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“三招九型”，轻松破解函数零点问题
目录
一、重难点题型方法 1
<第一招：数形结合>
题型一：求函数零点及零点所在区间
题型二：求函数零点或方程根的个数
题型三：根据零点个数求参数范围 (不分参型 )
题型四：比较零点的大小关系
题型五：求函数零点的和
<第二招：分离参数>
题型六：根据零点个数求参数范围 (分参型 )
题型七：根据函数零点分布求零点代数式的取值范围
<第三招：转化化归>
题型八：嵌套函数的零点个数
题型九：根据嵌套函数零点个数求参数
二、针对性巩固练习
重难点题型方法
<第一招：数形结合>
题型一：求函数零点及零点所在区间
【典例分析】
典例 1- 1． (2022·河北 ·邢台一中高一阶段练习 )已知 f x 在定义域上为单调函数，对 x∈ 0,+∞ ，
恒有 f f x - log2x = 1，则函数 f x 的零点是 ( )
A. 2 B. 1 C. 12 D. -
1
2
1
典例 1- 2． (2022·天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习 )已知函数 f x = x - log2x，在下列
区间中，包含 f x 零点的区间是 ( )
A. 0,1 B. 2,3 C. 3,+∞ D. 1,2
典例 1- 3． (2022·贵州遵义 ·高一期中 )若函数 f(x) = x2+ x+m的零点在区间 (1,2)内，则m的取值范
围为 ( )
A. [-6,-2] B. (-6,-2)
C. (-∞ ,-6]∪ [-2,+∞) D. (-∞ ,-6) ∪ (-2,+∞)
【方法技巧总结】
1. 零点存在性定理：如果函数 y= f(x)在区间 a,b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) f(b) <
0，那么函数 y= f(x)在区间 (a,b)内有零点，即存在 c∈ (a,b)，使得 f(c) = 0，这个 c也就是方程的根。
2. 注意：①不满足 f(a) f(b)< 0的函数也可能有零点 .②若函数 f(x)在区间 a,b 上的图象是一条连续曲
线，则 f(a) f(b)< 0是 f(x)在区间 a,b 内有零点的充分不必要条件.
【变式训练】
x2+ 2x, x≤ 0
1. (2022·河南 ·温县第一高级中学高三阶段练习 (文 ))已知函数 f x = ，则函数 g x = lgx , x> 0
f 1- x - 1的零点个数为 ( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. (2022·北京市海淀区仁北高级中学高一阶段练习 )函数 f x = x3+ 5x- 7的零点所在的区间可以是 ( )
A. 0,1 B. 1,2 C. 2,3 D. 3,4
3. (2022· 1天津市南开区南大奥宇培训学校高三阶段练习 )函数 f x = 2alog2x+ a 4x+ 3在区间 2 ,1 上
有零点，则实数 a的取值范围是 ( )
A. a<- 12 B. a<-
3
2 C. -
3
2 < a<-
1
2 D. a<-
3
4
题型二：求函数零点或方程根的个数
【典例分析】
典例 2- 1． (2022·广东 ·惠州一中高一期中 )函数 f x = ex lnx - 2的零点个数为 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
典例 2 - 2． (2021·陕西省神木中学高三阶段练习 (文 ))已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且
f x+ 2 = f x ，当 0≤ x≤ 1时，f x = x，设函数 g x = f x - log7 x ，则函数 g x 的零点个数为 ( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 14
典例 2- 3． (2022·黑龙江 ·哈尔滨三中高一阶段练习 )若函数 f x 的定义域为R,f x- 1 为偶函数，当
x≥-1时，f x = 3-x- 1 1 ，则函数 g x = f x - 2 的零点个数为 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【方法技巧总结】
1. 核心：函数的零点 方程的根 函数图象与 x轴交点的横坐标 两函数交点的横坐标
2. 流程：利用函数图象交点的个数：①画出函数 f(x)的图象，函数 f(x)的图象与 x轴在给定区间上交点的个
数就是函数 f(x)的零点个数；②将函数 f(x)拆成两个图象易得的函数 h(x)和 g(x)的差，即 f(x) = 0等价
于 h(x) = g(x)，则所求的零点个数即为函数 y= h(x)和 y= g(x)的图象在给定区间上的交点个数.
3. 注意：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所给函数是周期函数，则只需求在一个周期内
零点的个数.
【变式训练】
ex, x≥ 0
1. (2023·陕西西安 ·高三期末 (理 ))已知函数 f x = ，若函数 g x = f -x - f x ，则函数-3x, x< 0
g x 的零点个数为 ( )
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
2. (2022·安徽 ·高三阶段练习 )已知定义域为 R 的偶函数 f x 的图象是连续不断的曲线，且 f x+ 2 +
f x = f 1 ,f x 在 0,2 上单调递增，则 f x 在区间 -100,100 上的零点个数为 ( )
A. 100 B. 102 C. 200 D. 202
3. (2022·山东青岛 ·高三期中 )已知偶函数 f(x)的定义域为 (-∞ ,0) ∪ (0,+∞)，对任意 x> 0，都有 f(x) =
f x2 ，且当 x∈ [1,2)时，f(x) = sinπx，则函数 g(x) = f(x) -
1
3 log2|x|+1的零点的个数为 ( )
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
题型三：根据零点个数求参数范围 (不分参型 )
【典例分析】
典例 3- 1． (2022·广东 ·海珠外国语实验中学高一阶段练习 )已知函数 f x = log x- 4x-1a (a> 0且 a≠
1) 0, 1 1在 2 上无零点，在 2 ,1 上有零点，则实数 a的取值范围为 ( )
A. 0, 1 14 B. 4 ,1 ∪ 1,+∞ C. 0,
1
4 D.
1
4 ,1
典 例 3 - 2 ． ( 2022 · 黑 龙 江 · 牡 丹 江 市 第 三 高 级 中 学 高 三 阶 段 练 习 ) 设 函 数 f x =
lnx x , x> 0
有 4个不同零点，则正实数ω的范围为 ( )
sin ωx+ π4 , -π≤ x≤ 0
A. 9 4 ,
13
4 B.
9 13
4 , 4 C.
9 , 13 D. 9 , 13 4 4 4 4
【方法技巧总结】
1. 技巧：分类讨论参数的不同取值情况，研究零点的个数或取值。核心思想还是数形结合，需结合带参讨
论。
【变式训练】
1. (2021·河南 ·安阳一中高一期末 )已知定义在R上的奇函数，满足 f 2- x + f x = 0，当 x∈ 0,1 时，
f x =-log2x，若函数F x = f x - sin πx ，在区间 -1,m 上有 10个零点，则m的取值范围是 (　　
)
A. 3.5,4 B. 3.5,4 C. 5,5.5 D. 5,5.5
(x- 2)ln(x+ 1) ,-1< x≤m,
2. (2022·江西 ·高三阶段练习 (理 ))已知m> 0，函数 f(x) = 恰有 3个零点，cos 3x+ π4 ,m< x≤ π,
则m的取值范围是 ( )
A. π 12 ,
5π 3π
12 ∪ 2, 4 B.
π , 5π 12 12 ∪
3π
2, 4
C. 0, 5π12 ∪ 2,
3π
4 D. 0,
5π
12 ∪ 2,
3π
4
题型四：比较零点的大小关系
【典例分析】
3. 典例 4- 1． (2022·全国 ·高三专题练习 )已知函数 f x = 2x+ 2x,g x = log2x+ 2x,h x = 3x+ 2x的零
点分别为 a,b,c，则 a,b,c的 ()
A. b> c> a B. b> a> c
C. c> a> b D. a> b> c
4. 典例 4- 2． (2022·福建泉州 ·高一阶段练习 )设正实数 a,b,c分别满足 a 2a= b log3b= c log2c= 1，则
a,b,c的大小关系为 ( )
A. a> b> c B. b> c> a C. c> b> a D. a> c> b
【方法技巧总结】
1. 技巧：观察所属函数，并画出函数图象，根据图象交点横坐标的大小进而判断所求数的大小关系。
【变式训练】
1. (2022·全国 ·高三专题练习 )已知函数 f x = x+ x3，g x = x+ 3x，h x = x+ log3x的零点分别为 x1，
x2，x3，则 x1，x2，x3的大小顺序为 ( )
A. x2> x3> x1 B. x3> x2> x1 C. x1> x2> x3 D. x3> x1> x2
2. (2023·全国 ·高三专题练习 )若实数 a,b,c满足 2-a= ln a+ 1 ,2-b= log b,2-c3 = lnc，则 ( )
A. c< b< a B. a< c< b
C. c< a< b D. b< a< c
题型五：求函数零点的和
【典例分析】
典例 5- 1． (2022·江西 ·上高二中高二阶段练习 (文 ))函数 f x = sin πx + 1 x- 1 ，则 y= f x 的图象
在 -2，4 内的零点之和为 ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
典例 5 - 2． (2022·江苏 ·常熟中学高三阶段练习 )定义在 R上的函数 f x 满足 f -x + f x = 0，
f -x = f x+ 2 ；且当 x∈ 0,1 时，f x = x3- x2+ x．则方程 4f x - x+ 2= 0所有的根之和为 ( )
A. 6 B. 12 C. 14 D. 10
【方法技巧总结】
1. 零点之和需要掌握的方法：
(1)函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调
性，并运用性质求零点和；
(2)数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象；
【变式训练】
1. (2022·福建省福州第二中学高二期末 )函数 f x = sinπx- ln 2x- 3 的所有零点之和为 ( )
A. 9 B. 6 C. 4.5 D. 3
2. (2022·云南云南 ·模拟预测 )已知定义在R上的偶函数 f(x)满足 f(x) = f(2- x)，当 x∈ [0,1]时，f(x) =
x.函数 g(x) = e-|x-1|(-1< x< 3)，则 f(x)与 g(x)的图像所有交点的横坐标之和为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
<第二招：分离参数>
题型六：根据零点个数求参数范围 (分参型 )
【典例分析】
典例 6- 1． (2021·天津 ·高一期末 )定义在R上的函数 f(x)满足 f(x+ 1) = f(x- 1)，且当 x∈ [-1,1)时，
log0.5(1- x), -1≤ x≤ 0f(x) = ，若在区间 [0,5]上函数 g(x) = f(x) -mx恰有 4个不同的零点，则实数-|x|, 0< x< 1
m的取值范围为 ( )
A. - 13 ,0 B. -∞ ,-
1
5 C. -
1
5 ,0 D. -
1
3 ,-
1
5
1 , x> 1
典例 6- 2． (2022·黑龙江 ·宾县第二中学高一期中 )已知函数 f(x) = x ，若函数 g(x) = f 3x- 1 , x≤ 1
(x) - k有 3个零点，则实数 k的取值范围为 ( )
A. (0，+∞) B. (0，1) C. [1，+∞) D. [1，2)
【方法技巧总结】
1. 已知函数有零点 (方程有根 )求参数值 (取值范围 )常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利
用数形结合的方法求解.
【变式训练】
(x- 1)3, x< 2
1. (2022·北京 ·高三阶段练习 (文 ))已知函数 f(x) = - ，若函数 g x = f x - a存在两个零e2 x, x≥ 2
点，则实数 a的取值范围是 ( )
A. -∞ ,0 B. -∞ ,1 C. (0,1) D. 1,+∞
2ln(x+ 1), x≥ 0
2. (2021·陕西 ·安康市教学研究室一模 (理 ))已知函数 f(x) = - ，若函数 g(x) = f(x) - k|x|e x- 1, x< 0
(k∈R)恰有 3个零点，则 k的取值范围是 ( )
A. (1,2) B. [1,2] C. (0,2) D. (-1,1)
3. (2022·四川省德阳中学校高二开学考试 )定义在R上的偶函数 f x 满足对任意的 x∈R，都有 f 1+ x =
f 3- x ，当 x∈ 0,2 时，f x = 4- x2，若函数 y= f x - kx在 x∈ (0,+∞)上恰有 3个零点，则实数 k
的取值范围为 ( )
A. 15 3 B. 14 3 C. 35 15 35 1415 ， 3 14 ， 3 35 ， 15 D. 35 ， 14
题型七：根据函数零点分布求零点代数式的取值范围
【典例分析】
2
典例 7- 1． (2022· -3x + 6x,x≤ 2浙江 ·温州市第八高级中学高一期中 )设函数 f x = - ，若关于 x的 log2 x 2 ,x 2
方程 f x = t有四个实根 x1,x2,x3,x4 x1< x2< x3< x4 ，则 x1+ x2+ 2x 13+ 2 x4的最小值为 ( )
A. 19 B. 172 2 C. 10 D. 9
sinπx, 0≤ x≤ 1典例 7- 2． (2022·贵州 ·凯里一中高一开学考试 )已知函数 f x = log ，若有 3个不1 x- 1 , x> 1
4
相等的实数 a、b、c，且 f a = f b = f c ，则 a+ b+ c的取值范围是 ( )
A. 7 4 ,
5
2 B.
9
4 ,3 C.
9
4 ,3

D. 74 ,3
【方法技巧总结】
1. 技巧：解决此题的关键是作出函数的图象，将问题转化为函数的零点转为方程的根进而转化为函数与函
数图象交点的个数，再根据利用二次函数的对称性及对数的运算性质及不等式的性质即可求解.
【变式训练】
log 1x , x> 0 1. (2021·安徽 ·高一阶段练习 )已知函数 f (x) = 2 且 x1< x2< x3< x4时，f x1 =x2+ 2 2x+ 3, x≤ 0
x
f x 4 2 2 = f x 43 = f x4 ，则 x + 2 2 的取值范围为 ( )3 x1x3+ x2x3
A. 1 4 ,8 B. 2,+∞ C. 4,+∞ D. -64,-4
lgx , 0< x≤ 102. (2022·安徽省怀宁县第二中学高三阶段练习 )已知函数 f x = ，若 a,b,c互不相等，-x+ 11, x> 10
且 f a = f b = f c ，则 abc的取值范围是 ( )
A. 1，10 B. 1，11 C. 10，11 D. 10，+∞
<第三招：转化化归>
题型八：嵌套函数的零点个数
【典例分析】
x2 - 2x, x> 0典例 8- 1． (2022·安徽 ·六安一中高一期中 )若函数 f(x) = ，则关于 x的方程 2 f x
2+
-x2, x≤ 0
f x - 1= 0有 ( )实根．
A. 6个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【方法技巧总结】
1. 分类：嵌套函数分为：“二次嵌套型”y= a f x 2+ bf x + c 与“自嵌套型”y= f f x .
2. 技巧：利用换元的思想将函数转化为内外函数，并画出内外函数的图象，利用数形结合，将问题化归为单
个函数的图象交点问题。需注意的是内外函数的自变量的区别与关系。
【变式训练】
1. (2023·全国 ·高三专题练习 )已知函数 f x = x3- 3x，则函数 h x = f f x - c，c∈ -2,2 的零点个数
(　　 )
A. 5或 6个 B. 3或 9个 C. 9或 10个 D. 5或 9个
题型九：根据嵌套函数零点个数求参数
【典例分析】
x2 e
x, x< 1
典例 9 - 1． (2022·安徽 ·合肥一中高三阶段练习 )已知函数 f (x) = ex ，若关于 x的方程x2 , x≥ 1
f x 2- 2af x = 0有两个不相等的实数根，则实数 a的取值范围是 ( )
A. 2 e
2 2
e2
, 8 B.
2 , e ∪
e2 8
e
2 ,+∞
2
C. 2 , e
2
2 8 ∪
e
2 ,+∞ D.
2 , e e 2 8 ∪ 2 ,+∞e e
典例 9- 2． ( x+ 2a,x< 0,2020·安徽省泗县第一中学模拟预测 (理 ))已知函数 f(x) = x2- , ≥ 若函数 g(x) = fax x 0,
( f(x))恰有 8个零点，则 a的值不可能为 ( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
【方法技巧总结】
1. 技巧：通过分解为内外函数，配合数形结合的思想求解参数范围，遇见难的函数可以配合求导完善图象。
【变式训练】
1. (2022·广西 ·桂林市第五中学高三阶段练习 (文 ))已知定义在R上的函数 y= f x 是偶函数，当 x≥ 0
2sin
π
2 x, 0≤ x≤ 1
时，f x = ，若关于 x的方程 f x
2+ af x + b= 0 a,b∈R ，有且仅有 6个不同

x
12 +
3
2 , x> 1
实数根，则实数 a的取值范围是 ( )
A. -4,- 32 B. -4,-
7
2
C. -4,- 72 ∪ -
7
2 ,-
3
2 D. -4,-
3
2 ∪ -1,-
2
7
x+ 1, x≤ 0
2. (2023·重庆 ·高三阶段练习 )已知函数 f(x) = 1 ，若关于 x的方程 f 2(x) + (m- 4)f(x) + 2(2 x- x , x> 0
-m) = 0有五个不同的实数根，则实数m的取值范围是 ( )
A. [1,3) B. (0,2) C. [1,2) D. (0,1)
针对性巩固练习
练习一：求函数零点及零点所在区间
1. (2022·浙江省杭州学军中学高一期中 )已知 f x 是定义域为 0,+∞ 的单调函数，若对任意的 x ∈
0,+∞ ，都有 f f x - log x = 3，则函数 y= 2 f x - 12 x 的零点为 ( )
A. 12 B.
1
3 C. 2 D. 3
2. (2022·广东 ·广州市第九十七中学高一阶段练习 )函数 f x = lgx+ 2x- 5的零点所在的区间是 ( )
A. 0,1 B. 1,2 C. 2,3 D. 3,4
3. (2021·江苏省镇江中学高一阶段练习 )函数 y= x2- 2ax+ a- 1在 (0,1)上存在零点，则实数 a的取值范
围是 ( )
A. 0< a< 1 B. a< 0或 a> 1 C. a> 1 D. a<-1或 a> 0
练习二：求函数零点或方程根的个数
4. (2022·陕西 ·渭南市瑞泉中学高三阶段练习 (理 ))函数 f(x) = sin x+ π2 - lgx 零点的个数为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. (2022·河南 ·新安县第一高级中学高三开学考试 (文 ))已知定义域为R的偶函数 f(x)的图像是连续不间
f x - f x
断的曲线，且 f(x+ 2) + f(x) = f(1)，对任意的 x1，x2∈ [- ,

2 0] 1 2，x1≠ x2， x > 0恒成立，则 f1- x2
(x)在区间 -100,100 上的零点个数为 ( )
A. 100 B. 102 C. 200 D. 202
6. (2022·上海市七宝中学高三期中 )定义域为R的函数 f x 的图象关于直线 x= 1对称，当 x∈ 0,1 时，
f x , x≥ 0
f x = x，且对任意 x∈R只有 f x+ 2 =-f x ，g x = ，则方程 g x - g -x = 0-log2025 -x , x< 0
实数根的个数为 ( )
A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027
练习三：根据零点个数求参数范围 (不分参型 )
2x- a, x< 1
7. (2023·全国 ·高三专题练习 )若函数 f(x) = 恰有 2个零点，则 a的取值范围是 ( )x(x- a), x≥ 1
A. (-∞，1) B. (0，2) C. (0，+∞) D. [1，2)
8. (2023·全国 ·高三专题练习 )若方程mx- x-m= 0(m> 0，且m≠ 1)有两个不同实数根，则m的取值范
围是 ( )
A. 0，1 B. 2，+∞ C. 0，1 ∪ 2，+∞ D. 1，+∞
练习四：比较零点的大小关系
x x
9. (2021·江苏 · 1 1无锡市市北高级中学高一期中 )知函数 f(x) = 2 - x，g(x) = x- 2- 2 ，h(x) = x
3- x
(x> 0)，方程 f(x) = 0，g(x) = 0，h(x) = 0的根分别为 a，b，c，则 a，b，c的大小顺序为 ( )
A. a> b> c B. c> a> b C. b> c> a D. b> a> c
c
10.(2022·山东潍坊 ·高三期末 )已知 2a= log 1a，3b= log b 11 ， 3 = log2c，则 ( )2 2
A. a< b< c B. b< a< c
C. c< a< b D. c< b< a
练习五：求函数零点的和
11. (2023· · ) f x = 1- x- π sinx - 3π 7π全国 高三专题练习 函数 在区间 2 , 2 上的所有零点之和为 ( )
A. 0 B. 2π C. 4π D. 6π
12.(2022·北京大兴 ·高一期中 )已知 f x 为定义在R上的奇函数，且 f x = f 2- x ，当 x∈ 0,1 时，f x
= x 1，则当 x∈ -3,5 时，f x = 2 的所有解的和为 ( )
A. 4 B. 92 C. 5 D.
11
2
练习六：根据零点个数求参数范围 (分参型 )
x- 1,x> 0,
13.(2022·全国 ·高一专题练习 )已知函数 f x = 1 2+ , ≤ 若函数 g x = f x - k有 2个零点，则实4 x x x 0,
数 k的取值范围是 ( )
A. 0,+∞ B. 0,+∞ ∪ -1 C. 0,+∞ D. -1,+∞
1 2
14.(2022·广西北海 ·高二期末 (文 ))已知函数 f x = x- 2
, x≥ 3，若函数 g x = f x + 2k- kx恰好
x- 2 3, x< 3
有两个零点，则实数 k的取值范围是 ( )
A. -∞ ,0 ∪ 0,1 B. 1,+∞ C. 1,+∞ D. 0,1
练习七：根据函数零点分布求零点代数式的取值范围
log3x , x> 0
15.(2022·吉林 ·长春市第五中学高二期末 )已知函数 f x = ，函数F2 x = f x - b有四x + 4x+ 1, x≤ 0
个不同的零点 x1，x2，x3，x4，且满足：x1< x2< x3< x4，则下列结论中不正确的是 ( )
A. 0< b≤ 1 B. 13 ≤ x3≤ 1 C. x1+ x2=-4 D. x3 x4= 1
x+ 1 , x≤ 016.(2022·河南 ·郑州十九中高二开学考试 )已知函数 f x = ，若方程 f x = k有 4个不同的 log4x , x> 0
x 4根 1，x2，x3，x4，且 x1< x2< x3< x4，则 2 - x4 x1+ x2 的取值范围是 ( )x3x4
A. 4 2,6 B. 2,4 2 C. 2,4 2 D. 4 2,9
练习八：嵌套函数的零点个数
17.(2022 · 辽宁 · 昌图县第一高级中学高二期末 ) 已知函数 f x =
3- x
2- 2x,x≤ 1,
x+ 4x - 2, > 则函数 y= f f x - 3的零点个数为 ( )x 1,
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
练习九：根据嵌套函数零点个数求参数
1- 2x,x≤ 0,
18.(2022· 1安徽 ·合肥一中高一阶段练习 )已知函数 f x = x- , > 若方程 [ f(x)]
2- 3k+2 1 x 0, 3 f(x) + k
= 0有三个不等的实根，则实数 k的取值范围是 ( )
A. 1 k k≤ B. 3 k k= 0或 k≥
1
3
C. k k= 0或 k> 1 3 D.
1
k k< 3
19.( 2022 · 江 苏 · 南 京 师 大 附 中 高 一 阶 段 练 习 ) 设 m 是 不 为 0 的 实 数 ，已 知 函 数 f x =
3
x- 1 , x≤ 2
，若函数F x = 2 f x
2-mf x 有 7个零点，则m的取值范围是 ( )
x2- 10x+ 24, x> 2
A. -2,0 ∪ 0,16 B. 0,16 C. 0,2 D. -2,0 ∪ 0,+∞ “三招九型”，轻松破解函数零点问题
目录
一、重难点题型方法 1
<第一招：数形结合>
题型一：求函数零点及零点所在区间
题型二：求函数零点或方程根的个数
题型三：根据零点个数求参数范围 (不分参型 )
题型四：比较零点的大小关系
题型五：求函数零点的和
<第二招：分离参数>
题型六：根据零点个数求参数范围 (分参型 )
题型七：根据函数零点分布求零点代数式的取值范围
<第三招：转化化归>
题型八：嵌套函数的零点个数
题型九：根据嵌套函数零点个数求参数
二、针对性巩固练习
重难点题型方法
<第一招：数形结合>
题型一：求函数零点及零点所在区间
【典例分析】
典例 1- 1． (2022·河北 ·邢台一中高一阶段练习 )已知 f x 在定义域上为单调函数，对 x∈ 0,+∞ ，
恒有 f f x - log2x = 1，则函数 f x 的零点是 ( )
A. 2 B. 1 C. 12 D. -
1
2
【答案】C
【分析】先根据 f x 单调，结合已知条件求出 f x 的解析式，然后再进一步研究函数 f x 的零点．
【详解】解：因为 f x 是定义域为 0,+∞ 的单调函数，且对任意的 x∈ 0,+∞ ，
都有 f f x - log2x = 1，
故可设存在唯一的实数 a∈ 0,+∞ ，使得 f a = 1，
则设 f x - log2x= a，所以 f x = log2x+ a，
所以 f a = log2a+ a= 1，则 log2a= 1- a，
由于函数 y= log2x在 0,+∞ 上单调递增，函数 y= 1- x在 0,+∞ 上单调递减，
又 log21= 0= 1- 1，所以 a= 1，
故 f x = log2x+ 1，再令 f x = log2x+ 1= 0，x∈ 0,+∞ ，
解得：x= 1 12 ，故函数 f x 的零点是 2 .
故选：C．
典例 1- 2． (2022· 1天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习 )已知函数 f x = x - log2x，在下列
区间中，包含 f x 零点的区间是 ( )
A. 0,1 B. 2,3 C. 3,+∞ D. 1,2
【答案】D
【分析】利用零点存在定理可判断零点所在的区间.
【详解】因为 y= 1x 在 0,+∞ 上为减函数，y= log2x在 0,+∞ 上为增函数，
故 f x 在 0,+∞ 上为减函数，
而 f 1 = 1- log21= 1> 0，f 1 1 2 = 2 - log22=- 2 < 0，
故 f x 的零点在区间 1,2 中，
故选：D.
典例 1- 3． (2022·贵州遵义 ·高一期中 )若函数 f(x) = x2+ x+m的零点在区间 (1,2)内，则m的取值范
围为 ( )
A. [-6,-2] B. (-6,-2)
C. (-∞ ,-6]∪ [-2,+∞) D. (-∞ ,-6) ∪ (-2,+∞)
【答案】B
【分析】因为 f x 在 (1,2)上单调递增，由零点的存在性定理知要使 f(x)在 (1,2)上存在零点，需要满足
f(1)< 0 ( )> ，求得m的取值范围.f 2 0
【详解】因为 f x 在 (1,2)上单调递增，且 f x 的图象是连续不断的，
所以 f(1) = 1+ 1+m< 0 ( ) = + + > ，解得-6故选：B.
【方法技巧总结】
1. 零点存在性定理：如果函数 y= f(x)在区间 a,b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) f(b) <
0，那么函数 y= f(x)在区间 (a,b)内有零点，即存在 c∈ (a,b)，使得 f(c) = 0，这个 c也就是方程的根。
2. 注意：①不满足 f(a) f(b)< 0的函数也可能有零点 .②若函数 f(x)在区间 a,b 上的图象是一条连续曲
线，则 f(a) f(b)< 0是 f(x)在区间 a,b 内有零点的充分不必要条件.
【变式训练】
x2+ 2x, x≤ 0
1. (2022·河南 ·温县第一高级中学高三阶段练习 (文 ))已知函数 f x = ，则函数 g x = lgx , x> 0
f 1- x - 1的零点个数为 ( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【分析】通过解法方程 g x = 0 来求得 g x 的零点个数.
【详解】由 g x = 0 可得 f 1- x = 1.
当 x≤ 0 时，x2+ 2x= 1 x=-1- 2，或 x=-1+ 2(舍去 )，
当 x> 0 时， lgx 1 = 1 x= 10 或 x= 10 .
故 1- x=-1- 2 x= 2+ 2 是 g x 的零点，
1- x= 10 x=-9 是 g x 的零点，
1- x= 110 x=
9
10 是 g x 的零点.
综上所述，g x 共有 3 个零点.
故选：C
2. (2022·北京市海淀区仁北高级中学高一阶段练习 )函数 f x = x3+ 5x- 7的零点所在的区间可以是 ( )
A. 0,1 B. 1,2 C. 2,3 D. 3,4
【答案】B
【分析】利用零点存在性定理，可得答案.
【详解】f 0 =-7< 0，f 1 = 1+ 5- 7=-1< 0，f 2 = 8+ 10- 7= 11> 0，f 3 = 27+ 15- 7= 35>
0，f 4 = 64+ 20- 7= 77> 0，
由 f 1 f 2 < 0，则函数 f x 的零点存在的区间可以是 1,2 ，
故选：B.
3. (2022·天津市南开区南大奥宇培训学校高三阶段练习 )函数 f x = 2alog2x+ a 4x+ 3在区间 12 ,1 上
有零点，则实数 a的取值范围是 ( )
A. a<- 12 B. a<-
3
2 C. -
3 < a<- 12 2 D. a<-
3
4
【答案】D
【分析】分析可知 a≠ 0，函数 f x 在区间 12 ,1 上单调，利用零点存在定理可得出关于实数 a的不等式，
解之即可.
【详解】当 a= 0 时，f x = 3，不合乎题意.
当 a> 0 时，由于函数 y= 2alog2x、y= a 4x+ 3 在 12 ,1 上均为增函数，
此时函数 f x 在 12 ,1 上为增函数.
当 a< 0 时，由于函数 y= 2alog2x、y= a 4x+ 3 在 12 ,1 上均为减函数，
此时函数 f x 在 1 2 ,1 上为减函数.
因为函数 f 1 1 x 在区间 2 ,1 上有零点，则 f 2 f 1 < 0，
即 3 4a+ 3 < 0，解得 a<- 34 .
故选：D.
题型二：求函数零点或方程根的个数
【典例分析】
典例 2- 1． (2022·广东 ·惠州一中高一期中 )函数 f x = ex lnx - 2的零点个数为 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【分析】将问题转化为 g x 与 h x 的图像的交点的个数，作出图像即可得解.
【详解】因为 f x = ex lnx - 2，令 f x = 0，则 ex lnx - 2= 0，即 lnx =
2 1
x
e ，
令 g x = lnx ，则 g x 的图像是 y= lnx的图像保留 x轴上方的图像，同时将
x轴下方的图像沿着 x轴向上翻折得到的图像，如图所示，
令 h x = 2 1
x x
e ，则 h x 的图像是 y=
1
e 的图像的纵坐标扩大 2 倍，横坐
标保持不变得到的图像，如图所示，
所以 g x 与 h x 的图像有两个交点，即 f x = ex lnx - 2 有两个零点.
故选：C .
典例 2 - 2． (2021·陕西省神木中学高三阶段练习 (文 ))已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且
f x+ 2 = f x ，当 0≤ x≤ 1时，f x = x，设函数 g x = f x - log7 x ，则函数 g x 的零点个数为 ( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 14
【答案】C
【分析】由已知可得函数 f(x)的周期，作出两函数 y= f(x)与 y= log7 x 在 (0,+∞)上的部分图象，数形结
合可得两函数在 (0,+∞)上的交点公式，再根据对称性得答案．
【详解】解：函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，所以 f -x = f x ，且 f x+ 2 = f x
所以 f -x = f x+ 2 ，则函数 y= f(x)的图象关于 x= 1 对称，
函数 g x = f x - log7 x 的零点即为 f x = log7 x 的根，
又函数 f x 满足 f x+ 2 = f x ，则 f x 的周期为 2，
函数 y= f(x)与 y= log7 x 的图象都关于 y轴对称，
作出两函数在 (0,+∞)上的部分图象如图：
由图可知，两函数在 (0,+∞)上有 6 个交点，根据对称性可得，
g(x)的零点的个数为 12．
故选：C．
典例 2- 3． (2022·黑龙江 ·哈尔滨三中高一阶段练习 )若函数 f x 的定义域为R,f x- 1 为偶函数，当
x≥-1时，f x = 3-x- 1 1 ，则函数 g x = f x - 2 的零点个数为 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】D
【分析】根据函数的性质作出函数图象，利用数形结合的思想求解零点的个数.
【详解】令 3-x- 1≥ 0 解得 x≤ 0，令 3-x- 1< 0 解得 x> 0，

x
1 - 1, -1≤ x≤ 0
所以当 x≥- 时， 31 f x = 3-x- 1 = ，

x
- 13 + 1, x> 0
f x- 1 为偶函数，所以 f x- 1 的图象关于 y轴对称，
所以 f x 的图象关于直线 x=-1 轴对称，
故作出 f x 的图象如下，
令 g x = f 1 1 x - 2 = 0，即 f x = 2 ，
由图象可知，f x 的图象与 y= 12 的图象共有四个交点，
所以函数 g 1 x = f x - 2 的零点个数为 4 个.
故选 :D.
【方法技巧总结】
1. 核心：函数的零点 方程的根 函数图象与 x轴交点的横坐标 两函数交点的横坐标
2. 流程：利用函数图象交点的个数：①画出函数 f(x)的图象，函数 f(x)的图象与 x轴在给定区间上交点的个
数就是函数 f(x)的零点个数；②将函数 f(x)拆成两个图象易得的函数 h(x)和 g(x)的差，即 f(x) = 0等价
于 h(x) = g(x)，则所求的零点个数即为函数 y= h(x)和 y= g(x)的图象在给定区间上的交点个数.
3. 注意：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所给函数是周期函数，则只需求在一个周期内
零点的个数.
【变式训练】
ex, x≥ 0
1. (2023·陕西西安 ·高三期末 (理 ))已知函数 f x = ，若函数 g x = f -x - f x ，则函数-3x, x< 0
g x 的零点个数为 ( )
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
3x- e
x, x> 0

【分析】本题首先通过函数奇偶性求出 g x = 0, x= 0 ，再利用导数研究其在 0,+∞ 上的零点个
ex+ 3x, x< 0
数即可.
【详解】当 x> 0 时，-x< 0，f -x = 3x
当 x< 0 时，-x> 0，f -x = e-x
3x- e
x, x> 0

∴ g x = f -x - f x = 0, x= 0 ，
e-x+ 3x, x< 0
g(-x) = f(x) - f(-x) =-g(x)，且定义域为R，关于原点对称，故 g x 为奇函数，
所以我们求出 x> 0 时零点个数即可，
g(x) = 3x- ex,x> 0，g (x) = 3- ex> 0，令 g (x) = 3- ex> 0，解得 0< x<
ln3，
故 g x 在 0,ln3 上单调递增，在 (ln3,+∞)单调递减，
且 g(ln3) = 3ln3- 3> 0，而 g 2 = 6- e2< 0，故 g x 在 (ln3,2)有 1 零点，
1
g 13 = 1- e3< 0，故 g
1
x 在 3 ,ln3 上有 1 零点，图像大致如图所示：
故 g x 在 0,+∞ 上有 2 个零点，又因为其为奇函数，则其在 -∞ ,0 上也有 2
个零点，且 g 0 = 0，故 g x 共 5 个零点，
故选：D.
2. (2022·安徽 ·高三阶段练习 )已知定义域为 R 的偶函数 f x 的图象是连续不断的曲线，且 f x+ 2 +
f x = f 1 ,f x 在 0,2 上单调递增，则 f x 在区间 -100,100 上的零点个数为 ( )
A. 100 B. 102 C. 200 D. 202
【答案】A
【分析】结合函数的奇偶性、单调性、周期性和零点的知识求得正确答案.
【详解】令 x=-1，得 f 1 + f -1 = f 1 ，即 f -1 = 0，
因为 f x 为偶函数，所以 f 1 = 0,f x+ 2 + f x = f 1 = 0，
f x+ 2 =-f x ，f x+ 4 =-f x+ 2 = f x ，
所以 f x 是以 4 为周期的函数，
因为 f x 在 0,2 上单调递增，则 f x 在 -2,0 上递减，
所以 f x 在一个周期内有两个零点，
故 f x 在区间 -100,100 上的零点个数为 50× 2= 100.
故选：A
3. (2022·山东青岛 ·高三期中 )已知偶函数 f(x)的定义域为 (-∞ ,0) ∪ (0,+∞)，对任意 x> 0，都有 f(x) =
f x2 ，且当 x∈ [1,2)时，f(x) = sinπx，则函数 g(x) = f(x) -
1
3 log2|x|+1的零点的个数为 ( )
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
【答案】C
【分析】将问题化为 f(x)与 y= 13 log2|x|-1 图象的交点个数，结合偶函数对称性只需研究 f(x)与 g(x) =
1
3 log2x- 1 在 (0,+∞)的交点个数，数形结合判断交点个数即可.
【详解】将问题化为 f(x)与 y= 13 log2|x|-1 图象的交点个数，显然 y=
1
3 log2|x|-1 也是定义在 (-∞ ,0) ∪
(0,+∞)上的偶函数，
所以，只需研究 f(x)与 g(x) = 13 log2x- 1 在 (0,+∞)的交点个数，再乘以 2 即可得结果.
对应 f(x)：x∈ [1,2)时 f(x) ∈ [-1,0]，在 1, 3 2 上递减，
3
2 ,2 上递增；
任意 x> 0 都有 f(x) = f x2 ，易知 x∈ [n,2n)上 f(x) = sin
πx
n ∈ [-1,0]，在
n, 3 2 n 上递减，
3
2 n,2n 上
递增，n∈N *；
又 g(x)在 (0,+∞)上递增，且 g(1) =-1< f(1) = 0，g(8) = 0= f(8)，
综上，f(x)与 g(x)在 x∈ (1,8]存在交点，且函数图象如下图：
由图知：x∈ (1,8]上共有 6 个交点，根据偶函数的对称性知：共有 12 个交点，
所以原函数有 12 个零点.
故选：C
题型三：根据零点个数求参数范围 (不分参型 )
【典例分析】
典例 3- 1． (2022·广东 ·海珠外国语实验中学高一阶段练习 )已知函数 f x = log x- 4x-1a (a> 0且 a≠
1)在 0, 1 12 上无零点，在 2 ,1 上有零点，则实数 a的取值范围为 ( )
A. 0, 1 B. 1 ,1 ∪ 1,+∞ C. 0, 1 4 4 4 D.
1
4 ,1
【答案】D
【分析】将问题转化成研究方程 log x= 4x-1在 0, 1 a 2 上无实数根，在
1
2 ,1 上有实数根，即考查函数 g x
= log x,h x = 4x-1a 的交点情况，作出函数图像数形结合即可得到答案.
【详解】函数 f x 在 0, 1 2 上无零点，在
1
2 ,1 上有零点，
即方程 f x = 0 在 0, 1 2 上无实数根，在
1
2 ,1 上有实数根，
即 logax= 4x-1在 0, 1 2 上无实数根，在
1
2 ,1 上有实数根，设 g x =
log x,h x = 4x-1a ，
函数 h x 在 R 上单调递增，且 h 0 = 14 ,h
1
2 =
1
2 ,h 1 = 1，
h x = 4x-1> 0 恒成立，若 a> 1，则在 x∈ 0,1 时，g x = logax< 0，
故不满足条件.
由于 g x 与 h x 的图象在 0, 1 2 上无交点，在
1
2 ,1 上有交点，
0< a< 1
根据函数的图像可知 1 g 12 > ，解得 < a< 1h 12 4
故选：D.
典 例 3 - 2 ． ( 2022 · 黑 龙 江 · 牡 丹 江 市 第 三 高 级 中 学 高 三 阶 段 练 习 ) 设 函 数 f x =
lnx x , x> 0
有 4个不同零点，则正实数ω的范围为 ( )
sin ωx+ π4 , -π≤ x≤ 0
A. 9 , 13 B. 9 , 13 4 4 4 4 C.
9 13 9 13
4 , 4 D. 4 , 4
【答案】A
【分析】由已知可得 f x 在 [-π,0]上有 3 个不同零点即可，利用正弦函数的性质列出不等式，解出正实数
ω的范围．
【详解】令 y= lnxx = 0，解得 x= 1，即 f x 在 (0,+∞)上仅有一个零点，所以只需 y= sin ωx+
π
4 在 [-π
,0]上有 3 个不同零点即可．
当 x∈ [-π,0]时，ωx+ π ∈ 4 -ωπ+
π π
4 , 4 ，所以-3π<-ωπ+
π
4 ≤-2π，即ω∈
9 13
4 , 4
故选：A
【方法技巧总结】
1. 技巧：分类讨论参数的不同取值情况，研究零点的个数或取值。核心思想还是数形结合，需结合带参讨
论。
【变式训练】
1. (2021·河南 ·安阳一中高一期末 )已知定义在R上的奇函数，满足 f 2- x + f x = 0，当 x∈ 0,1 时，
f x =-log2x，若函数F x = f x - sin πx ，在区间 -1,m 上有 10个零点，则m的取值范围是 (　　
)
A. 3.5,4 B. 3.5,4 C. 5,5.5 D. 5,5.5
【答案】A
【分析】根据题意可知 f x 和 sin πx 都是周期为 2 的周期函数，因此可将F x = f x - sin πx 的零点
问题转换为 f x 和 sin πx 的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第 10 个零点坐标，而m
的取值范围就在第 10 个零点和第 11 个零点之间.
【详解】由 f 2- x + f x = 0 f x =-f 2- x = f x- 2 得 f x 是一个周期为
2 的奇函数，当 x∈ 0,1 时，f x =-log x，因此 f 1 2 2 =-log
1
2 2 = 1，f 1 = 0
因为 f x 是奇函数，所以 f 0 = 0 ，f - 12 =-1，f -1 = 0
且 g x = sin πx 的周期为T= 2ππ = 2，且 g -1 = 0，g -
1
2 =-1，g 0 = 0，
g 12 = 1，g 1 = 0
求F x = f x - sin πx 的零点，即是 f x 与 g x 的交点，如图：
为 f x 与 g x 在 -1,1 区间的交点图形，因为 f x 与 g x 均为周期为 2 的周期
函数，因此交点也呈周期出现，由图可知F x 的零点周期为 12 ，若在区间 -1,m
上有 10 个零点，则第 10 个零点坐标为 3.5,0 ，第 11 个零点坐标为 4,0 ，因此 3.5≤m< 4
故选：A
(x- 2)ln(x+ 1) ,-1< x≤m,
2. (2022·江西 ·高三阶段练习 (理 ))已知m> 0，函数 f(x) = 恰有 3个零点，cos 3x+ π4 ,m< x≤ π,
则m的取值范围是 ( )
A. π , 5π 12 12 ∪ 2,
3π B. π 5π 3π 4 12 , 12 ∪ 2, 4
C. 0, 5π12 ∪ 2,
3π
4 D. 0,
5π 3π
12 ∪ 2, 4
【答案】A
【分析】分别求出两段函数各自的零点，作出图像利用数形结合即可得出答案.
【详解】设 g x = (x- 2)ln(x+ 1)，h x = cos 3x+ π4 ，
求导 g x = ln(x+ 1) + x- 2x+ 1 = ln(x+ 1) + 1-
3
x+ 1
由反比例函数及对数函数性质知 g x 在 -1,m ,m> 0 上单调
递增，
且 g 12 < 0，g
1 > 0，故 g 1 x 在 2 ,1 内必有唯一零点 x0，
当 x∈ -1,x0 时，g (x)< 0，g x 单调递减；
当 x∈ x0,m 时，g (x)> 0，g x 单调递增；
令 g x = 0，解得 x= 0 或 2，可作出函数 g x 的图像，
令 h x = 0，即 3x+ π4 =
π
2 + kπ,k∈ Z，在 0,π 之间解得 x=
π 或 5π 3π 12 12 或 4 ，
作出图像如下图
数形结合可得： π 12 ,
5π
12 ∪
3π
2, 4 ，
故选：A
题型四：比较零点的大小关系
【典例分析】
3. 典例 4- 1． (2022·全国 ·高三专题练习 )已知函数 f x = 2x+ 2x,g x = log2x+ 2x,h x = 3x+ 2x的零
点分别为 a,b,c，则 a,b,c的 ()
A. b> c> a B. b> a> c
C. c> a> b D. a> b> c
【答案】A
【分析】画出 y=-2x的图象与 y= 2x，y= log2x，y= 3x的图象，根据交
点可判断.
【详解】由题可得 a,b,c即为 y=-2x的图象分别与 y= 2x，y= log2x，y
= 3x的交点的横坐标，
如图，画出函数图象，由图可得，b> c> a.
故选：A.
4. 典例 4- 2． (2022·福建泉州 ·高一阶段练习 )设正实数 a,b,c分别满足 a 2a= b log3b= c log2c= 1，则
a,b,c的大小关系为 ( )
A. a> b> c B. b> c> a C. c> b> a D. a> c> b
【答案】B
【分析】作出 y= 2x,y= log2x,y= log3x的图像，利用图像和 y= 1x 图像
交点的横坐标比较大小即可.
【详解】由已知可得 1 = 2a，1a = log3b，
1
c = log2c，b
作出 y= 2x,y= log2x,y= log3x的图像如图所示：
它们与 y= 1x 交点的横坐标分别为 a,b,c，
由图像可得 b> c> a，
故选：B
【方法技巧总结】
1. 技巧：观察所属函数，并画出函数图象，根据图象交点横坐标的大小进而判断所求数的大小关系。
【变式训练】
1. (2022·全国 ·高三专题练习 )已知函数 f x = x+ x3，g x = x+ 3x，h x = x+ log3x的零点分别为 x1，
x2，x3，则 x1，x2，x3的大小顺序为 ( )
A. x2> x3> x1 B. x3> x2> x1 C. x1> x2> x3 D. x3> x1> x2
【答案】D
【分析】依题意可将函数的零点转化为函数 y= x3、y= 3x、y= log3x与 y=-x的
交点的横坐标，画出函数图象，结合图象即可判断；
【详解】解：依题意令 f x = x+ x3= 0，即 x3=-x，
同理可得 3x=-x，log3x=-x，
则函数的零点转化为 y= x3、y= 3x、y= log3x与 y=-x的交点的横坐标，
在平面直角坐标系上画出函数图象如下：
由图可得 x1= 0，x2< 0，x3> 0，即 x3> x1> x2.
故选：D
2. (2023·全国 ·高三专题练习 )若实数 a,b,c满足 2-a= ln a+ 1 ,2-b= log b,2-c3 = lnc，则 ( )
A. c< b< a B. a< c< b
C. c< a< b D. b< a< c
【答案】B
【分析】观察三个等式，可考虑根据 y= 2-x的图象分别与 y=
ln x+ 1 ,y= log3x,y= lnx三个函数图象交点的横坐标大小关系
判断即可
【详解】画出 y= 2-x与 y= ln x+ 1 ,y= log3x,y= lnx三个函数的
图象，如图可得 y= 2-x的与 y= ln x+ 1 ,y= lnx,y= log3x交点的横坐标依次为 a,c,b，故 a< c< b
故选：B
题型五：求函数零点的和
【典例分析】
1
典例 5- 1． (2022·江西 ·上高二中高二阶段练习 (文 ))函数 f x = sin πx + x- 1 ，则 y= f x 的图象
在 -2，4 内的零点之和为 ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【分析】由题可知函数 y= sin πx 1 与函数 y=- x- 1 的图象在 -2，4 内交点的横坐标即为函数 y=
f x 的零点，利用数形结合及函数的对称性即得.
【详解】由 f x = sin 1 πx + x- 1 = 0 可得 sin πx =
- 1x- 1 ，
则函数 y= sin πx 与函数 y=- 1x- 1 的图象在 -2，4 内
交点的横坐标即为函数 y= f x 的零点，
又函数 y= sin 1 πx 与函数 y=- x- 1 的图象都关于点
1,0 对称，
作出函数 y= sin πx 与函数 y=- 1 x- 1 的大致图象，
由图象可知 y= f x 在 -2，4 内有四个零点，则零点之和为 4．
故选：B.
典例 5 - 2． (2022·江苏 ·常熟中学高三阶段练习 )定义在 R上的函数 f x 满足 f -x + f x = 0，
f -x = f x+ 2 ；且当 x∈ 0,1 时，f x = x3- x2+ x．则方程 4f x - x+ 2= 0所有的根之和为 ( )
A. 6 B. 12 C. 14 D. 10
【答案】D
【分析】根据题意可得 f x 为奇函数，关于直线 x= 1 对称且周期为 4，再根据当 x∈ 0,1 时，f x = x3-
x2+ x，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可.
【详解】∵ f -x + f x = 0，∴ f x 为奇函数，又∵ f -x = f x+ 2 ，∴ f x 关于直线 x= 1 对称．
当 x∈ 0,1 时，f x = 3x2- 2x+ 1> 0，f x 单调递增，-f x = f x+ 2 ，f x 一个周期为 4，f x 关
于 2,0 中心对称．
由 f(x) = 14 (x- 2)，∴所有实根之和为 x1+ x5 + x2+ x4 + x3= 4+ 4+ 2= 10.
故选：D．
【方法技巧总结】
1. 零点之和需要掌握的方法：
(1)函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调
性，并运用性质求零点和；
(2)数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象；
【变式训练】
1. (2022·福建省福州第二中学高二期末 )函数 f x = sinπx- ln 2x- 3 的所有零点之和为 ( )
A. 9 B. 6 C. 4.5 D. 3
【答案】A
【分析】根据给定条件，构造函数 y= sinπx，y= ln 2x- 3 ，作出这两个函数的部分图像，确定两个图像的
交点个数，再结合性质计算作答.
【详解】由 f x = 0 sinπx= ln|2x- 3|，令 y= sinπx ， y=
ln 2x- 3 ，
显然 y= sinπx与 y= ln 2x- 3 的图像都关于直线 x= 32 对称，
在同一坐标系内作出函数 y= sinπx，y= ln 2x- 3 的图像，如
图，
观察图像知，函数 y= sinπx，y= ln 2x- 3 的图像有 6 个公共
点，其横坐标依次为 x1,x2,x3,x4,x5,x6，
这 6 个点两两关于直线 x= 32 对称，有 x1+ x6= x2+ x5= x3+ x4
= 3，
所以，x1+ x2+ x3+ x4+ x5+ x6= 9，
所以函数 f x = sinπx- ln 2x- 3 的所有零点之和为 9.
故选：A
2. (2022·云南云南 ·模拟预测 )已知定义在R上的偶函数 f(x)满足 f(x) = f(2- x)，当 x∈ [0,1]时，f(x) =
x.函数 g(x) = e-|x-1|(-1< x< 3)，则 f(x)与 g(x)的图像所有交点的横坐标之和为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【分析】首先根据题干条件确定抽象函数 f x 的对称性和周期性，然后根据 f x 的性质及 g x 的解析式
画出 f x 与 g x 在 -1,3 的图像，观察图像，结合函数对称性求解所
有交点横坐标之和.
【详解】由 f(x) = f(2- x)，可知函数 f x 的图像关于直线 x= 1 对称，
又∵ f x 为偶函数，∴ f x = f 2- x = f x+ 2 ，故函数 f x 是周期
函数，且周期T= 2，
∵ g(x) = e-|x-1|(-1< x< 3)，∴ g(x)的图像也关于直线 x= 1 对称，
当 1≤ x≤ 2 时，f(x) = 2- x,g(x) = e1-x，设 h(x) = 2- x- e1-x,(1≤ x≤ 2)，
则 h (x) =-1+ e1-x< 0，即函数 h(x)在 [1,2]为减函数，
又 h(1) = 0，即 h(x)≤ 0，即函数 f(x)，g(x)的图像在 (1,2)无交点，
则函数 f(x)，g(x)在 (-1,3)上的图像如图所示，
可知两个图像有 3 个交点，一个在直线 x= 1 上，另外两个关于直线 x= 1 对称，则三个交点的横坐标之和
为 3.
故选：A
<第二招：分离参数>
题型六：根据零点个数求参数范围 (分参型 )
【典例分析】
典例 6- 1． (2021·天津 ·高一期末 )定义在R上的函数 f(x)满足 f(x+ 1) = f(x- 1)，且当 x∈ [-1,1)时，
log0.5(1- x), -1≤ x≤ 0f(x) = ，若在区间 [0,5]上函数 g(x) = f(x) -mx恰有 4个不同的零点，则实数-|x|, 0< x< 1
m的取值范围为 ( )
A. - 13 ,0 B. -∞ ,-
1
5 C. -
1
5 ,0 D. -
1
3 ,-
1
5
【答案】D
【分析】由题可得函数 f(x)的周期为 2，函数 y= f(x)与 y=mx的图象在区间 [0,5]上有 4 个交点，利用数
形结合即得.
【详解】因为定义在R上的函数 f(x)满足 f(x+ 1) = f(x- 1)，
所以 f(x+ 2) = f(x)，即 f(x)是周期为 2 的函数，
由 g(x) = f(x) -mx= 0，可得 f(x) =mx，
因为在区间 [0,5]上函数 g(x) = f(x) -mx恰有 4 个不同的零点，
所以函数 y= f(x)与 y=mx的图象在区间 [0,5]上有 4 个交点，
作出函数 y= f(x)与 y=mx的大致图象，
由图象可知 3m>-1 <- ，解得-
1
3 1
5m 1 5
，
即实数m的取值范围为 - 1 13 ,- 5 .
故选：D.
1 , x> 1
典例 6- 2． (2022·黑龙江 ·宾县第二中学高一期中 )已知函数 f(x) = x ，若函数 g(x) = f 3x- 1 , x≤ 1
(x) - k有 3个零点，则实数 k的取值范围为 ( )
A. (0，+∞) B. (0，1) C. [1，+∞) D. [1，2)
【答案】B
【分析】由题意可知函数 f(x)与直线 y= k有 3 个交点，作出函数 f(x)的大致图象，由图象观察即可得出答
案．
【详解】作出函数 f(x)的大致图象，如图所示，
要使 g(x) = f(x) - k有 3 个零点，即函数 y= f(x)的图象与直线 y=
k有 3 个交点，
由图象可知，0< k< 1．
故选：B．
【方法技巧总结】
1. 已知函数有零点 (方程有根 )求参数值 (取值范围 )常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利
用数形结合的方法求解.
【变式训练】
(x- 1)3, x< 2
1. (2022·北京 ·高三阶段练习 (文 ))已知函数 f(x) = - ，若函数 g x = f x - a存在两个零e2 x, x≥ 2
点，则实数 a的取值范围是 ( )
A. -∞ ,0 B. -∞ ,1 C. (0,1) D. 1,+∞
【答案】C
【分析】根据给定的函数，探讨其性质并作出图象，结合图象求出 a的范围作答.
【详解】当 x< 2 时，f(x) = (x- 1)3在 (-∞ ,2)上单调递增，f(x) ∈
(-∞ ,1)，
当 x≥ 2 时，f(x) = e2-x在 [2,+∞)上单调递减，f(x) ∈ (0,1]，由 g(x)
= 0，得 f(x) = a，
因此函数 g(x)的零点即为直线 y= a与函数 y= f(x)图象的交点的
横坐标，
在同一坐标系内作出直线 y= a与函数 y= f(x)图象，如图，
观察图象得：直线 y= a与函数 y= f(x)的图象有两个公共点时，0< a< 1，
所以函数 g x = f x - a存在两个零点，实数 a的取值范围是 (0,1).
故选：C
2ln(x+ 1), x≥ 0
2. (2021·陕西 ·安康市教学研究室一模 (理 ))已知函数 f(x) = - ，若函数 g(x) = f(x) - k|x|e x- 1, x< 0
(k∈R)恰有 3个零点，则 k的取值范围是 ( )
A. (1,2) B. [1,2] C. (0,2) D. (-1,1)
【答案】A
【分析】首先将问题转化为曲线 y= f x 与 y= k x 恰有 3 个交点，然后利用导函数求 y= k x 与 f(x)相切
时 k的值，最后结合图像即可求解.
【详解】令 g x = 0，可得 f x = k x ，
若函数 g x = f x - k x 恰有 3 个零点，则曲线 y= f x 与 y= k x 恰有 3 个交点，
函数 f x 的图象如图所示，易知 k> 0，
由题意可知，g(0) = 0，
当 x≥ 0 时，若函数 y= k|x| = kx与 y= 2ln x+ 1 相切，且此时原点为切点，
由 y = 2x+ 1 可知，k= y

|x=0= 2，
当 x< 0 时，若函数 y= k|x| =-kx与 y= e-x- 1 在 x= 0 处相切，
由 y =-e-x可知，-k= y |x=0=-1 k= 1，
因为曲线 y= f x 与 y= k x 恰有 3 个交点，
所以结合图象可知，1< k< 2．
故选：A.
3. (2022·四川省德阳中学校高二开学考试 )定义在R上的偶函数 f x 满足对任意的 x∈R，都有 f 1+ x =
f 3- x ，当 x∈ 0,2 时，f x = 4- x2，若函数 y= f x - kx在 x∈ (0,+∞)上恰有 3个零点，则实数 k
的取值范围为 ( )
A. 15 315 ， 3 B.
14 3 C. 35 15 35 1414 ， 3 35 ， 15 D. 35 ， 14
【答案】A
【分析】利用 f x 为偶函数、f 1+ x = f 3- x 得 x= 2 为 f x 的一条对称轴，且周期为 4，若函数 y=
f x - kx在 x∈ (0,+∞)上恰有 3 个零点， 转化为 y= f x 与 y= kx的图象的交点恰有 3 个，画出他们的
图象，结合图象可得答案.
【详解】因为 f x 为偶函数，所以 f x = f -x ，
由 f 1+ x = f 3- x+ 1+ x 3- x 得 x= 2 = 2 为 f x 的一条对称轴，
由 f 1+ x = f 3- x 得 f 1+ x+ 3 = f 3- x- 3 = f -x = f x ，
所以 f x 的周期为 4，若函数 y= f x - kx在 x∈ (0,+∞)上恰有 3 个零点，即 y= f x 与 y= kx的图象
交点恰有 3 个，
画出 y= f x 与 y= kx的图象，
当 y= kx k> 0 与 x- 4 2+ y2= 4 的上半圆相切时，y= f x 与 y= kx的图象交点恰有 2 个，此时 2=
4k
，解得 k= 3 ，
1+ k2 3
当 y= kx k> 0 与 x- 8 2+ y2= 4 的上半圆相切时，y= f x 与 y= kx的图象的交点恰有 4 个，此时 2
=
8k
，解得 k= 15 ，
1+ k2 15
所以若函数 y= f x - kx在 x∈ (0,+∞)上恰有 3 个零点，则 1515 < k<
3
3 .
故选：A.
题型七：根据函数零点分布求零点代数式的取值范围
【典例分析】
-3x2+ 6x,x≤ 2
典例 7- 1． (2022·浙江 ·温州市第八高级中学高一期中 )设函数 f x = - , ，若关于 x的 log2 x 2 x 2
方程 f x = t有四个实根 x1,x2,x3,x4 x1< x2< x3< x4 ，则 x1+ x + 2x + 12 3 2 x4的最小值为 ( )
A. 192 B.
17
2 C. 10 D. 9
【答案】D
【分析】作函数 f x 的大致图象，可知 x1+ x2= 2，由 y=
f x 与 y= t的图象有四个交点可得 0< t< f 1 = 1，计算
t= log2(x- 2) = 1 求得 x的值即可得 x4的范围，根据
log2 x3- 4 + log2 x4- 4 = 0 可得 x3与 x4的关系，再根据
基本不等式计算 2x3+ 12 x4的最小值即可求解.
【详解】作函数 f x 的大致图象，如图所示：
当 x≤ 2 时，f x =-3x2+ 6x对称轴为 x= 1，所以 x1+ x2
= 2，
关于 x的方程 f(x) = t有四个实根 x1,x2,x3
,x4 x1< x2< x3< x4 ，
则 0< t< f 1 = 3，由 t= log2(x- 2) = f(1) = 3，得 x=
17
8 或 x= 10，则 3< x4< 4，
又 log2(x4- 2) =-log2(x3- 2)，所以 log2 x3- 2 + log2 x4- 2 = 0，
所以 x3- 2 x4- 2 = 1，所以 x = 13 x - 2 + 2，且 x4- 2∈ (1,8)，4
所以 2x3+ 12 x4= 2
1 1 2 1 2 1
x - 2 + 2 + 2 x4= x - 2 + 2 x4- 2 + 5≥ 2 x - 2 × 2 x4- 2 + 5= 2+ 5=4 4 4
7，
当且仅当 12 x4- 2
2
= x - 2 ，即 x4= 4 时，等号成立，4
故 x1+ x + 2x + 12 3 2 x4的最小值为 9.
故选：D.
sinπx, 0≤ x≤ 1
典例 7- 2． (2022·贵州 ·凯里一中高一开学考试 )已知函数 f x = log 1 x- 1 , x> 1 ，若有 3个不
4
相等的实数 a、b、c，且 f a = f b = f c ，则 a+ b+ c的取值范围是 ( )
A. 7 , 5 B. 9 ,3 C. 9 7 4 2 4 4 ,3 D. 4 ,3
【答案】C
【分析】设 a< b< c，设 t= f a = f b = f c ，数形结合可知点 1 a,t 与点 b,t 关于直线 x= 2 对称，可
得出 a+ b的值，由 f c ∈ 0,1 可求得 c的取值范围，进而可求得 a+ b+ c的取值范围.
【详解】设 a< b< c，设 t= f a = f b = f c ，作出函数 f x 的图象如下图所示：
由图可知，当 0≤ t< 1 时，直线 y= t与函数 f x 的图象有三个交
点，
由图可知，点 a,t 与点 b,t 关于直线 x= 12 对称，则 a+ b= 1，
f c = log 1 c- 1 5 ∈ 0,1 ，解得 4 < c≤ 2，故
9
4 < a+ b+ c≤ 3.4
故选：C .
【方法技巧总结】
1. 技巧：解决此题的关键是作出函数的图象，将问题转化为函数的零点转为方程的根进而转化为函数与函
数图象交点的个数，再根据利用二次函数的对称性及对数的运算性质及不等式的性质即可求解.
【变式训练】
log 1x , x> 0
1. (2021· 安徽 ·高一阶段练习 )已知函数 f (x) = 2 且 x1< x2< x3< x4时，f x1 =x2+ 2 2x+ 3, x≤ 0
x
f x2 = f x 4 2 3 = f x4 ，则 4x + 的取值范围为 ( )3 x1x2+ x x23 2 3
A. 1 4 ,8 B. 2,+∞ C. 4,+∞ D. -64,-4
【答案】D
【分析】根据已知条件作出分段函数的图象，利用二次函数和对数函数的性质结合不等式的性质即可求解.
【详解】作出 f x 图象如图所示
设 f x = t，由图象可知：1< t≤ 3 时有四个交点，可得 1< f x4 ≤ 3
即 1< log2x4≤ 4，解得 2< x4≤ 8；
∵ x1,x2关于 x=- 2 对称，∴ x1+ x2=-2 2；
又 log 1x3 = log 1x4 ，则 log 1x3=-log 1x4= log 11 ，∴ x3x4= 1，2 2 2 2 2 x4
∴ x4 4 2 2 4 2 2 2 2x + 2 2 = x4+ 2 = x4- 2x4=-x4，3 x1x3+ x2x3 x3 x1+ x2
∵ 2< x4≤ 8，∴-64≤-x24<-4，
即∴ x4 + 2x 2 2 的取值范围为 -64,-4 .3 x1x3+ x2x3
故选：D.
2. ( 2022 · 安徽省怀宁县第二中学高三阶段练习 ) 已知函数 f x =
lgx , 0< x≤ 10 ，若 a,b,c互不相等，且 f a = f b = f c ，则 abc的-x+ 11, x> 10
取值范围是 ( )
A. 1，10 B. 1，11 C. 10，11 D. 10，+∞
【答案】C
【分析】设 a< b< c，作出函数 f(x)的图象，根据对数的运算性质可得 ab= 1，结合图象即可得出结果.
【详解】作出函数 f(x)的图象，如图，
不妨设 a< b< c，
则-lga= lgb，得 ab= 1，
由图可知 0< a< 1，1< b< 10，10< c< 11，
故 abc= c∈ (10,11).
故选：C
<第三招：转化化归>
题型八：嵌套函数的零点个数
【典例分析】
2
x - 2x, x> 0典例 8- 1． (2022·安徽 ·六安一中高一期中 )若函数 f(x) = ，则关于 x的方程 2 f x2
2+
-x , x≤ 0
f x - 1= 0有 ( )实根．
A. 6个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【答案】C
【分析】由 2 f 1 x 2+ f x - 1= 0，可得 f(x) =-1 或 f(x) = 2 ，然后分情况讨论求解即可.
【详解】由 2 f x 2+ f x - 1= 0，得 f(x) + 1 2f(x) - 1 = 0，
解得 f(x) =-1 或 f(x) = 12 ，
①若 f(x) =-1，
当 x> 0 时，x2- 2x=-1，解得 x= 1，
当 x≤ 0 时，-x2=-1，解得 x= 1(舍去 )，或 x=-1，
②若 f(x) = 12 ，
当 x> 0 时，x2- 2x= 1 ，即 2x2- 4x- 1= 0，解得 x= 2+ 6 ，或 x= 2- 62 2 2 (舍去 )，
当 x≤ 0 时，-x2= 12 ，方程无解，
综上，关于 x的方程 2 f x 2+ f x - 1= 0 的解有 x= 1，或 x=-1，或 x= 2+ 62 ，共 3 个，
故选：C .
【方法技巧总结】
1. 分类：嵌套函数分为：“二次嵌套型”y= a f x 2+ bf x + c 与“自嵌套型”y= f f x .
2. 技巧：利用换元的思想将函数转化为内外函数，并画出内外函数的图象，利用数形结合，将问题化归为单
个函数的图象交点问题。需注意的是内外函数的自变量的区别与关系。
【变式训练】
1. (2023·全国 ·高三专题练习 )已知函数 f x = x3- 3x，则函数 h x = f f x - c，c∈ -2,2 的零点个数
(　　 )
A. 5或 6个 B. 3或 9个 C. 9或 10个 D. 5或 9个
【答案】D
【分析】设 t= f x ，求导分析 f x = x3- 3x的最值与极值，画出图形，再分析 f t = c与 t= f x 的根的
范围与个数即可
【详解】设 t= f x ，则由 h x = f f x - c= 0，
得 f f x = c，即 f t = c，t= f x
又 f x = 3x2- 3= 3 x- 1 x+ 1 ，
由 f x > 0 得 x<-1 或 x> 1，此时函数单调递增，
由 f x < 0 得-1< x< 1，此时函数单调递减，
即函数在 x=-1 处取得极大值 f -1 = -1 3- 3× -1 = 2，
函数在 x= 1 处取得极小值 f 1 = 13- 3× 1=-2，
又由 f -2 = -2 3- 3× -2 =-2，f 2 = 23- 3× 2= 2 可得图象：
若 f t = c，c∈ -2,2 ，则方程有三个解，
满足-2< t1<-1，-1< t2< 1，1< t3< 2，
则当-2< t1<-1 时，方程 t= f x ，有 3 个根，
当-1< t2< 1 时，方程 t= f x ，有 3 个根，
当 1< t3< 2 时，方程 t= f x ，有 3 个根，
此时共有 9 个根，
若 f t = c，c= 2，则方程有两个解，
满足 t1=-1，t2= 2，
则当 t1=-1 时，方程 t= f x ，有 3 个根，
当 t2= 2，有 2 个根，
此时共有 5 个根，
同理 f t = c，c=-2，也共有 5 个根
故选：D．
题型九：根据嵌套函数零点个数求参数
【典例分析】
x2ex, x< 1
典例 9 - 1． (2022·安徽 ·合肥一中高三阶段练习 )已知函数 f (x) = ex ，若关于 x的方程x2 , x≥ 1
f x 2- 2af x = 0有两个不相等的实数根，则实数 a的取值范围是 ( )
2
A. 2 , e B. 2 , e
2
∪ e2 8 2 8 2 ,+∞e e
C. 2 e
2
,
2
2 8 ∪
e 2 e e
e 2
,+∞ D. 2 , 8 ∪e 2 ,+∞
【答案】B
【分析】利用导数研究 f(x)的单调性和极值，作出 f(x)的图像；由关于 x的方程 f x 2- 2af x = 0 有两
个不相等的实数根，得到函数 y= f x 与 y= 2a有一个交点，利用图像法求解.
x2ex, x< 1
【详解】对于函数 f(x) = ex ., x≥ 1x2
当 f(x) = x2ex,x< 1 时，f (x) = x2+ 2x ex.
令 f (x)> 0，解得：x<-2 或 0< x< 1；令 f (x)< 0，解得：-2< x< 0；
所以 f(x)在 -∞ ,-2 上单调递增，在 -2,0 上单调递减，在 0,1 上单调递增.
而 x→-∞，f(x) → 0；f(-2) = 4 ， x= 1，f x = e.
e2
ex x当 f(x) = 2 ,x≥ 1 时，f
(x) = e4 x
2- 2x .
x x
令 f (x)> 0，解得：x> 2；令 f (x)< 0，解得：1< x< 2；
所以 f(x)在 1,2 上单调递减，在 2,+∞ 上单调递增.
2
而 f(1) = e；f(2) = e4 ， x→+∞，f(x) →+∞.
作出 f(x)的图像如图所示：
解关于 x的方程 f x 2- 2af x = 0 有两个不相等的实数根，
关于 x的方程 f x f x - 2a = 0 有两个不相等的实数根，
关于 x的方程 f x - 2a= 0 有一个非零的实数根，
函数 y= f x 与 y= 2a有一个交点，横坐标 x≠ 0.
结合图像可得：4 < 2a< e
2
2 4 或 2a> e，e
2
所以 a的取值范围是 22 , e ∪e 8
e
2 ,+∞ .
故选：B
典例 9- ( x+ 2a,x< 0,2． 2020·安徽省泗县第一中学模拟预测 (理 ))已知函数 f(x) = x2- , ≥ 若函数 g(x) = fax x 0,
( f(x))恰有 8个零点，则 a的值不可能为 ( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
【答案】A
【解析】分 a≤ 0 和 a> 0 两种情况讨论，当 a≤ 0 时显然不成立，当 a> 0 时，f(x) = 0 的实根为-2a,0,a.
令 f(x) = t，画出函数图象，数形结合分析可得.
【详解】解：易知，当 a≤ 0 时，方程 f(x) = 0 只有 1 个实根，
从而 g(x) = f( f(x))不可能有 8 个零点，
则 a> 0,f(x) = 0 的实根为-2a,0,a.
令 f(x) = t，则 f( f(x)) = f(t) = 0，
则 t=-2a,0,a数形结合可知，
直线 y= a与 f(x)的图象有 2 个交点，
直线 y= 0 与 f(x)的图象有 3 个交点，
所以由题意可得直线 y=-2a与 f(x)的图象有 3 个交点，
2
则必有-2a>- a4 ，又 a> 0，
所以 a> 8.
故选：A
【点睛】本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于中档题.
【方法技巧总结】
1. 技巧：通过分解为内外函数，配合数形结合的思想求解参数范围，遇见难的函数可以配合求导完善图象。
【变式训练】
1. (2022·广西 ·桂林市第五中学高三阶段练习 (文 ))已知定义在R上的函数 y= f x 是偶函数，当 x≥ 0
2sin
π
2 x, 0≤ x≤ 1
时，f x = ，若关于 x的方程 f x
2+ af x + b= 0 a,b∈R ，有且仅有 6个不同
1 x 3 2 + 2 , x> 1
实数根，则实数 a的取值范围是 ( )
A. -4,- 32 B. -4,-
7
2
C. -4,- 7 7 3 3 22 ∪ - 2 ,- 2 D. -4,- 2 ∪ -1,- 7
【答案】C
【分析】由偶函数性质可以画出函数 f(x)的图像，关于 x的方程 f x 2+ af x + b= 0 a,b∈R 有 6 个不
同的实数根，根据数形结合和韦达定理即可求得结果.
【详解】由题意可知，函数 f(x)的图像如下图所示：
根据函数图像，函数 f(x)在 -∞ ,-1 , 0,1 上单调递增，在 -1,0 , 1,+∞ 上单调递减；
且 x=±1 时取最大值 2，在 x= 0 时取最小值 0，y= 32 是部分图像的渐近线.
令 f(x) = t，则关于 x的方程 f x 2+ af x + b= 0 a,b∈R 即可写成 t2
+ at+ b= 0 a,b∈R
此时关于 t的方程应该有两个不相等的实数根 (其他情况不合题意 )，
设 t1,t2为方程的两个实数根，
显然，有以下两种情况符合题意：
①当 t ∈ 0, 3 ,t ∈ 31 2 2 2 ,2 时，此时-a= t
3 7
1+ t2∈ 2 , 2 ，则 a∈
- 72 ,-
3
2
②当 t 31= 2,t2∈ 2 ,2 时，此时-a= t + t ∈
7
1 2 2 ,4 ，则 a∈ -4,-
7
2
综上可知，实数 a的取值范围是 a∈ -4,- 72 ∪ -
7 ,- 32 2 .
故选：C .
x+ 1, x≤ 02. (2023·重庆 ·高三阶段练习 )已知函数 f(x) = 2 x- 1 ，若关于 x的方程 f (x) + (m- 4)f(x) + 2(2x , x> 0
-m) = 0有五个不同的实数根，则实数m的取值范围是 ( )
A. [1,3) B. (0,2) C. [1,2) D. (0,1)
【答案】C
【分析】作出 f(x)的图象，令 t= f(x)，则 t2+ (m- 4)t+ 2(2-m) = 0，由题意结合图象可知方程有两个不
相等的根 t1,t2，且 0< t1≤ 1,t2> 1，或 t1= 0，t2= 1，令 g(t) = t2+ (m- 4)t+ 2(2-m)，则结合一元二次方
程根分布情况可求得结果.
【详解】f(x)的图象如下图，
令 t= f(x)，则 t2+ (m- 4)t+ 2(2-m) = 0，
因为关于 x的方程 f 2(x) + (m- 4)f(x) + 2(2-m) = 0 有五个不同的实
数根，
所以由函数图象可知关于 t的方程 t2+ (m- 4)t+ 2(2-m) = 0 有两个
不相等的实根 t1,t2，且 0< t1≤ 1,t2> 1，或 t1= 0，t2= 1，
令 g(t) = t2+ (m- 4)t+ 2(2-m)，
若 0< t1≤ 1,t2> 1，则
Δ> 0
2
g(0)> 0，即
Δ= m- 4 - 8(2-m)> 0
g(0) = 2-m> 0 ，解得 1若 = ， = ，则 0+ 1= 4-mt1 0 t2 1 0× 1= 2(2- )，无解，m
综上，1故选：C
针对性巩固练习
练习一：求函数零点及零点所在区间
1. (2022·浙江省杭州学军中学高一期中 )已知 f x 是定义域为 0,+∞ 的单调函数，若对任意的 x ∈
0,+∞ 1 ，都有 f f x - log2x = 3，则函数 y= 2 f x - x 的零点为 ( )
A. 1 12 B. 3 C. 2 D. 3
【答案】A
【分析】先根据 f x 单调，结合已知条件求出 f x 的解析式，然后再进一步研究函数 y= 2 f x - 1 x 的零点．
【详解】解：因为 f x 是定义域为 0,+∞ 的单调函数，且对任意的 x∈ 0,+∞ ，都有 f f x - log2x = 3，
故可设存在唯一的实数C∈ 0,+∞ ，使得 f C = 3，
则设 f x - log2x=C，所以 f x = log2x+C，
所以 f C = log2C+C= 3，则 log2C= 3-C，
由于函数 y= log2x在 0,+∞ 上单调递增，函数 y= 3- x在 0,+∞ 上单调递减，
又 log22= 1= 3- 2，所以C= 2，
故 f x = log2x+ 2= log2 4x
再令 2 f x - 1x = 0，x∈ 0,+∞ ，得：4x-
1
x = 0，解得 x=±
1
2 (负值舍去 )．
则函数 y= 2 f x - 1x 的零点为
1
2 .
故选：A．
2. (2022·广东 ·广州市第九十七中学高一阶段练习 )函数 f x = lgx+ 2x- 5的零点所在的区间是 ( )
A. 0,1 B. 1,2 C. 2,3 D. 3,4
【答案】C
【分析】先判断单调性 ,再根据零点存在定理将端点值代入 ,即可判断零点所在区间.
【详解】解 :由题知 f x = lgx+ 2x- 5,
由于 y= lgx,y= 2x- 5 均为单调递增,
所以随着 x的增大 f x 也增大 ,故 f x 在 0,+∞ 单调递增,
∵ f 1 =-3< 0,f 2 = lg2- 1< 0,f 3 = lg3+ 1> 0,f 4 = lg4+ 3> 0,
根据零点存在定理,
∴ f x 零点在区间 2,3 内.
故选 :C
3. (2021·江苏省镇江中学高一阶段练习 )函数 y= x2- 2ax+ a- 1在 (0,1)上存在零点，则实数 a的取值范
围是 ( )
A. 0< a< 1 B. a< 0或 a> 1 C. a> 1 D. a<-1或 a> 0
【答案】B
【分析】根据零点存在性定理结合二次函数的性质求解即可.
【详解】令 f(x) = x2- 2ax+ a- 1，
2
因为 Δ= 4a2- 4(a- 1) = 4(a2- a+ 1) = 4 a- 12 + 3> 0，
所以函数图象与 x轴有两个交点，
因为函数 f(x) = x2- 2ax+ a- 1 在 (0,1)上存在零点，且函数图象连续，
f(0)> 0
所以 f(0)f(1)< 0，或 f(1)> 0 ，0< a< 1
a- 1> 0
所以 (a- 1) (-a)< 0，或 -a> 0 ，0< a< 1
解得 a< 0 或 a> 1
故选：B
练习二：求函数零点或方程根的个数
4. (2022·陕西 · π渭南市瑞泉中学高三阶段练习 (理 ))函数 f(x) = sin x+ 2 - lgx 零点的个数为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【分析】根据函数零点个数即为图象交点个数，结合已知条件，数形结合求解即可.
【详解】f x 的零点个数，即为 y= sin x+ π2 = cosx与 y= lgx 图象的交点个数，
在同一直角坐标系下，两函数图象如下所示：
由图可知，两函数共有 4 个交点，故 f x 有 4 个零点.
故选：C .
5. (2022·河南 ·新安县第一高级中学高三开学考试 (文 ))已知定义域为R的偶函数 f(x)的图像是连续不间
f x - f x
断的曲线，且 f(x+ 2) + f(x) = f(1)，对任意的 x1，x2∈ [-2, ]

0 x ≠ x 1 2 ， 1 2， x - x > 0恒成立，则 f1 2
(x)在区间 -100,100 上的零点个数为 ( )
A. 100 B. 102 C. 200 D. 202
【答案】A
【分析】结合题意得 f(x)是以 4 为周期的函数，且在一个周期内有两个零点，再根据周期性求解即可.
【详解】解：令 x=-1，得 f(1) + f(-1) = f(1)，即 f(-1) = 0，
f x1 - f因为对任意的 ， ∈ [- , ]， ≠ ，
x
x x 2 0 x x 21 2 1 2 x - x > 0 恒成立，1 2
所以，f(x)在 [-2,0]上单调递增，
因为 f(x)为偶函数，
所以 f(1) = 0，f(x)在 (0,2)上单调递减，f(x+ 2) + f(x) = f(1) = 0，
所以 f(x+ 4) =-f(x+ 2) = f(x)，
所以 f(x)是以 4 为周期的函数，
因为 f(x)在一个周期内有两个零点，
故 f(x)在区间 [-100,100]上的零点个数为 50× 2= 100．
故选：A．
6. (2022·上海市七宝中学高三期中 )定义域为R的函数 f x 的图象关于直线 x= 1对称，当 x∈ 0,1 时，
f x , x≥ 0
f x = x，且对任意 x∈R只有 f x+ 2 =-f x ，g x = ，则方程 g x - g -x = 0-log2025 -x , x< 0
实数根的个数为 ( )
A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027
【答案】D
【分析】由于函数 f(x)的图象关于直线 x= 1 对称，当 x∈ [0，1]时，f(x) = x，对任意 x∈R 都有 f(x+ 2) =
-f(x)，可得函数在 0，+∞)上以 4 为周期，令-log2025x=-1，则 x= 2025，即可得出结论 ,结合周期性即
可求解.
【详解】由于函数 f(x)的图象关于直线 x= 1 对称，当 x∈ [0，1]时，f(x) = x,
对任意 x∈R 都有 f(x+ 2) =-f(x)，得 f(x+ 4) =-f(x+ 2) =- -f x =
f x ，
所以函数 f x 在 [0，+∞)上以 4 为周期，f x+ 2 =-f x ,
做出函数 f(x)一个周期 [0，4]的图象：
当 x> 0 时，-x< 0 ，由 g(x) = g(-x)得：f x =-log2025x
令-log2025x=-1，则 x= 2025，
因为 2025= 4× 506+ 1，而在第一个周期有 3 个交点，后面每个周期有 2 个交点，
所以共有 505× 2+ 3= 1013 个交点，
当 x< 0 时，-x> 0 ，由 g(x) = g(-x)得：f -x =-log2025 -x ,令-x
= t，得 f t =-log2025t，由上述可知，f t =-log2025t有 505× 2+ 3=
1013 个交点，故 f -x =-log2025 -x 有 505× 2+ 3= 1013 个交点，
又 x= 0 时，g(0) = g(0)，
所以方程 g(x) - g(-x) = 0 实数根的个数为 2× 1013+ 1= 2027．
故选：D．
练习三：根据零点个数求参数范围 (不分参型 )
2x- a, x< 1
7. (2023·全国 ·高三专题练习 )若函数 f(x) = 恰有 2个零点，则 a的取值范围是 ( )x(x- a), x≥ 1
A. (-∞，1) B. (0，2) C. (0，+∞) D. [1，2)
【答案】D
【分析】由分段函数可知必须每段有且只有 1 个零点，写出零点建立不等式组即可求解.
【详解】因为 f(x) = x(x- a) ,x≥ 1 时至多有一个零点，单调函数 f(x) = 2x- a,x< 1 至多一个零点，
2x- a, x< 1
而函数 f(x) = 恰有 2 个零点，x(x- a), x≥ 1
所以需满足 f(x) = x(x- a) ,x≥ 1 有 1 个零点，f(x) = 2x- a,x< 1 有 1 个零点，
所以 log2a< 1 ≥ ，a 1
解得 1≤ a< 2，
故选：D
8. (2023·全国 ·高三专题练习 )若方程mx- x-m= 0(m> 0，且m≠ 1)有两个不同实数根，则m的取值范
围是 ( )
A. 0，1 B. 2，+∞ C. 0，1 ∪ 2，+∞ D. 1，+∞
【答案】D
【分析】根据指数函数的性质及函数的图象，再结合函数的零点与方程
的根的关系即可求解.
【详解】由题意可知，方程mx- x-m= 0 有两个不同实数根，
等价于函数 y=mx与 y= x+m的图象有两个不同的交点，
当m> 1 时，如图所示，
由图可知，当m> 1 时，函数 y=mx与 y= x+m的图象有两个不同的
交点，满足题意
当 0由图可知，当 0交点，
不满足题意,
综上所示，实数m的取值范围为 1，+∞ ．
故选：D．
练习四：比较零点的大小关系
x x
9. (2021·江苏 · 1 1无锡市市北高级中学高一期中 )知函数 f(x) = 2 - x，g(x) = x- 2- 2 ，h(x) = x
3- x
(x> 0)，方程 f(x) = 0，g(x) = 0，h(x) = 0的根分别为 a，b，c，则 a，b，c的大小顺序为 ( )
A. a> b> c B. c> a> b C. b> c> a D. b> a> c
【答案】C
【分析】根据零点定义，分别比较 f(1)与 f(0)，g(3)与 g(1)的正负，确定 a与 b的取值范围，再令 h(x) = 0，
求解得 c，即可比较大小.
3
【详解】解：由题可得 f(0) = 1，f(1) =- 12 ，所以 0< a< 1，g(1) = 1- 2-
1 =- 32 2 ，g(3) = 3- 2-
1
2 =
7
8 > 0，所以 1< b< 3，
令 h(x) = 0，即 x3- x= 0，解得 x= 0 或 x=-1 或 x= 1，因为 x> 0，所以 c= 1，所以 b> c> a，
故选：C .
c
10.(2022· 1山东潍坊 ·高三期末 )已知 2a= log 1a，3b= log 1b，
2 2 3 = log2c，则 ( )
A. a< b< c B. b< a< c
C. c< a< b D. c< b< a
【答案】B
x
【分析】在同一坐标系中分别画出 y= 2x,y= 3x，y= 13 ，y= log2x，y=
log 1x的图象， 转化 a,b,c为图像交点的横坐标，数形结合即得解
2
x
【详解】在同一坐标系中分别画出 y= 2x,y= 3x，y= 13 ，y= log2x，y=
log 1x的图象，
2
y= 2x与 y= log 1x的交点的横坐标为 a， y= 3x与 y= log 1x的图象的交
2 2
x
点的横坐标为 b，y= 13 与 y= log2x的图象的交点的横坐标为 c，从图
象可以看出．
b< a< c
故选：B
练习五：求函数零点的和
11. (2023· 3π 7π全国 ·高三专题练习 )函数 f x = 1- x- π sinx在区间 - 2 , 2 上的所有零点之和为 ( )
A. 0 B. 2π C. 4π D. 6π
【答案】C
【分析】把方程 f(x) = 0 变形，把零点个数转化为正弦函数图象与另一函数 y= 1x- π 图象的交点个数，根
据函数的对称性计算可得．
【详解】解：因为 f x = 1- x- π sinx，令 f x = 0，即 1= x- π sinx，当 x= π 时显然不成立，
当 x≠ π 时 sinx= 1x- π ，作出 y= sinx和 y=
1
x- π 的图象，如图，
它们关于点 (π,0)对称，
由图象可知它们在 - 3π 2 ,
7π
2 上有 4 个交点，且关于点 (π,0)对称，每对称的两个点的横坐标和为 2π，所
以 4 个点的横坐标之和为 4π．
故选：C．
12.(2022·北京大兴 ·高一期中 )已知 f x 为定义在R上的奇函数，且 f x = f 2- x ，当 x∈ 0,1 时，f x
= x，则当 x∈ -3,5 时，f x = 1 2 的所有解的和为 ( )
A. 4 B. 9 C. 5 D. 112 2
【答案】A
【分析】分析函数 f x 的周期性和对称性，作出函数 f x 1 与 y= 2 在 -3,5 上的图象，数形结合可求得结
果.
【详解】因为已知 f x 为定义在 R 上的奇函数，且 f x = f 2- x ，则 f x =-f x- 2 ，
所以，f x+ 4 =-f x+ 2 = f x ，故函数 f x 为周期函数，且周期为 4，
且函数 f x 的图象关于直线 x= 1 对称，故函数 f x 在 -3,5 上的图象关于直线 x= 1 对称，
当 x∈ 1,2 时，2- x∈ 0,1 ，则 f x = f 2- x = 2- x，
作出函数 f 1 x 与 y= 2 在 -3,5 上的图象如下图所示：
由图可知，直线 y= 12 与函数 f x 在 -3,5 上的图象有四个交点，分别为 a,
1
2 、 b,
1
2 、 c,
1
2 、
d, 12 ，
设 a< b< c< d，由图可知，点 a, 1 、 d, 12 2 关于直线 x= 1 对称，
点 b, 12 、 c,
1
2 关于直线 x= 1 对称，则 a+ b+ c+ d= 2× 2× 1= 4.
故选：A.
练习六：根据零点个数求参数范围 (分参型 )
x- 1,x> 0,
13.(2022·全国 ·高一专题练习 )已知函数 f x = 1 若函数 g x = f x - k有 2个零点，则实4 x2+ x,x≤ 0,
数 k的取值范围是 ( )
A. 0,+∞ B. 0,+∞ ∪ -1 C. 0,+∞ D. -1,+∞
【答案】A
【分析】根据 f(x)的性质画出函数图像，将问题化为 f(x)与 y= k有 2 个交点，数形结合求 k的范围.
【详解】由题意，f(x)与 y= k有 2 个交点，
当 x> 0 时，f(x)递增且值域为 (-1,+∞)；
当 x≤ 0 时，f(x)在 (-∞ ,-2)上递减，(-2,0]上递增且值域
为 [-1,+∞)；
所以 f(x)的图像如下：
由图知：k> 0 时，g x = f x - k有 2 个零点.
故选：A
1 2, x≥ 3
14.(2022·广西北海 ·高二期末 (文 ))已知函数 f x = x- 2 ，若函数 g x = f x + 2k- kx恰好 x- 2 3, x< 3
有两个零点，则实数 k的取值范围是 ( )
A. -∞ ,0 ∪ 0,1 B. 1,+∞ C. 1,+∞ D. 0,1
【答案】C
【分析】可转化为函数 f x 图像与直线 y= k x- 2 有两个交点，数形结合可得解.
1
2
x- 2 , x≥ 3【详解】画出函数 f x = 的简图，如图所示， x- 2 3, x< 3
函数 g x = f x + 2k- kx存在两个不同的零点，
也就是函数 f x 的图像与直线 y= k x- 2 有两个不同的交点，
所以 k> 1，
故选：C .
练习七：根据函数零点分布求零点代数式的取值范围
log3x , x> 0
15.(2022·吉林 ·长春市第五中学高二期末 )已知函数 f x = ，函数F x = f x - b有四x2+ 4x+ 1, x≤ 0
个不同的零点 x1，x2，x3，x4，且满足：x1< x2< x3< x4，则下列结论中不正确的是 ( )
A. 0< b≤ 1 B. 13 ≤ x3≤ 1 C. x1+ x2=-4 D. x3 x4= 1
【答案】B
【分析】作出函数 f x 图象，根据函数图象得出 4 个零点的关系及范围，进而得出结论.
【详解】函数F(x) = f(x) - b的四个不同的零点 x1，x2，x3，x4，就是函数 y= f x 与 y= b两个图象四个交
点的横坐标，
作出函数 y= f x 的图象，
由图象可知 0< b≤ 1，故A正确；
由 log3x = 1，可得 x= 13 或 x= 3，结合图象可知
1
3 ≤ x3<
1，故B错误；
根据二次函数的性质和图象得出 x1+ x22 =-2，所以 x1+ x2
=-4，故C正确；
又 log3x3 = log3x4 ，且 log3x3< 0，log3x4> 0，
所以-log3x3= log3x4，即 log3x3+ log3x4= log3 x3 x4 = 0，
所以 x3 x4= 1，故D正确.
故选：B.
x+ 1 , x≤ 016.(2022·河南 ·郑州十九中高二开学考试 )已知函数 f x = ，若方程 f x = k有 4个不同的 log4x , x> 0
x x 4根 1， 2，x3，x4，且 x1< x2< x3< x4，则 2 - x4 x1+ x2 的取值范围是 ( )x3x4
A. 4 2,6 B. 2,4 2 C. 2,4 2 D. 4 2,9
【答案】D
【分析】作出函数 y= f(x)与 y= k的图像，得到 x1,x2关于 x=-1 对称，x3x4= 1 化简条件，利用对勾函数
的性质可求解.
【详解】作函数 y= f(x)与 y= k的图像如下：
∵方程 f x = k有 4 个不同的根 x1，x2，x3，x4，且 x1< x2< x3< x4，
可知 x1,x2关于 x=-1 对称，即 x1+ x2=-2，且 0< x3< 1< x4< 2，
则 log4x3 = log4x4 ，即 log4x3=-log4x4，则 log4x3+ log4x4= 0
即 log4x3x4= 0，则 x3x4= 1；
当 log4x = 1 得 x= 4 或 14 ，则 1< x4≤ 4；
1
4 ≤ x3< 1；
故 4 2 - x1+ x2 x4= 2x +
4
x3x
4
4 x
，1< x4≤ 4；
4
则函数 y= 2x4+ 4x ，在 1< x4< 2 上为减函数，在 2≤ x4< 4 上为增函数；4
故 x4= 2 取得最小值为 y= 4 2，而当 x4= 4 时，函数值最大值为 y= 8+ 1= 9.
即函数取值范围是 4 2,9 .
故选：D.
练习八：嵌套函数的零点个数
3- x
2- 2x,x≤ 1,
17.(2022·辽宁 ·昌图县第一高级中学高二期末 )已知函数 f x = x+ 4 - , > 则函数 y= f f x2 x 1, - 3x
的零点个数为 ( )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
【答案】D
【分析】数形结合，把零点问题转化为对应方程的根或函数图象的交点
即可求解.
【详解】作出 f(x)的图象，如图所示：
则 f(x)的值域为R，求 y= f f x - 3 的零点，即求 f f x - 3=
0，即 f f x = 3，对应方程的根.
设m= f(x)，则m∈R，则 f f x = 3 等价于 f(m) = 3，
如图所示：
f(m) = 3 有 3 个交点，则m有三个解，
当m≤ 1 时，有 3-m2- 2m= 3，解得m= 0 或m=-2，
当m> 1 时，有m+ 4m - 2= 3，解得m= 4 或m= 1(舍 )
故m的值分别为-2，0，4，则m= f(x)对应解如下图
m= f(x)对应 5 个交点，分别为点Q，M，K，E，T，
综上所述：y= f f x - 3 的零点个数为 5 个.
故选：D
练习九：根据嵌套函数零点个数求参数
1- 2x,x≤ 0,
18.(2022·安徽 · 1合肥一中高一阶段练习 )已知函数 f x = 2 2x- , 若方程 [ f(x)] - 3k+1 x> 0, 3 f(x) + k
= 0有三个不等的实根，则实数 k的取值范围是 ( )
A. 1 k k≤ 3 B. k k= 0或 k≥
1
3
C. k k= 0 1或 k> 3 D. k k<
1
3
【答案】B
【分析】先解关于 f(x)的一元二次方程 ,得到两个实根 ,由题意 f(x) = 13 和 f(x) = 3k共有 3 个实根 ,数形
结合 ,可得 k的取值范围
【详解】作出函数 f(x)的大致图象如图所示．
由 f(x) 2- 3k+ 13 f(x) + k= 0 可得 f(x) -
1
3 f(x) - 3k = 0．
由图可知，方程 f(x) = 13 有两个不等的实根，
由题意可知，方程 f(x) = 3k有且只有一个实根，故 3k= 0 或 3k≥ 1，解得 k
= 0 或 k≥ 13 ．
故选 :B
19.( 2022 · 江 苏 · 南 京 师 大 附 中 高 一 阶 段 练 习 ) 设 m 是 不 为 0 的 实 数 ，已 知 函 数 f x =
3x - 1 , x≤ 2 ，若函数F x = 2 f x
2-mf x 有 7个零点，则m的取值范围是 ( )
x2- 10x+ 24, x> 2
A. -2,0 ∪ 0,16 B. 0,16 C. 0,2 D. -2,0 ∪ 0,+∞
【答案】C
【分析】作出 f x 的图象，然后由F x = 0，得 f x = 0 或 2f x -m= 0，由图象可知 f x 有 3 个零点，所
以 2f x -m= 0 就有 4 个零点，再结合图象可求出结果.
【详解】f x 的图象如图所示
由F x = f x 2f x -m = 0，得 f x = 0 或 2f x -m= 0，
当 f x = 0 时，f x 有 3 个零点，
当 2f x -m= 0 时，f x m = 2 ，即 y= f x 与 y=
m
2 有 4 个交点，
所以 0< m2 < 1，解得 0故选：C .

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