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三角恒等变换
[考点对点练]———保分必拿
[考点一]　三角函数式的化简

( )
１．若－２π＜α＜－３π,则化简 １－cosα－π 的结果是２ ２
(　　)
A．sinα２　　　　　　　　B．cos
α
２
C．－sinα２ D．－cos
α
A．１－２ ５ B．３＋ ５２ ４ ８
２．cos２ (x－π４ )＋sin２ (x＋π４ )＝ (　　) C．１＋ ５４ D．４＋ ５８
A．１ B．１－cos２x
π π
C．１＋cos２x D．１＋sin２x ８．若cos(α＋ ３β)＝ ,sin( ５β－ ) ＝ ,,５ ４ １３αβ∈ (０, ,２ )
３．(１)已知０＜θ＜π,
则cosα＋π ( )(１＋sinθ＋cosθ)(sinθ－cosθ ) ( ４ )＝ 　　
则 ２ ２ ＝　　　　．
２＋２cosθ A．－
３３ ３３
６５ B．６５
２cos４x－２cos２x＋１ C．５６ D．－１６
(２)化简: ２ ６５ ６５
２tan( π－x)sin２ ( π
＝　　　　．
４ ４＋x) ９．在平面直角坐标系中,已知一个角α的顶点在坐标原
[ ] 点,始边与 轴的非负半轴重合,终边经过点 (,考点二 　三角函数求值
x P ５
－１２),则sin２α　　　　．
４．若cos(α－π ,则 ( )４ )＝cos２α sin２α 　　 １０．已知０＜α＜π,且２ sinα＝３,则５ tan(α＋５π ;４ )＝　　　　
A．－１ B．１２ sin
２α＋sin２α
２ ＝　　　　．
C．－１或１ D．－１或１
cosα＋cos２α
２ ２ ４ [考点三]　三角恒等变换的应用 π π
５．已知sin２α＝２,则 ２ π ( ) １１．函数f(x)＝sin２x＋ ３sinxcosx在区间 , 上３ cos (α＋４ )＝ 　　 [ ４ ２ ]
的最大值是 (　　)
A．１ B．１６ ３
A．１ B．１＋ ３
C．１ ２ ２２ D．３
C．３ D．１＋ ３
６．若 α ∈ ( π,π),２ cos ２α ＋ sin (５π－α) ＝ ０,则 ２４
１２．函数y＝ １ 的最大值是 (　　)
sin(２α＋π )＝ (　　) ２＋sinx＋cosx６
A．２－１ B．－ ２－１
A．－ ３２ B．０
２ ２
３ ３ C．１－
２
２ D．１＋
２
C． D．－ 或０ ２２ ２ １３．已知函数 (x)＝sinωx＋ ３cosωx(ω＞０),x 、x
７．德国著名的天文学家开普勒说过:“几何学里有两件 f １ ２为函数 ()的两个极值点,, , 若 的最小值为宝 一个是勾股定理 另一个是黄金分割．如果把勾股 f
x |x１－x２|
定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石 π,则 (２ 　　
)
矿．”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割 ５π π
比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶 A．f(x)在 (－ , 上单调递减１２１２)
角为３６°的等腰三角形(另一种是顶角为１０８°的等腰 ５π π
三角形)．例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五 B．f(x)在 (－ , )上单调递增１２１２
边形组成,如图所示,在其中一个黄金△ABC 中,BC C．f(x)在 (－２πAC ,π３ ３ )上单调递减
＝ ５－１．根据这些信息,可得sin１２６° (２ 　　
) D．f(x)在 (－２π,π )上单调递增３ ３

　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　

１４．设函数f(x)＝２cos２ (x＋π８ ) ＋sin(２x＋π ),x∈ ７．若３cos( π４ ２－θ) ＋cos(π＋θ)＝０,则cos２θ＋１２sin２θ
(０,３π),则下列判断正确的是 (　　) 的值是(　　)．
A．函数的一条对称轴为x＝π A．－６６ ５ B．－
４
５
B．函数在区间 [ π,５π]内单调递增２ ４ C．６ ４
C． x ∈(０,３π),使f(x )＝－１ ５
D．５
０ ０
D． a∈R,使得函数y＝f(x＋a)在其定义域内为偶 ８．已 知 cos (x－π４ ) ＝ － ３,１７π５ １２ ＜ x ＜ ７π,则函数 ４
( ) sin２x－２sin
２x
１５．若函数f x ＝ ２sinxcosx － ２sin２ x,则函数 的值为 ( )２ ２ ２ １＋tanx
　　
f(x)的最小正周期为　　　　;函数f(x)在区间 ２８ ２１
[－π,０]上的最小值是　　　　． A．７５ B．－１００
[素养提升练]———高分必抢 C．－２８ D．２１
一、单项选择题 ７５ １００
１ ( π ) 二、多项选择题１．若已知cos２α＝ ,其中α∈ － ,０ ,则 的值２ ４ sinα ９．函数y＝sinxcosx＋ ３cos２x－ ３的图象的一个对
为 (　　) 称中心为 (
１ １ 　　
)
A．２ B．－２ A． π,－ ３
B． ÷ ５π, ３ ÷
３ ３ è ３ ２ è ６
－２
C．２ D．－２ C． －２π,３
２π
÷ ,
２．已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴 D．( ３ － ３è ３ ２ )
重合,终边经过点P(３,４),则cos(２α＋β)cosβ＋sin
( ２ ３２α＋β)sinβ的值是 (　　) １０．在△ABC中,C＝１２０°,tanA＋tanB＝ ,下列各３
A．－９ ７２５ B．２５ 式正确的是 (　　)
C．－７ D．９ A．A＋B＝２C B．tan
(A＋B)＝－ ３
２５ ２５
, , , , C．tanA＝tanB D．cosB＝ ３sinA３．已知△ABC 中 sinA sinB sinC 成等比数列 则
sin２B 三、填空题的取值范围是 ( )
sinB＋cosB 　　 １１．在锐角三角形ABC 中,若tanAtanBtanC＝８,则
A．[ sinA－∞,２÷ B． ２ è０,２２ ] 的最大值是sinBsinC 　　　．
３－ ３] １２．已知当x＝θ时,函数 ()( , ] fx ＝２sinx－cosx取得最大C．－１ ２ D． ,è０ ２ 值,则最大值为 , θ＋π
４．古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正
　　　　　 sin( ４ )＝　　　　　．
十边形的作图,发现了黄金分割率,黄金分割率的值 [真题体验练]———实战抢分
也可以用２sin１８°表示．若实数n满足４sin２１８°＋n２
＝４,则１－sin１８° ( (　　) １．２０２１ 全国乙卷,４文科)函数f(x)＝sin
x＋cosx
８n２sin２１８° ３ ３
的最小正周期和最大值分别是 (　　)
A．１４ B．
１
２ A．３π和 ２ B．３π和２
C．５ D．３ C．６π和 ２ D．６π和２４ ２
２ ２ (( π ) ２．２０２１
全国乙卷,６文科)cos２ π１２－cos
２５π＝ (　　)
５．已 知 α 满 足 cosα＝ ,则３ cos ４＋α cos
１２
( π－α)＝ (　　) A．１ ３４ ２ B．３
A．７１８ B．
２５ ２
１８ C．２ D．
３
２
C．－７１８ D．－
２５
１８ ３．(２０２１ 全 国 甲 卷,９)若 α∈ (０,π ),２ tan２α＝
６．若sinα＋cosα＝１, ,则 cosα３ ０＜α＜π sin２α＋cos２α＝ ,则 ( )
( ) ２－sinα
tanα＝ 　　
　　
A．－８－ １７ B．－８± １７ A．
１５ B．５
９ ９ １５ ５
C．－８＋ １７ D．８＋ １７ C．
５ D． １５
９ ９ ３ ３
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 　　
　 　
cosθ
　　　　　　　
(sin２ θ－cos２ θ
　 　　　θ　　　
２ ２ ２ ) －cos ２ cosθ
＝ ＝ ．
cosθ２ cos
θ
２
因为０＜θ＜π,所以０＜θ＜π,所以２ ２ cos
θ
２＞０．
所以原式＝－cosθ．
　　　　　　　
－２sin２xcos２x＋１２
(２)原式＝　　　　　　　　　　　
２sin( π４－x)cos２ ( π４－x)
cos( π４－x)
１(
２ １－sin
２２x) １cos２２x
＝ π π ＝
２ ＝１cos２x．]
２sin( ４－x)cos( ４－x) sin( π－２x) ２２
４．C　[由cos(α－π４ ) ＝cos２α得:cos２ (α－π４ ) ＝cos２２α
１＋cos(２α－π
＝１－sin２２α 即 ２
)
＝１＋sin２α２ ２ ＝１－
sin２２α,解得:sin２α＝－１或１．]２
５．A 　 [已 知 sin ２α ＝ ２,则 cos２ (α＋π３ ４ ) ＝
１＋cos(２α＋π) ２２ ＝１－sin２α
１－３ １ ]
２ ２ ＝ ２ ＝６．
６．A　[由cos２α＋sin(５π－α) ＝０,可得cos２４ α－sin２α－ ２２
(cosα－sinα)＝０,即(cosα－sinα) cosα＋sinα－ ２ ÷＝è ２
０．因为α∈ ( π,π) ,所以２ cosα－sinα≠０,cosα＋sinα＝
２sin(α＋π ) ＝ ２,即sin(α＋π ) ＝ １,于是α＝７π,４ ２ ４ ２ １２
所以sin(２α＋π )＝sin４π＝－ ３ ]６ ３ ２．
７．C　[因 为 △ABC 是 顶 角 为 ３６°的 等 腰 三 角 形,所 以,
１BC
∠ACB＝７２°,则 cos７２°＝cos∠ACB＝ ２ ＝ ５－１,AC ４
sin１２６°＝sin(９０°＋３６°)＝cos３６°,而cos７２°＝２cos２３６°
三角恒等变换 －１,所以,cos３６°＝ １＋cos７２°＝ ３＋ ５＝ ６＋２ ５
考点对点练———保分必拿 ２ ８ １６
１－cos(α－π) １＋cosα α ＝ ５＋１１．D　[ ]２ ＝ ２ ＝|cos２|．∵－２π＜α＜ ４
．
－３π
π π
,∴－π＜ α ＜－３π,∴cosα ＜０,∴ cosα ＝ ８．C　[∵(α＋β)－ (β－ ) ＝α＋ ,４ ４ ∴cos(α＋π４ ) ＝２ ２ ４ ２ ２
α cos[(α＋ )－ ( －π－cos ．] β β )]４ ＝cos(α＋β) cos(β－π２ ４ ) ＋
π sin(α＋ ) sin( π１＋cos(２x－ ) β β－４ ) ,∵α＋β∈ (０
π ,
２ ) ∴０＜α＋β２
２．D　[cos２ (x－π４ ) ＋sin２ (x＋π４ ) ＝ ＋２ ＜π,－π＜ πβ－ ＜π,∴sin(α＋β)＝４,２ ４ ４ ５ cos( －πβ ４ ) ＝
１－cos(２x＋π ) １２２ ,∴cos(α＋π )＝３ １２＋４ ５＝５６．]
＝ １ (２ １＋sin２x＋１＋sin２x
)＝１＋ １３ ４ ５ １３ ５ １３ ６５
２ ９．－１２０　[∵一个角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的
sin２x．] １６９
１ 非负半轴重合,终边经过点P(５,－１２),∴由三角函数定３．(１)－cosθ　(２) [()原式２cos２x　 １ ＝ 义可得 －１２ １２,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 sinα＝ ＝－ cosα＝
５ ＝
θ θ θ θ θ ２５＋１４４
１３ ２５＋１４４
(２sin２cos ２２＋２cos ２ ) (sin２－cos２ ) ５,则由正弦二倍角公式可得１３ sin２α＝２sinα cosα＝
４cos２ θ －１２０ ]２ １６９．
　　
　　
　　
　　
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　 　　　　　　　　　　
　　
　　
　　
　　

　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　
２ ２
１０．７　３３　[因为０＜α＜ π,且sinα＝ ３,所以cosα＝ ３．B　[由已知可知sin B＝sinA sinC,即b ＝ac,cosB２３ ２ ５ a２＝ ＋c
２－b２＝a
２＋c２－ac≥２ac－ac４ sinα ３ ＝
１,即
２ , , ２ac ２ac ２ac ２ ０＜B＜１－sinα＝ 所 以５ tan α ＝
则
cosα ＝ ４ π,sinB＋cosB＝ ２sin(B＋πtan(α＋５π) ＝ tan (α＋π ) ＝ tanα＋１ ) ∈(１,２],原式等于３ ４４ ４ １－tanα ＝ ７． ( )２
sin２α＋sin２α＝sin
２α＋２sinαcosα＝tan
２α＋２tanα ２sinBcosB＝ sinB＋cosB －１ ,设＝ sinB＋cosB sinB＋cosB t＝sinB＋cos２α＋cos２α ２cos２α－sin２α ２－tan２α ２
９＋６ cosB,即原式等于
t－１ １( ),函数是增
１６ ４ ３３ t
＝t－t １＜t≤ ２
＝ ]
２－９ ２３
．
函数,当t＝１时,函数等于０,当t＝ ２时,函数等于 ２,
１６ ２
１１．C　 [由 f(x)＝１－cos２x ＋ ３sin ２x ＝ １ ＋ 所以原式的取值范围是

０,２] ,故选B．]２ ２ ２ è ２
sin(２x－π ) ,∵ π π π６ ４ ≤x≤ ２ ３ ≤２x－ π ５π,６ ≤ ６ ４．A 　 [根 据 题 中 的 条 件 可 得 １－sin１８° ＝８n２sin２１８°
∴f(x) １ ３max＝ 故选 ] １－sin１８° １－sin１８°２＋１＝２． C． ＝ ＝
１ １ ８sin
２１８°(４－４sin２１８°) ８sin２１８°×４cos２１８°
１２．D　 [y＝２＋sinx＋cosx ＝ π ≤ １－sin１８°＝ １－sin１８° ＝ １－sin１８° ＝１ ]２＋ ２sin (x＋４ ) ．８sin２３６° ８×１－cos７２° ４(１－cos７２°) ４２
１ ＝２＋ ２,选 D．] ５．A 　 [根 据 两 角 和 差 的 余 弦 公 式 得 到 cos
２－ ２ ２ ( π π １( π ) ( )([ ( ) , ４＋α)cos( ４－α)＝２ cosα－sinα cosα＋sinα)１３．B　 函数的解析式f x ＝２sin ωx＋ 由题意可３
得:T＝π T＝π,即２π
１ ２
＝π,则ω＝２．函数的解析式 ＝ (cosα－sin
２α),因为２ cosα＝
２ ２,得到 １
２ ２ ω ３
sinα＝ ３
１
为:f(x)＝２sin(２x＋π ) ,由２kπ－π≤２x＋π≤２kπ 或－ 代入得到结果为７ ]３ ２ ３ ３ １８．
１
＋π,即２ kπ－
５
１２π≤x≤kπ＋
π(
１２k∈Z
),令k＝０可得函 ６．A　[∵sinα＋cosα＝ ,３ ①
数的一个单调递增区间为 (－５π,π , π１２ １２) ２kπ＋２ ≤２x ∴１＋２sinαcosα＝１,即９ ２sinαcosα＝sin２α＝－ ８,９
＋π３≤２kπ＋
３π,即kπ＋π２ １２≤x＜kπ＋
７π(
１２k∈Z
),不存 ∴１－２sinαcosα＝(sinα－cosα)２＝１７９．
在满足题意的单调减区间．] ∵sinαcosα＜０,且０＜α＜π,∴sinα＞０,cosα＜０,
１４．D　[函数f(x)＝１＋cos(２x＋π４ ) ＋sin(２x＋π４ ) ＝１ ∴sinα－cosα＝ １７３ ②．①×②变形得cos２α－sin２α＝
＋ ２cos２x,当x∈(０,３π)时,当x＝π时, π不能６ ２x＝３ １７
使函数取得最值, ,所以不是函数的对称轴,A 错;当x∈ cos２α＝ － ９ ∴sin２α＋cos２α＝ －
８
９ －
１７
９
[ π,５π] 时,２x∈ [π,５π] ,函 数 先 增 后 减, 不 正 －８－ １７２ ４ ２ B ＝ ．]９
确;若f(x)＝－１,那么cos２x＝－ ２不成立,所以 C [
; ３ ７．C　 ∵３cos
π－θ ＋cos(π＋θ)＝０,由诱导公式可得
错 当a＝ π时,(２ fx＋a
)＝１－ ２cos２x 函数是偶函 ( ２ )
数,D正确．] ３sinθ－cosθ＝０,即tanθ＝ １, ２３ ∴cosθ＋
１
２sin２θ＝
１５．２π　 －１－ ２　 [因 为２ f
(x)＝ ２sin xcos x２ ２ －
１
cos２θ＋sinθcosθ １＋
x ２ ( π ) ２ ２ ２ ＝
１＋tanθ＝ ３＝６２ ．]
２sin２ ２＝
(
２ sinx＋cosx－１
)＝sin x＋ － , sinθ＋cosθ １＋tanθ １ ５４ ２ １＋９
所以函数f(x)的最小正周期为２π;因为x∈[－π,０],
８．A　[因 为１７π＜x＜７π,所 以７π＜x－ π ＜３π,因 为
所以x＋π∈ [－３π,π ] ,则当x＋π＝－ π,即４ ４ ４ ４ ２ x＝ １２ ４ ６ ４ ２
３π π ３,所以 π－ 时,函 数４ f
(x)在 区 间 [－π,０]上 取 最 小 值 －１ cos(x－４ )＝－５ sin(x－４ )＝
２
－ ２．] － １－cos
２ (x－π ＝－ １－２ ４ ) (－
３
５ ) ＝－４,５
素养提升练———高分必抢 sin(x－π ) －４
１．B　[由cos２α＝１－２sin２α,cos２α＝ １,所 以２ sinα＝ tan(x－π ４ ５ ４,４ ) ＝ π ＝ ３ ＝ ３ sin２x＝cosx－ －
± １－cos２α １ π
( )
, , ４ ５
２ ＝ ± ２．∵α∈ (－４ ０) ∴sinα＝ cos(２x－π２ )＝cos[２(x－π４ ) ] ＝２cos２ (x－π１ ] ４ ) －１－２． ２
３ ３ ＝２ ×
９ － １ ＝ － ７,所 以 sin２x－２sinx
２．C　[由题意知,cosα＝ ＝ ,cos(２α＋β)cosβ＋ ２５ ２５ １＋tanx
＝
３２＋４２ ５ ２sinx(cosx－sinx)＝２sinxcosx
(cosx－sinx)
sin(
＝
２α＋β)sinβ＝cos(２α＋β－β)＝cos２α＝２cos
２α－１＝ sinx cosx＋sinx
１８ １＋
２５－１＝－
７．] cosx２５

　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 　　

π
sin２x(１－tanx) tan －tanx
１＋tanx ＝sin２x
４ ＝－sin２x
１＋tan π４tanx
tan(x－π )＝－ (－７ )×４＝２８．]４ ２５ ３ ７５
９．AB　[y＝１２sin２x＋
３(
２ １＋cos２x
)－ ３＝１２sin２x＋
３
２cos２x－
３
２＝sin(２x＋π ) － ３,令３ ２ ２x＋ π３ ＝kπ,x
＝kπ－ π (k∈Z),当k＝１ 时,x＝ π,对 称 中 心 是２ ６ ３
５π
π, ３÷;当 k ＝ ２ 时,x ＝ ,对 称 中 心
è ３ －２ ６
是 ５π,
è ６ －
３÷．]
２
１０．CD　[∵C＝１２０°,∴A＋B＝６０°,∴tan(A＋B)＝ ３,
∴选项 A,B错误;
∵tanA＋tanB＝ ３(１－tanA tanB)＝２ ３,３
∴tanA tanB＝１①,又３ tanA＋tanB＝
２ ３
３ ②
,∴联
立①②解得tanA＝tanB＝ ３, ,故选项３ ∴cosB＝ ３sinA
C,D正确．]
１１．２　[∵tanAtanBtanC＝８,∴tanBtanC＝ ８ ,tanA
sinA ( )＝sinB＋C sinBcosC＋cosBsinCsinBsinC sinBsinC＝ sinBsinC ＝
＝ tanB＋tanC tan
(B＋C)(１－tanBtanC)
tanB tanC ＝ tanBtanC ＝
tan(π－A)(１－tanBtanC)＝tanA
(tanBtanC－１)
tanBtanC tanBtanC
tanA ( ８ －１) ( )
＝ tanA ＝ ８－tanAtanA８ ８ ≤
tanA
１ (８－tanA＋tanA
２
) ＝２,当且仅当tanA＝４时,８ ２
等号成立,因此, sinA 的最大值是 ]
sinBsinC ２．
１２．５　 １０　[f(１０ x
)＝２sinx－cosx＝ ５sin(x－φ),其
中sin ＝ ５,cos ２ ５φ φ＝ ,则５ ５ f
(θ)＝ ５sin(θ－φ)＝ ５,
即sin(θ－φ)＝１,∴θ－ ＝
π
φ ２＋２kπ
(k∈Z),即θ＝φ＋
π
２ ＋ ２kπ
(k ∈ Z ), ∴ sin (θ＋π４ ) ＝
sin( ＋πφ ２＋２kπ＋π４ ) ＝－sin( －πφ ４ ) ＝－sinφcos
π
４＋cos sin
π＝－ ５× ２＋２ ５× ２＝ １０φ ]４ ５ ２ ５ ２ １０ ．
[真题体验练]———实战抢分
１．C　 [由 f (x)＝sin x３ ＋cos
x 可 得 f (３ x
)＝
２sin( x π ,故周期为 ２π ２π ,最大值为３＋４ ) T＝ω ＝ １ ＝６π
３
２,故选 C．]
２．D　[由题意可知cos２ π１２－cos
２５π
１２＝cos
２ π ２ π
１２－sin １２＝
cosπ＝ ３．]６ ２
３．A　[由tan２α＝sin２α＝２sinαcosα＝ cosα ,化解得cos２α １－２sin２α ２－sinα
sinα＝１,从而得４ tanα＝
１５,故选
１５ A．
]

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