资源简介 四 三角函数与平面向量【必记结论】1.诱导公式公式 一 二 三 四 五 六角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α正弦 sinα -sinα -sinα sinα cosα cosα余弦 cosα -cosα cosα -cosα sinα -sinα正切 tanα tanα -tanα -tanα口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限2.三种三角函数的性质函数 y=sinx y=cosx y=tanx图象单调性 在(k∈Z)上单调递增;在(k∈Z)上单调递减 在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增;在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减 在(k∈Z)上单调递增对称性 对称中心:(kπ,0)(k∈Z);对称轴;x=+kπ(k∈Z) 对称中心:(+kπ,0)(k∈Z);对称轴:x=kπ(k∈Z) 对称中心:(k∈Z)3.三角函数图象的变换由函数y=sinx的图象变换得到y=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种方法4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin (α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ.cos (α±β)=cosαcosβ sinαsinβ.tan (α±β)=.sin (α+β)sin (α-β)=sin2α-sin2β(平方正弦公式).cos(α+β)cos (α-β)=cos2α-sin2β.5.二倍角、辅助角及半角公式(1)二倍角公式sin2α=2sinαcosα.cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.tan2α=.①1+sin2α=(sinα+cosα)2.②1-sin2α=(sinα-cosα)2.(2)辅助角公式y=asinx+bcosx=(sinxcosφ+cosxsinφ)=sin (x+φ),其中角φ的终边所在象限由a,b的符号确定,角φ的值由tanφ=(a≠0)确定.(3)半角公式sin=±cos=±tan=±==.6.正、余弦定理及其变形定理 正弦定理 余弦定理内容 ===2R a2=b2+c2-2bccosA; b2=a2+c2-2accosB; c2=a2+b2-2abcosC变形 (1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; (2)sinA=,sinB=,sinC=; (3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC; (4)asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA; (5)==2R cosA=; cosB=; cosC=7.平面向量数量积的坐标表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.结论 几何表示 坐标表示模 |a|= |a|=数量积 a·b=|a||b|cosθ a·b=x1x2+y1y2夹角 cosθ= cosθ=a⊥b的充要条件 a·b=0 x1x2+y1y2=0|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) 【易错剖析】易错点1 不清楚向量夹角范围【突破点】 数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素,能不能在解题时把这些因素考虑到,是解题成功的关键,如当a·b<0时,a与b的夹角不一定为钝角,要注意隐含的情况.易错点2 忽视正、余弦函数的有界性【突破点】 许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决,在换元时注意正、余弦函数的有界性.易错点3 忽视三角函数值对角的范围的限制【突破点】 在解决三角函数中的求值问题时,不仅要看已知条件中角的范围,更重要的是注意挖掘隐含条件,根据三角函数值缩小角的范围.易错点4 图象变换方向或变换量把握不准确【突破点】 图象变换若先作周期变换,再作相位变换,应左(右)平移个单位.另外注意根据φ的符号判定平移的方向.【易错快攻】易错快攻一 忽视向量的夹角范围致误[典例1] 已知向量a,b均为非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a,b的夹角为( )A. B.C. D.听课笔记:易错快攻二 函数图象平移的方向把握不准[典例2] 将函数y=sin (2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( )A. B.C.0 D.听课笔记:四 三角函数与平面向量[典例1] 解析:因为(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,所以所以即设a,b的夹角为α,则cosα==,因为α∈[0,π],所以α=,即a,b的夹角为,故选C.答案:C[典例2] 解析:将函数y=sin (2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到的图象对应的函数解析式为y=sin =sin .因为所得函数为偶函数,所以+φ=kπ+(k∈Z),即φ=kπ+(k∈Z),则φ的一个可能取值为,故选B.答案:B 展开更多...... 收起↑ 资源预览