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第二讲　统计、统计案例与概率——大题备考
　统计、统计案例与概率的大题一般是以离散型随机变量的分布列与数学期望为主，常与直方图、线性回归、独立性检验等知识综合考查．
微专题1　离散型随机变量的分布列
保分题　
[2022·全国甲卷]甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
提分题
例1
[2022·山东临沂二模]甲、乙两位同学进行摸球游戏，盒中装有6个大小和质地相同的球，其中有4个白球，2个红球．
(1)甲、乙先后不放回地各摸出1个球，求两球颜色相同的概率；
(2)甲、乙两人先后轮流不放回地摸球，每次摸1个球，当摸出第二个红球时游戏结束，或能判断出第二个红球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时甲、乙两人摸球的总次数为X，求X的分布列和期望．
听课笔记：
技法领悟
1．明确随机变量的可能有哪些，且每一个取值所表示的意义．
2．要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．
巩固训练1
[2022·山东济南二模]从某企业的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求这100件产品质量指标值的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)；
(2)已知某用户从该企业购买了3件该产品，用X表示这3件产品中质量指标值位于[35，45]内的产品件数，用频率代替概率，求X的分布列．
微专题2　决策问题　
保分题
[2022·湖北武汉模拟]甲，乙两队进行篮球比赛，已知甲队每局赢的概率为p(0方案一：共比赛三局，甲队至少赢两局算甲队最终获胜；
方案二：共比赛两局，甲队至少赢一局算甲队最终获胜．
(1)当p＝时，若甲队选择方案一，求甲队最终获胜的概率；
(2)设方案一、方案二甲队最终获胜的概率分别为P1，P2，讨论P1，P2的大小关系；
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．
提分题
例2
[2022·湖南衡阳二模]随着近期我国不断走向转型化进程以及社会就业压力的不断加剧，创业逐渐成为在校大学生和毕业大学生的一种职业选择方式．但创业过程中可能会遇到风险，有些风险是可以控制的，有些风险是不可控制的，某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策：已知创业项目甲成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金20万元；创业项目乙成功的概率为P0(0(1)大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为X(单位：万元)，若X≤30的概率为，求P0的大小；
(2)若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的数学期望最大？
听课笔记：
技法领悟
均值能反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两个随机变量均值相同，则可通过分析两个变量的方差来作出决策．
巩固训练2
[2022·广东湛江二模]某大学为了鼓励大学生自主创业，举办了“校园创业知识竞赛”，该竞赛决赛局有A、B两类知识竞答挑战，规则为进入决赛的选手要先从A、B两类知识中选择一类进行挑战，挑战成功才有对剩下的一类知识挑战的机会，挑战失败则竞赛结束，第二类挑战结束后，无论结果如何，竞赛都结束．A、B两类知识挑战成功分别可获得2万元和5万元创业奖金，第一类挑战失败，可得到2000元激励奖金．已知甲同学成功晋级决赛，面对A、B两类知识的挑战成功率分别为0.6、0.4，且挑战是否成功与挑战次序无关．
(1)若记X为甲同学优先挑战A类知识所获奖金的累计总额(单位：元)，写出X的分布列；
(2)为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，请帮甲同学制定挑战方案，并给出理由．
微专题3　概率与线性回归、独立性检验的综合
保分题　
[2022·广东佛山三模]为了调查高一年级选科意愿，某学校随机抽取该校100名高一学生进行调查，拟选报物理和历史的人数统计如下表：
物理(人) 历史(人)
男 50 5
女 25 20
(1)能否有99%的把握认为选科与性别有关？
(2)若用样本频率作为概率的估计值，在该校高一学生中任选3人，记ξ为三人中选物理的人数，求ξ的分布列和数学期望．
附：χ2＝.
提分题
例3
[2022·山东德州二模]2021年12月17日，工信部发布的《“十四五”促进中小企业发展规划》明确提出建立“百十万千”的中小企业梯度培育体系，引导中小企业走向“专精特新”“小巨人”“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化、精细化、特色化、新颖化优势的中小企业．下表是某地各年新增企业数量的有关数据：
年份(年) 2017 2018 2019 2020 2021
年份代码(x) 1 2 3 4 5
新增企业数量(y) 8 17 29 24 42
(1)请根据上表所给的数据，求出y关于x的回归直线方程，并预测2023年此地新增企业的数量；
(2)若在此地进行考察，考察企业中有4个为“专精特新”企业，3个为普通企业，现从这7个企业中随机抽取3个，用X表示抽取的3个为“专精特新”企业个数，求随机变量X的分布列与期望．
参考公式：回归方程＝x中斜率和截距最小二乘法估计公式分别为＝，＝
听课笔记：
技法领悟
1．对于线性回归、独立性检验问题，只要熟悉公式，认真计算，就能得分．
2．对于概率问题，要弄清概率模型，正确区分二项分布与超几何分布．
巩固训练3
[2022·辽宁鞍山二模]击鼓传花，也称传彩球，是中国古代传统民间酒宴上的助兴游戏，属于酒令的一种，又称“击鼓催花”，在唐代时就已出现．杜牧《羊栏浦夜陪宴会》诗句中有“球来香袖依稀暖，酒凸觥心泛艳光”，可以得知唐代酒宴上击鼓传花助兴的情景．游戏规则为：鼓响时，开始传花(或一小物件)，鼓响时众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中(或其序位前)，谁就上台表演节目(多是唱歌、跳舞、说笑话；或回答问题、猜谜、按纸条规定行事等)．某单位组织团建活动，9人一组，共9组，玩击鼓传花，组号x(前五组)与组内女性人数y统计结果如表：
x 1 2 3 4 5
y 2 2 3 4 4
若女性人数y与组号x(组号变量x依次为1，2，3，4，5，…)具有线性相关关系．
(1)请求出女性人数y关于组号x的回归直线方程；(参考公式＝＝)
(2)从前5组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于3人的有X组，求X的分布列与期望．
第二讲　统计、统计案例与概率
微专题1　离散型随机变量的分布列
保分题
解析：(1)设三个项目比赛中甲学校获胜分别为事件A，B，C，易知事件A，B，C相互独立．甲学校获得冠军，对应事件A，B，C同时发生，或事件A，B，C中有两个发生，故甲学校获得冠军的概率为
p＝P(ABC＋BC＋AC＋AB)
＝P(ABC)＋P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)
＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04
＝0.6.
(2)由题意得，X的所有可能取值为0，10，20，30.
易知乙学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.6，0.2，则
P(X＝0)＝(1－0.5)×(1－0.6)×(1－0.2)＝0.16，
P(X＝10)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.2)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.2)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.2＝0.44，
P(X＝20)＝0.5×0.6×(1－0.2)＋0.5×(1－0.6)×0.2＋(1－0.5)×0.6×0.2＝0.34，
P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06，
所以X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
则E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.
提分题
[例1]　解析：(1)两球颜色相同分为都是红球或白球，其概率为p＝＝；
(2)依题意X＝2，3，4，5，
P(X＝2)＝＝，
X＝3，就是前2个一个是红球，一个是白球，第3个是红球，P(X＝3)＝＝，
X＝4，就是前3个有2个白球一个红球，第4个是红球，或前四个全是白球，
P(X＝4)＝＝，
X＝5，分为前4个球中有3个白球1个红球，第5个是红球，或者是前4个球中3个白球一个红球，
第5个是白球P(X＝5)＝＝，
分布列为：
X 2 3 4 5
P
E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
[巩固训练1]
解析：(1)由已知得：＝10×0.015×10＋20×0.040×10＋30×0.025×10＋40×0.020×10＝25.
(2)因为购买一件产品，其质量指标值位于[35，45]内的概率为0.2，
所以X～B(3，0.2)，所以X＝0，1，2，3.
P(X＝0)＝(1－0.2)3＝0.512，
P(X＝1)＝×0.2×(1－0.2)2＝0.384，
P(X＝2)＝×0.22×(1－0.2)＝0.096，
P(X＝3)＝0.23＝0.008，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.512 0.384 0.096 0.008
微专题2　决策问题
保分题
解析：(1)设甲队选择方案一最终获胜为事件A，
P(A)＝×()2×＋()3＝.
(2)若甲队选择方案一，则甲队最终获胜的概率为P1＝p2(1－p)＋p3＝3p2－2p3，
若甲队选择方案二，则甲队最终获胜的概率为P2＝p(1－p)＋p2＝2p－p2，
P2－P1＝2p3－4p2＋2p＝2p(p－1)2，
因为0P1.
(3)在方案一中，若甲队第一局赢，则甲队最终获胜概率会变大，此时继续比赛即为方案二，故方案二甲最终获胜的概率会变大．
提分题
[例2]　解析：(1)由已知得张某创业成功的概率为，李某创业成功的概率为P0，且两人创业成功与否互不影响．记“这2人的累计获得奖金为X≤30(单位：万元)”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝50”，
因为P(X＝50)＝P0，所以P(A)＝1－P(X＝50)＝1－P0＝，求得P0＝.
(2)设两位大学毕业生都选择创业项目甲且创业成功的次数为X1，都选择创业项目乙且创业成功的次数为X2，则这两人选择项目甲累计获奖得奖金的数学期望为E(20X1)，选择项目乙累计获奖得奖金的数学期望为E(30X2)．
由已知可得，X1～B(2，)，X2～B(2，P0)，所以E(X1)＝，E(X2)＝2P0，
从而E(20X1)＝20E(X1)＝20×＝，
E(30X2)＝30E(X2)＝60P0.
若E(20X1)>E(30X2)，则>60P0，解得0若E(20X1)若E(20X1)＝E(30X2)，则＝60P0，解得P0＝.
综上所述，当0当当P0＝时，他们都选择项目甲或项目乙进行创业时，累计得到奖金的数学期望相等．
[巩固训练2]
解析：(1)由题意可知，X的可能取值有2 000、20 000、70 000，
P(X＝2 000)＝1－0.6＝0.4，P(X＝20 000)＝0.6×(1－0.4)＝0.36，
P(X＝70 000)＝0.6×0.4＝0.24，
所以，随机变量X的分布列如下表所示：
X 2 000 20 000 70 000
P 0.4 0.36 0.24
(2)记Y为甲同学优先挑战B类知识所获奖金累计总额，
甲同学优先挑战A类知识所获奖金累计总额的期望为E(X)，优先挑战B类知识所获奖金累计总额的期望为E(Y)，
由题意可知，随机变量Y的可能取值有：2 000、50 000、70 000，
则P(Y＝2 000)＝1－0.4＝0.6，P(Y＝50 000)＝0.4×(1－0.6)＝0.16，
P(Y＝70 000)＝0.4×0.6＝0.24，
所以，E(Y)＝2 000×0.6＋50 000×0.16＋70 000×0.24＝26 000(元)，
E(X)＝2 000×0.4＋20 000×0.36＋70 000×0.24＝24 800(元)，
所以，E(X)所以，为了使甲同学可获得奖金累计总额期望更大，应该优先选择挑战B类知识．
微专题3　概率与线性回归、独立性检验的综合
保分题
解析：（1）由表中数据可知，
χ2＝≈16.498，
因为16.498>6.635，
故有99%的把握认为选科与性别有关．
（2）依题意可知该校高一学生选物理的频率为＝，
由题意可得ξ～B，则ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
又P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，
∴ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2 3
P
所以ξ的期望是E（ξ）＝3×＝.
提分题
[例3]　解析：（1）＝＝3，
＝
=（－2）×（－16）＋（－1）×（－7）＋0×5＋1×0＋2×18＝75，
4＋1＋0＋1＋4＝10，
所以===7.5,=，
所以＝1.5＋7.5x.
2023年，即当x＝7时，由回归直线方程可得＝54，
所以估计2023年此地新增企业的数量为54家．
（2）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，
因为P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
[巩固训练3]
解析：（1）由题可得＝×（1＋2＋3＋4＋5）＝3，
＝＝3
＝51，＝12＋22＋32＋42＋52＝55，
则＝＝0.6，
＝－＝3－0.6×3＝1.2，
所以＝0.6x＋1.2
（2）由题可知X的所有可能取值为1，2，3，
P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，
则X的分布列为
X 1 2 3
P
∴E（X）＝1×＋2×＋3×＝.

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