解：第一次在天平两边各放3瓶水，可能出现两种情况：
情况一：如果天平平衡，则次品在剩余的3瓶水之中，则进行第二次称量，即把剩余的3瓶中的2瓶分别放到两盘中，托盘下降者为次品；
情况二：如果天平不平衡，次品在托盘上升那边的三个里面，则进行第二次称量，取托盘上升的三瓶水中的两瓶放到左、右盘中，如果天平平衡，则剩余的那瓶是次品，如果不平衡，下降者为次品．
所以，总的来说，称两次就可以找出次品．
答案：．
4．解：先将9盒平均分成3份，每份3盒，任选两份称重：
若次品组是已取的某3盒月饼组，则从这3盒月饼中任取2盒分别放入天平两端称量，即可找出次品．若天平平衡，则可确定次品组中未取的那盒月饼就是次品；若天平不平衡，则根据之前判断的次品与正品的轻重关系即可确定天平哪一端放入的月饼是次品．
若次品组是未取的3盒月饼组，则从这3盒月饼中任取2盒分别放入天平两端称量．若天平平衡，则可确定未取的那盒月饼就是次品；
若天平不平衡，则可确定次品就是此时放入天平两端中的这2盒中的某一盒，还可确定未取的那盒月饼是正品，然后再用未取的那盒月饼换下此时不平衡的天平两端中的任意一盒月饼，换上正品后，若此时天平平衡，则可确定被换下的那盒月饼就是次品；若此时天平仍不平衡，则可确定未被换下的那盒月饼就是次品．
综上所述，以上找次品的过程中，有些称了2次，有些称了3次，所以至少称3次能保证找出这盒月饼．
答案：3答案：．
5．解：第一次：从13瓶药片中任取12个，平均分成2份，每份6个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那瓶药片即为质量较重的，若不平衡；
第二次：把天平秤较低端的6瓶药片平均分成2份，每份3个，分别放在天平秤两端；
第三次：从天平秤较高低的3瓶药片中，任取2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那瓶药片即为质量较重的，若不平衡，天平秤较低端的那瓶药片即为质量较重的那瓶药片．
答案：．
6．解：第一次称量：把9个零件分成3份，每份3个，先把天平两边分别放3个，会有两种情况出现：
情况一：左右平衡，则次品在剩下的3个中，即可进行第二次称量：从剩下的3个中拿出2个，放在天平的两边一边1个，若天平平衡，则剩下1个是次品；若天平不平衡，则托盘上升一边为次品；
情况二：若左右不平衡，则次品在托盘上升的一边3个中，由此即可进行第二次称量：从上升一边的3个拿出2个，放在天平的两边一边1个，若天平平衡，则剩下1个是次品；若天平不平衡，则托盘上升一边为次品；
答：综上所述，至少需要称2次，才能保证找到这个零件．
答案：．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．解：如下图：
所以用天平称至少称3次能保证找出这袋糖果．
答案：3．
8．解：第一次：把30个零件分成10个，10个，10个的三份，把其中两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品即在未取的10个零件中（按照下面方法继续操作），若不平衡；
第二次：把天平秤较高端的10个零件分成3个，3个，4个的三份，把其中两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品即在未取的4个零件中（按照下面方法继续操作），若不平衡；
第三次：从天平秤较高端的4个零件中，任取3个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的那个零件即为次品，若不平衡，天平秤较高端的零件 即为次品．
答案：3．
9．解：第一次：从零件总数中任取4个，平均分成两份，每份2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则没取的零件即为次品，若不平衡；第二次：把较高端2个零件分别放在天平秤两端，较高端即为次品．
答案：2．
10．解：（1）把12瓶水指分成两组：6个1组，进行第一次称量，那么次品就在较重的那一组中；
（2）由此再把较重的6瓶水指分成2组：3个为1组，进行第二次称量，那么次品在较重的那一组中；
（3）再把较重的3瓶水指分成3组：1组1个还剩1个，如果左右相等，那么说明剩下的一个是次品，如果左右不等，那么较重的那个是次品，
如此经过3次即可找出质量较重的那瓶盐水．
答案：3．
11．解：第一次：把24瓶果汁平均分成三份，每份8瓶，任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻的那瓶即在未取的8瓶中（按照下面的方法操作），若天平秤不平衡；第二次：把天平秤较高端的8瓶，分成3瓶，3瓶，2瓶三份，把其中3瓶两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，占的较轻的即在未取的2瓶中（分别放在天平秤两端，较高端即为较轻的），若天平秤不平衡；第三次：把天平秤较高的3瓶．任取2瓶，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，未取的即为较轻的，若天平秤不平衡，较高的即为较轻的．
答案：三．
12．解：把8个球分成，3，三组，把两个3个一组的放在天平上称，如平衡，则次品在2个的一组中，把这2个球分成，放在天平上称，上跷的是次品．需2次
如不平衡，则把上跷的一组3个球分成，1，，任意两个放在天平上称，如平衡，没称的是次品，如不平衡，上跷的是次品．
所以用天平称至少要2次就能保证把次品找出来．
答案：2．
13．解：第一次：从15盒饼干中，任取10盒，平均分成2份，每份5盒，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则少几块的那盒即在未取的5盒中（再按照下面方法操作），若不平衡；第二次：从在天平秤较高端的5盒饼干中，任取4盒，平均分成2份，每份2盒，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则少几块的那盒即在未取的1盒中（再按照下面方法操作），若不平衡；第三次：把在天平秤较高端的2盒饼干，分别放在天平秤两端，天平秤较高端的饼干即为少几块的饼干，
答案：3．
14．解：随机抽选其中4袋，并将其平均分为2份，为份和份．称一称和，是否相等．若相等，则第五袋为要找的，若比重或轻，则以第五袋为标准，分别将、分为、和和，先称量、，若不平衡，则将、分别于标准袋称量比较即可；若天平平衡，则再将、分别于标准袋称量比较，这样需要3次即可找出次品．
答：用天平至少称3次才能保证找出这盒茶叶．
答案：3．
15．解：把8个铁球分成3个，3个，2个三份，
第一次：把其中3个的两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则质量轻的在未取的2个中，把剩余2个分别放在天平秤两端，较高端的铁球即为质量轻的，若天平秤不平衡；
第二次：从天平秤较高端的3个铁球中，任取2个，分别放在天平秤两端，若平衡，则未取的即为质量轻的，若不平衡，较高端的即为质量轻的；
所以，至少称2次保证能找出较轻的这个球．
答：至少称2次保证能找出较轻的这个球．
答案：2．
16．解：把5瓶药分成2瓶，2瓶，1瓶三份，第一次：把两份2瓶的药分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那瓶即是少2粒的；若不平衡，第二次：把在天平秤较高端的2瓶药，分别放在天平秤两端，在天平秤较高端药即为少2粒的那瓶．
答：用天平称至少称2次才能保证把它找出来．
答案：2．
三．判断题（满分8分，每小题2分）
17．解：8个球分成3、3、2，进行天平称量，先把是3个球的两组放在天平上称量，
①如果平衡，较轻的球就在2个球的那组，然后把2个球放在天平上，找出较轻的；
如果不平衡，找出较轻的一组；
②然后拿出较轻组其中的两个进行称量，如果平衡，剩下的一个就是较轻的球，如果不平衡，位置较高的一个就是较轻的球．所以8颗同样大小的珍珠，一颗较轻，用天平称至少需3次能找到次品的说法是错误的．
答案：．
18．解：根据找次品的方法可知，当个数最多是时，至少用次可以找到次品（知道轻重）。
因为：，
所以如果知道次品较轻还是较重，2，经过2次一定能保证找到次品，因为题干中没有说次品较轻还是较重，所以无法断定，但不平衡的情况下，哪一组中有次品，应该再多称一次才能断定综上所述，至少经过3次即可找出次品
答案：．
19．解：把8个球分成，3，三组，把两个3个一组的放在天平上称，如平衡，则次品在2个的一组中，把这2个球分成，放在天平上称，上跷的是次品．需2次
如不平衡，则把上跷的一组3个球分成，1，，任意两个放在天平上称，如平衡，没称的是次品，如不平衡，上跷的是次品．
所以用天平至少称2次才能保证找出次品．
答案：．
20．解：据以上分析可知，只称两次就能找出来．
答案：错误．
四．解答题（共10小题，满分60分，每小题6分）
21．解：利用找次品的公式：当物品个数最多为时，次即可找到这个次品．
所以这堆物品只数10个，最多27个．
22．解：第一次：把12袋方便面平均分成3份，每份4袋，任取2份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻的方便面即在未取的4袋中（再按下面方法操作），若不平衡；第二次：把天平秤中较高端的4袋方便面，分成2分，分别放在天平秤2端，第三次：把天平秤中较高端的2袋方便面分别放在天平秤2端，较高端即为较轻的，据此即可解答．
答：用天平称，至少称3次能保证找出这袋质量少的方便面．
23．解：，所以27可以分成9、9、9
，所以41可以分成14、14、13；
，所以55可以分成18、18、19，
答案：
24．解：第一次，先把这15盒糖果平均分成3份，取其中的2份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较轻一盒再未取的一份，进行第二次，若天平不平衡，则可找到较轻的一份；
第二次，取含有较轻的一份分成3份：2盒、2盒、1盒，取2盒的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的为未取的1盒，若天平不平衡，则取含有较轻的一份，进行第三次测量；
第三次，把含有较轻的一盒的糖果盒）分别放入天平两侧，即可找到较轻的一盒．
答：至写少称3次能保证帮妈妈找出这盒超重的糖果．
25．解：两个两个一称：
情况一：平衡 再称余下两个 得到轻者．
情况二：不平衡，取出较轻两个组合，分开称，得到轻者．
共称2下．
答：至少称2次才能保证把质量不同的玻璃球找出来．
26．解：至少称两次，才能找出这个较轻的球．
第一次：把6个球平均分为2份，每份3个，分别放在天平秤两端，则略轻的1个在天平较高端的1份中；
第二次：把较高端的1份再平均分为3份，每份1个，任取2份分别放在天平秤两端；若天平平衡，则略轻的1个是剩下的那个；若天平不平衡，则天平较高端是略轻的1个．
27．解：答：如果用天平称，至少4次保证能找到．有可能一次就找到，但概率非常小，把49个分成，24，，天平每边各放一组24个组，天平平衡，次品是未称的一个．
称的过程如下：
称第一次：把49个零件分成，16，三组，天平每边各放1个16个组，天平平衡，次品在17个组，不平衡，次品在6个组（轻的一边）．
称第二次：假设次品在16个组，把16分成，5，三组，天平每边各放5个组，天平平衡，次品在6个组，不平衡，次品在5个组（轻的一边）．个假假设次品在17个组，把17分成，6，三组，天平平衡，次品在5个组，不平衡，次品在6个组（轻的一边）．
称第三次：假设次品在6个组，把6个分成，2，三组，天平每边放一组，天平平衡，次品在未称的一组，不平衡，次品在轻的一边．假设次品在5个组，把5个分成，2，三组，天平每边各放2个组，天平平衡，次品在未称的1个（称三次已经找到），若不平衡，次品在2个组．
称第四次：把2个分成，次品在轻的一边．
28．解：把10个球分成①3，②3，③3，④四组天平两边各放①3、②3称，一、若不平衡，次品在称的①、②这两组中（并记下那组重那组轻），用③换下②称（即称①和③；（一若不平衡，次品在①中（由第一次的称知次品的轻重），①、1、称一次找出次品．共3次（二若平衡，次品在②中（由第一次的称知次品的轻重），②、1、称一次找出次品．共3次 二、若平衡，次品在③、④中，用③换下②称（即称①和③；（一若平衡，次品在④中，找出．共2次（二若不平衡，次品在③中 （并知次品的轻重），③、1、称一次找出次品．共3次所以至少称3次能保证找出次品．
答：称3次可以把次品找出来．
29．解：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上．若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中．
第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆．
第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品．
30．答：至少称2次能把它找出来，
第一次：从5颗珠子中任取4颗，平均分成两份，每份2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那颗是假珠子，若天平秤不平衡；第二次：把天平秤较低端的2颗珠子，分别放在天平秤两端，较低端即为假珠子．

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