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高中数学常用公式定理
1. 元素与集合的关系
x A x CUA , x CU A x A .
2.包含关系
A B A A B B A B CUB CUA
3．集合 A 中有 n (n N ) 个元素，则集合 A 的所有不同子集个数共有 2n 个；真子集有 2n –
1 个；非空子集有 2n –1 个；非空的真子集有 2n –2 个.
4. 二 次 函 数 y ax 2 bx c b的 图 象 的 对 称 轴 方 程 是 x ， 顶 点 坐 标 是
2a

b 4ac b
2
， 二次函数的解析式的三种形式:
2a 4a
2
(1)一般式 f (x) ax bx c(a 0) ;
2
(2)顶点式 f (x) a(x h) k(a 0) ;
(3)零点式 f (x) a(x x1)(x x2)(a 0) .
5.解连续不等式 N f (x) M 常有以下转化形式：
N f (x) M [ f (x) M ][ f (x) N ] 0
6. 方程 f (x) 0 有实数根 函数 y f (x) 的图象与 x 轴有交点 函数 y f (x) 有零点.
零点存在性定理:
函数在区间 [a,b] 上的图像是连续的，且 f (a) f (b) 0 ，那么函数 f (x) 在区间 [a,b] 上至
少有一个零点. 即存在 c (a,b) ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程 f (x) 0 的根.
7.闭区间上的二次函数的最值
b
二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0) 在闭区间 p,q 上的最值只能在 x 处
2a
及区间的两端点处取得.
8. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”：
真值表 ：
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
9. 命题中常见结论的否定形式：
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有 n个 至多有（ n 1）个
小于 不小于 至多有 n个 至少有（ n 1）个
对所有 x， 存在某 x，
成立 不成立 p或 q p且 q
对任何 x， 存在某 x，
不成立 成立 p且 q p或 q
10.四种命题的相互关系
原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ
注意：全称命题与存在命题的否定关系。
11.充要条件：
（1）充分条件：若 p q，则 p是 q充分条件.
（2）必要条件：若 q p，则 p是 q必要条件.
（3）充要条件：若 p q，且 q p，则 p 是 q充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
12.函数的单调性
(1)设 x1 x2 a,b , x1 x2 那么
(x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) 0
f (x1) f (x2 ) 0 f (x)在 a,b 上是增函数；
x1 x2
(x x ) f (x ) f (x ) 0 f (x1) f (x2 )1 2 1 2 0 f (x)在 a,b 上是减函数.x1 x2
(2)设函数 y f (x) 在某个区间内可导，如果 f (x) 0 ，则 f (x) 为增函数；如果
f (x) 0 ，则 f (x) 为减函数.
13.如果函数 f (x) 和 g(x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f (x) g(x) 也是减函数;
如果函数 y f (u) 和u g(x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 y f [g(x)]
是增函数. 复合函数的单调性口诀:同增异减.
14．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图
象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函
数是偶函数．
15.若函数 y f (x) 是偶函数，则 f (x a) f ( x a) ；若函数 y f (x a) 是偶函数，
则 f (x a) f ( x a) .
16.对于函数 y f (x)( x R ), f (x a) f (b x) 恒成立,则函数 f (x) 的对称轴是函数
x a b ;两个函数 y f (x a) 与 y f (b x) x a b 的图象关于直线 对称.
2 2
17. 函 数 y f (x) 的 图 象 的 对 称 性 : ① 函 数 y f (x) 的 图 象 关 于 直 线 x a 对 称
f (a x) f (a x) f (2a x) f (x) .②函数 y f (x) 与函数 y f ( x) 的图象
关于直线 x 0 (即 y 轴)对称.
18．多项式函数 P(x) a xn a xn 1n n 1 a0 的奇偶性
多项式函数 P(x) 是奇函数 P(x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数 P(x) 是偶函数 P(x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
19.函数 y f (x) 的图象的对称性
函 数 y f (x) 的 图 象 关 于 直 线 x a 对 称
f (a x) f (a x) f (2a x) f (x) .
20.若将函数 y f (x) 的图象右移 a、上移b个单位，得到函数 y f (x a) b的图象；
若将曲线 f (x, y) 0 的图象右移 a、上移b个单位，得到曲线 f (x a, y b) 0 的图象.
21.几个函数方程的周期(约定 a>0)
（1） f (x) f (x a) ，则 f (x) 的周期 T=a；
（2） f (x) f (x a) 0 ，
或 f (x 1 a) ( f (x) 0) ，
f (x)
1
或 f (x a) ( f (x) 0),
f (x)
则 f (x) 的周期 T=2a；
22.分数指数幂 ：
m
a n 1(1) （ a 0,m,n N ，且 n 1）.
n am
m

(2)a n 1 m （ a 0,m,n N
，且 n 1）.
a n
23．根式的性质：
（1） ( n a )n a .
（ ）当 n为奇数时， n an2 a；
a,a 0
当 n为偶数时， n an | a | .
a,a 0
24．有理指数幂的运算性质：
r
(1) a as ar s (a 0,r ,s Q) .
r
(2) (a )s ars (a 0, r, s Q) .
(3) (ab)r a rbr (a 0,b 0, r Q) .
注： 若 a＞0，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性
质，对于无理数指数幂都适用.公众号：一枚试卷君
25.指数式与对数式的互化式：
log ba N b a N (a 0,a 1,N 0) .
26.对数的换底公式
loga N
log
m
N
( a 0 ,且 a 1,m 0,且m 1, N 0).
logm a
推论 log bn nm loga b ( a 0 ,且a 1,m,n 0 ,且m 1, n 1, N 0).a m
若 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1) loga (MN ) loga M loga N ;
(2) log Ma log M log N ;N a a
(3) log na M n loga M (n R) .
27.设函数 f (x) log 2m (ax bx c)(a 0) ,记 b
2 4ac .若 f (x) 的定义域为 R ,则
a 0 ，且 0 ;若 f (x) 的值域为 R ,则 a 0 ，且 0 .对于a 0 的情形,需要单独检
验.
28. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 p ，则对于时间 x 的总产值 y ，有
y N (1 p)x .
29.数列的同项公式与前 n 项的和的关系
s1, n 1an ( 数列{a }的前 n 项的和为 s a a a ).
sn s
n n 1 2 n
n 1,n 2
30.等差数列的通项公式
an a1 (n 1)d dn a1 d (n N
*) ；
其前 n 项和公式为
s n(a1 an ) na n(n 1) d 1n 1 d n
2 (a1 d )n .2 2 2 2
31.等比数列的通项公式
a a a qn 1 1 qn (n N *n 1 ) ；q
其前 n 项的和公式为
a1(1 q
n ) a,q 1 1
anq ,q 1
s n 1 q 或 s

n 1 q .

na1,q 1 na1,q 1
32.若 m、n、p、q∈N， 且 m n p q ， 那 么 ： 当 数 列 an 是 等 差 数 列 时 ， 有
am an a p aq ；当数列 an 是等比数列时，有 am an a p aq 。
33. 弧长公式： l r（ 是圆心角的弧度数， >0）；
1
扇形面积公式： S l r；
2
34．三角函数的定义:以角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角
y x
的终边上任取一个异于原点的点 P(x, y) ，点 P 到原点的距离记为 r ，则 sin = ，cos = ，
r r
y
tan = ，符号法则:全 STC.
x
35.同角三角函数的基本关系式 :
sin
平方关系： sin2 cos2 1，”1”的代换.商数关系: tan = ，弦化切互化.
cos
36.正弦、余弦的诱导公式: 概括为：奇变偶不变，符号看象限。
n
n ( 1) 2 sin ,sin( ) (n 为偶数)
2 n 1
( 1) 2 cos , (n 为奇数)
n
co s(n
( 1) 2 co s , (n 为偶数)
)
2 n 1
( 1) 2 sin , (n 为奇数)
３７.和角与差角公式：
sin( ) sin cos cos sin ;
cos( ) cos cos sin sin ;
tan( ) tan tan .
1 tan tan
sin( )sin( ) sin 2 sin 2 (平方正弦公式);
cos( ) cos( ) cos 2 sin 2 .
注意：二化一(辅助角)公式 asin bcos 2= a b2 sin( ) (辅助角 所在象限
由点 (a,b) b的象限决定, tan ).
a
3８.二倍角公式 ：
sin 2 sin cos .
cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 .
tan 2 2 tan .
1 tan2
1 cos 1 cos
注意:半角公式是：sin = cos =
2 2 2 2
1 cos 1 cos sin
tan = = = 。
2 1 cos sin 1 cos
升幂公式是：1 cos 2cos 2 1 cos 2sin 2 。
2 2
1 cos 2 1 cos 2
降幂公式是： sin 2 cos 2 。
2 2
39. 三角函数的单调区间：
y sin x 的 递 增 区 间 是 2k ，2k (k Z ) ， 递 减 区 间 是 2 2
2k 2k 3 ， (k Z ) ； y cos x的递增区间是 2k ，2k (k Z ) ，递 2 2
减区间是 2k ，2k (k Z ) ，y tgx 的递增区间是 k ，k (k Z )
2 2
40.三角函数的周期公式 :
函数 y sin( x ) ，x∈R 及函数 y cos( x ) ，x∈R(A,ω, 为常数，且 A≠0，
2
ω＞0)的周期T ；函数 y tan( x ) ， x k ,k Z (A,ω, 为常数，
2

且 A≠0，ω＞0)的周期T .

函数 y Asin( x ) B（其中A 0， 0）的最大值是 A B ，最小值是
B A 2 ，周期是T ，频率是 f ，相位是 x ，初相是 ；其图象的对
2
称轴是直线 x k (k Z ) ，凡是该图象与直线 y B的交点都是该图象的
2
对称中心。
a b c
41.正弦定理: 2R .
sin A sin B sinC
42.余弦定理:
a2 b2 c2 2bc cos A;
2 2 2
第一形式，b2 c2 a2 2ca cosB a c b ;第二形式，cosB=
2ac
c2 a2 b2 2abcosC .
43.面积定理：
S 1 ah 1 bh 1（1） a b chc （ ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高）.2 2 2
1
（2） S absinC 1 bc sin A 1 ca sin B .
2 2 2
S abc③ 2R 2 sin Asin B sinC；④ S ；
4R
⑤ S p(p a)(p b)(p c) ；⑥ S pr
44.三角形内角和定理 :
在△ABC 中，有 A B C C (A B)
C A B
2C 2 2(A B) .
2 2 2
△ABC 中： sin(A + B) = sinC , cos(A + B) -cosC , tg(A + B) -tgC
sin A B cos C cos A B， sin C ，
2 2 2 2
45.平面向量运算性质： a b b a, a b c a b c ,a 0 0 a a：

坐标运算：设 a x1 , y1 , b x2 , y2 ，则 a b x1 x2 , y1 y2

设 A、B 两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则 AB x2 x1 , y2 y1 .
46.实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么公众号：一枚试卷君
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

坐标表示：设 a x, y ，则λ a x, y x, y ，
47. 平面向量的数量积:
定义： a b a b cos a 0,b 0,00 1800 ， 0 a 0 .

运算律:(1) a·b= b·a （交换律）;
(2)（ a）·b= （a·b）= a·b= a·（ b）;
(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
2
(4) a a a , a b a b 0

坐标运算:设 a x1 , y1 ,b x2 , y2 ,则 a b x1x2 y1 y2
（５） a·b 的几何意义:
数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
48.平面向量基本定理：
如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且
只有一对实数λ1、λ2，使得 a=λ1e1+λ2e2．
其中不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

49．两个向量平行的充要条件 a// b a b ( R)

坐标表示: a x1 , y1 ,b x2 , y2 ，则 a// b x1y2 x2 y1 0

P、A、B三点共线 AP || AB AP t AB OP (1 t)OA tOB .

50.两个非零向量垂直的充要条件 a b a b 0

坐标表示: a x1 , y1 , b x2 , y2 ，则 a b x1x2 y1 y2 0
(x , y ) (x , y ) cos x1x2 y1y51.两向量的夹角公式: a= 1 1 ,b= 22 2 则 .
x21 y
2
1 x
2 y22 2
52.平面两点间的距离公式:
A (x1, y1) ，B (x2 , y2 ) 则 (x
2 2
AB 2 x1) (y2 y1) .
53.线段的定比分公式 ：

设 P1(x1, y1) ，P2 (x2 , y2 ) ，P(x, y) 是线段 P1P2 的分点, 且 P1P PP2 , 是实数，则
x x1 x2 x x1 x2
则 1

。 中点坐标公式
2
y y y 1 2 y y y
1 2
1 2
54.三角形的重心坐标公式 ：
△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1,y1)、 B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC 的重心的坐标
G( x1 x2 x3 , y1 y y是 2 3 ).
3 3
55.常用不等式：
（ 21） a,b R a b2 2ab (当且仅当 a＝b 时取“=”号)．
a b
（2）两个正数的平均值不等式是： a,b R ab (当且仅当 a＝b 时取“=”
2
号)．
（3）双向绝对值不等式： a b a b a b
左边： ab 0( 0) 时取得等号。右边：ab 0( 0) 时取得等号。
56.平均值定理用来求最值：
已知 x, y都是正数，则有
（1）若积 xy是定值 p ，则当 x y 时和 x y有最小值 2 p ；
（2）若和 x y是定值 s 1，则当 x y 时积 xy有最大值 s 2 .
4
推广： 已知 x, y R，则有 (x y)2 (x y)2 2xy
（1）若积 xy是定值,则当 | x y | 最大时, | x y | 最大；
当 | x y | 最小时, | x y | 最小.
（2）若和 | x y | 是定值,则当 | x y | 最大时, | xy | 最小；
当 | x y | 最小时, | xy | 最大.
57. 一 元 二 次 不 等 式 ax2 bx c 0(或 0) (a 0, b2 4ac 0) ， 如 果 a 与
ax2 bx c 同号，则其解集在两根之外；如果 a与 ax2 bx c 异号，则其解集在两根之
间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
x1 x x2 (x x1 )(x x2 ) 0(x1 x2 ) ；
x x1,或x x2 (x x1)(x x2 ) 0(x1 x2 ) .
58.含有绝对值的不等式 ：
当 a> 0 时，有
x a x2 a 2 a x a .
x a x2 a2 x a或 x a .
59.指数不等式与对数不等式
当 a 1时： a f (x)(1) ag (x) f (x) g (x) ;
f (x) 0
loga f (x) loga g(x)

g(x) 0 .

f (x) g(x)
当 0 a 1时： a f (x) ag (x)(2) f (x) g (x) ;
f (x) 0
loga f (x) loga g(x)

g(x) 0

f (x) g(x)
60.斜率公式 : 直线斜率的定义为:k= tan ,
两点 P1(x1, y
y2 y1
1) 、 P2 (x2 , y2 ) 则 k .x2 x1
61. 同一坐标轴上两点距离公式： AB xB xA
62.直线的五种方程
（1）点斜式 : y y1 k (x x1) (直线 l过点 P1(x1, y1) ，且斜率为 k )．
（2）斜截式 y kx b (b 为直线 l在 y 轴上的截距).
y y x x
（3）两点式 1 1 ( y y )( P (x , y ) 、P (x , y ) ( x x )).
y2 y1 x2 x
1 2 1 1 1 2 2 2 1 2
1
x y
(4)截距式 1( a、b分别为直线的横、纵截距， a、b 0 )
a b
（5）一般式 Ax By C 0 (其中 A、B 不同时为 0).
63.两条直线的平行和垂直
(1)若 l1 : y k1x b1 ， l2 : y k2x b2
① l1 || l2 k1 k2 ,b1 b2 ;
② l1 l2 k1k2 1 .
(2)若 l1 : A1x B1y C1 0 , l2 : A2x B 2 y C2 0 ,且 A1、A2、B1、B2都不为零,
A B
① l || l 1 1 C1 2 1 ；A2 B2 C2
② l1 l2 A1A2 B1B2 0；
64．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点 P0 (x0 , y0 ) 的直线系方程为 y y0 k (x x0 ) (除直线
x x0 ), 其 中 k 是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点 P0 (x0 , y0 ) 的 直 线 系 方 程 为
A(x x0 ) B(y y0 ) 0 ,其中 A,B是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线 l1 : A1x B1y C1 0 , l2 : A2x B 2 y C2 0 的交点
的直线系方程为 (A1x B1y C1) (A2x B2 y C2 ) 0 ，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线 y kx b中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线
系方程．与直线 Ax By C 0 平行的直线系方程是 Ax By 0 ( 0 )，λ是
参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线 Ax By C 0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是
Bx Ay 0,λ是参变量．
65.点到直线的距离
d | Ax0 By0 C | (点P(x , y ) ,直线 l： Ax By C 0 ).
A2 B2
0 0
C C
两平行直线 l1：Ax By C1 0，l2：Ax By C 0距离 d
1 2
2
A2 B2
66. Ax By C 0 或 0 所表示的平面区域
设直线 l : Ax By C 0，则 Ax By C 0 或 0 所表示的平面区域是：
若 B 0 ，当 B与 Ax By C 同号时，表示直线 l的上方的区域；当 B与 Ax By C
异号时，表示直线 l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若 B 0 ，当 A与 Ax By C 同号时，表示直线 l的右方的区域；当 A与 Ax By C
异号时，表示直线 l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
67. 圆的四种方程
（ ）圆的标准方程 (x a)21 (y b)2 r 2 .
（ ）圆的一般方程 x22 y2 Dx Ey F 0 D2( E 2 4F ＞0).
68. 圆系方程
(1)过点 A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) 的圆系方程是
(x x1)(x x2) (y y1)(y y2) [(x x1)(y1 y2) (y y1)(x1 x2)] 0
(x x1)(x x2) (y y1)(y y2) (ax by c) 0 , 其 中 ax by c 0 是 直 线
AB 的方程,λ是待定的系数．
(2)过直线 l : Ax By C 0 与圆 C 2: x y2 Dx Ey F 0 的交点的圆系方程是
x2 y2 Dx Ey F (Ax By C ) 0 ,λ是待定的系数．
(3) 过圆C 2 21 : x y D1x E1y F 0 与圆C x
2 y21 2 : D2x E2 y F2 0 的交点的
圆系方程是 x2 y2 D1x E1y F1 (x
2 y2 D2x E2 y F2 ) 0 ,λ是待定的系数．
69.点与圆的位置关系
点 P(x0 , y ) 与圆 (x a)
2
0 (y b)
2 r 2 的位置关系有三种
若 d (a x )20 (b y0 )
2 ，则
d r 点 P在圆外; d r 点P在圆上; d r 点 P在圆内.
70.直线与圆的位置关系
直线 Ax By C 0 与圆 (x a)2 (y b)2 r 2 的位置关系有三种:
d r 相离 0;
Aa Bb C
d r 相切 0 ; 其中 d .
A2 B 2
d r 相交 0 .
注意:研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种：
①代数法（判别式法）：Δ>0，=0，<0，等价于直线与圆相交、相切、相离；
②几何法（圆心到直线的距离与半径的大小关系）：距离大于半径、等于半径、小
于半径，等价于直线与圆相离、相切、相交。
71.两圆位置关系的判定方法:
设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2， O1O2 d
d r1 r2 外离 4条公切线;
d r1 r2 外切 3条公切线;
r1 r2 d r1 r2 相交 2条公切线;
d r1 r2 内切 1条公切线;
0 d r1 r2 内含 无公切线.
x 2 y 2 2
72. 椭圆 2 2 1 (a b 0) 的焦点坐标是 ( c，0)
a
，准线方程是 x ，离心率是
a b c
e c 2b
2
，通径的长是 。其中 c 2 a 2 b 2 。
a a
x2 y2
73.椭圆 2 2 1(a b 0) 焦半径公式 PF1 a ex0 和 PF2 a ex0 .a b
74．椭圆的的内外部
x2 y2 x2 y2
（1）点 P(x , y 0 00 0 ) 在椭圆 2 2 1(a b 0) 的内部 a b a2
2 1.b
2 2 2 2
（2）点 P(x , y x y x y0 0 ) 在椭圆 2 2 1(a b 0) 的外部
0 0 1.
a b a2 b2
75.双曲线标准方程的两种形式是：
x 2 y 2 y 2 2
2 2 1
x
和 2 1 (a 0，b 0) 。a b a b 2
x 2 y 2 a 2
双曲线 2 2 1的焦点坐标是 ( c，0)
c
，准线方程是 x ，离心率是 e ，
a b c a
2b 2 x 2 y 2
通径的长是 ，渐近线方程是 2 2 0 。其中 c
2 a 2 b 2 。
a a b
x2 y2
76.双曲线 2 2 1(a 0,b 0) 的焦半径公式a b
a2 2PF1 | e(x ) | ， PF
a
c 2
| e( x) | .
c
77.双曲线的内外部
2 2 2 2
(1)点 P(x , y x y x0 y00 0 ) 在双曲线 2 2 1(a 0,b 0) 的内部 2 2 1.a b a b
2 2 2 2
(2)点 P(x0 , y0 )
x y x y
在双曲线 2 2 1(a 0,b 0) 的外部
0 02 2 1.a b a b
78.双曲线的方程与渐近线方程的关系
x 2 y 2 x2 y2 b
(1）若双曲线方程为 2 2 1 渐近线方程： 2 a b a b2
0 y x .
a
x y x 2 y 2
(2)若渐近线方程为 y b x 0 双曲线可设为 2 2 .a a b a b
x 2 y 2 x 2 y 2
(3)若双曲线与 2 2 1有公共渐近线，可设为a b a 2
2 （ 0 ，焦点在 xb
2 2
轴上， 0 x y，焦点在 y 轴上）. 与双曲线 2 1 共焦点的双曲线系方程是a b 2
x 2 y 2
2 2 1。a k b k
79.抛物线标准方程的四种形式是： y 2 2px，y 2 2px，x 2 2py，x 2 2py。
p p
抛物线 y 2 2px的焦点坐标是： ，0 ，准线方程是： x 。，过该抛物线的焦
2 2
点且垂直于抛物线对称轴的弦（通径）的长： 2p。
2 2
80. 抛物线 y 2px的焦半径公式: 点 P(x0 , y0 ) 是抛物线 y 2px上一点，则点 P 到抛
p
物线的焦点的距离（称为焦半径）：PF= x0 2
p p
过焦点弦长 CD x1 x2 x1 x2 p .2 2
y 2
81.抛物线 y 2 2px 上的动点可设为 P ( , y ) 或 P(2pt 2 ,2pt)或 P (x , y ) ，其中
2p
y2 2px .
y ax2 bx c a(x b )2 4ac b
2
82.二次函数 (a 0) 的图象是抛物线：（1）顶点坐
2a 4a
b 4ac b2( , ) b 4ac b
2 1
标 为 ；（ 2） 焦 点 的 坐 标 为 ( , ) ；（ 3） 准 线 方 程 是
2a 4a 2a 4a
y 4ac b
2 1
.
4a
83.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
若 直 线 y kx b 与 圆 锥 曲 线 交 于 两 点 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 则 弦 长 为
AB (1 k 2 )(x x )21 2 ；
若 直 线 x my t 与 圆 锥 曲 线 交 于 两 点 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 则 弦 长 为
AB (1 m2 )(y 21 y2 ) 。
84.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线 F (x, y) 0关于点 P(x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2x0-x, 2y0 y) 0 .
（2）曲线 F (x, y) 0关于直线 Ax By C 0 成轴对称的曲线是
F (x 2A(Ax By C) 2B(Ax By C)
A2 2
, y 2 2 ) 0 . B A B
一、有关平行的证明
⑴公理 4 ⑵ ⑶ ⑷
l1∥l2 l1∥α α∥β l1 1、
l1∥l3 l1 l1∥l2 l1 l1∥l2 l1∥l2线∥线
l2∥l3 α∩β=l2 l2 l2
线∥线 线∥线 线∥面 线∥线 面∥面 线∥线 同垂直于一个平面 线∥线
⑴ ⑵
2、
a α∥β
线∥面
b a∥α a∥β
a∥b a
线∥线 线∥面 面∥面 线∥面
⑴ ⑵
a
b a
3、 a b A α∥β α∥β
面∥面 a∥α a
b∥β
线∥面 面∥面 同垂直于一直线 面∥面
二、有关垂直的证明
⑴
1、 a
a b
线⊥线 b
（线⊥面 线⊥线）
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
a
b a∥b α∥β a
2、
a b A l b l a
线⊥面
l a a l l
l b a l
(线⊥线 线⊥面)
a
3、
面⊥面 a
（线⊥面 面⊥面）
85．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.
86．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
87．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.
88．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
89．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
90．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直.
91.球的半径是 R，则
4
其体积V R3 ,
3
其表面积 S 4 R2 ．
92.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线
长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
6 6
棱长为 a的正四面体的内切球的半径为 a ,外接球的半径为 a .
12 4
93．体积公式：
V S h V 1 4直棱柱： ， 锥体： S h， 球体：V r 3 。
3 3
94. 侧面积：直棱柱侧面积： S c h 1，；正棱锥侧面积： S c h ，，
2
球的表面积： S 4 r 2 。
95. 比例的几个性质
a c ad bc a c b d比例基本性质： ；反比定理：
b d b d a c
a c a b a c a b c d
更比定理： ；合比定理；
b d c d b d b d
a c a b c d a c a b c d
分比定理： ；合分比定理：
b d b d b d a b c d
a c a b c d
合比定理：
b d a b c d
a a a a
等 比 定 理 ： 若 1 2 3 n ， b b b b 0 ， 则
b1 b2 b3 b
1 2 3 n
n
a1 a2 a3 an a 1 。
b1 b2 b3 bn b1
m
96.等可能性事件的概率: P(A) .
n
97.互斥事件 A，B 分别发生的概率的和:
若事件 A、B 为互斥事件,则 P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
98. 若事件 A、B 为对立事件,则 P（A）+P（B）=1。一般地, p A 1 P A
99.标准差: = D .
100.回归直线方程 :
n n
xi x yi y xi yi nx y
b i 1 i 1 y a bx，其中 n n
xi x
2 x 2i nx 2 .
i 1 i 1
a y bx
101.相关系数: 公众号：一枚试卷君
n n
xi x yi y xi x yi y
r i 1 i 1 .
n n n n
(x x )2i (y 2 2i y) ( xi nx 2)( y 2i ny 2)
i 1 i 1 i 1 i 1
|r|≤1，且|r|越接近于 1，相关程度越大；|r|越接近于 0，相关程度越小.
本定理对于单侧极限和 x 的情况仍然成立.
102. f (x) 在 x0 处的导数（或变化率或微商）
f (x0 ) y lim
y lim f (x0 x) f (x0 )x x .0 x 0 x x 0 x
103.瞬时速度
s (t) lim s lim s(t t) s(t) .
t 0 t t 0 t
104.瞬时加速度
a v (t) lim v lim v(t t) v(t) .
t 0 t t 0 t
105. 函数 y f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义
函数 y f (x) 在点 x0 处的导数是曲线 y f (x) 在 P(x0 , f (x0 )) 处的切线的斜率
f (x0 ) ，相应的切线方程是 y y0 f (x0 )(x x0 ) .
106.几种常见函数的导数
①C ' 0
'
（, C 为常数）；② x n nx n 1 n Q ③ sin x ' cos x ；④ cos x ' sin x
⑤ Inx ' 1 ；⑥ Iog x ' 1a Iog ae；⑦ e x ' e x ；⑧ (a x ) a x lna .x x
107.导数的运算法则
（1） (u v) ' u ' v ' .
（ ' '2） (uv) u v uv ' .
u ' '
（ ） ( ) ' u v uv3 (v 0) .
v v2
108. 导数的应用:
1 可．导．函．数．求单调区间或判断单调性的方法:使 f
' x >0 的区间为增区间,使 f ' x <0
的区间为减区间.
2 可．导．函
'
．数． f x 求极值的步骤:ⅰ.求导数 f x ⅱ.求方程 f ' x =0的根 x1 , x2 , , xn
ⅲ.检验 f ' x 在方程的根的附近左右值的符号,若左正右负,则在这个根处取极大值,若
左负右正,则在这个根处取极小值.
3 连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值,
4 f x 在闭区间[a,b]上连续,在（a,b）内可导,则求 f x 最大值、最小值的步骤与格
式为：ⅰ. 求导数 f ' x ⅱ.求方程 f ' x =0 的根 x1 , x2 , , xn
ⅲ . 结 合 在 [a,b] 上 的 根 及 闭 区 间 [a,b] 的 端 点 数 值 , 列 出 表 格 若
( a x1 x2 xn b )
x a a, x1 x1 x1, x2 x2 … xn xn ,b
b
0 0 0
y ' 正负号 正负号 正负号
y
值 单调性 值 单调性 值 值 单调性 值
ⅳ.根据上述表格的单调性及的大小,确定最大值与最小值.
109.判别 f (x0 ) 是极大（小）值的方法:
当函数 f (x) 在点 x0 处连续时，
（1）如果在 x0 附近的左侧 f (x) 0 ，右侧 f (x) 0 ，则 f (x0 ) 是极大值；
（2）如果在 x0 附近的左侧 f (x) 0 ，右侧 f (x) 0 ，则 f (x0 ) 是极小值.
110.复数的相等
a bi c di a c,b d .（ a,b,c,d R）
111.复数 z a bi的模（或绝对值）
| z |= | a bi | = a
2 b2 .
112.复数的四则运算法则
(1) (a bi) (c di) (a c) (b d )i ;
(2) (a bi) (c di) (a c) (b d )i ;
(3) (a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i ;
(a bi) (c di) ac bd bc ad(4) 2 2 2 i(c di 0) .c d c d 2
113.复数的乘法的运算律:对于任何 z1, z2 , z3 C，有
交换律: z1 z2 z2 z1 .结合律: (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3) .
分配律: z1 (z2 z3 ) z1 z2 z1 z3 .

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