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六　立体几何
【必记结论】
1.空间几何体的表面积和体积
几何体 侧面积 表面积 体积
圆柱 S侧＝2πrl S表＝2πr(r＋l) V＝S底h＝πr2h
圆锥 S侧＝πrl S表＝πr(r＋l) V＝S底h＝πr2h
圆台 S侧＝π(r＋r′)l S表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l) V＝(S上＋S下＋)h＝π(r2＋r′2＋rr′)h
直棱柱 S侧＝Ch(C为底面周长) S表＝S侧＋S上＋S下(棱锥的S上＝0) V＝S底h
正棱锥 S侧＝Ch′(C为底面周长，h′为斜高) V＝S底h
正棱台 S侧＝(C＋C′)h′(C，C′分别为上、下底面周长，h′为斜高) V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
2.球的组合体
(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．
(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．
(3)球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为a(正四面体高a的)，外接球的半径为a(正四面体高a的)．
3．空间线面位置关系的证明方法
(1)线线平行： a∥b， a∥b，
a∥b， c∥b.
(2)线面平行： a∥α， a∥α，
a∥α.
(3)面面平行： α∥β， α∥β，
α∥γ.
(4)线线垂直： a⊥b.
(5)线面垂直： l⊥α， a⊥β，
a⊥β， b⊥α.
(6)面面垂直： α⊥β， α⊥β.
4．用空间向量证明平行、垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α、β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，υ＝(a3，b3，c3)．则有：
(1)线面平行
l∥α a⊥μ a·μ＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)线面垂直
l⊥α a∥μ a＝kμ a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
(3)面面平行
α∥β μ∥υ μ＝λυ a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.
(4)面面垂直
α⊥β μ⊥υ μ·υ＝0 a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
5．用向量求空间角
(1)直线l1，l2的夹角θ有cosθ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量)．
(2)直线l与平面α的夹角θ有sinθ＝|cos〈l，n〉|(其中l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量)．
(3)平面α，β的夹角θ有cosθ＝|cos〈n1，n2〉|，则α－l－β二面角的平面角为θ或π－θ(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)．
【易错剖析】
易错点1　不清楚空间点、线、面的位置关系
【突破点】　解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，要注意定理应用准确、考虑问题全面细致．
易错点2　表面积的计算不准确
【突破点】　在求表面积时还要注意空间物体是不是中空的，表面积与侧面积要认真区分．
易错点3　对折叠与展开问题认识不清致误
【突破点】　注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量，不仅要注意哪些变了，哪些没变，还要注意位置关系的变化．
【易错快攻】
易错快攻　忽视平面图形翻折前后的显性关系
[典例]　如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝，现沿CN将△CDN折起，使△ADN为正三角形，且平面ADN⊥平面ABCN，过BM的平面与线段DN、DC分别交于E，F.
(1)求证：EF⊥DA；
(2)在棱DN上(不含端点)是否存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，若存在，请确定E点的位置；若不存在，说明理由．
听课笔记：
六　立体几何
[典例]　解析：(1)证明：∵BM⊥AD，CN⊥AD，∴BM∥CN，
在四棱锥D－ABCN中，CN 平面CDN，
BM 平面CDN，∴BM∥平面CDN，
又平面BMEF∩平面CDN＝EF，
∴BM∥EF，
∵平面ADN⊥平面ABCN且交于AN，BM⊥AN，
∴BM⊥平面ADN，即EF⊥平面ADN，
又DA 平面ADN，∴EF⊥DA；
(2)存在，E为棱DN上靠近N点的四等分点．
∵DA＝DN，AM＝MN＝1，
连接DM，∴DM⊥AN，又平面ADN⊥平面ABCN，且平面ADN∩平面ABCN＝AN，
∴DM⊥平面ABCN.
如图，以M为坐标原点，分别以MA，MB，MD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则D(0，0，)，B(0，1，0)，M(0，0，0)，N(－1，0，0)，
＝(0，1，－)，＝(0，－1，0)，＝(1，0，)，
设＝λ，(0<λ<1)，则E(λ－1，0，λ)，＝(λ－1，0，λ)，
设平面BMEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
不妨令x＝λ，则z＝1－λ，n＝(λ，0，1－λ)，
设直线DB与平面BMEF所成角为α，则有
sin α＝|cos 〈n，〉|＝＝＝，
解得λ＝或λ＝－(舍)．
＝，即在棱DN上存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，E为棱DN上靠近N点的四等分点．

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