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第三讲　三角函数与解三角形——大题备考
大题一般为两问：第一问一般为利用正、余弦定理实施“边角互化”求角，多与三角形的内角和定理、两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式等相结合；第二问一般与三角形的面积、周长问题相结合，有时与基本不等式相结合求三角形的周长或面积的最值等．
微专题 1　三角函数的图象与性质
保分题
1.已知函数f(x)＝sin (ωx＋)＋2sin2()－1(ω>0)的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[－，]时，求函数g(x)的值域．
2．[2022·湖南永州二模]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)；
(2)将函数y＝f(x)图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[0，]上的值域．
技法领悟
1．借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin (ωx＋φ)＋B或(y＝Acos (ωx＋φ)＋B)的形式；
2．把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin (ωx＋φ)＋B或(y＝Acos (ωx＋φ)＋B)的单调性、奇偶性、最值、对称性等问题．
微专题2　利用正弦、余弦定理解三角形　
保分题
1.[2022·全国乙卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin (A－B)＝sinBsin (C－A)．
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
(2)若a＝5，cosA＝，求△ABC的周长．
2．[2022·广东茂名二模]在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且a∶b＝2∶，2sinB＋sinA＝2.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝2，求△ABC的面积．
提分题
例1
[2022·新高考Ⅰ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值．
听课笔记：
例2
[2022·山东烟台三模]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2acosAcosC＋2ccos2A.
(1)求角A；
(2)若a＝4，求c－2b的取值范围．
听课笔记：
技法领悟
1．若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用S＝absinC型面积公式及基本不等式求解．
2．若求与三角形边长有关的表达式的最值或取值范围时，一般把边用三角形的一个角表示，利用角的范围求解．
巩固训练1
1.[2022·河北沧州二模]在△ABC中；内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(2sinA－cosA)＝asinB.
(1)求A；
(2)若a＝2，点D为BC的中点，求AD的最大值．
2．[2022·山东济南二模]已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＋C＝2B，△ABC的面积S＝a.
(1)求边c；
(2)若△ABC为锐角三角形，求a的取值范围．
第三讲　三角函数与解三角形
微专题1　三角函数的图象与性质
保分题
1．解析：(1)由题意，函数f(x)＝sin (ωx＋)＋2sin2[(ωx＋)]－1＝sin(ωx＋)－cos (ωx＋)＝2sin (ωx＋)＝2sin ωx
因为函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为，所以T＝π，可得ω＝2.
故f(x)＝2sin 2x.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，可得y＝2sin (2x－)的图象．
再把横坐标缩小为原来的，得到函数y＝g(x)＝2sin (4x－)的图象．
当x∈[－]时，4x－∈[－]，
当4x－＝－时，函数g(x)取得最小值，最小值为－2，
当4x－＝时，函数g(x)取得最大值，最大值为，
故函数g(x)的值域为[－2，].
2．解析：(1)由最大值可确定A＝2，因为＝＝，所以ω＝＝2，
此时f(x)＝2sin (2x＋φ)，代入最高点(，2)，
可得：sin (＋φ)＝1，
从而＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，结合|φ|<，于是当k＝0时，φ＝，
所以f(x)＝2sin (2x＋)．
(2)由题意，g(x)＝f(x＋)＝2sin [2(x＋)＋]＝2sin (2x＋)＝2cos 2x，
当x∈[0，]时，2x∈[0，]，则有cos 2x∈[－，1]，
所以g(x)在区间[0，]上的值域为[－1，2].
微专题2　利用正弦、余弦定理解三角形
保分题
1．解析：(1)证明：∵sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A)，
∴sin C sin A cos B－sin C cos A sin B＝sin B sin C cos A－sin Bcos C sin A，
∴sin C sin A cos B＝2sin B sin C cos A－sin B cos C sin A.
由正弦定理，得ac cos B＝2bc cos A－ab cos C.
由余弦定理，得＝b2＋c2－a2－.
整理，得2a2＝b2＋c2.
(2)由(1)知2a2＝b2＋c2.
又∵a＝5，∴b2＋c2＝2a2＝50.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即25＝50－bc，∴bc＝.
∴b＋c＝＝＝9，
∴a＋b＋c＝14.故△ABC的周长为14.
2．解析：(1)由正弦定理知：＝，则＝＝，
所以2sin B＋sin A＝4sin B＝2，则sin B＝且π>B>0，可得B＝或B＝，
又π>A>B>0，所以B＝.
(2)由题设，a＝2，则b＝，又B＝，
所以cos B＝＝＝，整理得c2－2c＋1＝0，解得c＝±1，满足题设．
由S△ABC＝ac sin B＝c，
所以，当c＝＋1时S△ABC＝1＋；当c＝－1时S△ABC＝1－.
提分题
[例1]　解析：(1)由已知条件，得sin 2B＋sin A sin 2B＝cos A＋cos A cos 2B.
所以sin 2B＝cos A＋cos A cos 2B－sin A sin 2B＝cos A＋cos (A＋2B)＝cos [π－(B＋C)]＋cos [π－(B＋C)＋2B]＝－cos (B＋C)＋cos [π＋(B－C)]＝－2cos B cos C，
所以2sin B cos B＝－2cos B cos C，
即(sin B＋cos C)cos B＝0.
由已知条件，得1＋cos 2B≠0，则B≠，
所以cos B≠0，所以sin B＝－cos C＝.
又0＜B＜，所以B＝.
(2)由(1)知sin B＝－cos C＞0，则B＝C－，
所以sin A＝sin (B＋C)＝sin (2C－)＝－cos 2C.
由正弦定理，得＝＝＝＝＝＋4sin2C－5≥2－5＝4－5，
当且仅当sin2C＝时，等号成立，所以的最小值为4－5.
[例2]　解析：(1)因为b＝2a cosA cos C＋2c cos2A，
由正弦定理得sinB＝2sin A cos A cos C＋2sin C cos2A，
即sinB＝2cos A(sin A cos C＋sin C cos A)，
即sin B＝2cos A sin (A＋C)，
因为A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B，
所以sin B＝2cos A sin B.
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
所以cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由正弦定理得＝，
所以c－2b＝(sin C－2sin B)＝[sin (π－－B)－2sin B]
＝cos B－sin B)＝8(cos B cos －cos B sin )，
所以c－2b＝8cos (B＋)．
因为B∈(0，)，所以B＋∈(，π)，
所以cos (B＋)∈(－1，)，所以c－2b∈(－8，4)．
[巩固训练1]
1．解析：(1)在△ABC中，由正弦定理得a sin B＝b sin A.
因为b(2sin A－cos A)＝a sin B，所以b(2sin A－cos A)＝b sin A.
又b≠0，所以sin A－cos A＝0，所以tan A＝.
因为△ABC中，0(2)在△ABC中，由a＝2，A＝及余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，
得4＝b2＋c2－bc，
所以b2＋c2＝bc＋4≥2bc，所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立．
又点D为BC的中点，所以
2＝()2＝＝＝≤3，
所以||max＝，
即AD的最大值为.
2．解析：(1)因为A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，所以B＝；
因为S＝ac sin B＝ac＝a，所以c＝1.
(2)在△ABC中，由正弦定理＝，
由(1)知B＝，c＝1，代入上式得：a＝＝＝＝，
因为△ABC为锐角三角形，则A＋C＝，A＝－C<，所以C∈()，
所以tan C∈(，＋∞)，
所以a＝∈(，2)．

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