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专题七函数与导数
第一讲　函数——小题备考
微专题1　函数的图象与性质　
常考常用结论
1．单调性的常用结论
(1)对于f(x)±g(x)增减性质进行判断：增＋增＝增，减＋减＝减．
(2)对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断．
2．奇偶性的三个常用结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
3．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
4．对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．
5．函数图象的变换规则
(1)平移变换将y＝f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到y＝f(x＋a)的图象；
将y＝f(x)的图象向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位长度得到y＝f(x)＋a的图象．
(2)对称变换
①作y＝f(x)关于y轴的对称图象得到y＝f(－x)的图象；
②作y＝f(x)关于x轴的对称图象得到y＝－f(x)的图象；
③作y＝f(x)关于原点的对称图象得到y＝－f(－x)的图象；
④将y＝f(x)在x轴下方的图象翻折到上方，与y＝f(x)在x轴上方的图象，合起来得到y＝|f(x)|的图象；
⑤将y＝f(x)在y轴左侧部分去掉，再作右侧关于y轴的对称图象，合起来得到y＝f(|x|)的图象．
保分题
1.[2022·广东广州二模]下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝B．y＝|x|－x2
C．y＝|x|－1D．y＝x－
2．[2022·辽宁辽阳二模]函数f(x)＝xlg (x2＋1)＋2x的部分图象大致为(　　)
3．[2022·山东济宁一模]定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，则f(2022)＝(　　)
A．0B．1
C．－1D．2022
提分题
例1
(1)[2022·河北沧州二模]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)，且在区间(1，＋∞)上单调递增，则满足f(1－x)>f(x＋3)的x的取值范围为(　　)
A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1，1) D．(－∞，1)
(2)[2022·新高考Ⅱ卷]已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则＝(　　)
A．－3B．－2
C．0D．1
听课笔记：
技法领悟
1．根据函数解析式判断函数图象的策略
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
2．利用函数性质解题的策略
(1)具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．
(2)利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．
巩固训练1
1.[2022·辽宁葫芦岛一模]函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递增，且为奇函数，若f(2)＝1，则满足－1≤f(x＋3)≤1的x的取值范围是(　　)
A．[－3，3] B．[－2，2]
C．[－5，－1] D．[1，5]
2．[2022·山东枣庄三模]已知函数f(x＋1)为偶函数，当x∈(0，1)时，f(x)＝2－x，则f(log23)的值为________．
微专题2　基本初等函数　
常考常用结论
1．指数与对数式的七个运算公式
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(4)loga＝logaM－logaN；
(5)logaMn＝nlogaM；
(6)alogaN＝N；
(7)logaN＝.
注：a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.
2．画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)；在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.
3．换底公式的两个重要结论
(1)logab＝；＝logab.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
4．在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只在第一、四象限．
保分题
1.[2022·山东济宁二模]设集合A＝{x|log0.5(x－1)>0}，B＝{x|2x<4}，则(　　)
A．A＝BB．A B
C．A＝BD．A＝B
2．[2022·山东威海三模](多选)若a>b>1，0A．amC．logma3．[2022·广东深圳一模]已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex，则f(ln)＝________．
提分题
例2
(1)[2022·广东汕头二模](多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，则下列结论正确的是(　　)
A．ab＋bc＝2acB．ab＋bc＝ac
C．4b·9b＝4a·9cD．＝
(2)[2022·山东潍坊二模]已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则以下说法正确的是(　　)
A．a＋b<0B．ab<－1
C．00
听课笔记：
技法领悟
1．三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较
(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；
(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；
(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象或作差(作商)比较大小．
2．对指数型、对数型函数的图象与性质问题(单调性、大小比较、零点等)的求解往往利用指数、对数函数的图象，通过平移、对称变换得到图象，然后数形结合使问题得以解决．
巩固训练2
1.[2022·山东青岛一模]设f(x)是定义域为R的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若a＝)，b＝)，c＝)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>b>aB．b>c>a
C．a>c>bD．a>b>c
2．[2022·河北保定一模](多选)已知a、b分别是方程2x＋x＝0，3x＋x＝0的两个实数根，则下列选项中正确的是(　　)
A．－1C．b·3a微专题3　函数的应用
常考常用结论
1．函数的零点及其与方程根的关系
对于函数f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
2．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
保分题
1.函数f(x)＝ex＋2x－6的零点所在的区间是(　　)
A．(3，4) B．(2，3)
C．(1，2) D．(0，1)
2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%.若杂质减少到原来的10%以下，则至少需要过滤(　　)
A．2次B．3次
C．4次D．5次
3．[2022·北京卷]若函数f(x)＝Asinx－cosx的一个零点为，则A＝________；f＝________．
提分题
例3
(1)[2022·广东惠州一模]中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2(1＋)，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了(附：lg2≈0.3010)(　　)
A．20%B．23%
C．28%D．50%
(2)[2022·河北石家庄二中模拟](多选)设函数f(x)＝，若关于x的方程f(x)＝a(a∈R)有四个实数解x1，x2，x3，x4，且x1A．0B．1
C．99D．100
听课笔记：
技法领悟
1．已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法
(1)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决．
2．解决函数实际应用题要认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．
巩固训练3
1.[2022·湖南永州二模]在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗(称为接种率)，那么1个感染者传染人数为(N－V)．已知某种传染病在某地的基本传染数R0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为(　　)
A．45%B．55%
C．65%D．75%
2．已知函数f(x)＝，若g(x)＝f(x)－a有4个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(0，1]
C．[0，1] D．[1，＋∞)
专题七　函数与导数
第一讲　函数
微专题1　函数的图象与性质
保分题
1．解析：对A：易知y＝是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，故错误；
对B：易知y＝|x|－x2是偶函数，当x>0时，y＝x－x2，
其在单调递增，在单调递减，故错误；
对C：易知y＝|x|－1是偶函数，当x>0时，y＝x－1是单调增函数，故正确；
对D：易知y＝x－是奇函数，故错误．
答案：C
2．解析：因为f(x)＝x lg (x2＋1)＋2x，定义域为R，又f(－x)＝－x lg (x2＋1)－2x＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，排除C；
当x>0时，x2＋1>1，lg (x2＋1)>0，则f(x)>0且f(x)单调递增，排除B，D.
答案：A
3．解析：因为f(x－2)＝－f(x)，可得f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)的周期为4，
函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
所以f(2)＝－f(0)＝0，
f(2 022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝0.
答案：A
提分题
[例1]　解析：(1)因为函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，
又f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以在(－∞，1)上单调递减，
因为f(1－x)>f(x＋3)，|(1－x)－1|>|(x＋3)－1|，
即|－x|>|x＋2|，平方后解得x<－1.
所以x的取值范围为(－∞，－1)．
(2)令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)．故f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)　①，f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)　②.①＋②，得f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x)的周期为6.令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，所以f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(3)－f(2)＝－2－(－1)＝－1，f(5)＝f(4)－f(3)＝－1－(－2)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝1－(－1)＝2.
所以＝3[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(19)＋f(20)＋f(21)＋f(22)＝3×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＝－3.故选A.
答案：(1)B　(2)A
[巩固训练1]
1．解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(2)＝1，
∴f(－2)＝－1，
则－1≤f(x＋3)≤1可化为：f(－2)≤f(x＋3)≤f(2)，
∵f(x)在(－∞，＋∞)单调递增，∴－2≤x＋3≤2，
解得：－5≤x≤－1，
∴x的取值范围为[－5，－1].
答案：C
2．解析：因为函数f(x＋1)为偶函数，所以函数f(x＋1)图象关于x＝0对称，
所以函数f(x)图象关于x＝1对称，即f(2－x)＝f(x)，
因为x∈(0，1)时，f(x)＝2－x，
所以f(log23)＝f(2－log23)＝f(log2)＝2－log2＝.
答案：
微专题2　基本初等函数
保分题
1．解析：因为A＝{x|log0.5(x－1)>0}＝{x|1所以A B且A≠B，所以A错，B错，
A＝{x|1A＝{x|x<2}＝B，D对．
答案：D
2．解析：对于A，∵幂函数y＝xm(0b>1可知am>bm，故A错误；
对于B，∵指数函数y＝mx(0∴根据a>b>1可知ma对于C，∵对数函数y＝logmx(0b>1可知logma对于D，由C可知logma，即logam>logbm，故D错误．
答案：BC
3．解析：由题设，f(ln )＝f(－ln 2)＝－f(ln 2)，又ln 2>0，
所以f(ln )＝－eln 2＝－2.
答案：－2
提分题
[例2]　解析：(1)设4a＝6b＝9c＝t>1，则a＝log4t，b＝log6t，c＝log9t，
所以＝＝
＝＝＝＝＝2，
即＝2，所以＝，所以＝，故D正确；
由＝2，所以ab＋bc＝2ac，故A正确，B错误；
因为4a·9c＝4a·4a＝(4a)2，4b·9b＝(4×9)b＝(62)b＝(6b)2，
又4a＝6b＝9c，所以(4a)2＝(6b)2，即4b·9b＝4a·9c，故C正确．
(2)由图象可知f(x)在定义域内单调递增，所以a>1，
令f(x)＝loga(x－b)＝0，即x＝b＋1，所以函数f(x)的零点为b＋1，结合函数图象可知0因此a＋b>0，故A错误；
－a1，所以－a<－1，因此ab<－1不一定成立，故B错误；
因为a－1因为0<|b|<1，所以loga|b|答案：(1)ACD　(2)C
[巩固训练2]
1．解析：依题意f(x)是定义域为R的偶函数，
a＝f(log)＝)＝f(－log23)＝f(log23)，
b＝f(log＝＝f(－log32)＝f(log32)，
c＝)＝)，
log23>log22＝1，
23＝)3＝，
1＝＝，
<3－1＝，
由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以a>b>c.
答案：D
2．解析：函数y＝2x，y＝3x，y＝－x在同一坐标系中的图象如图：
所以－1所以2a<2b，3a<3b，0<－b<－a，
所以－b·2a<(－a)·2b，－b·3a<(－a)·3b，
所以a·2ba·3b.
答案：BD
微专题3　函数的应用
保分题
1．解析：函数f(x)＝ex＋2x－6 是R上的连续增函数，
∵f(1)＝e－4<0，f(2)＝e2－2>0，
可得f(1)f(2)<0，
所以函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)．
答案：C
2．解析：由题意得<，n为正整数，则n最小取4.
答案：C
3．解析：由题意可知f＝0，即A sin cos ＝0，∴A×＝0，∴A＝1，∴f(x)＝sin x－cos x＝2sin (x－)，∴f＝2sin ()＝2sin ＝－2sin ＝－2×＝－.
答案：1　－
提分题
[例3]　解析：(1)将信噪比从1 000提升至5 000时，C大约增加了
＝≈＝＝≈0.23＝23%.
(2)如图所示：
因为关于x的方程f(x)＝a(a∈R)有四个实数解x1，x2，x3，x4，且x1所以0y＝x2＋10x＋1的对称轴为x＝－5，所以x1＋x2＝－10.
因为|lg x3|＝|lg x4|，所以lg x3＋lg x4＝0，即x3x4＝1，x4＝.
因为|lg x3|≤1，所以≤x3<1.
所以(x1＋x2)(x3－x4)＝－10(x3－)，
因为y＝－10(x－)，≤x<1为减函数，
所以(x1＋x2)(x3－x4)＝－10(x3－)∈(0，99].
答案：(1)B　(2)BC
[巩固训练3]
1．解析：为了使得1个感染者传染人数不超过1，只需(N－V)≤1，即R0·(1－)≤1，
因为R0＝4，故1－，可得.
答案：D
2．解析：令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a，
在同一坐标系中作出y＝f(x)，y＝a的图象，如图所示：
由图象知：若g(x)＝f(x)－a有4个零点，
则实数a的取值范围是(0，1)．
答案：A

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