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专题四立体几何
第一讲　空间几何体的表面积与体积
——小题备考
微专题1　空间几何体的表面积和体积
常考常用结论
1．柱体、锥体、台体、球的表面积公式：
①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；
②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；
③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；
④球的表面积S＝4πR2.
2．柱体、锥体和球的体积公式：
①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
②V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
③V球＝πR3.
保分题
1.[2022·山东枣庄三模]若圆锥的母线长为2，侧面积为2π，则其体积为(　　)
A．π B．π
C．π D．π
2．[2022·河北保定一模]圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为(　　)
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1 D．2∶3
3．[2022·湖北武汉二模]如图，在棱长为2的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为(　　)
A． B．
C． D．
提分题
例1 (1)[2022·河北张家口三模]如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，过A1B1的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)[2022·湖南雅礼中学二模]某圆锥高为1，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为(　　)
A．2 B．
C． D．1
听课笔记：
【技法领悟】
1．求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．
2．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体，易于求解．
巩固训练1
1.[2022·山东菏泽一模]如图1，在高为h的直三棱柱容器ABC A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC.现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为A1B1C(如图2)，则容器的高h为(　　)
A．3 B．4
C．4 D．6
2．[2022·福建福州三模]已知AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB⊥CD，O1，O分别为上、下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥A BCD的体积为18，则该圆柱的侧面积为(　　)
A．9π B．12π
C．16π D．18π
微专题2　与球有关的切、接问题
常考常用结论
1．球的表面积S＝4πR2，体积V＝πR3.
2．长方体、正方体的体对角线等于其外接球的直径．
3．n面体的表面积为S，体积为V，则内切球的半径r＝.
4．直三棱柱的外接球半径：R＝，其中r为底面三角形的外接圆半径，L为侧棱长，如果直三棱柱有内切球，则内切球半径R′＝.
5．正四面体中，外接球和内切球的球心重合，且球心在高对应的线段上，它是高的四等分点，球心到顶点的距离为外接球的半径R＝a(a为正四面体的棱长)，球心到底面的距离为内切球的半径r＝a，因此R∶r＝3∶1.
保分题
1.[2022·广东深圳二模]已知一个球的表面积在数值上是它的体积的倍，则这个球的半径是(　　)
A．2 B．
C．3 D．
2．已知正四棱锥P ABCD中，AB＝，PA＝2，则该棱锥外接球的体积为(　　)
A．4π B．
C．16π D．
3．[2022·天津红桥一模]一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、、3，则此球的体积为________．
提分题
例2 (1)[2022·江苏苏州三模]《九章算术》卷第五《商功》中，有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺．”(注：刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体)，若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的体积为(　　)立方尺
A． B．41π
C． D．3π
(2)[2022·山东泰安三模]如图，已知三棱柱ABC A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1⊥底面ABC，AC＝BC＝2，AA1＝4，点D在上底面A1B1C1(包括边界)上运动，则三棱锥D ABC的外接球表面积的最大值为(　　)
A．π B．24π
C．π D．8π
听课笔记：
【技法领悟】
1．确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系．
2．求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
3．补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体．
巩固训练2
1.已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O，球O的表面积为8π，则该圆柱的体积为(　　)
A．π B．π
C．2π D．2π
2．[2022·广东潮州二模]已知△ABC是边长为3的等边三角形，三棱锥P ABC全部顶点都在表面积为16π的球O的球面上，则三棱锥P ABC的体积的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
专题四　立体几何
第一讲　空间几何体的表面积与体积
微专题1　空间几何体的表面积和体积
保分题
1．解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则πr×2＝2π，可得r＝1，则h＝＝，
因此，该圆锥的体积为V＝πr2h＝π×12×＝π.
答案：D
2．解析：设球的半径为r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，
圆柱的侧面积＝2πr·2r＝4πr2，球的表面积为4πr2，
其比例为1∶1.
答案：A
3．解析：该正八面体是由两个同底的正四棱锥组成，且正四棱锥的底面是边长为的正方形，
棱锥的高为1，所以该正八面体的体积为2××1＝.
答案：B
提分题
[例1]　解析：(1)由题可知平面A1B1ED与棱柱上、下底面分别交于A1B1，ED，
则A1B1∥ED，ED∥AB，
显然CDE - C1A1B1是三棱台，
设△ABC的面积为1，△CDE的面积为S，三棱柱的高为h，
∴·1·h＝h(1＋S＋)，
解得＝，
由△CDE∽△CAB，可得＝＝.
(2)如图，截面为△PAB，设C为AB中点，设OC＝x，x∈[0，)，
则AB＝2，PC＝，
则截面面积S＝×2＝，
则当x2＝1时，截面面积取得最大值为2.
答案：(1)D　(2)A
[巩固训练1]
1．解析：在图1中V水＝×2×2×2＝4，
在图2中，V水＝＝×2×2×h－×2×2×h＝h，
∴h＝4，∴h＝3.
答案：A
2．解析：分别过A，B作圆柱的母线AE，BF，连接CE，DE，CF，DF，设圆柱的底面半径为r，
则三棱锥A - BCD的体积为两个全等四棱锥C - ABFE减去两个全等三棱锥A - CDE，
即2××r×2r×r－2××r××2r×r＝r3＝18，则r＝3，圆柱的侧面积为2πr×r＝18π
答案：D
微专题2　与球有关的切、接问题
保分题
1．解析：设球的半径为R，则根据球的表面积公式和体积公式，
可得，4πR2＝πR3×，化简得R＝.
答案：D
2．解析：正方形ABCD的对角线长＝2，
正四棱锥的高为＝3，
设外接球的半径为R，则(3－R)2＋()2＝R2 R＝2，
所以外接球的体积为×23＝.
答案：B
3．解析：长方体外接球的直径为＝2，所以外接球半径为，所以球的体积为×()3＝4π.
答案：4π
提分题
[例2]　解析：(1)作出图象如图所示：
由已知得球心在几何体的外部，
设球心到几何体下底面的距离为x，
则R2＝x2＋＝(x＋1)2＋()2，
解得x＝2，∴R2＝，
∴该球体的体积V＝＝.
(2)因为△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝2，
所以△ABC的外接圆的圆心为AB的中点O1, 且AO1＝，
连接O1与A1B1的中点E，则O1E∥AA1，所以O1E⊥平面ABC，
设球的球心为O，由球的截面性质可得O在O1E上，
设OO1＝x，DE＝t(0≤t≤)，半径为R，
因为OA＝OD＝R，所以＝，
所以t2＝8x－14，又0≤t≤，
所以≤x≤2，
因为R2＝2＋x2，所以≤R2≤6，
所以三棱锥D－ABC的外接球表面积的最大值为24π.
答案：(1)C　(2)B
[巩固训练2]
1．解析：设外接球的半径为R，圆柱底面圆的半径为r，因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高h＝2r，由球O的表面积S＝4πR2＝8π，得R＝，又R＝＝r，得r＝1，所以圆柱的体积V＝πr2·2r＝2πr3＝2π.
答案：C
2．解析：球O的半径为R，则4πR2＝16π，解得：R＝2，
由已知可得：S△ABC＝×32＝，其中AE＝AD＝，
球心O到平面ABC的距离为＝1，
故三棱锥P - ABC的高的最大值为3，
体积最大值为S△ABC·3＝.
答案：C

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