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第三讲　圆锥曲线——大题备考
微专题1　直线与圆锥曲线的位置关系
　
保分题
已知抛物线y2＝2px(p>0)的顶点为O，焦点坐标为.
(1)求抛物线方程；
(2)过点(1，0)且斜率为1的直线l与抛物线交于P，Q两点，求线段|PQ|的值．
提分题
例1[2022·北京卷]已知椭圆E：＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，焦距为2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P(－2，1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当|MN|＝2时，求k的值．
听课笔记：
技法领悟
解决直线与圆锥曲线的问题时要注意基本方法的应用．如联立消元、根与系数的关系、弦长公式、中点弦中的点差法等．
巩固训练1
已知双曲线E：x2－＝1(b>0)的离心率为2.
(1)求双曲线E的方程；
(2)设点P(0，－3)，过点Q(0，1)的直线l交E于不同的两点A，B，求直线PA，PB的斜率之和．
微专题2　定点、定值问题
提分题
例2[2022·湖北八市3月联考]设椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，点P是椭圆C上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率e＝，短轴长为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线AD与直线BP交于点M，直线DP与x轴交于点N，求证：直线MN恒过某定点，并求出该定点．
听课笔记：
例3 [2022·山东临沂三模]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，A为C的左顶点，且＝－5.
(1)求C的方程；
(2)若动直线l与C恰有1个公共点，且与C的两条渐近线分别交于点M、N.求证：点M与点N的横坐标之积为定值．
听课笔记：
技法领悟
1．直线过定点问题的解题策略：
(1)用参数表示出直线的方程，根据直线方程的特征确定定点的位置．
(2)从特殊点入手，先确定定点，再证明该定点符合题目条件．
2．圆锥曲线中定值问题的解题策略：
(1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关；
(2)采用推理、计算、消元得定值．消元的常用方法为整体消元、选择消元、对称消元等．
巩固训练2
1.[2022·河北石家庄二中模拟]已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．
2．[2022·湖南怀化一模]如图，矩形ABCD的长AB＝2，宽BC＝，以A、B为左右焦点的椭圆M：＝1(a>b>0)恰好过C、D两点，点P为椭圆M上的动点．
(1)求椭圆M的方程，并求·的取值范围；
(2)若过点B且斜率为k的直线交椭圆于M、N两点(点C与M、N两点不重合)，且直线CM、CN的斜率分别为k1、k2，试证明k1＋k2－2k为定值．
微专题3　最值、范围问题
提分题
例4 [2022·全国甲卷]设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3.
(1)求C的方程；
(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．
听课笔记：
例5已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(，0)，过点F与x轴垂直的直线l1与双曲线C交于M，N两点，且|MN|＝4.
(1)求C的方程；
(2)过点A(0，－1)的直线l2与双曲线C的左、右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若|GH|＝λ|DE|，求实数λ的取值范围．
听课笔记：
技法领悟
1．圆锥曲线中最值问题的解题策略
把要求最值的几何量或代数表达式表示为某一个参数的函数(解析式)，利用函数的单调性、不等式知识求最值．
2．圆锥曲线中范围问题的解题策略
(1)函数法：将要求的量用已知参数表示出来，转化为关于这个参数的值域问题，利用函数性质、配方法、基本不等式法求解．
(2)不等式法：构造关于要求的参数的不等式，通过解不等式求范围．
巩固训练3
1.[2022·江苏苏州三模]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)过点(2，1)，渐近线方程为y＝±x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．
2．[2022·山东肥城模拟]已知椭圆C：＝1(a>b>0)，四点P1()，P2(0，1)，P3(1，)，P4(1，－)中恰有三点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过点Q(2，0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求△OMN面积的取值范围．
第三讲　圆锥曲线
微专题1　直线与圆锥曲线的位置关系
保分题
解析：(1)∵y2＝2px焦点坐标为，
∴＝，p＝1，
∴抛物线的方程为y2＝2x.
(2)设直线l方程为x＝y＋1，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立，
消元得y2－2y－2＝0，
∴Δ＝12>0，y1＋y2＝2，y1y2＝－2，
∴|PQ|＝|y1－y2|
＝·
＝·＝2.
∴线段|PQ|的值为2.
提分题
[例1]　解析：(1)由题意，得解得
∴椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由题意可设直线BC的方程为y－1＝k(x＋2)．
联立得方程组
消去y并整理，得(4k2＋1)x2＋(16k2＋8k)x＋16k2＋16k＝0，
则Δ＝(16k2＋8k)2－4(4k2＋1)(16k2＋16k)>0，
解得k<0.
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝.①
∴直线AB的方程为y＝x＋1，则直线AB与x轴交点M的坐标为(，0)．
同理得点N的坐标为(，0)．
∵|MN|＝2，∴||＝2，
∴|x1－x2|＝|k[x1x2＋2(x1＋x2)＋4]|，
∴＝|k[x1x2＋2(x1＋x2)＋4]|.②
将①代入②，得(－)2－＝k2[＋4]2.
整理，得k2＋4k＝0.
又k<0，∴k＝－4.
[巩固训练1]
解析：(1)由x2－＝1，则a＝1，
因为e＝＝2，解得c＝2，
所以b2＝c2－a2＝3，
所以双曲线E的方程为x2－＝1.
(2)过点Q(0，1)的直线l斜率显然存在，
设l的方程为：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将l的方程代入双曲线E的方程并整理得(3－k2)x2－2kx－4＝0，
依题意3－k2≠0，且Δ>0，
所以k2<4且k2≠3，
因此，可得x1＋x2＝，x1x2＝.
∴kPA＋kPB＝
＝
＝2k＋
＝2k＋
＝2k－2k＝0.
微专题2　定点、定值问题
提分题
[例2]　解析：(1)由已知可得，解得，
故椭圆C的方程为＋y2＝1；
(2)设直线BP的方程为y＝k1(x－2)(k1≠0且k1≠±)，
直线DP的方程为y＝k2x＋1(k2≠0且k2≠±)，
则直线DP与x轴的交点为N，
直线AD的方程为y＝x＋1，则直线BP与直线AD的交点为M，
将y＝k2x＋1代入方程＋y2＝1，得＋1)x2＋8k2x＝0，
则点P的横坐标为xP＝，点P的纵坐标为yP＝＋1＝，
将点P的坐标代入直线BP的方程y＝k1(x－2)，
整理得(1＋2k2)(1－2k2)＝－2k1(1＋2k2)2，
∵1＋2k2≠0，∴2k1＋4k1k2＝2k2－1，
由M，N点坐标可得直线MN的方程为：
y＝(x＋)＝＝，
即y＝(x－2)＋1，
则直线MN过定点(2，1)．
[例3]　解析：(1)易知点A(－a，0)、F1(－c，0)、＝＝(c＋a，0)，
所以，，解得a＝2，c＝3，则b＝＝，
所以，双曲线C的方程为＝1.
(2)分以下两种情况讨论：
①当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝±2，此时点M、N的横坐标之积为22＝4；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，
由题意可知直线l不与双曲线C的渐近线平行或重合，即k≠±，
设点M(x1，y1)、N(x2，y2)，
联立可得(5－4k2)x2－8kmx－4m2－20＝0，
则Δ＝64k2m2＋4(5－4k2)(4m2＋20)＝0，可得4k2＝m2＋5，则m≠0，
不妨设点M、N分别为直线l与直线y＝x、y＝－x的交点，
联立可得x1＝，联立可得x2＝－，
此时，x1x2＝＝＝＝4.
综上所述，点M与点N的横坐标之积为定值．
[巩固训练2]
1．解析：(1)P点坐标代入抛物线方程得4＝2p，
∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)证明：设AB：x＝my＋t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2－4my－4t＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t，
所以Δ＞0 16m2＋16t＞0 m2＋t＞0，
kPA＝＝＝，同理：kPB＝，
由题意：＝2，
∴4(y1＋y2＋4)＝2(y1y2＋2y1＋2y2＋4)，
∴y1y2＝4，
∴－4t＝4，
∴t＝－1，
故直线AB恒过定点(－1，0)．
2．解析：(1)由题意得c＝.
又点C()在椭圆M：＝1上，所以＝1，
且a2－b2＝3，所以a＝2，b＝1，故椭圆M的方程为＋y2＝1.
设点P(x，y)，由A(－，0)，B(，0)得·＝x2－3＋y2＝x2－3＋1－＝－2.
又x∈[－2，2]，所以·∈[－2，1].
(2)设过点B且斜率为k的直线方程为y＝k(x－)，
联立椭圆M方程得(1＋4k2)x2－8k2x＋12k2－4＝0.
设两点M(x1，y1)、N(x2，y2)，故x1＋x2＝，x1x2＝.
因为k1＋k2＝
＝，
其中y1x2＋x1y2＝2kx1x2－k(x1＋x2)＝，y1＋y2＝，
故k1＋k2＝＝2k－，
所以k1＋k2－2k＝－为定值．
微专题3　最值、范围问题
提分题
[例4]　解析：(1)方法一　由题意可知，当x＝p时，y2＝2p2.
设M点位于第一象限，则点M的纵坐标为p，|MD|＝p，|FD|＝.
在Rt△MFD中，|FD|2＋|MD|2＝|FM|2，即＝9，解得p＝2.
所以C的方程为y2＝4x.
方法二　抛物线的准线方程为x＝－.
当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p.
此时|MF|＝p＋＝3，所以p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，则k1＝tan α，k2＝tan β.
由题意可得k1≠0，k2≠0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，y1＞0，y2＜0，A(x3，y3)，B(x4，y4)，y3＜0，y4＞0.
设直线AB的方程为y＝k2(x－m)，m为直线AB与x轴交点的横坐标，直线MN的方程为y＝k1(x－1)，直线MD的方程为y＝k3(x－2)，直线ND的方程为y＝k4(x－2)．
联立得方程组
所以＝0，则x1x2＝1.
联立得方程组
所以m2＝0，则x3x4＝m2.
联立得方程组
所以＝0，则x1x3＝4.
联立得方程组
所以＝0，则x2x4＝4.
所以M(x1，2)，N()，A()，B(4x1，4)．
所以k1＝，k2＝，k1＝2k2，
所以tan (α－β)＝＝＝＝.
因为k1＝2k2，所以k1与k2同号，所以α与β同为锐角或钝角．
当α－β取最大值时，tan (α－β)取得最大值．所以k2＞0，且当＝2k2，即k2＝时，α－β取得最大值．易得x3x4＝＝m2，又易知m＞0，所以m＝4.
所以直线AB的方程为x－y－4＝0.
[例5]　解析：(1)由题意得，
解得
故C的方程为x2－＝1.
(2)显然直线l2斜率存在，设直线l2的方程为y＝kx－1，D(x1，y1)，E(x2，y2)，
联立，得(2－k2)x2＋2kx－3＝0，
因为l2与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点，
故，
解得－此时有x1＋x2＝.
|DE|＝·|x1－x2|＝·，
＝·，
由，解得xG＝，同理可得xH＝，
所以|GH|＝·
＝.
因为|GH|＝λ|DE|，故λ＝＝.
因为－故实数λ的取值范围是.
[巩固训练3]
1．解析：(1)由题设可知，解得，
则C：－y2＝1.
(2)设点M的横坐标为xM>0，
当直线l斜率不存在时，则直线l：x＝2，
易知点M到y轴的距离为xM＝2﹔
当直线l斜率存在时，设l：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立，整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0，
Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0，
整理得4k2＝m2＋1，
则x1＋x2＝－＝－＝－，则xM＝＝－>0，即km<0，
则＝＝4＋>4，即xM>2，
∴此时点M到y轴的距离大于2；
综上所述，点M到y轴的最小距离为2.
2．解析：(1)由对称性可知：P3，P4都在椭圆C上，对于椭圆在第一象限的图象上的点(x，y)，易知y随x的增大而减小，故P1，P2中只有P2符合．所以P2，P3，P4三点在椭圆上，故b＝1，将P3代入椭圆方程得a＝，所以椭圆方程为：＋y2＝1.
(2)由已知直线l斜率不为0，故设方程为：x＝my＋2，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，联立方程得：＋4my＋2＝0，
∴Δ＝16m2－8(m2＋2)＝8(m2－2)>0，即m2>2，
y1＋y2＝－，y1y2＝，
S△OMN＝·2·|y1－y2|＝|y1－y2|
＝＝；
令＝t>0，则m2＝t2＋2，
令S△OMN＝＝＝，当且仅当t＝2，m2＝6时取等号，
∴△OMN面积的取值范围为(0，].

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