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第二讲　三角恒等变换与解三角形——小题备考
微专题1　三角函数求值
常考常用结论
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin (α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.
(2)cos (α±β)＝cosαcosβ sinαsinβ.
(3)tan (α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝2sinαcosα.
(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)tan2α＝.
3．常用公式
(1)降幂扩角公式：cos2α＝，sin2α＝.
(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
(3)公式变形：tanα±tanβ＝tan (α±β)(1 tanα·tanβ)．
(4)辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin (x＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.
保分题
1.[2022·河北张家口一模]已知cosα＝，0<α<，则sin (α＋)＝(　　)
A．B．
C．－D．－
2．[2022·湖北武汉二模]设sin32°＝k，则tan16°＋＝(　　)
A．B．
C．2kD．k
3．[2022·山东烟台一模]若sinα＝cos (α＋)，则tan2α的值为________．
提分题
例2
(1)[2022·山东淄博三模]已知α∈(－，0)，且cos2α＝sin (α＋)，则sin2α＝(　　)
A．－B．
C．－1D．1
(2)[2022·河北石家庄一模]已知角α∈(0，)，tan＝，则α＝________．
听课笔记：
技法领悟
1．解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形．
2．给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知求得的函数值代入，从而达到解题的目的．
3．实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
巩固训练1
1.[2022·辽宁抚顺一模]已知sin (－α)＝，则cos (2α－)的值是(　　)
A．－B．
C．－D．
2．[2022·湖南师大附中三模]已知sin (α－)＝(0<α<π)，则sinα＋cosα＝________．
微专题2　解三角形
　
常考常用结论
1．正弦定理及其变形
在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．
2．余弦定理及其变形
在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；
变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.
3．三角形面积公式
S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB．
4．三角形中的有关结论
(1)sinA＝sin (B＋C)，cosA＝－cos (B＋C)；
(2)A>B sinA>sinB，cosA保分题
1.[2022·广东广州一模]在△ABC中，若A＝，B＝，a＝3，则b＝(　　)
A．4B．2
C．D．
2．[2022·北京通州一模]在△ABC中，已知cosA＝，a＝2，b＝3，则c＝(　　)
A．1B．
C．2D．3
3．在△ABC中，sin2A＝sinBsinC，若∠A＝，则∠B的大小是(　　)
A．B．
C．D．
提分题
例2
(1)[2022·山东临沂二模]我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝.根据此公式，若acosB＋(b－c)cosA＝0，且b2＋c2－a2＝，则△ABC的面积为(　　)
A．B．
C．D．
(2)[2022·湖南衡阳二模]设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，已知(b＋c)sin (A＋C)＝(a＋c)(sinA－sinC)，设D是BC边的中点，且△ABC的面积为1，则·()等于(　　)
A．2B．2
C．－2D．－2
听课笔记：
技法领悟
1．正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．
(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．
2．三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．
(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．
巩固训练2
1.(多选)已知锐角△ABC，下列说法正确的是(　　)
A．sinA＋sinB＋sinCB．tanA＋tanB＋tanC>0
C．sinA＝，tanB＝3，则AD．cosA＋cosB<
2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝，b＋c＝3，向量m＝(2cos2A＋3，2)，n＝(2cosA，1)，且m∥n.则△ABC的面积是________.
第二讲　三角恒等变换与解三角形
微专题1　三角函数求值
保分题
1．解析：由cos α＝，0<α<，得sin α＝，
所以sin (α＋)＝sin α＋cos α＝＝，故选B.
答案：B
2．解析：tan 16°＋＝
＝
＝
＝.
故选A.
答案：A
3．解析：由sin α＝cos (α＋)，
可得sin α＝cos αcos －sin αsin ＝cos α－sin α，
则tan α＝，tan 2α＝＝＝.
答案：
提分题
[例1]　解析：(1)∵cos2α＝sin (α＋)＝(sin α＋cos α)，
∴cos2α－sin2α＝(cosα＋sin α)(cos α－sin α)＝(cos α＋sin α)，
∴(cos α＋sin α)(cos α－sin α－)＝0，
∴cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝，
由cos α＋sin α＝0平方可得1＋sin 2α＝0，即sin 2α＝－1，
由cos α－sin α＝平方可得1－sin 2α＝，即sin 2α＝，
因为α∈(－，0)，所以2α∈(－π，0)，sin 2α<0，
综上，sin 2α＝－1.
(2)∵tan ＝，
∴＝，
∴sin (cos α＋cos )＝cos (sin α－sin )，
∴sin cos α＋sin cos ＝cos sin α－cos sin ，
∴sin cos ＋cos sin ＝cos sin α－sin cos α，
∴sin ＝sin (α－)，∵α∈(0，)，∴α－∈(－)
∴＝α－，则α＝＝.
答案：(1)C　(2)
[巩固训练1]
1．解析：cos (2α－)＝cos (－2α)＝cos [2(－α)]＝1－2sin2(－α)＝1－2×()2＝.
答案：B
2．解析：由题意得α－∈(－)，而sin(α－)＝<，
故α－∈(0，)，cos (α－)＝，
故sin α＋cos α＝sin (α＋)＝cos (α－)＝.
答案：
微专题2　解三角形
保分题
1．解析：在△ABC中，若A＝，B＝，a＝3，由正弦定理＝得：
b＝＝＝＝2，
所以b＝2.
答案：B
2．解析：因为在△ABC中，cos A＝，a＝2，b＝3，
所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
12＝9＋c2－6×c，得c2－2c－3＝0，
解得c＝3，或c＝－1(舍去)．
答案：D
3．解析：因为sin2A＝sinB sin C，所以a2＝bc，
由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bc cos ＝b2＋c2－bc＝bc，
即(b－c)2＝0，得b＝c，
所以△ABC是等边三角形，∠B＝.
答案：C
提分题
[例2]　解析：(1)由正弦定理边角互化可知a cos B＋(b－c)cos A＝0化简为
sin A cos B＋(sin B－sin C)cos A＝0，
sin A cos B＋sin B cos A＝sin C cos A
即sin (A＋B)＝sin C＝sin C cos A
∵sin C≠0，∴cos A＝，
cos A＝＝ ＝，解得：bc＝1，
根据面积公式可知S＝＝＝.
(2)∵(b＋c)sin (A＋C)＝(a＋c)(sin A－sin C)，
∴由正弦定理可得：(b＋c)b＝(a＋c)(a－c)，整理可得：b2＋c2－a2＝－bc，
∴由余弦定理可得：cos A＝－，∴由A∈(0，π)，可得：A＝，
又ABC的面积为1，即bc sin ＝1，∴bc＝4，
又·()＝()·()
＝2－2＝
＝＝－
＝－·＝－bc cos A＝2.
答案：(1)A　(2)B
[巩固训练2]
1．解析：对于A，取A＝B＝C＝，则sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C，可知A错误；
对于B，由于△ABC是锐角三角形，故tan A>0，tan B>0，tan C>0，故tan A＋tan B＋tan C>0，故B正确；
对于C，锐角△ABC中，由sin A＝知cos A＝，
故tan A＝，则tan A对于D，△ABC是锐角三角形，故A＋B>，所以B>－A，故cos A＋cos B即cos A＋cos B<，即D正确．
答案：BCD
2．解析：因为m＝(2cos 2A＋3，2)，n＝(2cos A，1)，m∥n；
所以4cos A＝2cos 2A＋3＝4cos2A＋1，解得cosA＝；
cos A＝＝＝，
即＝，解得bc＝2；
又cos A＝，所以sin A＝，
所以△ABC的面积为S＝bc sin A＝.
答案：

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