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利用同构式解决问题
在有机化学中，我们经常去研究一些有机物的同分异构体。而在解决数学问题中我们
常常会看见一些数学的式子或一些变式，他们框架相同，只是字母和数字不同。譬如：比较
0.90.8 ,和0.80.9 的大小。一般比较大小当形式不同利用单调性不能解决，我们会借助于中间
0.9 0.8 0.9 0.8
的变量 0，或者 1 等去考虑，然而这题我们需要利用0.9 和0.8 ，0.9 与0.9 我们可
以构成 y 0.9x 利用单调递减推出 0.90.9 < 0.90.8 ,同时 0.90.9 和 0.80.9 y x0.9构成 单调递增
0.90.9推出 >0.80.9 ，从而得到0.90.8 >0.80.9 ；在这里我们就利用了同构式（相同的作为常量，
不同的作为变量），利用同构式去解决一些数学问题，我们会收到意想不到的效果。
二、典型例题：
x 1
5 2x sin x 1 3
例 1：设 x, y R，满足 ，则 x y （ ） A. 0 B. 2
y 1
5 2y sin y 1 1
C. 4 D. 6
思 路 ： 本 题 研 究 对 象 并 非 x, y ， 而 是 x 1 , y 1 ， 进 而 可 变 形 为
x 1
5 2 x 1 sin x 1 1
，观察上下式子左边结构相同，进而可将相同的结构5
y 1 2 y 1 sin y 1 1
视为一个函数，而等式右边两个结果互为相反数，可联想到函数的奇偶性，从而利用函数性
质求解
x 1
5 2x sin x 1 3 x 1
5 2 x 1 sin x 1 1
解 ： 5 设5
y 1 2y sin y 1 1 y 1 2 y 1 sin y 1 1
f x 1 1
f t t5 2t sin t ， 可 得 f t 为 奇 函 数 ， 由 题 意 可 得 ：
f y 1 1
f x 1 f y 1
x 1 y 1 x y 2
例 2：若函数 f x x 1 m在区间 a,b a b上的值域为 , b a 1 ，则实数m的取 2 2
值范围是______
a
思路：注意到 f x 是增函数，从而得到 f a a , f b b
a 1 m
，即 2，发现两个式
2 2
b 1 b m
2
子为 a,b的同构式，进而将同构式视为一个方程，而 a,b为该方程的两个根，m的取值只需
要保证方程有两根即可
a 1 m a
解 ： f x a b为 增 函 数 f a , f b 2 a,b 为 方 程
2 2
b 1 m b
2
x 1 x m 在 1, x 上 的 两 个 根 ， 即 m x 1 有 两 个 不 同 的 根 令
2 2
t x 1 t 1 0 x t 2 1 2所以方程变形为：m t 1 t 1 t 2 2t 1 ，结合图
2 2
m 0, 1 m 0, 1像可得： 答案：

2 2
例 3：设 a,b R，则|“ a > b”是“ a a > b b ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充要又
不必要条件
思路：观察 a a > b b 可发现其同构的特点，所以将这种结构设为函数 f x x x ，分析
x2 , x 0
其单调性。 f x x x 可得 f x 为增函数。所以 a > b f (a)> f (b)，
x
2 , x 0
即 a > b a a > b b ，所以是充要条件 答案：C
例 4：若0 x1 x2 1，则（ ）
A. ex2 ex1 ln x2 ln x1 B. e
x1 ex2 ln x2 ln x1 C. x
x1
2e x1e
x2 D.
x x1 x22e x1e
思路：本题从选项出发可发现，每个选项通过不等式变形将 x1, x2分居在不等式两侧后都具
备同构的特点， 所以考虑将相同的形式构造为函数，从而只需判断函数在 0,1 的单调性
即可
解 ： A 选 项 ： ex2 ex1 ln x x22 ln x1 e ln x
x1 x
2 e ln x1 ， 设 f x e ln x
' x 1 xex 1 g x xe x ' x f x e ，设 1，则有 g x x 1 e 0恒成立，所以 g x
x x
在 0,1 单调递增，所以 g 0 1 0,g 1 e 1 0 ，从而存在 x0 0,1 ，使得
g x0 0，由单调性可判断出：
x 0,x ,g'0 x 0 f ' x 0,x x0,1 ,g' x 0 f ' x 0 ，所以 f x 在 0,1 不单调，不
等式不会恒成立
B x x x x x选项：e 1 e 2 ln x2 ln x1 e 1 ln x 21 e ln x2 ，设 f x e ln x可知 f x
ex1 ex2x x
单调递增。所以应该 f x f x ，B 错误 C 选项： x e 11 2 2 x 21e ，构造函x1 x2
f x e
x
' x 1 e
x
数 ， f x '，则 f x 0在 x 0,1 恒成立。所以 f x 在 0,1 单
x x2
x1 x2
调递减，所以 f x1 f x x x
e e
2 成立 D 选项： x e 12 x 21e ，同样构造x1 x2
x
f x e ，由 C 选项分析可知 D 错误答案：C
x
例 5：已知函数 f x 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x都有
xf x 1 x 1 f x f 2015 1 5，则 2
的值是（ ）A. 0 B. C. 1 D.
2 2
f x 1 f x f t
思路：观察条件可变形为： ，从而得到等式左右的结构均为 的形式，
x 1 x t
f 2015 f 2013 f 1 f 1
且括号内的数间隔为 1。所以 2
2015
2
2013
2 2 。因为 f x 为偶1 1

2 2 2 2
1 1 f 1 f f f
1
函 数 ， 所 以 ， 由 2

2 可 得 f
1 1
f

0 ， 进 而
2 2 1 1 2 2

2 2
f 2015
2 0 f 20152015
答案：A
2
0

2
例 6：如果 cos5 sin5 7 sin3 cos3 , 0,2 ，那么 的取值范围是________
思路：本题很难直接去解不等式，观察式子特点可发现若将关于 sin ,cos 的项分居在不
等号两侧： cos5 7cos3 sin5 7sin3 ，则左右呈现同构的特点，将相同的结构设
5 3
为 函 数 f x x 7x ， 能 够 判 断 f x 是 奇 函 数 且 单 调 递 增 。 所 以 不 等 式
f cos f sin 等价于 cos sin ，即 sin cos 0 2 sin 0，所
4

以 2k 2k k Z 5 5 ，结合 0,2 ，可得 ， 答案： ，4 4 4 4 4
例 7：如图，设点 P x0 , y0 在直线 x m y m,0 m 1,且m为常数 上，过点 P作双
x2 y2曲线 1的两条切线 PA,PB，切点为 A,B，求证：直线 AB过某一个定点
解：设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ， PA的斜率为 k
y y k x x
则 PA : y y1 k x x
1 1
1 ，联立方程 消去 y可
x2 y
2 1
得：
2 2x kx kx1 y1 1，整理可得：
1 k 2 x2 2k y1 kx1 x y1 kx1 2 1 0 ，因为 PA与双曲线相切所以
4k 2 y1 kx1
2 4 1 k 2 y1 kx 2 4 1 k 21 0
4 y 21 kx1 4 1 k 2 0
k 2x21 2kx1y
2 2
1 y1 1 k 0 x21 1 k 2 2kx1y1 y21 1 0
x21 y
2
1 1 x
2
1 1 y
2 2
1 , y1 1 x
2 2 2 2
1 代入可得： y1 k 2x1y1k x1 0即
y1k x1
2 0
即 k x 1 PA : y y x1
y 1
x x y
y 1 1
y x1x 1同理，切线PB的方程为
1 1
y2 y x1x 1
y y mx 1
P m, y0 在切线PA,PB 0 1 1上，所以有 A,B满足直线方程
y0 y2 mx2 1
x 1
y0 y mx 1

，而两点唯一确定一条直线 AB : y0y mx 1 所以当 m 时，无论
y 0
y0为何值，等式均成立
1 ,0 1 点 恒在直线 AB上，故无论 P在何处， AB恒过定点 ,0m m
2
例 8：已知椭圆C中心在原点，焦点在 x轴上，它的一个顶点为 0,1 ，离心率为 5
5
（1）求椭圆C的方程

（2）过右焦点 F 作直线 l交椭圆于 A,B，交 y轴于 R，若 RA AF ,RB BF ，求
c 2 2
解：（1）e b 1 a2 c2 b2 1 解得 a x 5,c 2 C : y 2 1
a 5 5

（2）思路：本题肯定从 RA AF ,RB BF 入手，将向量关系翻译成坐标的方程，但
观察发现两个等式除了 A,B不同，系数 , 不同，其余字母均相同。且 A x1, y1 ,B x2 , y2

也仅是角标不同。所以可推断由 RA AF ,RB BF 列出的方程是同构的，而 A,B在同
一椭圆上，所以如果用 , 表示 x1, x2 , y1, y2 ，代入椭圆方程中也可能是同构的。通过计算
2 10 5 20k2 0
可得： ，所以 , 2为方程 x 10x 5 20k 2 0的两个不同根，
2 10 5 20k
2 0
进而利用韦达定理即可得到 10
解：由（1）得 F 2,0 ，设直线 l : y k x 2 ，可得 R 0, 2k ，设 A x1, y1 ,B x2 , y2

可得： RA x1, y1 2k ,AF 2 x1, y1 ，由RA AF 可得：
2
x1 2 x
x
1

1 1 2 2 ①因为 A在椭圆上， x 5y 5，将①代入可得：
y1 2k y1 y 2k
1 1
1 1
2
2
+5 2k
2
2
=5 4 20k
2 5 1 2 2 10 5 20k2 0
1 1

对于 ， RB x2 , y2 2k ,BF 2 x2 , y2 ，RB BF 同理可得：
2 10 5 20k2 0
, x2为方程 10x 5 20k 2 0的两个不同根 10
a
例 9：已知函数 x ， a 为正常数，若 g x ln x x ，且对任意
x 1
g x g x
x1, x2 0,2 , x1 x
2 1
2 ，都有 1，求 a的取值范围．x2 x1
思路：观察到已知不等式为轮换对称式，所以考虑定序以便于化简，令 x2 x1，则不等式
变形为 g x2 g x1 x1 x2 ，将相同变量放置一侧，可发现左右具备同构特点，所以将
相同结构视为函数 h x g x x ，从而由 x2 x1且 h x2 h x1 可知只需 h x 为增
'
函数即可。从而只需不等式 h x 0恒成立即可，从而求出 a的范围
解： g x ln x a ，不妨设 x1 x2，则恒成立不等式转化为x 1
g x2 g x1 x1 x2 g x2 x2 g x1 x1
设 h x g x x a lnx x ，则由 h x2 h xx 1 1
恒成立和 x1 x2可得：只需
h x 在 0,2 1 a单调递增即可 h ' x 0 '恒成立 h x 1
x x 1 2
1 a
1 0
x x 1 2
2
2 x 1 2 x 1
2
即 a x 1 恒成立 所以只需 a x 1 令
x x min
x 1
2
p x x 2 1
x
p ' 2xx x x 1 x 1
2 x 1 2 2x 1 1
2 1 2 2 p x

在 0,
x x 2
单调递

1 1 27 27
减，在 ,2 单调递增 p x p min 0 a 2 2 2 2
例 10：已知数列 an 满足 a1 2t 3 t R,t 1 ，且
2tn 1 3 a n
a n
2 t 1 t 1
n 1 an 2t
n 1
求数列 an 的通项公式
思路：本题递推公式较为复杂，所以考虑先化简分式，观察到分子中含有分母的项，所以想
2 tn 1 1 an 1
到分离常数简化分式，即 an 1 1 n ，寻求相邻同构的特点，转化为an 2t 1
2 an 1a 1 tnn 1 1 b an 1 2bn 1 a 1 ，即可设 n n ，递推公式变为b
n
t 1 t 1 n 1
，则能够求出b
b n
通
n 2 n 2
tn 1
项公式，进而求出 an
2tn 1 3 an 2 t 1 tn 1
解： an 1 a 2t nn 1
2tn 1 2 an 2tn 1 2 an 2tn 1 2 tn 1 1 an 1 n 1an 2t 1 an 2tn 1
an 1
2 tn 1 1 a 1 2 n
a 1 a n n 1 1
2 an 1 an 1 1
n 1 n
t 1
an 2t 1 tn 1 1 a 2tn 1 tn 1n 1 an 2tn 1
tn 1
b an 1 2b 1 b 2 1 1 1设 n n ，则递推公式变为b
n n
n 1 ，且t 1 bn 2 bn 1 2bn bn 1 bn 2
1 t 1 t 1 1

b1 a1 1 2t 3 1 2
1 1 1 1 n 1 1 1 t
n 1 n
为公差是 的等差数列 n ，解得
bn 2 bn b1 2 2 an 1 2
2 tn 1
an 1n
说明：同构式在处理数列问题时，通常应用在构造辅助数列求通项公式。当递推公式比较复
杂时，构造出an 和 an 1的同构式，其中关于 n的表达式构造出 f n , f n 1 分别与an 和
an 1相对应，进而寻找到辅助数列。

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