资源简介

专题二三角函数、解三角形
第一讲　三角函数的图象与性质——小题备考
微专题1　三角函数的定义与同角关系式
　
常考常用结论
1．三角函数定义：设点P(x，y)(不与原点重合)为角α终边上任意一点，点P与原点的距离为：r＝，则：sinα＝，cosα＝，tanα＝.
2．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tanα＝.
保分题
1.[2022·辽宁葫芦岛二模]若＝，则tanθ＝(　　)
A．B．－
C．－3D．3
2．[2022·福建南平三模]在单位圆中，已知角α的终边与单位圆交于点P()，现将角α的终边按逆时针方向旋转，记此时角α的终边与单位圆交于点Q，则点Q的坐标为(　　)
A．(－) B．(－)
C．(1，0) D．(0，1)
3．[2022·山东德州二模]已知角θ的终边过点A(3，y)，且sin (π＋θ)＝，则tanθ＝________．
提分题
例1
(1)[2022·山东潍坊二模]已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点A(x1，2)，B(x2，4)在角α的终边上，且＝1，则tanα＝(　　)
A．2B．
C．－2D．－
(2)[2022·河北沧州二模]若sinα＋2cosα＝0，则sin2α－sin2α＝(　　)
A．－B．0
C．1D．
听课笔记：
技法领悟
1．任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．若角α已经给出，则无论点P在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．
2．应用诱导公式与同角关系进行开方运算时，一定要注意三角函数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．
巩固训练1
1.[2022·山东枣庄一模]在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－3，4)，则tan＝(　　)
A．－或2　B．2C．－或3　D．3
2．[2022·河北唐山三模]若sinα＋cosα＝，则tanα＋＝________．
微专题2　三角函数的图象
　
常考常用结论
1．三角函数的图象
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
2.三角函数的两种常见变换
(1)y＝sinx向左(φ>0)或向右(φ<0),平移|φ|个单位
y＝sin (x＋φ)横坐标变为原来的倍,纵坐标不变
y＝sin (ωx＋φ)纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变
y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)．
(2)y＝sinx横坐标变为原来的倍,纵坐标不变
y＝sinωx向左(φ>0)或向右(φ<0),平移||个单位
y＝sin (ωx＋φ)纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变
y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)．
保分题
1.[2022·河北唐山二模]将函数f(x)＝sinx的图象向右平移个单位，可以得到(　　)
A．y＝sinx的图象
B．y＝cosx的图象
C．y＝－sinx的图象
D．y＝－cosx的图象
2．[2022·浙江卷]为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin (3x＋)图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
3．[2022·湖南雅礼中学二模]已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|≤)的图象如图所示．则f(φ)＝(　　)
A．0B．A
C．D．－
提分题
例2
(1)[2022·河北沧州二模]将函数f(x)＝cos2x＋sin2x图象上的点P(0，t)向右平移φ(φ>0)个单位长度得到点P′，若P′恰好在函数g(x)＝cos2x－sin2x的图象上，则φ的最小值为(　　)
A．B．
C．D．
(2)[2022·山东滨州二模]函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，现将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)的表达式可以为(　　)
A．g(x)＝2sin (x＋)
B．g(x)＝2cos (x－)
C．g(x)＝2sin (x＋)
D．g(x)＝2cos (x－)
听课笔记：
技法领悟
1．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
2．已知函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
巩固训练2
1.[2022·湖北荆州中学三模]要得到函数y＝cos2x的图象，只需将函数y＝sin (2x＋)的图象(　　)
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
2．[2022·河北保定一模]已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象如图所示，则下面描述不正确的是(　　)
A．ω＝B．φ＝
C．f(2)＝1D．f(3)＝－
微专题3　三角函数的性质　
常考常用结论
1．三角函数的单调区间
y＝sinx的单调递增区间是[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)；
y＝cosx的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；
y＝tanx的递增区间是(kπ－，kπ＋)(k∈Z)．
2．三角函数的奇偶性与对称性
y＝Asin (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．
y＝Acos (ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．
y＝Atan (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．
3．三角函数的周期
(1)y＝Asin (ωx＋φ)和y＝Acos (ωx＋φ)的最小正周期为，y＝Atan (ωx＋φ)的最小正周期为.
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个最小正周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个最小正周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个最小正周期．
保分题
1.[2022·山东威海三模]已知函数f(x)＝sinxcos (2x＋φ)(φ∈[0，π])为偶函数，则φ＝(　　)
A．0　　　B．C．　　　D．π
2．[2022·河北邯郸二模]函数f(x)＝sin (2x＋)在(－)上的值域为(　　)
A．(0，1] B．(－，0)
C．(－，1] D．[－1，1]
3．[2022·北京卷]已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　)
A．f(x)在(－，－)上单调递减
B．f(x)在(－)上单调递增
C．f(x)在(0，)上单调递减
D．f(x)在()上单调递增
提分题
例3
(1)[2022·广东佛山三模](多选)已知函数f(x)＝sin2x＋cos2x，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的周期为π
B．函数f(x)的最大值为2
C．f(x)在区间[－]上单调递增
D．是函数f(x)的一个零点
(2)[2022·河北保定二模]已知函数f(x)＝2sin (ωx＋)＋1(ω>0)， x∈R，f(x)≤f()，且f(x)在[0，]上单调递增，则ω＝(　　)
A．　　B．C．2　　　D．3
听课笔记：
技法领悟
1．三角函数单调区间的求法：
(1)代换法：求形如y＝Asin (ωx＋φ)(或y＝Acos (ωx＋φ))(A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间的一般思路是令ωx＋φ＝z，则y＝Asinz(或y＝Acosz)，然后由复合函数的单调性求得．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
2．三角函数值域的求法：
在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f(x)的最值．
3．判断对称中心与对称轴的方法：利用函数y＝Asin (ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．
巩固训练3
1.[2022·山东淄博一模]若f(x)＝cos (x－)在区间[－a，a]上单调递增，则实数a的最大值为(　　)
A．B．
C．D．π
2．[2022·辽宁抚顺一模]已知函数f(x)，①函数f(x)的图象关于直线x＝－对称，②当x∈[，π]时，函数f(x)的取值范围是[－2，1]，则同时满足条件①②的函数f(x)的一个解析式为________．
微专题4　三角函数性质与图象的综合　
保分题
1.[2022·山东济宁一模]把函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ＝(　　)
A．B．
C．D．
2．[2022·山东济南一模]函数f(x)＝x－sinx的部分图象大致为(　　)
3．[2022·福建漳州一模](多选)函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则(　　)
A．f(x)的图象的最小正周期为
B．f(x)的图象的对称轴方程为x＝＋2kπ(k∈Z)
C．f(x)的图象的对称中心为(－＋2k，0)(k∈Z)
D．f(x)的单调递增区间为[4k－，4k＋](k∈Z)
提分题
例4
(1)[2022·辽宁葫芦岛一模]已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象如图所示，将y＝f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位，使新函数为偶函数，则θ的最小值为(　　)
A．B．
C．D．
(2)[2022·湖南岳阳三模](多选)若函数f(x)＝2sin (2x＋)的图象向右平移个单位长度后，得到函数y＝g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法中，错误的是(　　)
A．函数g(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数g(x)的图象关于点(，0)对称
C．函数g(x)的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z
D．函数g(x＋)是偶函数
听课笔记：
技法领悟
研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y＝Asin (ωx＋φ)＋B(或y＝Acos (ωx＋φ)＋B)的形式利用正余弦函数与复合函数的性质求解．
巩固训练4
1.[2022·福建莆田三模](多选)将函数y＝2sin (2x－)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到函数f(x)的图象，若f(x)的图象关于直线x＝对称，则φ的取值可能为(　　)
A．B．
C．D．
2．[2022·山东临沂三模](多选)已知函数f(x)＝2sin (2ωx＋)(ω>0)图象上两相邻最高点的距离为π，把f(x)的图象沿x轴向左平移个单位得到函数g(x)的图象，则下列选项正确的是(　　)
A．g(x)在[]上是增函数
B．(，0)是g(x)的一个对称中心
C．g(x)是奇函数
D．g(x)在[]上的值域为[－2，0]
专题二　三角函数、解三角形
第一讲　三角函数的图象与性质
微专题1　三角函数的定义与同角关系式
保分题
1．解析：＝＝，
分子分母同除以cos θ，
＝，
解得tan θ＝－3.
答案：C
2．解析：由三角函数定义知：sin α＝，cos α＝，将角α的终边按逆时针方向旋转，此时角变为α＋，
故点Q的横坐标为cos (α＋)＝cos αcos －sin αsin ＝－，
点Q的纵坐标为sin (α＋)＝sin αcos ＋cos αsin ＝，
故点Q的坐标为(－)．
故选B.
答案：B
3．解析：∵角θ的终边过点A(3，y)，
∴sin θ＝，cos θ＝.
∵sin (π＋θ)＝，∴－sin θ＝，即sin θ＝－<0，
∴点A在第四象限，
∴＝－，解得y＝4(舍去)或y＝－4，
∴tan θ＝＝－.
答案：－
提分题
[例1]　解析：(1)由已知得，因为点A(x1，2)，B(x2，4)在角α的终边上，所以直线AB的斜率为k＝＝－2，所以，明显可见，α在第二象限，tan α＝－2.
(2)因为sin α＋2cos α＝0，所以tan α＝－2，所以sin2α－sin2α＝＝＝＝.故选D.
答案：(1)C　(2)D
[巩固训练1]
1．解析：由角α的终边经过点(－3，4)，可得sinα＝＝，cos α＝＝－，
故tan ＝＝＝＝＝2.
故选B.
答案：B
2．解析：因为sin α＋cos α＝，两边同时平方得(sin α＋cos α)2＝，即1＋2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝，
因此tan α＋＝＝＝＝4.
答案：4
微专题2　三角函数的图象
保分题
1．解析：将函数f(x)＝sin x的图象向右平移个单位得到y＝sin (x－)＝－cos x的图象．
答案：D
2．解析：因为y＝2sin (3x＋)＝2sin [3(x＋)]，所以把函数y＝2sin (3x＋)图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝2sin [3(x＋)]＝2sin 3x的图象．故选D.
答案：D
3．解析：由图象可得f(x)的最小正周期T＝4()＝π，∴ω＝＝2，
由2·＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
由|φ|≤得φ＝，∴f(x)＝A sin (2x＋)，
∴f(φ)＝f()＝A sin π＝0.
答案：A
提分题
[例2]　解析：(1)由题意知，点P(0，t)在f(x)＝cos 2x＋sin 2x的图象上，所以t＝cos 0＋sin 0＝1，所以P(0，1)，点P向右平移φ个单位长度得到点P′(φ，1)．
因为P′在函数g(x)＝cos 2x－sin 2x＝cos (2x＋)的图象上，所以cos (2φ＋)＝1，解得2φ＋＝±＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝kπ，k∈Z，或φ＝－＋kπ，k∈Z.
因为φ>0，所以φmin＝.
故选D.
(2)由图象可知：A＝2；f(0)＝2sin φ＝－1，又|φ|<，所以φ＝－；由f()＝2sin (ω·)＝0，可得ω·＝kπ，k∈Z，解得ω＝k＋，又<<，即·<<·，解得<ω<，故k＝1，ω＝2，即f(x)＝2sin (2x－)，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得y＝2sin [2(x＋)－]＝2sin (2x＋)，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍得g(x)＝2sin (x＋)＝2sin (x－)＝2cos (x－)．故选B.
答案：(1)D　(2)B
[巩固训练2]
1．解析：y＝cos 2x＝sin (2x＋)＝sin [2(x＋)]，所以y＝sin (2x＋)的图象向左平移个单位得：y＝sin [2(x＋)＋]＝sin (2x＋)．故选A.
答案：A
2．解析：根据题意：可得A＝2，f(0)＝2sin φ＝1，
因为|φ|<，所以φ＝，
又f()＝2sin ()＝0，
则＝π＋kπ，k∈Z，即ω＝kπ＋，k∈Z，
因为ω>0，则ω＝，
所以函数f(x)＝2sin (x＋)，
所以f(2)＝2sin (×2＋)＝1，f(3)＝2sin (×3＋)＝－1，故选D.
答案：D
微专题3　三角函数的性质
保分题
1．解析：∵f(x)定义域为R，且为偶函数，
∴f(－)＝f() －cos (－π＋φ)＝cos (π＋φ) cos φ＝－cos φ cos φ＝0，
∵φ∈(0，π)，∴φ＝.
当φ＝时，f(x)＝－sin x sin 2x为偶函数满足题意．
故选C.
答案：C
2．解析：当x∈(－)时，2x＋∈(－，π)，当2x＋＝时，即x＝时，f(x)＝sin (2x＋)取最大值1，当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)＝sin (2x＋)取最小值－，故值域为(－，1].
答案：C
3．解析：f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x.令2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z，解得kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故f(x)的减区间为[kπ，＋kπ]，k∈Z.令k＝0，则[0，]为f(x)的一个减区间．因为(0，)∈[0，]，所以f(x)在(0，)上单调递减．故选C.
答案：C
提分题
[例3]　解析：(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)
函数f(x)的周期为T＝＝π，A正确；
函数f(x)的最大值为，B不正确；
∵x∈[－]，则2x＋∈[－]，则f(x)在[－]上单调递增，C正确；
f()＝sin π＝0，D正确．
(2)因为f(x)≤f()，所以f()＝2sin ()＋1＝3，
所以＝2kπ＋(k∈Z)，解得ω＝4k＋(k∈Z)．
因为x∈[0，]，所以ωx＋∈[].
因为f(x)在[0，]上单调递增，所以，
解得0<ω≤，故ω＝.
答案：(1)ACD　(2)A
[巩固训练3]
1．解析：易知将函数y＝cos x的图象向右平移得到函数f(x)＝cos (x－)的图象，则函数f(x)＝cos (x－)的增区间为[－π＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)，而函数又在[－a，a]上单调递增，所以 a≤，于是0答案：A
2．解析：由题意，设f(x)＝A sin (ωx＋φ)，由f(x)的最小值为－2，得A＝2，
若[，π]为半个周期长度，则T＝2×(π－)＝π，
则ω＝＝2，
由①，不妨令2×(－)＋φ＝－，解得φ＝－，
所以f(x)＝2sin (2x－)，经检验，符合①②条件．
答案：f(x)＝2sin (2x－)(答案不唯一)
微专题4　三角函数性质与图象的综合
保分题
1．解析：函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位后，
得到的图象对应的解析式是：y＝sin [2(x－)＋φ]＝sin (2x＋φ－)，
由于该函数为偶函数，故φ－＝kπ＋，k∈Z，
即φ＝kπ＋，k∈Z，而0<φ<π，
故φ＝.
答案：D
2．解析：因f(x)＝x－sin x，则f(－x)＝－x－sin (－x)＝－x＋sin x＝－f(x)，函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，D不满足；
对f(x)求导得f′(x)＝1－cos x≥0，函数f(x)在R上单调递增，当x>0时，f(x)>f(0)＝0，A不满足；
而当x＝时，f()＝－sin ＝－1<1，显然C不满足，B满足．
答案：B
3．解析：观察图象知，A＝3，函数f(x)的周期为T，有T＝＝1，T＝4，ω＝＝，
由f()＝3得：3sin (＋φ)＝3，而|φ|<，则有φ＝，因此，f(x)＝3sin (x＋)，
对于A，函数f(x)的周期T＝4，A不正确；
对于B，由x＋＝kπ＋，k∈Z得f(x)的图象的对称轴：x＝＋2k(k∈Z)，B不正确；
对于C，由x＋＝kπ，k∈Z得：x＝－＋2k，k∈Z，f(x)的图象的对称中心为(－＋2k，0)(k∈Z)，C正确；
对于D，由2kπ－x＋≤2kπ＋，k∈Z得：4k－≤x≤4k＋，k∈Z，
则有f(x)的单调递增区间为[4k－，4k＋](k∈Z)，D正确．
答案：CD
提分题
[例4]　解析：(1)由图象可知：f(x)min＝－2＝－A，∴A＝2；
∵f(0)＝2sin φ＝，∴sin φ＝，又|φ|<，∴φ＝；
∵f()＝2sin (ω＋)＝0，∴ω＋＝π，解得：ω＝2，∴f(x)＝2sin (2x＋)；
∴f(x－θ)＝2sin (2x－2θ＋)为偶函数，∴－2θ＝＋kπ(k∈Z)，
解得：θ＝－(k∈Z)，
又θ>0，∴当k＝－1时，θmin＝.故选D.
(2)由题意得：g(x)＝2sin (2x－)＝2sin (2x－)，
将x＝代入g(x)得：g()＝2sin ()＝2sin ≠±2，故A错误；
将x＝代入g(x)得：g()＝2sin ()＝2sin (－)＝－，B错误；
令－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，解得：－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故g(x)的单调递增区间不是[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z，C错误；
g(x＋)＝2sin (2x＋)＝2sin (2x＋)＝2cos 2x，为偶函数，D选项正确．
答案：(1)D　(2)ABC
[巩固训练4]
1．解析：函数y＝2sin (2x－)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝2sin (2x－2φ－)的图象，
再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到函数f(x)＝2sin (4x－2φ－)
∵f(x)的图象关于直线x＝对称
∴4×－2φ－＝kπ＋，k∈Z
∴φ＝，k∈Z
又∵φ>0，当k＝－2时，φ＝；当k＝－1时，φ＝；当k＝0时，φ＝.
答案：AD
2．解析：因为函数f(x)＝2sin (2ωx＋)(ω>0)图象上两相邻最高点的距离为π，
所以T＝π＝ ω＝1，所以f(x)＝2sin (2x＋)
把f(x)的图象沿x轴向左平移个单位得到函数g(x)的图象，
则g(x)＝f(x＋)＝2sin (2x＋π)＝－2sin 2x，
当x∈[]时，2x∈[，π]，显然g(x)在[]上是增函数，故A正确；
因为g()＝－2≠0，所以(，0)不是g(x)的一个对称中心，故B错误；
因为g(x)＝－g(－x)，所以g(x)是奇函数，故C正确；
由选项A，g(x)在[]上是增函数，
所以g(x)min＝g()＝－2，g(x)max＝g()＝0，所以g(x)在[]上的值域为[－2，0]，故D正确．
答案：ACD

展开更多......

收起↑