资源简介

数列递推与通项公式 22种归类
目录
一、热点题型归纳
【题型一】归纳法求通项
【题型二】等差等比定义型
【题型三】累加法基础：等差等比与裂项求和型
【题型四】累加法拔高：换元累加型
【题型五】累加法拔高：构造
【题型六】累积法
【题型七】前n项和型
【题型八】二阶等比
【题型九】二阶等差数列
【题型十】sn与 an型：消 sn型
【题型十一】sn与 an型：消 an型
【题型十二】分式倒数递推
【题型十三】新数列前n项和型
【题型十四】高次幂取对数型
【题型十五】二阶含n等比数列型
【题型十六】二阶含n等差数列型
【题型十七】因式分解型
【题型十八】三阶递推
【题型十九】前n项积求通项
【题型二十】函数型递推
【题型二十一】周期数列
【题型二十二】奇偶讨论型
二、真题再现
三、模拟检测
综述：
数列求通项以及递推公式的方法和数学思想是学生学习数列思的比较好的切入点。数列大题第一问往
往也考察递推公式为主的求通项。这也是第一轮复习的重点之一。
一、热点题型归纳
【题型一】归纳法求通项
【典例分析】
1. (2021·全国 ·高三课时练习 )根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在
横线上和括号中分别填上第 5项的图形和点数.
(1) __________
1 6 11 16 ( )
(2) __________
1 4 7 10 ( )
(3) __________
3 8 15 24 ( )
2. (2021·江苏 · 9高三专题练习 )数列-1,1,- 5 ,
27
7 , 的一个通项公式为________.
【提分秘籍】
基本规律
先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据an与项数n的关系，猜想数列的通项公式，
最后再证明.
一般这类题，选择题很少，因为可以代特殊值求解。
【变式演练】
1. (2021·全国 ·高三课时练习 )根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式 an=_
_________．
2. (2018·全国 ·高三课时练习 )若数列的前 4项为 1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是
A. a = 1n 2 [1+ (-1)
n-1] B. a = 1n 2 [1- cos(n·180
)]
C. an= sin2(n·90 ) D. an= (n- 1) (n- 2) + 12 [1+ (-1)
n-1]
3. (2018·上海市杨浦高级中学高三期末 )已知数列 1、0、1、0、 ，可猜想此数列的通项公式是 ( ).
A. an= 1+ -1 n-1 n∈N *
B. a = 1n 2 1+ -1
n n∈N *
C. a = 1n 2 1+ -1
n+1 + n- 1 n- 2 n∈N *
D. an= 1 *2 1- cosnπ n∈N
【题型二】等差等比定义型
【典例分析】
1. (2022·全国 ·高三课时练习 )在数列 an 中，a1= 2， an+1 = an + 2，则数列 an 的通项公式为___
_____．
【提分秘籍】
基本规律
等差数列判定：
①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证 an+1- an=定值；
②等差中项法：即证 2an+1= an+ an+2；
③函数结论法：即 an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.
等比数列的判定方法：
(1) a定义法：“欲证等比，直接作比”，即证 n+1a = q(q≠ 0的常数 ) 数列 {an}是等比数列；n
(2)等比中项法：即证 a2n+1= an·an+2(anan+1an+2≠ 0，n∈N *) 数列 {an}是等比数列．
【变式演练】
1. (2022·河南 ·模拟预测 (文 ))已知数列 an 是单调递增的等差数列，若它的前 5项的和为 105，第 2项 第
4项 第 8项成等比数列，则它的通项公式为 ( )
A. a = 7n a = 21 B. a = 7n
2 7n n+ 1
n 或 n n 2 C. an= 7n D. an= 2
2. (2019北京 ·临川学校高三阶段练习 (理 ))成等差数列的三个正数的和等于 6，并且这三个数分别加上 3、
6、13后成为等比数列 bn 中的 b3、b4、b5，则数列 bn 的通项公式为 ( )
A. b = 2n-1n B. bn= 3n-1 C. b n-2n= 2 D. b = 3n-2n
3. (2021·甘肃 ·静宁县第一中学高三阶段练习 (文 ))数列 an 的各项都是正数，a1= 2，a2 2n+1= an+ 2，那么
此数列的通项公式为 an=________．
【题型三】累加法基础：等差等比与裂项求和型
【典例分析】
1. (2022·全国 ·高三专题练习 )已知Sn是等差数列 an 的前n 项和，其中S3= 6,S4= 10，数列 bn 满足 b1=
1，且 bn+ an= bn+1，则数列 bn 的通项公式为 ( )
A. n
2+ 2 2B. n -n+ 2 n
2
C. D. n
2+n+ 2
2 2 2 2
【提分秘籍】
基本规律
累加法：
若在已知数列中相邻两项存在：an- an-1= f(n) (n≥ 2)的关系，可用“累加法”求通项.
其中 f(n)是常见可求和的数列通项，如等差，等比，和裂项型求和
【变式演练】
1. (2020·湖南 ·长郡中学三模 (文 ))已知等比数列 an 满足 8a4- a7= 0，a1,a2+ 1,a3且成等差数列．若数
列 bn 满足 bn+1= an+ bn(n∈N *)，且 b1= 1，则数列 bn 的通项公式 bn=
A. 21-n B. 2n- 1 C. 2n+ 1 D. 22n+ 1
2. (2020·内蒙古 · 3包头市第六中学高三期中 )在数列 {an}中 ,a1= 3,an+1= an+ ( + ) ,则通项公式 ann n 1
= ______.
【题型四】累加法拔高：换元累加型
【典例分析】
a a
1. 在数列 a 中，a = 2， n+1 = nn 1 n+ 1 n + ln 1+
1
n ，则 an= ( )
A. a8 B. 2+ n- 1 lnn C. 1+n+ lnn D. 2n+nlnn
全国Ⅰ卷 2021届高三高考临考仿真冲刺卷数学 (文 )试题 (四 )
【提分秘籍】
基本规律
通过换元，转化为an- an-1= f(n) (n≥ 2)累加求通项，最后再反解回去。
【变式演练】
1. 已知数列 an 满足：a1= 13，(n+ 1)an+1-nan= 2n+ 1，n∈N *，则下列说法正确的是 ( )
A. an+1≥ an B. an+1≤ an
C. 数列 an 的最小项为 a3和 a4 D.数列 an 的最大项为 a3和 a4
2. 已知数列 an 满足 a1= 3 a = n n2 ， n n- 1 an-1- n .2
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设数列 an 的前n项和为Sn，求满足Sn< 12的所有正整数n的取值集合.
【题型五】累加法拔高：构造
【典例分析】
1. 已知数列 an 满足 a1= 12 ，n(n+ 1) an+1- an = an+1an，则数列 an 的通项公式 an=____．
人教A版 (2019) 选择性必修第二册 过关斩将 第四章 数列 专题强化练 3 数列的递推公式及通
项公式
【变式演练】
1. 已知数列 {an}满足na *n+1- (n+ 1)an= 1(n∈N ) ,a3= 2，则 a2021=______.
a a
2. 已知数列 an 满足 a1= 1,an- an+1= n n+1 *(n+ n∈N ，则na 的最小值是 ( )1) (n+ 2) n
A. 25 B.
3
4 C. 1 D. 2
【题型六】累积法
【典例分析】
1. (2023·全国 · 2高三专题练习 )数列 a n+2 n+1 *n 满足：a1= 3 ， 2 - 1 an+1= 2 - 2 an n∈N ，则 an 的通
项公式为_____________.
【提分秘籍】
基本规律
an
对于递推公式为 a = f n ，一般利用累乘法求出数列的通项公式，对于递推公式为an- an-1=n-1
f n ，一般利用累加法求出数列的通项公式；
【变式演练】
1. (2020· n上海黄浦 ·高三期末 )已知数列 an (n∈N *)满足 a1= 1，且 an+1= n+ 1 an，则通项公式 an=___
_____.
2. (2020·广东 ·广州市天河外国语学校高三期中 )若数列 a nn 满足 a1= 1,an+1= 2 an则数列 an 的通项公
式 an=____________.
【题型七】前 n项和型
【典例分析】
1. (2021·全国 · 1高三专题练习 (文 ))数列 an 的前n项和为Sn，若Sn=- 22 n - an ，且 a2，a4，a5成等比数
列，则该数列的通项公式为 ( )
A. an= 7- 2n B. an= 6n- 1 C. an= 2n+ 3 D. an= 6-n
【提分秘籍】
基本规律
若在已知数列中存在：Sn= f(an)或Sn= f(n)的关系，可以利用项和公式an=
S1 (n= 1) ，求数列的通项.Sn-Sn-1 (n≥ 2)
【变式演练】
1. (2022·全国 ·高三专题练习 )已知数列 an 的前 n项和为 Sn= n2+ 4n- 3，则 an 的通项公式为____
__
2. (2021·天津市红桥区教师发展中心高三期中 )已知数列 an 的前 n项和 S = 2nn - 3，则数列 an 的通项
公式是______.
【题型八】二阶等比
【典例分析】
1. ( a2019·浙江 ·余姚中学高三阶段练习 )已知数列 an 满足 a1= 1，an= n-12an-1+ 3
(n≥ 2)，则通项公式 an=
_______.
【提分秘籍】
基本规律
二阶等比构造法有两种方法：
p
1.形如 an+1= qan+ p(q≠ 0，1,p,q为常数 ) ,构造等比数列 an+ λ ,λ= q- 1。特殊情况下，
当 q为 2时，λ= p，
= + ≠ an = a q2.形如an pan-1 q pq 0 n-1，变形为 n n-1 + n pq≠ 0,p≠ 1 ，新数列累加法即可p p p
【变式演练】
1. (2021· 1贵州 ·遵义市第五中学高三阶段练习 )设数列 an 满足 a1= 4，an+1= 3 an+ 2，则 an 的通项公式
an=___________.
2. (2021·宁夏六盘山高级中学高三期中 (理 ))已知数列 {an}中，a1= 1，an= 3an-1+ 4(n∈N *且 n≥ 2)，，则
数列 {an}通项公式 an为
A. 3n-1 B. 3n+1- 8 C. 3n- 2 D. 3n
【题型九】二阶等差数列
【典例分析】
1. 1 2已知数列 an , bn 满足 a1= 1，an+1= 1- 4a ，bn= 2a - 1，其中n∈N+．n n
(1)求证：数列 bn 是等差数列，并求出数列 an 的通项公式；
(2)略．
【变式演练】
1. 已知数列 an 有 an≠ 0，Sn是它的前 n项和，a1= 3且S 2 2n= 3n a +S2n n-1,n≥ 2． (1)求证：数列 an+ an+1
为等差数列.
(2)略.
2. 在数列 {an}中，a1= 13 ，2an+1an= an- an+1.
(1) 1求 a2，a3；(2)证明：数列 a 为等差数列，并求数列 {an}的通项公式；n
【题型十】sn与 an型：消 sn型
【典例分析】
1. (2022·云南 · 9二模 (文 ))已知数列 an 的前 n项和为Sn.若 a1= 2 ,an+1= 2Sn，则数列 an 的通项公式为
an=___________.
【提分秘籍】
基本规律
Sn与an的递推关系求an，常用思路是：利用an=Sn-Sn-1,n≥ 2转化为an的递推关系，再求其通
= S1, n= 1项公式；an 时，一定要注意分n= 1,n≥ 2两种情况，在求出结果后，看看这两Sn-Sn-1, n≥ 2
种情况能否整合在一起.
【变式演练】
1. (2021·江西赣州 ·一模 (理 )) 2S记 Sn为数列 an 的前 n项和．若 a1= 1，an= nn+ 1，则数列 an 的通项公
式为______．
2. (2022·全国 ·高三专题练习 (文 ))已知数列 an 的前n项和为Sn，若 a1= 2，且Sn+1= 2Sn+ 1，则数列 an
的通项公式为 an=___________.
【题型十一】sn与 an型：消 an型
【典例分析】
1. (2021·江苏 ·高三课时练习 )已知数列 an 的前 n项和为 Sn Sn≠ 0 ，且满足 an+ 4Sn-1Sn= 0 n≥ 2 ，a1
= 14 ，则 an的通项公式为_________．
【提分秘籍】
基本规律
S1, n= 1
Sn与an的递推关系求an，也可以结合式子结构与数据，利用 an= 转化为Sn的递Sn-Sn-1, n≥ 2
推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 应用关系式
【变式演练】
1. (2020·辽宁 ·高三阶段练习 )已知数列 an 的各项均为正数，其前 n项和为 Sn，若 a1= 1，且 Sn+1 + Sn
= an+1 n∈N * ，则数列 an 的通项公式为______．
2. ( 2021 · 全国 · 高三课时练习 ) 已知各项为正数的数列 an 的前 n 项和为 S n，且 a 1 = 1，S n =
S 2n-1+ a1 n≥ 2,n∈N ，则数列 an 的通项公式为_________.
【题型十二】分式倒数递推
【典例分析】
1. ( a2020·山西 ·怀仁市大地学校高中部高三阶段练习 (文 ))在数列 an 中，a1= 1，且 a nn+1= 1+na ，则其n
通项公式为 an= ( )
A. 1 B. 12 2 C.
2 D. 2
n -n+ 1 n -n+ 2 n2-n+ 1 n2-n+ 2
【提分秘籍】
基本规律
= paa n-1 1 1 q形如 n qa + p，可以取倒数变形为 - =n-1 an an-1 p
【变式演练】
a a
1. (2021·全国 ·高三专题练习 )已知数列 a 1n 满足 n n+1a - a =- 2 ，且 a1= 1，则数列 an 的通项公式为n+1 n
( )
A. a = n n-1n 2n- 1 B. an= 2 C. a =
1
n 2n- 1 D. an=n
2
a
2. (2022·全国 ·高三专题练习 )已知在数列 an 中，a1= 1，a nn+1= 3+ 2a ，则数列 an 的通项公式为 an=n
______.
【题型十三】新数列前 n项和型
【典例分析】
1. (2023· 1全国 ·高三专题练习 )数列 an 满足：a1= 2 ，a1+ a2+ +an= n
2 an，则数列 an 的通项公式 an
=___________.
【提分秘籍】
基本规律
形如 f(1)a1+ f(2)a2+。。。 f(n)an= g(n)，可以设
cn= f(n)an，cn的前n项和为 sn，f(1)a1+ f(2)a2+。。。 f(n)an= sn，则转化为 sn求通项型
【变式演练】
1. (2020·四川 · 1 1 1 1宁南中学高三开学考试 (理 ))数列 an 满足，2 a1+ a +22 2 23
a3+ + n a2 n
= 2n+ 1，写出
数列 an 的通项公式__________.
2. (2019·江苏 ·高三专题练习 )已知 a + 2a + 221 2 a3+ ...+ 2n-1an= 9- 6n，则数列 an 的通项公式 an=__
______．
【题型十四】高次幂取对数型
【典例分析】
n
1. (2021·全国 ·高三课时练习 )已知数列 an ，a = a n-1n n-1 n≥ 2 ，a1= e，则数列 an 的通项公式为 an=__
____.
【提分秘籍】
基本规律
形如a tn+1=man，可以 通过取对数构造等比数列求通项公式
【变式演练】
1. (2021·全国 ·高三课时练习 )设正项数列 an 满足 a1= 1，an= 2a2n-1 n≥ 2 ，则数列 an 的通项公式是_
_____．
2. (2020·上海市进才中学高三期末 )数列 {an}中，若 an+1= a3n(n∈N )，a1= 3，则 {an}的通项公式为___
_____.
【题型十五】二阶含 n等比数列型
【典例分析】
1. (2021·全国 ·高三课时练习 )已知数列 a nn 满足 an+1= 2an+ 3× 5 ,a1= 6，则数列 an 的通项公式 an=_
________.
【提分秘籍】
基本规律
形如 an+1= tan+ f(n)，可以构造等比数列求通项。通过配凑构造等比，如果配凑不容易观察，可以
待定系数来构造
【变式演练】
1. (2023· 7全国 ·高三专题练习 )已知数列 an 满足 a1= 3 ，an+1= 3an- 4n+ 2 n∈N
* ．数列 bn 满足 bn
= an- 2n，则数列 bn 的通项公式为________．
2. (2021·江西 ·高三阶段练习 (理 ))已知首项为 2的数列 an 的前 n项和为Sn，若Sn+1=Sn+ 3an+ 2n- 1，
则 an 的通项公式为________．
【题型十六】二阶含 n等差数列型
【典例分析】
1. (2022·全国 ·高三专题练习 )已知数列 {an}中，a n+11= 1，an+1= 2an+ 2 ，则数列 {an}的通项公式 an=_
_______.
【提分秘籍】
基本规律
形如a nn+1= tan+m ，可以同除来构造等差数列求通项。，
【变式演练】
n-1
1. (2017· 1四川泸州 ·一模 (理 ))已知数列 {an}的前 n项和Sn=-an- 2 + 2(n∈N
*)，则数列 {an}的通
项公式 an=__________．
2. (2023·全国 ·高三专题练习 )已知数列 an 中，a1= 1，a nn+1= 3an+ 3 ，求数列 an 的通项公式______
_____
【题型十七】因式分解型
【典例分析】
1. (2023·全国 ·高三专题练习 )设 an 是首项为 1的正项数列，且 (n+ 2)a 2n+1- na 2n+ 2an+1an= 0(n∈N *) ，
求通项公式 an=___________
【变式演练】
1. (2023·全国 ·高三专题练习 )设 an 是首项为 1的正项数列且 na2n+1+ (n+ 1)a2n- (2n+ 1)anan+1= 0(n∈
N *)，且 an+1≠ an，求数列 an 的通项公式_________
2. (2023·全国 ·高三专题练习 )设数列 an 是首项为 1的正项数列，且 n+ 1 a2 2n+1- nan+ an+1 an= 0，则它
的通项公式 an=______.
【题型十八】三阶递推
【典例分析】
1. (2022·全国 ·高三课时练习 )已知数列 an 满足 a1= 1，a2= 2，且 an+1= 2an+ 3an-1(n≥ 2，n∈N *)，则数
列 an 的通项公式为 an=______．
【变式演练】
1. (2021·江苏 ·泰兴市第一高级中学高三期中 )已知Sn是数列 an 的前 n项和，an+1- 3an+ 2an-1= 1，a1=
1，a2= 4，求数列 an 的通项公式___________.
2. (2021·江苏 ·高三单元测试 )在数列 an 中，a1= 1，a2= 3，且对任意的 n∈N *，都有 an+2= 3an+1- 2an，则
数列 an 的通项公式为______．
【题型十九】前 n项积求通项
【典例分析】
1. (2022·宁夏石嘴山 ·一模 ( 1理 ))已知 an为数列 bn 的前 n项积，若 - 2a = 1，则数列b an 的通项公式n n
an= ( )
A. 3- 2n B. - 3+ 2n C. 3- 4n D. 1- 2n
【变式演练】
1. (2022·全国 ·高三专题练习 )设正项数列 {an}的前 n项和为Sn，数列 {Sn}的前 n项之积为Tn，且Sn+
Tn= 1，则数列 {an}的通项公式是__________.
2. (2021·河南 ·一模 (理 ))设正数数列 an 的前n项和为Sn，数列 Sn 的前n项之积为Tn，且Sn+ 2Tn= 1，
则数列 an 的通项公式是______．
【题型二十】函数型递推
【典例分析】
1. (2021·全国 ·高三专题练习 (理 ))已知 g(x) = f x+ 12 - 3是 R
1
上的奇函数，an= f (0) + f n +
+f n- 1n + f(1) ,n∈N
,则数列 {an}的通项公式为 ( )
A. an=n+ 1 B. an= 3n+ 1 C. an= 3n+ 3 D. a 2n=n - 2n+ 3
【变式演练】
1. (2023· 1 1 2全国 ·高三专题练习 )已知F(x) = f x+ 2 - 1是R上的奇函数，an= f(0) + f n + f n +
+f n- 1n + f(1) (n∈N
*)，则数列 an 的通项公式为 ( )
A. an=n B. an= 2n C. an=n+ 1 D. a =n2n - 2n+ 3
2. (2022·全国 ·高三单元测试 )若 f(x) + f(1- x) = 2,an= f(0) + f 1n + f
2
n + ...+ f
n- 1
n + f(1) (n∈
N *)，则数列 {an}的通项公式是___________.
【题型二十一】周期数列
【典例分析】
1+ a
1. 已知数列 an 满足 a
n
1= 2，an+1= 1- a ，(n∈N
*)，则 a1 a2 a3 a2009 a2010=_________．
n
江苏省涟水中学 2019- 20120学年高三下学期第一次模拟考试数学试题
【提分秘籍】
基本规律
周期数列
1.若数列 {an}满足an= an-1- an-2，则 an 周期T= 6
2.若数列 {an}满足an+ an-1= s，则 an 周期T= 2
3.若数列 {an}满足an+ an-1+ an-2= s，则 an 周期T= 3
4.若数列 {an}满足an× an-1= s，则 an 周期T= 2
5.若数列 {an}满足an× an-1× an-2= s，则 an 周期T= 3
ma
6.a = n-1- bn - ，m+ d= 0，则 an 的周期T= 2can-1 d
【变式演练】
1. 1已知数列 an 中，a1= 2，a *n+1=- a + 1 n∈N ,则S2020=___________.n
2. 数列 an 中，a1= 3，an- a nan+1= 1(n∈N )，An表示数列 an 的前n项之积，A2020=________.
【题型二十二】奇偶讨论型
【典例分析】
1. (2021·全国 ·高三专题练习 )已知数列 an 满足 a1= 2，an+ an+1= -1 n，则数列 an 的通项公式为__
____．
【提分秘籍】
基本规律
讨论型：
1.分段数列
2.奇偶各自是等差，等比或者其他数列
【变式演练】
1. (2021· 1全国 ·高三阶段练习 (理 ))已知数列 an 满足 a1=- 2 ，a2= 1，数列 an 的奇数项单调递增，偶数
an+1- an
项单调递减，若 2n+ 1 = 1，在数列 an 的通项公式为______．
2. 已知数列 an 满足 a nn+1= -1 an+n ，则 an 的前 40项和为__________．
福建省霞浦第一中学 2018- 2019学年高三下学期第一次月考数学 (理 )试题
真题再现
1. ( S2022· 1全国 ·高考真题 )记Sn为数列 an 的前n项和，已知 a1= 1, n a 是公差为n 3 的等差数列．
(1) 1 1 1求 an 的通项公式；(2)证明：a + a + + < 2．1 2 an
2. (2021·浙江 ·高考真题 )已知数列 an 的前n项和为Sn，a1=- 94 ，且 4Sn+1= 3Sn- 9.
(1)求数列 an 的通项；(2)设数列 bn 满足 3b *n+ (n- 4)an= 0(n∈N )，记 bn 的前n项和为Tn，若Tn
≤ λbn对任意n∈N 恒成立，求实数 λ的取值范围.
3. (2020·全国 ·高考真题 (理 ))设数列 {an}满足 a1= 3，an+1= 3an- 4n．
(1)计算 a2，a3，猜想 {an}的通项公式并加以证明；
(2)求数列 {2nan}的前n项和Sn．
4. (2017·全国 ·高考真题 (文 ))设数列 an 满足 a1+ 3a2+ +(2n- 1)an= 2n.
(1) a求 an 的通项公式；(2)求数列 n + 2n 1 的前n项和．
5. (2019·全国 ·高考真题 (理 ))已知数列 {an}和 {bn}满足 a1= 1，b1= 0，4an+1= 3an- bn+ 4 ，4bn+1= 3bn
- an- 4.
(1)证明：{an+ bn}是等比数列，{an- bn}是等差数列；
(2)求 {an}和 {bn}的通项公式.
三、模拟检测
1. (2022·四川 · 1 1 1 1宜宾市叙州区第一中学校高三期中 )数列 2 , 6 , 12 , 20 ,...的一个通项公式是 ( )
A. a = 1 B. a = 1n ( - ) n ( - ) C. an=
1 1
n - n+ 1 D. an= 1-
1
n n 1 2 2n 1 n
2. (2022·浙江省杭州学军中学高三阶段练习 )在等差数列 an 中，a1= 3，且 a1，a4，a10成等比数列，则 an的
通项公式为 ( )
A. an= 2n+ 1 B. an=n+ 2
C. an= 2n+ 1或 an= 3 D. an=n+ 2或 an= 3
3. (2020·云南省楚雄天人中学高三阶段练习 )已知数列 an 满足 a1= 1,an= an-1+ 3n- 2(n≥ 2)，则 an
的通项公式为 ( )
2 2
A. a = 3n2n B. an= 3n2+n C. a = 3n -n D. a = 3n +nn 2 n 2
4. 已知数列 {an}满足 a1= 1，an- an+1=nanan+1(n∈N *)，则 an=__________．
a
5. 已知数列 an 中，a1= 2，n an+1- an = an+ 1，n∈N *，则 nn 的取值范围是_____________．
6. (2022·全国 ·高三课时练习 )已知 a1= 1，an=n an+1- an n∈N+ ，则数列 an 的通项公式是 an= ( )
n+ 1 n+1A. 2n- 1 B. n C. n
2 D. n
7. (2020·福建 ·厦门一中高三阶段练习 )已知函数 an 的前 n项和满足 Sn= 2n+1- 1，则数列 an 的通项公
式为 ( )
= = = 3，n= 1 3，n= 1A. a nn 2 B. an 2n C. an n 2 ,n≥ D. a =2 n 2n,n≥ 2
8. (2022·安徽 ·巢湖市第一中学模拟预测 (文 ))已知首项为 1的数列 an 的前 n项和为 Sn，且 Sn+1= Sn+
12an+ 5，则数列 an 的通项公式为 an=___________.
9. (2023·全国 ·高三专题练习 )设数列 an 的前 n项和为 Sn，若 a1= 1 S - 1， a = 0 n∈N *n 3 n+1 ，则 an 的
通项公式为__________．
10.(2020·黑龙江 ·哈尔滨市第一中学校高三期末 )各项均不为零的数列 an 的前 n项和为 Sn，且 an+
3SnSn-1= 0(n≥ 2)，a1= 13 ，则数列 an 的通项公式为_________．
11. (2019· 4江西吉安一中高考模拟 (理 ))设数列 an 满足 a1= 1,an+1= *4- a n∈N n
(1) 1求证：数列 a - 2 是等差数列；(2)略.n
12.(2021·全国 ·高三专题练习 )数列 an 满足 a1= 1,an+1=
an
2a + 1，则数列 an 通项公式为 an=_____n
___.
13.(2021 · 1 1甘肃 ·武威第六中学模拟预测 (理 ))已知数列 an 满足 a 1= 1，a n= a 1+ 2 a 2+ 3 a 3+
+ 1n- 1 an-1 n> 1 ．数列 an 的通项公式是______．
14.(2022·全国 ·高三课时练习 )已知数列 an 满足 a1= 2，a 2n+1= an，则数列 an 的通项公式为 an= ( )
A. 2n- 1 B. 2n-1 2n-1C. 2 D. n2
15. .(2021·全国 ·高三专题练习 )若数列 an 满足 a1= 1，a n+1n+1= 6an+ 2 ，则数列 an 的通项公式 an=__
______.
16.(2016·辽宁沈阳 ·高三期末 )已知数列 an 中，a1= 2,an+1= 2an+ 3 2n,则数列 an 的通项公式 an=__
____．
17.已知正项数列 an 的前n项和Sn满足S 2n - n2+n- 1 Sn- n2+n = 0 n∈N+ ,
(1)求数列 an 的通项公式;
(2)设 b = 3 3n a a ,Tn是数列 bn 的前n项和 ,证明 :对于任意n∈N
+都有Tn<
n n+1 4
.
n n+1
18.(2022·全国 ·高三课时练习 )已知数列 an 满足 a1 a2 an= 2 2 ，数列 an 的通项公式是______．
2x- 1, x≤ 0
19.(2021·河北省唐县第一中学高三期中 )已知函数 f(x) = { ，把函数 g(x) = f(x) - x的零
f(x- 1) + 1,x> 0
点按照从小到大的顺序排成一个数列 an ，则该数列的通项公式为 ． ( )
n(n- 1)
A. a *n= 2 (n∈N ) B. an=n(n- 1) (n∈N
*)
C. an=n- 1(n∈N *) D. a nn= 2 - 2(n∈N *)
20.在数列 an 中，若 a1= 1,a2= 2，并有 an= an+1an-1对 n> 1且 n∈N *恒成立；则 a2020+ a2021=______
_________．
全国百强名校领军考试 2020- 2021学年高三上学期理科数学试题
21.已知数列 an 的前n项和为Sn，且 a1= 1，2Sn= an+1an，则S20= ( )
A. 200 B. 210 C. 400 D. 410数列递推与通项公式 22种归类
目录
一、热点题型归纳
【题型一】归纳法求通项
【题型二】等差等比定义型
【题型三】累加法基础：等差等比与裂项求和型
【题型四】累加法拔高：换元累加型
【题型五】累加法拔高：构造
【题型六】累积法
【题型七】前n项和型
【题型八】二阶等比
【题型九】二阶等差数列
【题型十】sn与 an型：消 sn型
【题型十一】sn与 an型：消 an型
【题型十二】分式倒数递推
【题型十三】新数列前n项和型
【题型十四】高次幂取对数型
【题型十五】二阶含n等比数列型
【题型十六】二阶含n等差数列型
【题型十七】因式分解型
【题型十八】三阶递推
【题型十九】前n项积求通项
【题型二十】函数型递推
【题型二十一】周期数列
【题型二十二】奇偶讨论型
二、真题再现
三、模拟检测
综述：
数列求通项以及递推公式的方法和数学思想是学生学习数列思的比较好的切入点。数列大题第一问往
往也考察递推公式为主的求通项。这也是第一轮复习的重点之一。
一、热点题型归纳
【题型一】归纳法求通项
【典例分析】
1. (2021·全国 ·高三课时练习 )根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在
横线上和括号中分别填上第 5项的图形和点数.
(1) __________
1 6 11 16 ( )
(2) __________
1 4 7 10 ( )
(3) __________
3 8 15 24 ( )
【答案】 21 13 35
【分析】结合图中点的规律即可写出一个通项公式以及横线处所需填的数值.
【详解】(1)设第n个图形的点数为 an，第n个图形有 5个分支 ,每个分支有n个点，中间的一个是重复，共
计算 5次，则 an= 5n- 4,a5= 21， ；
(2)设第n个图形的点数为 an，第n个图形有 3个分支 ,每个分支有n个点，中间的一个是重复，共计算 3
次，则 an= 3n- 2,a5= 13， ；
(3)设第n个图形的点数为 an，由图可知，第n个图形横方向上有 n+ 2 个点，竖方向上有n个点，则 an
=n n+ 21 =n2+ 2n,a5= 35， .
2. (2021· 9 27江苏 ·高三专题练习 )数列-1,1,- 5 , 7 , 的一个通项公式为________.
n-1
【答案】(-1)n 32n- 1
【分析】根据数列各项所满足的规律可写出结果.
0 1 2 3
【详解】∵-1= -1 1 3 2 3 9 3 3 27 4 3 2× 1- 1，1= -1 2× 2- 1，- 5 = -1 2× 3- 1，7 = -1 2× 4- 1，
n-1 n-1
∴一个通项公式为： -1 n 32n- 1 .故答案为：
3
-1 n 2n- 1 .
【提分秘籍】
基本规律
先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据an与项数n的关系，猜想数列的通项公式，
最后再证明.
一般这类题，选择题很少，因为可以代特殊值求解。
【变式演练】
1. (2021·全国 ·高三课时练习 )根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式 an=_
_________．
【答案】5n- 4
【分析】观察图中点数增加规律是依次增加 5，可得求解。
【详解】第一图点数是 1；第二图点数 6= 1+ 5 ;第三图是 11= 1+ 2× 5 ；第四图是 16= 1+ 3× 5
则第n个图点数 an= 1+ (n- 1) × 5= 5n- 4
故答案为：5n- 4
2. (2018·全国 ·高三课时练习 )若数列的前 4项为 1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是
A. an= 12 [1+ (-1)
n-1] B. an= 1 2 [1- cos(n·180 )]
C. an= sin2(n·90 ) D. an= (n- 1) (n- 2) + 12 [1+ (-1)
n-1]
【答案】D
【详解】试题分析：把n= 1,2,3,4 分别代入A，B，C，D四个选项，A，B，C均成立．在 an= (n- 1) (n-
2) + 1 [1+ (-1)n-12 ]中，a1= 0+
1
2 1+ 1 = 1，a2= 0+
1
2 1- 1 = 0，a
1
3= 2+ 2 1+ 1 = 3，故D不成
立，故选D．
3. (2018·上海市杨浦高级中学高三期末 )已知数列 1、0、1、0、 ，可猜想此数列的通项公式是 ( ).
A. an= 1+ -1 n-1 n∈N *
B. a 1n= 2 1+ -1
n n∈N *
C. a 1 n+1 *n= 2 1+ -1 + n- 1 n- 2 n∈N
D. a 1n= 2 1- cosnπ n∈N
*
【答案】D
【分析】利用赋值法逐项排除可得出结果.
【详解】对于A选项，a1= 1+ -1 0= 2≠ 1，不合乎题意；
对于B选项，a1= 12 × 1- 1 = 0≠ 1，不合乎题意；
对于C选项，a = 13 2 × 1+ -1
4 + 2× 1= 3≠ 1，不合乎题意；
对于D选项，当n为奇数时，cosnπ=-1，此时 an= 12 × 1+ 1 = 1，
当n为偶数时，cosnπ= 1，此时 an= 12 × 1- 1 = 0，合乎题意.
故选：D.
【题型二】等差等比定义型
【典例分析】
1. (2022·全国 ·高三课时练习 )在数列 an 中，a1= 2， an+1 = an + 2，则数列 an 的通项公式为___
_____．
【答案】an= 2n2
【分析】根据给定条件可得数列 an 是等差数列，求出其通项即可计算作答.
【详解】由 an+1= an+ 2得： an+1- an= 2，而 a1= 2，
于是得数列 an 是以 2为首项，d= 2为公差的等差数列，
则有 an= a1+ (n- 1)d= 2+ 2(n- 1) = 2n，
所以数列 an 的通项公式为：an= 2n2.
故答案为：an= 2n2
【提分秘籍】
基本规律
等差数列判定：
①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证 an+1- an=定值；
②等差中项法：即证 2an+1= an+ an+2；
③函数结论法：即 an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.
等比数列的判定方法：
(1) a定义法：“欲证等比，直接作比”，即证 n+1a = q(q≠ 0的常数 ) 数列 {an}是等比数列；n
(2)等比中项法：即证 a2n+1= an·an+2(anan+1an+2≠ 0，n∈N *) 数列 {an}是等比数列．
【变式演练】
1. (2022·河南 ·模拟预测 (文 ))已知数列 an 是单调递增的等差数列，若它的前 5项的和为 105，第 2项 第
4项 第 8项成等比数列，则它的通项公式为 ( )
7n2 7n n+ 1 A. an= 7n或 an= 21 B. an= 2 C. an= 7n D. an= 2
【答案】C
【分析】根据题意列出方程组求解首项与公差即可得解.
5a + 5× 4> 1 2 d= 105【详解】设等差数列 an 的公差为 d 0，由题意可得 ,(a1+ d) (a1+ 7d) = (a1+ 3d)2
解得 a1= d= 7，所以 an= a1+ (n- 1) d= 7+ 7n- 7= 7n.故选：C
2. (2019北京 ·临川学校高三阶段练习 (理 ))成等差数列的三个正数的和等于 6，并且这三个数分别加上 3、
6、13后成为等比数列 bn 中的 b3、b4、b5，则数列 bn 的通项公式为 ( )
A. b = 2n-1 B. b = 3n-1n n C. bn= 2n-2 D. bn= 3n-2
【答案】A
【详解】设成等差数列的三个正数为 a- d，a，a+ d，即有 3a= 6，解得 a= 2，由题意可得 5- d，8，15+ d
成等比数列，即有 5- d 15+ d = 64，解得 d= 1(-11舍去 )，可得公比为 2，则数列 bn 的通项公式为 bn
= b 2n-3= 4 2n-3= 2n-13 ，故选A.
3. (2021·甘肃 ·静宁县第一中学高三阶段练习 (文 ))数列 an 的各项都是正数，a 21= 2，an+1= a2n+ 2，那么
此数列的通项公式为 an=________．
【答案】 2n+ 2
【分析】a = 2，a2 = a2+ 2，即 a2 21 n+1 n n+1- an= 2，可得：数列 {a2n}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可
得出．
【详解】解：∵ a = 2，a21 n+1= a2n+ 2，即 a2n+1- a2n= 2，
∴数列 {a2n}是等差数列，公差为 2，首项为 4．∴ a2n= 4+ 2(n- 1) = 2n+ 2，an> 0，
∴ an= 2n+ 2．故答案为： 2n+ 2．
【题型三】累加法基础：等差等比与裂项求和型
【典例分析】
1. (2022·全国 ·高三专题练习 )已知Sn是等差数列 an 的前n 项和，其中S3= 6,S4= 10，数列 bn 满足 b1=
1，且 bn+ an= bn+1，则数列 bn 的通项公式为 ( )
n2 2A. + 2 B. n -n+ 2 n
2 n2C. +n+ 22 2 2 D. 2
【答案】B
【分析】根据题意列方程组求出 a1,d，从而可求出 an，然后利用累加法可求出数列 bn 的通项公式
【详解】设等差数列 an 的公差为 d，
因为S3= 6,S4= 10，
3a + 3× 2 1 2 d= 6所以 a1= 1 4× 3 ，解得 = ，所以 an= a1+ (n- 1)d= 1+n- 1=n，因为 bn+ an= bd 1 n+1，4a1+ 2 d= 10
所以 bn+1- bn= an=n，所以 b2- b1= 1，b3- b2= 2，b4- b3= 3， ，bn- bn-1=n- 1，
- = + + + + ( - )= n(n- 1)
2
所以 bn b1 1 2 3 n 1 2 ，因为 b1=
n(n- 1)
1，所以 b n -n+ 2n= 2 + 1= 2 ，故选：
B
【提分秘籍】
基本规律
累加法：
若在已知数列中相邻两项存在：an- an-1= f(n) (n≥ 2)的关系，可用“累加法”求通项.
其中 f(n)是常见可求和的数列通项，如等差，等比，和裂项型求和
【变式演练】
1. (2020·湖南 ·长郡中学三模 (文 ))已知等比数列 an 满足 8a4- a7= 0，a1,a2+ 1,a3且成等差数列．若数
列 bn 满足 bn+1= an+ bn(n∈N *)，且 b1= 1，则数列 bn 的通项公式 bn=
A. 21-n B. 2n- 1 C. 2n+ 1 D. 22n+ 1
【答案】B
【分析】利用题意可得 b nn+1- bn= 2 ，再利用累加法即可得到通项公式 bn.
【详解】设等比数列的公比为 q，∵等比数列 a an 满足 8a4- a7= 0，∴ 7 3a = q = 8，∴ q= 2，4
又 a1,a2+ 1,a3成等差数列∴ 2 a2+ 1 = a1+ a3，即 2 2a1+ 1 = a1+ 4a1，
∴ a1= 2，∴ an= 2n，∴ bn+1- b = 2nn ∴ bn= bn- bn-1 + bn-1- bn-2 + + b2- b1 + b1
= 2n-1+ 2n-2+ +2+ 1= 2n- 1.故选B
2. (2020· 3内蒙古 ·包头市第六中学高三期中 )在数列 {an}中 ,a1= 3,an+1= an+ n(n+ ) ,则通项公式 an1
= ______.
【答案】a 3n= 6- n
【分析】变换得到 a - a = 3 1 1n+1 n ( + ) = 3 n - n+ 1 ，利用累加法计算得到答案.n n 1
【详解】a 3 3 1 1n+1= an+ ( + ，故 a - a = = 3 - .n n 1) n+1 n n(n+ 1) n n+ 1
an= an- an-1 + an-1- an-2 + ...+ 1 3 3 a2- a1 + a1= 3 1- n + 3= 6- n .故答案为：an= 6- n .
【题型四】累加法拔高：换元累加型
【典例分析】
a a
1. 1在数列 an 中，a = 2， n+1 = n1 n+ 1 n + ln 1+ n ，则 an= ( )
A. a8 B. 2+ n- 1 lnn C. 1+n+ lnn D. 2n+nlnn
全国Ⅰ卷 2021届高三高考临考仿真冲刺卷数学 (文 )试题 (四 )
【答案】D
【详解】由题意得， an+1 = an + n+ 1，则 aln n = an-1 + ln n ，an-1 an-2 n- 1 a2n+ 1 n n n n- 1 n- 1 n- 1 = n- 2 + ln n- 2 ，2 =
a1
1 + ln
2
1 ，
由累加法得，an = a1n 1 + ln
n
n- 1 + ln
n- 1 2
n- 2 +ln 1 ，即
an
n = a1+ ln
n
n- 1
n- 1
n- 2
2
1 ，
则 ann = 2+ lnn，所以 an= 2n+nlnn，故选：D
【提分秘籍】
基本规律
通过换元，转化为an- an-1= f(n) (n≥ 2)累加求通项，最后再反解回去。
【变式演练】
1. 已知数列 an 满足：a1= 13，(n+ 1)an+1-nan= 2n+ 1，n∈N *，则下列说法正确的是 ( )
A. an+1≥ an B. an+1≤ an
C. 数列 an 的最小项为 a3和 a4 D.数列 an 的最大项为 a3和 a4
【答案】C
【详解】令 bn=nan，则 bn+1- bn= 2n+ 1，又 a1= 13，所以 b1= 13，b2- b1= 3，b3- b2= 5， ，bn- bn-1= 2n
- 1，
n- 1 3+ 2n- 1 b n2所以累加得 b = 13+ =n2+ 12，所以 a = n = + 12 =n+ 12n 2 n n n n ，
n- 3 n+ 4
所以 an+1- a = 12n n+ 1 + n+ 1 - +
12 = n n ，n n+ 1
所以当n< 3时，an+1< an，当n= 3时，an+1= an，即 a3= a4，当n> 3时，an+1> an，
即 a1> a2> a3= a4< a5< < an，所以数列 an 的最小项为 a3和 a4，故选：C .
2. 3 n n已知数列 an 满足 a1= 2 ，an= n- 1 an-1- 2n
.
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设数列 an 的前n项和为Sn，求满足Sn< 12的所有正整数n的取值集合.
【答案】(1)an=n+ nn ；(2) 1,2,3,4 .2
【详解】(1)因为 a = n nn n- 1 an-1- n ，所以
an an-1 1 a2 a1 1 a3 a2 1
2 n
- n- 1 =- n .因为 2 - 1 =- 2 ，3 - 2 =- 3 ，2 2 2
1 n-1
a 1- ， n - an-1 1

n n- 1 =- n ，所以
an - a1 1 1 1 1 2 1 1
2 n 1
=- 2 + 3 + + n =- 2 = n - ，于是 an=2 2 2 2 1- 1 2 22
n+ n
2n
.
当n= 1时，a1= 1+ 12 =
3
2，所以 a
n
n=n+ .2n
(2)因为Sn-S nn-1= an=n+ n > 0，所以 Sn 是递增数列.2
因为 a = 1+ 1 = 3，a = 2+ 2 = 5，a = 3+ 3 = 27，a = 4+ 4 = 171 2 2 2 4 2 3 3 8 4 4 4 ，a5= 5+
5 165
2 2 25
= 32 ，
所以S = 3，S = 4，S = 59，S = 93 < 12，S = 5371 2 2 3 8 4 8 5 32 > 12，
于是所有正整数n的取值集合为 1,2,3,4 .
【题型五】累加法拔高：构造
【典例分析】
1. 已知数列 a
1
n 满足 a1= 2 ，n(n+ 1) an+1- an = an+1an，则数列 an 的通项公式 an=____．
人教A版 (2019) 选择性必修第二册 过关斩将 第四章 数列 专题强化练 3 数列的递推公式及通
项公式
【答案】 n *n+ 1 n∈N
【详解】易知 a - aan≠ 0，由n(n+ 1) an+1- an = a n+1 nn+1an，得 a a =
1 ，∴ 1 - 1 = 1 - 1
n+1 n n(n+ 1) an an+1 n n+ 1
，
∴ 1a -
1 = 1 - 1 (n≥ 2)．
n-1 an n- 1 n
∴当n≥ 2时，有 1 - 1 = 1 - 1 ，1 - 1 = 1 - 1a a 1 2 a a 2 3，．．．．．．
1 1 1 1
1 2 2 3 a
-
n-1 a
= n- 1 - n，n
将以上n- 1个等式相加得，1 1a - a = 1-
1
n =
n- 1
n (n≥ 2)又 a
1
1= 2，1 n
∴ 1 = 2- n- 1a n =
n+ 1
n (n≥ 2)，经验证，当n= 1时符合上式，∴ a =
n
n n+ 1 (n∈ N
* ．
n
【变式演练】
1. 已知数列 {an}满足nan+1- (n+ 1)an= 1(n∈N *) ,a3= 2，则 a2021=______.
【答案】2020
【详解】因为nan+1- (n+ 1)an= 1，所以nan+1- (n+ 1)an=n+ 1-n，
式子两端除以 + ，整理得：an+1+ 1 = an+ 1，即 an+ 1n n 1 n+ 1 n n 为常数列.
因为 a3= 2，所以
an+ 1 = a3+ 1 = 2+ 1n 3 3 = 1，所以 an=n- 1，所以 a2021= 2021- 1= 2020.
故答案为：2020
2. 已知数列 an 满足 a1= , -
a a
1 a a = n n+1 *n n+1 ( + ) ( + ) n∈N ，则nan的最小值是 ( )n 1 n 2
A. 2 B. 35 4 C. 1 D. 2
【答案】C
【详解】因为 a - aa = nan+1 n∈N * ，所以
an- an+1 1 1 1
n n+1 ( + ) a a = = n+ 1 - n+ 2，即
1 -
n n 1 n n+1 (n+ 1) n+ 2 an+1
1
a =
1 - 1 1 1 1
n n+ 1 n+ 2
，则 a = - +n an an-1
1 - 1 1a a + + a -
1
a +
1
n-1 n-2 2 1 a1
= 1 - 1 + 1 1n n+ 1 n- 1 - n + +
1 1
2 - 3 +
1 = 1 - 1 3n+ 11 2 n+ 1 + 1= 2n+ 2 (n≥ 2)，
2
当n= 1时，上式成立，故 a = 2n+ 2，na = 2n + 2n
2
n 3n+ 1 n 3n+ 1 ，设 b =
2n + 2n
n 3n+ 1 ，
2 n+ 1 2+ 2 n+ 1 2 2则 b - b = - 2n + 2n 6n + 10n+ 4n+1 n 3 n+ 1 + 1 3n+ 1
= > 0，
3n+ 4 3n+ 1
故数列 bn 是单调递增数列，则当n= 1时，bn即nan的最小值为 1.故选：C .
【题型六】累积法
【典例分析】
1. (2023·全国 · 2高三专题练习 )数列 a 满足：a n+2 n+1 *n 1= 3 ， 2 - 1 an+1= 2 - 2 an n∈N ，则 an 的通
项公式为_____________.
n
【答案】a = 2n
2n- 1 2n+1- 1
a 2n【分析】先由条件得 n+1 = 2 - 1a 2n+2
，再结合累乘法求得 a 的通项公式即可.
n - 1 n
n+1 n
【详解】由 2n+2- 1 a = 2n+1-
a
2 a n+1
2 - 2 2 - 1
n+1 n得， a = n+2 = 2 n+2 ，n 2 - 1 2 - 1
a a n-1 n-2 n-3 1则 n n-1 an-2a a a
a2 = 2 2 - 1 2 - 1 2 - 1 2 - 1 n-1 3a 2n+1
2
- 1 2n
2 n-1 2 3 = 2 n+1 n ，
n-1 n-2 n-3 1 - 1 2 - 1 2 - 1 2 - 1 2 - 1
a 3 2n-1 n即 na = n n+1 ，又 a =
2
1 3，所以 an=
2
2 - 1 2 - 1 2n- 1 2n+1
.
1 - 1
n
故答案为：a = 2n n n+1 . 2 - 1 2 - 1
【提分秘籍】
基本规律
an
对于递推公式为 a = f n ，一般利用累乘法求出数列的通项公式，对于递推公式为an- an-1=n-1
f n ，一般利用累加法求出数列的通项公式；
【变式演练】
1. (2020·上海黄浦 ·高三期末 )已知数列 a *n (n∈N )满足 a1= 1，且 a = nn+1 n+ 1 an，则通项公式 an=___
_____.
【答案】1n n∈N
*
【解析】由 a = n an n- 1n+1 n+ 1 an，得 a = n n≥ 2 ，再由累乘法求 an，注意验证n= 1时是否成立.n-1
【详解】由 a nn+1= n+ 1 an，得当n≥ 2时，
an = n- 1 ∴ a. 2 1 a3a n a = 2 , a =
2 , a4 33 a = 4 , ,
an-1
a =
n- 2
n-1 1 2 3 n-2 n- 1
, an n- 1a = n ,n-1
以上各式两端分别相乘，得
a2 × a3 × a4 × × an-1 × an = 1 × 2 × 3 × × n- 2 × n- 1 ,即 an = 1a a a a a 2 3 4 n- 1 n a n，∵ a1= 1，∴ an=1 2 3 n-2 n-1 1
1
n n≥ 2 .
又 a = 1，适合上式 .∴ a = 11 n n n∈N
* .故答案为：1n n∈N
* .
2. (2020·广东 ·广州市天河外国语学校高三期中 )若数列 a nn 满足 a1= 1,an+1= 2 an则数列 an 的通项公
式 an=____________.
n n-1
【答案】2 2
【解析】利用累乘法求出数列的通项公式；
n n-1
【详解】解：∵ a nn+1= 2 an，a1= 1∴
an+1 n
a = 2 ∴ an= a1
a2 a3 ana a a = 1× 2
1× 22× × 2n-1= 2 2
n 1 2 n-1
n n-1
故答案为：2 2
【题型七】前 n项和型
【典例分析】
1. (2021·全国 ·高三专题练习 (文 ))数列 an 的前n项和为S 1n，若S =- n2n 2 - an ，且 a2，a4，a5成等比数
列，则该数列的通项公式为 ( )
A. an= 7- 2n B. an= 6n- 1 C. an= 2n+ 3 D. an= 6-n
【答案】D
Sn-Sn-1, n≥ 2【分析】根据 an= ，及等比中项的性质计算可得；Sn, n= 1
【详解】解：因为S =- 1n 2 n
2- an
所以当n≥ 2时，an=Sn-Sn-1=- 12 2n- 1- a ．由 a
2
2，a4，a5成等比数列，则 7- a =
3- a 9- a ，解得 a= 11，此时 an= 5- n- 1 = 6-n；当n= 1时，an=S =- 1 121 2 - 11 = 5满足上
式，所以 an= 6-n，
故选：D．
【提分秘籍】
基本规律
若在已知数列中存在：Sn= f(an)或Sn= f(n)的关系，可以利用项和公式an=
S1 (n= 1) ，求数列的通项.Sn-Sn-1 (n≥ 2)
【变式演练】
1. (2022·全国 ·高三专题练习 )已知数列 an 的前 n项和为 Sn= n2+ 4n- 3，则 an 的通项公式为____
__
【答案】an= 2, n= 1 2n+ 3, n≥ 2
【分析】根据 an与Sn的关系即可求解.
【详解】当n= 1时，a1=S 21= 1 + 4× 1- 3= 2，
当n≥ 2时，an=Sn-S 2n-1=n + 4n- 3- n- 1 2+ 4 n- 1 - 3 = 2n+ 3，
另n= 1时，2× 1+ 3= 5，此式不满足 a1，
2, n= 1所以 an 的通项公式为 an= .2n+ 3, n≥ 2
故答案为：an= 2, n= 1 .2n+ 3, n≥ 2
2. (2021·天津市红桥区教师发展中心高三期中 )已知数列 an 的前 n项和 Sn= 2n- 3，则数列 an 的通项
公式是______.
= -1，n= 1【答案】an 2n-1,n≥ 2
【分析】根据S nn= 2 - 1求出首项、第二项，从而得出公比，从而求出数列 {an}的通项公式.
【详解】解：当n= 1时，a1=S1= 21- 3=-1，所以 a1=-1，
当n= 2时，a1+ a2=S = 222 - 3= 1，即得到 a2= 2，
因为S = 2n- 3①，所以当n≥ 2时，S = 2n-1n n-1 - 3②，①-②得 an=Sn-Sn-1= 2n- 3 - 2n-1- 3 =
2n-1，
= -1，n= 1 -1，n= 1当n 1时，a1= 21-1= 1不满足 a1=-1，所以 an= n-1, ≥ ，故答案为：a = 2 n 2 n 2n-1, .n≥ 2
【题型八】二阶等比
【典例分析】
a
1. (2019·浙江 ·余姚中学高三阶段练习 )已知数列 an 满足 a1= 1，a n-1n= 2a + 3 (n≥ 2)，则通项公式 an=n-1
_______.
【答案】 1 n∈N *
2 3n-1- 1
【分析】先取倒数可得 1a =
2an-1+ 3 = 2+ 3 ,即 1 + 1= 3 1a a a a + 1 ,由等比数列的定义可得n≥ 2n n-1 n-1 n n-1
时 , 1a + 1= 6 3
n-2,即 a = 1n n-1 ,再检验n= 1时是否符合即可
n 2 3 - 1
【详解】由题 ,因为 aa = n-1n 2a + 3 (n≥ 2) ,所以
1 = 2an-1+ 3 = 2+ 3 ,所以 1 + 1= 3 1 + 1 , n-1 an an-1 an-1 an an-1
当n= 2时 ,a = a1 1 1 1 n-2 1 n-12 2a1+ 3
= 5 ,所以 a + 1= 5+ 1= 6,所以当n≥ 2时 , a + 1= 6 3 ,则 a = 2 32 n n
- 1,即 an= 1 ,2 3n-1- 1
当n= 1时 ,a1= 12- 1 = 1,符合 ,所以 a =
1 ,故答案为 : 1 n∈N *n 2 3n-1- 1 2 3n-1- 1
【提分秘籍】
基本规律
二阶等比构造法有两种方法：
p
1.形如 an+1= qan+ p(q≠ 0，1,p,q为常数 ) ,构造等比数列 an+ λ ,λ= q- 1。特殊情况下，
当 q为 2时，λ= p，
a a
2. n n-1形如an= pan-1+ q pq≠ 0 ，变形为 n = n-1 +
q
n pq≠ 0,p≠ 1 ，新数列累加法即可p p p
【变式演练】
1. (2021·贵州 · 1遵义市第五中学高三阶段练习 )设数列 an 满足 a1= 4，an+1= 3 an+ 2，则 an 的通项公式
an=___________.
【答案】3+ 1
3n-1
【分析】依题意得 an+1- 3= 13 an- 3 ，所以 an- 3 是等比数列，进而可得结果.
【详解】由 a 1 1n+1= 3 an+ 2得 an+1- 3= 3 an- 3 ，又 a1- 3= 1，
所以，数列 an- 3 是首项为 1，公比为 13 的等比数列.
1 n-1则 an- 3= 1× 3 ，所以 an= 3+
1
n-1 .故答案为：3+
1
3 3n-1
2. (2021·宁夏六盘山高级中学高三期中 (理 ))已知数列 {an}中，a1= 1，an= 3a *n-1+ 4(n∈N 且 n≥ 2)，，则
数列 {an}通项公式 an为
A. 3n-1 B. 3n+1- 8 C. 3n- 2 D. 3n
【答案】C
【详解】在 an= 3an-1+ 4两边同时加上 2，得 an+ 2= 3an- 1+ 6= 3(an- 1+ 2)，
根据等比数列的定义，数列 {an+ 2}是等比数列，
且公比为 3.以 a1+ 2= 3为首项．等比数列 {an+ 2}的通项 an+ 2= 3 3n- 1= 3n，移向得 an= 3n- 2.
故选C .
【题型九】二阶等差数列
【典例分析】
1. 已知数列 an , b 1 2n 满足 a1= 1，an+1= 1- 4a ，bn= 2a - 1，其中n∈N+．n n
(1)求证：数列 bn 是等差数列，并求出数列 an 的通项公式；
(2)略．
【答案】(Ⅰ )a = n+ 1n 2n ; .
试题解析：(Ⅰ )证明：∵ b 2 2 2 2n+1- bn= 2a -n+1- 1 2a - 1
= -
n - 1 - 2a - 12 1 1 n4an
= 4an 2 22an- 1
- 2a - 1 = 2，∴数列 {bn}是公差为 2的等差数列，又 b1=n 2a1- 1
= 2，∴ bn= 2+ (n- 1) × 2
= 2n，
故∴ 2n= 2 n+ 12an- 1
，解得 an= 2n ．
【变式演练】
1. 已知数列 an 有 an≠ 0，Sn是它的前 n项和，a1= 3且S 2n= 3n2a 2n+Sn-1,n≥ 2． (1)求证：数列 an+ an+1
为等差数列.
(2)略.
【答案】(1)公差为 6的等差；
【详解】(1)当n≥ 2时，S 2n= 3n2an+S2n-1，(Sn-Sn-1) (Sn+Sn-1) = 3n2an,an≠ 0
所以 (Sn+Sn-1) = 3n2，(Sn+1+Sn) = 3(n+ 1)2，两式对应相减得 an+ an+1= 3(2n+ 1)，
所以 (an+ an+1) - (an-1+ an) = 6n+ 3- (6n- 3) = 6
又n= 2时，(3+ a2)2= 12a2+ 9,∴ a2= 6所以 a3= 9，
所以 (a2+ a3) - (a1+ a2) = 6+ 9- (6+ 3) = 6，所以数列 an+ an+1 为等差数列.
2. 在数列 {an} 1中，a1= 3 ，2an+1an= an- an+1.
(1)求 a2，a3；(2) 1证明：数列 an 为等差数列，并求数列 {an}的通项公式；
【答案】(1)a3= 17 (2)a =
1 *
n 2n+ 1 (n∈N )
【详解】(1)由题得，2a2a1= a1- a2，则 2a 1 1 5 12× 3 = 3 - a2，即 3 a2= 3，解得 a
1
2= 5，
又 2a a = a - a ，则 2a × 1 = 1 - a ，即 7 a = 1 ，解得 a = 13 2 2 3 3 5 5 3 5 3 5 3 7 .
(2) ∵ 2an+1a = a 1 1 1 1n n- an+1，∴ a - a = 2，且 a = 3，∴数列 a 是以 3为首项，2为公差的等差数列，n+1 n 1 n
∴ 1a = 3+ n- 1 × 2= 2n+ 1，∴ a
1
n= 2n+ 1 n∈N
* .
n
【题型十】sn与 an型：消 sn型
【典例分析】
1. (2022· 9云南 ·二模 (文 ))已知数列 an 的前 n项和为Sn.若 a1= 2 ,an+1= 2Sn，则数列 an 的通项公式为
an=___________.
9 , n= 1
【答案】an= 23n, n≥ 2
【分析】根据数列 an,Sn的关系，分n= 1,n≥ 2讨论，构造等比数列求解.
【详解】由 a 91= 2 ,an+1= 2Sn，可知 a2= 2S1= 9，
当n≥ 2时，an= 2Sn-1，相减可得：an+1- an= 2Sn- 2Sn-1= 2an，
∴ an+1= 3an．
∴数列 {an}从第二项起是以 9为首项，以 3为公比的等比数列，∴ an= 9 3n-2= 3n，n≥ 2，
9 , n= 1 9 , n= 1
当n= 1时，不满足 an= 3n.∴ an= 2 ，故答案为：an= 23n, n≥ 2 3n, n≥ 2
【提分秘籍】
基本规律
Sn与an的递推关系求an，常用思路是：利用an=Sn-Sn-1,n≥ 2转化为an的递推关系，再求其通
S1, n= 1
项公式；an= 时，一定要注意分n= 1,n≥ 2两种情况，在求出结果后，看看这两Sn-Sn-1, n≥ 2
种情况能否整合在一起.
【变式演练】
1. (2021· 2S江西赣州 ·一模 (理 ))记 Sn为数列 an 的前 n项和．若 a1= 1，a = nn n+ 1，则数列 an 的通项公
式为______．
【答案】an=n
【分析】将已知关系式化为 (n+ 1)an= 2Sn，然后再写出第n+ 1项的关系式，两式作差何解可得
an+1
n+ 1 =
an
n ，进而可以求解．
【详解】解：因为 = 2Sa nn n+ 1，则 (n+ 1)an= 2Sn ①
所以 (n+ 2)an+1= 2Sn+1 ②
②-①可得 (n+ 2)an+1- (n+ 1)an= 2an+1，所以nan+1= (n+ 1)an，
即 an+1 = an ，所以 an = an-1 = an-2 = = a2 = a1n+ 1 n n n- 1 n- 2 2 1 = 1，
所以 an=n，故答案为：an=n．
2. (2022·全国 ·高三专题练习 (文 ))已知数列 an 的前n项和为Sn，若 a1= 2，且Sn+1= 2Sn+ 1，则数列 an
的通项公式为 an=___________.
2, n= 1
【答案】 3× 2n-2, n≥ 2
【分析】项和转换可得 an+1= 2an(n≥ 2)，可得数列 {an}从第二项开始是以 3为首项，2为公比的等比数
列，结合等比数列的通项公式，分段表示即得解
【详解】由题意，Sn+1= 2Sn+ 1故Sn= 2Sn-1+ 1 两式相减可得：an+1= 2an(n≥ 2)，
在Sn+1= 2Sn+ 1中，令n= 1，可得 a1+ a2= 2a1+ 1，即 a2= 3
因此数列 {an}从第二项开始是以 3为首项，2为公比的等比数列
2, n= 1 2, n= 1
有 an= - 故答案为： 3× 2n 2, n≥ 2 3× 2n-2, n≥ 2
【题型十一】sn与 an型：消 an型
【典例分析】
1. (2021·江苏 ·高三课时练习 )已知数列 an 的前 n项和为 Sn Sn≠ 0 ，且满足 an+ 4Sn-1Sn= 0 n≥ 2 ，a1
= 14 ，则 an的通项公式为_________．
1
【答案】 = 4
(n= 1)
an
1 1 4n - 4n- 4 (n≥ 2)
【分析】由 an+ 4Sn-1Sn= 0 n≥ 2 ，可得Sn-S 1n-1=-4SnSn-1，即可得到 S 是以 4为首项，4为公差的n
S1, n= 1
等差数列，即可求出Sn，再根据 an= 计算可得；Sn-Sn-1, n≥ 2
【详解】解：数列 an 的前n项和为Sn Sn≠ 0 ，且满足 an+ 4Sn-1Sn= 0 n≥ 2 ，整理得：Sn-Sn-1=
-4SnSn-1，
故 1 - 1S S = 4(常数 )，所以数列
1
S 是以 4为首项，4为公差的等差数列；所以
1
S = 4+ 4(n- 1) =n n-1 n n
4n，
整理得S 1n= 4n，当n≥ 2时，故 an=Sn-Sn-1=
1 - 1 1 1 14n 4n- 4，显然 a1= 4 不符合 an= 4n - 4n- 4，

1
4 (n= 1)
1
4 (n= 1)所以 an= ．故答案为：an= ．
1 1 1 1 4n - 4n- 4 (n≥ 2) 4n - 4n- 4 (n≥ 2)
【提分秘籍】
基本规律
S1, n= 1
Sn与an的递推关系求an，也可以结合式子结构与数据，利用 an= 转化为Sn的递Sn-Sn-1, n≥ 2
推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 应用关系式
【变式演练】
1. (2020·辽宁 ·高三阶段练习 )已知数列 an 的各项均为正数，其前 n项和为 Sn，若 a1= 1，且 Sn+1 + Sn
= a *n+1 n∈N ，则数列 an 的通项公式为______．
【答案】an= 2n- 1
【分析】由 a =S -S 代入化简得 S - S = 1，故可求S =n2n+1 n+1 n n+1 n n ，代入 an=Sn-Sn-1即可求解．
【详解】因为 Sn+1+ Sn= an+1=Sn+1-Sn= Sn+1+ Sn Sn+1- Sn ，
因为 an> 0，所以Sn> 0，所以 Sn+1- Sn= 1，因为 S1= a1= 1，
所以 S =n，S =n2n n ．
所以当n≥ 2时，an=Sn-Sn-1=n2- n- 1 2= 2n- 1，
又由 a1= 1，符合 an= 2n- 1 n≥ 2 ，故 an= 2n- 1．
故答案为：an= 2n- 1
2. ( 2021 · 全国 · 高三课时练习 ) 已知各项为正数的数列 an 的前 n 项和为 S n，且 a 1 = 1，S n =
S 2n-1+ a1 n≥ 2,n∈N ，则数列 an 的通项公式为_________.
【答案】an= 2n- 1
【分析】先由题干求出 Sn 是以 1为首项，公差为 1的等差数列，并且求得S 2n=n，进而写出数列 an 的
通项公式.
【详解】解：∵ an> 0，∴Sn> 0，当n≥ 2时，由Sn= S 2n-1+ a1 ，可得 Sn= Sn-1+ a1，
即 Sn- Sn-1= 1.∴ Sn 是以 1为首项，公差为 1的等差数列 .∴ Sn= 1+ n- 1 × 1=n.
∴S =n2n .∴当n≥ 2时，an=Sn-Sn-1=n2- n- 1 2= 2n- 1.当n= 1时，上式成立.
故数列 an 的通项公式为 an= 2n- 1.故答案为：an= 2n- 1.
【题型十二】分式倒数递推
【典例分析】
1. (2020·山西 · a怀仁市大地学校高中部高三阶段练习 (文 ))在数列 an 中，a1= 1，且 a nn+1= 1+na ，则其n
通项公式为 an= ( )
A. 12 B.
1 C. 2 D. 2
n -n+ 1 n2-n+ 2 n2-n+ 1 n2-n+ 2
【答案】D
2
【解析】先由 aa n 1 1n+1= 1+na 得出 a - a =n，再由累加法计算出
1 n -n+ 2
n n+1 n a
= ，进而求出 an.
n 2
【详解】解：∵ aa nn+1= 1+na ，∴ an+1 1+nan = an，化简得：an+1+nanan+1= an，n
两边同时除以 ana
1 1
n+1并整理得：a - =n，n+1 an
即 1 - 1a a = 1，
1 - 1a a = 2，
1
a -
1
a = 3， ，
1 1
a - a =n- 1(n≥ 2,n∈ z)，2 1 3 2 4 3 n n-1
将上述n- 1个式子相加得：
1 - 1 + 1 1 1a a a - a + a -
1
a + +
1 1
a - a = 1+ 2+ 3+ +n- 1，即
1
a -
1 n(n- 1)
2 1 3 2 4 3 n n-1 n a
=
1 2
，
∴ 1 = 1 n(n- 1) n(n- 1) n
2-n+ 2 1
an a
+ 2 = 1+ 2 = 2 (n≥ 2,n∈ z)，又∵ a = 1也满足上式，1 1
∴ 1
2
a =
n -n+ 2
2 (n∈ z)， ∴ an=
2
2 (n∈ z).故选：D.
n n -n+ 2
【提分秘籍】
基本规律
= paa n-1 1形如 n qa ，可以取倒数变形为 -
1 = q
n-1+ p an an-1 p
【变式演练】
a a
1. (2021· 1全国 ·高三专题练习 )已知数列 a 满足 n n+1n a - a =- 2 ，且 a1= 1，则数列 an 的通项公式为n+1 n
( )
A. a = n n-1 1 2n 2n- 1 B. an= 2 C. an= 2n- 1 D. an=n
【答案】C
【解析】由 an an+1 =- 1 ，化简得 1a - a 2 a -
1
a = 2，根据等差数列的定义，得到以数列
1
a 表示首项为 1，n+1 n n+1 n n
公差为 2的等差数列，求得 1a = 2n- 1，进而求得以数列 an 的通项公式.n
【详解】由题意，数列 a a a 满足 n n+1 1 1 1n an+1- a
=- 2，取倒数可得n a
-
n+1 a
= 2，
n
又由 a1= 1，所以 1a = 1，所以数列
1
a 表示首项为 1，公差为 2的等差数列，1 n
所以 1a = 1+ (n- 1) × 2= 2n- 1，所以数列 an 的通项公式为 a =
1
n 2n- 1 .故选：C .n
2. (2022·全国 · a高三专题练习 )已知在数列 an 中，a1= 1，a nn+1= 3+ 2a ，则数列 an 的通项公式为 an=n
______.
【答案】 1
2× 3n-1- 1
【分析】把已知数列递推式取倒数，然后变为 1a + 1= 3
1
a + 1 ，可得数列
1
a + 1 是等比数列，求其n+1 n n
通项公式后可得数列 an 的通项公式.
【详解】由题意， = aa nn+1 3+ 2a ，取倒数得
1 = 3+ 2ana =
3 + 2，即 1 + 1= 3 1 + 1
n n+1 an an an+1 an ，
又 1a + 1= 2≠ 0，所以，数列
1
+ 1 a 是公比为 3的等比数列，故
1 + 1= 2× 3n-1a ，1 n n
所以 a 1 1n= .故答案为： .2× 3n-1- 1 2× 3n-1- 1
【题型十三】新数列前 n项和型
【典例分析】
1. (2023·全国 · 1高三专题练习 )数列 an 满足：a1= 2 ，a
2
1+ a2+ +an= n an，则数列 an 的通项公式 an
=___________.
【答案】 1
n2+n
【解析】当n≥ 2时， 2 aa n n- 11+ a2+ +an-1= n- 1 an-1，作差即可得到 a =n-1 n+ 1
，再利用累乘法求出数
列的通项公式即可；
【详解】解：因为 a1+ a2+ +an=n2 an①；
当n≥ 2时，a1+ a2+ +an-1= n- 1 2 an-1②；
①减②得 a 2n=n an- n- 1 2 a 2n-1，即 n - 1 an= n- 1 2 an-1，所以 n- 1 n+ 1 an= n- 1 2
an-1，所以 n+
a
1 n- 1 an= n- 1 a nn-1，所以 a =n-1 n+ 1
所以 a2a =
1 ，a3 2 a43 a = 4，a =
3， ， an n- 1
1 2 3 5 a
= ，
n-1 n+ 1
所以 a2 a3 a4 an = 1 × 2a a a a 3 4 ×
3
5 × ×
n- 1 an
n+ 1，所以 a =
2 ，又 a = 11 2，所以 an=1 2 3 n-1 1 n n+ 1
1 ，当n= 1时 a 1 1 1
n n+ 1 n
= 也成立，所以 an= 。故答案为：
n n+ 1 n n+ 1 n n+ 1
【提分秘籍】
基本规律
形如 f(1)a1+ f(2)a2+。。。 f(n)an= g(n)，可以设
cn= f(n)an，cn的前n项和为 sn，f(1)a1+ f(2)a2+。。。 f(n)an= sn，则转化为 sn求通项型
【变式演练】
1. (2020· 1 1 1 1四川 ·宁南中学高三开学考试 (理 ))数列 an 满足，2 a1+ 2 a2+ 3 a3+ + n an= 2n+ 1，写出2 2 2
数列 an 的通项公式__________.
6, n= 1【答案】an= 2n+1, n≥ 2
【分析】当n≥ 2时，有 1 a + 1 a + 12 1 a + +
1 a = 2 n- 1 + 1= 2n- 1，作差可求出 a = 2n+1，再
22 2 23 3 2n-1 n-1 n
验证 a1是否成立，即可得出答案.
【详解】当n≥ 2时，由 1 a + 1 1 12 1 22
a2+ 3 a3+ + n an= 2n+ 1 ,2 2
所以 1 a 1 1 12 1+ 2 a2+ 3 a3+ +2 2 2n-1
an-1= 2 n- 1 + 1= 2n- 1 ，
- 可得 1 a = 2n+ 1- 2n- 1 = 2，所以 a = 2 2n= 2n+1n n n ，2
6, n= 1
当n= 1时，12 a1= 2+ 1= 3，所以 a1= 6，不满足上式，所以 an= .2n+1, n≥ 2
故答案为： an= 6, n= 1 2n+1, n≥ 2
2. (2019·江苏 ·高三专题练习 )已知 a 2 n-11+ 2a2+ 2 a3+ ...+ 2 an= 9- 6n，则数列 an 的通项公式 an=__
______．
3 n= 1 【答案】an= - 3n-2 n≥ 2 2
【分析】将 a 2 n-11+ 2a2+ 2 a3+ ...+ 2 an记为Sn，利用Sn-S = 2n-1n-1 an n≥ 2 ，求解出 an 的通项公式，注
意验证n= 1是否符合n= 2时的情况.
【详解】令S = a + 2a + 22n 1 2 a3+ ...+ 2n-1an，则Sn= 9- 6n，当n= 1时，a1=S1= 3；
当n≥ 2时，2n-1an=Sn-Sn-1=-6 n≥ 2 ，
3 3 n= 1 3 n= 1 ∴ an=- n-2 ，∴通项公式 a2 n= - 3 n≥ 2 .故答案为 a n= - 3 .2n-2 2n-2 n≥ 2
【题型十四】高次幂取对数型
【典例分析】
n
1. (2021·全国 ·高三课时练习 )已知数列 a ，a = a n-1n n n-1 n≥ 2 ，a1= e，则数列 an 的通项公式为 an=__
____.
【答案】en
【分析】取对数，化简运算可得 lnan nlna = n- 1 n≥ 2 ，利用累乘法求出 lnan=nlna1=n，即可求解.n-1
n n
【详解】因为 = lna lnaa n-1n an-1 n≥ 2 ，所以 lna = lnan-1 nn n-1= n- 1 lna ，即
n
n-1 lna =
n
n- 1 n≥ 2 ，所以
2
n-1 lna
=
1
2，lna3 = 3， ， lnan = n ，所以 lna2 × lna3 × × lnan1 lna 2 lna n- 1 lna lna lna =
2 × 3 n lnan
2 n-1 1 2 n-1 1 2
× × n- 1，所以 lna =1
n n≥ 2 ，又 a1= e，
所以 lnan=nlna1=n，所以 a = enn n≥ 2 ，a1= e也符合，所以 a = enn .故答案为：en
【提分秘籍】
基本规律
形如an+1=matn，可以 通过取对数构造等比数列求通项公式
【变式演练】
1. (2021·全国 ·高三课时练习 )设正项数列 a 2n 满足 a1= 1，an= 2an-1 n≥ 2 ，则数列 an 的通项公式是_
_____．
【答案】 = n-1an 22 -1
【分析】将等式两边同时取对数后，转化为 an+1= san+ t的形式，再利用构造法求通项公式．
【详解】原式两边同时取对数，得 log2an= 1+ 2log2an-1 n≥ 2 ，
即 log2an+ 1= 2 log2an-1+ 1 ．设 bn= log2an+ 1，则 bn= 2bn-1 n≥ 2 ，
又 b1= 1+ log2a1= 1，所以 bn 是以 2为公比，1为首项的等比数列，
所以 bn= 1× 2n-1= 2n-1，所以 log2an+ 1= 2n-1，所以 an= 2
n-1
2 -1．故答案为： n-1an= 22 -1.
2. (2020·上海市进才中学高三期末 )数列 {a }中，若 a = a3n n+1 n(n∈N )，a1= 3，则 {an}的通项公式为___
_____.
【答案】 = 3n-1an 3 (n∈N )
log a
【分析】两边取对数，化简整理得 3 n+1log a = 3，得到数列 {log3an}是以 1为首项，公比为 3的等比数列，结3 n
合等比数列的通项公式，即可求解.
【详解】由 a 3n+1= an(n∈N )，两边取对数，可得 log3an+1=
log3a3log a ，即 n+13 n log = 3，3an
又由 a1= 3，则 log3a1= 1，所以数列 {log3an}是以 log3a1= 1为首项，公比为 3等比数列，
则 n-1log a = 1 3n-1= 3n-13 n ，所以 an= 33 (n∈N ).
故答案为：an= 3
n-1
3 (n∈N )
【题型十五】二阶含 n等比数列型
【典例分析】
1. (2021·全国 ·高三课时练习 )已知数列 an 满足 a nn+1= 2an+ 3× 5 ,a1= 6，则数列 an 的通项公式 an=_
________.
【答案】2n-1+ 5n
【分析】构造等比数列 an+ x× 5n ，利用条件求解出其中 x的值，再通过等比数列 an+ x× 5n 的公比和
首项求解出 an+ x× 5n 的通项公式，即可求解出 an 的通项公式.
【详解】设 a + x× 5n+1n+1 = 2 an+ x× 5n ①
将 an+1= 2an+ 3× 5n代入①式，得 2an+ 3× 5n+ x× 5n+1= 2an+ 2x× 5n，
等式两边消去 2an，得 3 5n+ x 5n+1= 2x 5n，两边除以 5n，得 3+ 5x= 2x，则 x=-1，
代入①式得 an+1- 5n+1= 2 an- 5n ②
n+1
由 a1- 51= 6- 5= 1≠ 0及②式得 a - 5n≠ ，则
a
0 n+1
- 5
n = 2，an- 5n
则数列 an- 5n 是以 a 11- 5 = 1为首项，以 2为公比的等比数列，
所以 a - 5n= 2n-1n ，所以 an= 2n-1+ 5n.故答案为 2n-1+ 5n.
【提分秘籍】
基本规律
形如 an+1= tan+ f(n)，可以构造等比数列求通项。通过配凑构造等比，如果配凑不容易观察，可以
待定系数来构造
【变式演练】
1. (2023·全国 · 7高三专题练习 )已知数列 an 满足 a1= 3 ，an+1= 3an- 4n+ 2 n∈N
* ．数列 bn 满足 bn
= an- 2n，则数列 bn 的通项公式为________．
【答案】bn= 3n-2
【分析】由 an+1= 3an- 4n+ 2，可得 an+1- 2 n+ 1 = 3 an- 2n ，即 bn+1= 3bn，从而可得数列 bn 是等比
数列，从而可得数列 bn 的通项公式.
【详解】解：∵ an+1= 3an- 4n+ 2，∴ an+1- 2n- 2= 3an- 6n即 an+1- 2 n+ 1 = 3 an- 2n ,∴ bn+1= 3bn,
且 bn=
b
an- 2n≠ 0，n∈N *，则 n+1 = 3,又 b1= a1- 2= 7 1bn 3
- 2= 3，
∴数列 bn 是首项为 13，公比为 3的等比数列．∴ bn=
1
3 3
n-1= 3n-2．故答案为：bn= 3n-2.
2. (2021·江西 ·高三阶段练习 (理 ))已知首项为 2的数列 an 的前 n项和为Sn，若Sn+1=Sn+ 3an+ 2n- 1，
则 an 的通项公式为________．
【答案】an= 3n-n
【分析】由题知 an+1= + -
a + (n+ 1)
3an 2n 1，进而得
n+1
a +n = 3，所以数列 an+n 是首项为 3，公比为 3的n
等比数列，进而根据等比数列通项公式计算即可.
【详解】解：依题意，an+1= 3an+ 2n- 1，故 an+1+ (n+ 1) = 3 an+n ，
an+1+ (n+ 1)则 a +n = 3，又 a1+ 1= 3，故数列 an+n 是首项为 3，公比为 3的等比数列，n
故 an+n= 3n，即 an= 3n-n．答案为：a = 3nn -n
【题型十六】二阶含 n等差数列型
【典例分析】
1. (2022·全国 ·高三专题练习 )已知数列 {an}中，a1= 1，an+1= 2a n+1n+ 2 ，则数列 {an}的通项公式 an=_
_______.
【答案】 n- 12 2
n
【分析】根据已知可得 an n 是等差数列，即可求出通项公式.2
【详解】∵ a aan+1= 2an+ 2n+1，∴两边同除以 2n+1，得 n+1n+1 =
n
n + 1.2 2
又 aa n 11= 1，∴ n 是以首项为 2，公差为 1的等差数列，2
∴ an = 1n 2 + (n- 1) × 1=n-
1
2，即 an= n-
1 n
2 2 .故答案为： n-
1 n
2 2 2 .
【提分秘籍】
基本规律
形如an+1= tan+mn，可以同除来构造等差数列求通项。，
【变式演练】
n-1
1. (2017· 1四川泸州 ·一模 (理 ))已知数列 {an}的前 n项和S =-a - *n n 2 + 2(n∈N )，则数列 {an}的通
项公式 an=__________．
【答案】a = nn 2n
n-1 n
【详解】因Sn=-an- 12 + 2，故S
1
n+1=-an+1- 2 + 2，以上两式两边相减可得 an+1=-an+1+ an+
1 n+1 n+1 2 ，即 2an+1= an+
1 ，也即
an+1 - an = a1，所以 n2 1 n+1 1 n 1 n = 1+ (n- 1) × 1=n，即 an= 2 2 2
n
n 1 ，应填答案 n2 2n ．
2. (2023·全国 ·高三专题练习 )已知数列 an 中，a n1= 1，an+1= 3an+ 3 ，求数列 an 的通项公式______
_____
【答案】a =n 3n-1n
【分析】由已知条件可得 an+1 - an 1n+1 n = 3，从而可得数列
an
n 是等差数列，求出其通项公式后化简即可得3 3 3
到 an.
【详解】∵ an+1= +
a a a a
3an 3n，∴ n+1n+1 -
n
n =
1
3，∴数列
n 1 1 1
3 3 3n 是等差数列，公差为 3，又 3 = 3，
∴ an = 1 + (n- 1) × 1 = n，∴ a =n 3n-1.故答案为：a =n 3n-1
3n 3 3 3 n n
.
【题型十七】因式分解型
【典例分析】
1. (2023·全国 ·高三专题练习 )设 a 是首项为 1的正项数列，且 (n+ 2)a 2- na 2n n+1 n+ 2an+1an= 0(n∈N *) ，
求通项公式 an=___________
【答案】 2
n(n+ 1)
【分析】由条件可得 (n+ a2)a n+1 nn+1-nan= 0，化简得 a =n n+ 2
，再由递推即可得到所求通项.
【详解】由 (n+ 2)a 2n+1-na 2n+ 2an+1an= 0(n∈N *)，得 [(n+ 2)an+1-nan] (an+1+ an) = 0，
∵ an> 0，∴ an+1+ an> 0，∴ (n+ 2)
a
a n+1 nn+1-nan= 0 ，∴ a = ，n n+ 2
∴ = aa a 2 a3 a4 an = 1× 1 × 2 × 3 × × n- 2 n- 1 2n 1 a a a a 3 4 5 n × n+ 1 = ( + ) (n≥ 2)，1 2 3 n-1 n n 1
又 a1= 1满足上式，∴ an= 2( + ) .故答案为：
2 .
n n 1 n(n+ 1)
【变式演练】
1. (2023·全国 ·高三专题练习 )设 an 是首项为 1的正项数列且 na2n+1+ (n+ 1)a2n- (2n+ 1)anan+1= 0(n∈
N *)，且 an+1≠ an，求数列 an 的通项公式_________
【答案】an=n
【分析】由已知条件化简可得 ana =
n
n- 1 n≥ 2 ，再由递推累乘法可得 an，最后检验 a1= 1是否符合即n-1
可.
【详解】依题意 a1= 1，na2 2 *n+1+ (n+ 1)an- (2n+ 1)anan+1= 0(n∈N )，所以 an+1- an nan+1- n+ 1 an
= 0，
又因为 an+1≠ an，所以 an+1- an≠ 0，所以nan+1- n+
a
1 n+ 1 a n a n+1 nn= 0， a = n , a = n≥ 2 ，n n-1 n- 1
所以 = aa n an-1 a3 a2n a a a a a =
n n- 11 3 2 1=n，
n-1 n-2 2 1 n- 1 n- 2 2 1
经检验，a *1= 1也符合上式. 所以 an=n n∈N .综上所述， an=n.故答案为： an=n.
2. (2023·全国 ·高三专题练习 )设数列 an 是首项为 1的正项数列，且 n+ 1 a2 2n+1- nan+ an+1 an= 0，则它
的通项公式 an=______.
【答案】1n
【分析】由条件有 n+ 1 an+1-nan an+1+ an = 0，由数列 an 为正项数列，即得 n+ 1 an+1-nan= 0，
然后利用累乘法可求出数列的通项公式.
【详解】由 n+ 1 a2n+1-na2n+ an+1 an= 0，则 n+ 1 an+1-nan an+1+ an = 0
又数列 an 为正项数列，即 an> 0，a1= 1
所以 n+
a
1 a -na = 0，即 n+1 = nn+1 n an n+ 1
所以 = aa n an-1 a2 n- 1 n- 2 1 1 1n an-1 an-2 a
a1= n × n- 1 × × 2 × 1= n。故答案为：1 n
【题型十八】三阶递推
【典例分析】
1. (2022·全国 ·高三课时练习 )已知数列 an 满足 a1= 1，a2= 2，且 an+1= 2an+ 3an-1(n≥ 2，n∈N *)，则数
列 an 的通项公式为 an=______．
3n- -1 n
【答案】 4
【分析】由 aan+1= 2an+ 3an-1，得到 an+1+ an 为等比数列，求得 an+1+ a n-1 n n+1n= 3× 3 = 3 ，进而得到 3n+1
+
1 an 1 an 1
3 n = 3，令 cn= n ，化简得到数列 cn- 4 为等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解.3 3
【详解】由 an+1= 2an+ 3an-1，可得 an+1+ =
a + a
an 3 a
n+1 n
n+ an-1 ，即 an+ a
= 3，
n-1
所以 an+1+ an 是以 a1+ a2= 3为首项，3为公比的等比数列，
所以 aan+1+ a = 3× 3n-1= 3n，则 n+1n n+1 +
1 an = 13 n 3．3 3
cn+1- 1
不妨令 cn=
an 1 1 1 1 1 4 1
3n
，则 cn+1+ 3 cn= 3，所以 cn+1- 4 =- 3 cn- 4 ，即 =- ，c 1 3n- 4
又由 c1- 1 =
a1 - 1 = 14 3 4 12，所以数列
c -
1
n 4 是首项为
1 1
12，公比为- 3 的等比数列，
n n
所以 c - 1
n-1 3n- -1 3n- -1
n 4 =
1 1
12 × - 3 =
an - 1 ，所以 = a ．故答案为： .
3n 4 n 4 4
【提分秘籍】
基本规律
形如an+1+ san+ tan-1+ r= 0，常凑配系数构等比数列。
【变式演练】
1. (2021·江苏 ·泰兴市第一高级中学高三期中 )已知Sn是数列 an 的前 n项和，an+1- 3an+ 2an-1= 1，a1=
1，a2= 4，求数列 an 的通项公式___________.
【答案】an= 2n+1-n- 2
【分析】根据已知条件构造 an+1- an+ 1= 2 an- an-1+ 1 ，可得 an+1- an+ 1 是公比为 2的等比数列，即
a - a = 2n+1n+1 n - 1，再由累加法以及分组求和即可求解.
【详解】因为 an+1-
a - a + 1
3an+ 2a = 1，所以 a n+1 nn-1 n+1- an= 2 an- an-1 + 1，因此 a - a = 2，n n-1+ 1
因为 a1= 1，a2= 4，所以 a2- a1+ 1= 4，故数列 an+1- an+ 1 是首项为 4，公比为 2的等比数列，
所以 a n-1 n+1n+1- an+ 1= 4 2 = 2 ，即 a - a = 2n+1n+1 n - 1，所以当n≥ 2时，
a - a = 222 1 - 1，a3- a2= 23- 1，a4- a3= 24- 1， ，an- an-1= 2n- 1，
22 1- 2n-1
以上各式累加可得：a - a = 22+ 23+ +2nn 1 - n- =

1 n+11- 2 - n- 1 = 2 - 4- n- 1 =
2n+1-n- 3，因为 a1= 1，所以 a = 2n+1-n- 2,n≥ 2；又 a = 1符合上式，所以 a = 2n+1n 1 n -n- 2.故答案
为：a = 2n+1n -n- 2.
2. (2021·江苏 ·高三单元测试 )在数列 an 中，a1= 1，a2= 3，且对任意的 n∈N *，都有 an+2= 3an+1- 2an，则
数列 an 的通项公式为______．
【答案】an= 2n- 1##a nn=-1+ 2
【分析】依题意可得 an+2- an+1= 2 an+1- an ，即可得到 an+1- an 是首项为 2，公比为 2的等比数列，从而
得到 a nn+1- an= 2 ，再利用累加法计算可得；
【详解】解：由 an+2= 3an+1- 2an，得 an+2- an+1= 2 an+1- an ．又 a1= 1，a2= 3，所以 a2- a1= 2≠ 0，
所以 an+1- an 是首项为 2，公比为 2的等比数列，所以 a nn+1- an= 2 ，
所以 an= a1+ a2- a1 + + a - a = 1+ 2+ 22+ +2n-1n n-1 = 2n- 1,n≥ 2，
因为 a1= 1符合上式，所以 an= 2n- 1.故答案为：a nn= 2 - 1
【题型十九】前 n项积求通项
【典例分析】
1. (2022·宁夏石嘴山 ·一模 (理 ))已知 an为数列 bn 的前 n 1 2项积，若 - a = 1，则数列 an 的通项公式bn n
an= ( )
A. 3- 2n B. - 3+ 2n C. 3- 4n D. 1- 2n
【答案】D
【分析】先求出 a1=-1，再根据题意可得 1 - 2 =
an-1
a a a -
2
a = 1,化简为 an- an-1=-2，由此求得答n n n n
an-1
案.
【详解】当n= 1 时，1 - 2a a = 1,a1=-1，当
a
n≥ 2 时， 1 - 2 = n-1 - 2
1 1 an an an a
= 1，即 an- an-1=-2，
n
an-1
故数列 an 为首项为-1 ，公差为-2 的等差数列，故 an=-1+ (n- 1) (-2) = 1- 2n ，故选：D
【变式演练】
1. (2022·全国 ·高三专题练习 )设正项数列 {an}的前 n项和为Sn，数列 {Sn}的前 n项之积为Tn，且Sn+
Tn= 1，则数列 {an}的通项公式是__________.
【答案】a = 1n n n+ 1
【分析】可先求出 a1,S1,T1，然后由
T
S n 1 1n= T 得出数列n-1
T 是等差数列，由等差数列通项公式求出 T ，即n n
得Tn，然后求出Sn，再求得 an，注意n= 1的情形的验证．
【详解】首先 TS1+T1= a1+ a1= 1，a = 11 2，T1=S1= a1=
1
2，n≥ 2时，由S +T = 1得
n +T = 1， 1n n T nn-1 Tn
- 1T = 1，n-1
所以数列 1 T 是以 2为首项，1为公差的等差数列，所以
1
T = 2+ (n- 1) × 1=n+ 1，n n
T
T = 1 ，所以S = n nn n+ 1 n T = n+ 1，S1=
1
2 适合此式，S
n
n= n+ 1，an=S
n n- 1
n-Sn-1=
n-1 n+ 1
- n =
1 ，a = 1( + ) 1 2 也适合此式，所以 an=
1 1
n n 1 n(n+ )．故答案为：a1 n= n( ．n+ 1)
2. (2021·河南 ·一模 (理 ))设正数数列 an 的前n项和为Sn，数列 Sn 的前n项之积为Tn，且Sn+ 2Tn= 1，
则数列 an 的通项公式是______．
1
【答案】a = 3
n= 1
n
4 n≥ 2 4n2- 1
【分析】由递推关系可得S = 1 2n- 1n 2-S n≥ 2 ，求出 Sn 前几项，可猜想出Sn= 2n+ 1，再加以验证，利用n-1
S1 n= 1
an= 即可求出.Sn-Sn-1 n≥ 2
【详解】当n= 1时，S1+ 2T1= 1，即S1+ 2S1= 1，则S = 11 3，当n≥ 2时，∵Sn+ 2Tn= 1，∴Sn-1+ 2Tn-1=
1，
则 = Tn = 2TS nn T 2T =
1-Sn 1 1 3 5
n-1 n-1 1-S
，整理可得Sn= 2-S n≥ 2 ，则可得S1= 3，S2= 5，S3= ，S4=n-1 n-1 7
7
9，
则猜想S = 2n- 1n 2n+ 1，代入Sn=
1
2-S 检验得S =
1 1 2n- 1
n
n-1 2-S
= = ，满足猜想，∴Sn=
n-1 2- 2n- 3 2n+ 12n- 1
2n- 1
2n+ 1 n≥ 1 ，
∴ a =S = 1 ，当n≥ 2时，a =S -S = 2n- 1 2n- 3 41 1 3 n n n-1 2n+ 1 - 2n- 1 = ，4n2- 1
1 3 n= 1
1
3 n= 1 ∴ an= 4 .故答案为：an= n≥ 2 4
.
4n2- 1 2- n≥ 2 4n 1
【题型二十】函数型递推
【典例分析】
1. (2021·全国 ·高三专题练习 (理 ))已知 g(x) = f x+ 12 - 3是 R上的奇函数，an= f (0) + f
1
n +
+f n- 1n + f(1) ,n∈N
,则数列 {an}的通项公式为 ( )
A. an=n+ 1 B. an= 3n+ 1 C. an= 3n+ 3 D. an=n2- 2n+ 3
【答案】C
【解析】由F x = f x+ 12 - 3在R上为奇函数，知 f
1
2 - x + f
1
2 + x = 6，令 t=
1
2 - x，则
1
2 + x=
1- t，得到 f t + f 1- t = 6．由此能够求出数列 an 的通项公式．
【详解】由题已知F x = f x+ 12 - 3是R上的奇函数，故F -x =-F x ，
代入得：f 12 - x + f
1
2 + x = 6 x∈R ， ∴函数 f x 关于点
1
2，3 对称，令 t=
1
2 - x，
则 12 + x= 1- t，得到 f
1 n- 1
t + f 1- t = 6，∵ an= f 0 + f n + +f n + f 1 ，
a = f 1 + f n- 1n n + +f
1
n + f 0 ，倒序相加可得 2an= 6 n+ 1 ，
即 an= 3 n+ 1 ，故选：C．
【变式演练】
1. (2023· 1 1 2全国 ·高三专题练习 )已知F(x) = f x+ 2 - 1是R上的奇函数，an= f(0) + f n + f n +
+f n- 1n + f(1) (n∈N
*)，则数列 an 的通项公式为 ( )
A. a =n B. a = 2n C. a =n+ 1 D. a =n2n n n n - 2n+ 3
【答案】C
【解析】由F x = f x+ 12 - 1在R上为奇函数，知 f
1 - x + f 12 2 + x = 2，令 t=
1
2 - x，则
1
2 + x=
1- t，得到 f t + f 1- t = 2．由此能够求出数列 an 的通项公式．
【详解】由题已知F x = f x+ 12 - 1是R上的奇函数，故F -x
1
=-F x ，代入得：f 2 - x +
f 12 + x = 2 x∈R ，
∴函数 f x 关于点 12，1 对称，令 t=
1 - x，则 12 2 + x= 1- t，得到 f t + f 1- t = 2，
∵ a 1 n- 1n= f 0 + f n + +f n + f 1 ，an= f 1 + f
n- 1
n + +f
1
n + f 0 ，
倒序相加可得 2an= 2 n+ 1 ，即 an=n+ 1，故选：C．
2. (2022·全国 ·高三单元测试 )若 f(x) + f(1- x) = 2,an= f(0) + f 1 2n + f n + ...+ f
n- 1
n + f(1) (n∈
N *)，则数列 {an}的通项公式是___________.
【答案】an=n+ 1
【分析】根据自变量的和为 1时，函数值的和为 2，运用数列的求和方法，倒序相加法求和，计算数列的通项
公式.
【详解】a = f 0 + f 1 + f 2 + ...+ f n- 1n n n n + f 1 ，
a = f 1 + f n- 1 + ...+ f 2 + f 1n n n n + f 0 ，两式相加可得
2a 1n= f 0 + f 1 + f n + f
n- 1 n + ...+ f
n- 1 + f 1n n + f 1 + f 0 ，
2an= 2 n+ 1 ，所以 an=n+ 1 .故答案为：an=n+ 1
【题型二十一】周期数列
【典例分析】
1. 已知数列 an 满足 a1= =
1+ a
2，a nn+1 1- a ，(n∈N
*)，则 a1 a2 a3 a2009 a2010=_________．
n
江苏省涟水中学 2019- 20120学年高三下学期第一次模拟考试数学试题
【答案】-6
1 1
【解析】由已知有 = 1+ a
1- 1+
a 12 1- a =-3,a =
1- 3 =- 13 1+ 3 2 ,a =
2 = 14 ,a5= 3 = 2，所以 a5= a1= 2，
1 1+ 1 32 1-
1
3
所以数列 an 是周期数列，且周期为 4，a1a2a3a4= a5a6a7a8= = a2005a2006a2007a2008= 1，而 a2009a2010= a1a2
= 2× (-3) =-6，所以 a1a2a3 a2010=-6。
【提分秘籍】
基本规律
周期数列
1.若数列 {an}满足an= an-1- an-2，则 an 周期T= 6
2.若数列 {an}满足an+ an-1= s，则 an 周期T= 2
3.若数列 {an}满足an+ an-1+ an-2= s，则 an 周期T= 3
4.若数列 {an}满足an× an-1= s，则 an 周期T= 2
5.若数列 {an}满足an× an-1× an-2= s，则 an 周期T= 3
= ma6.a n-1- bn - ，m+ d= 0，则 an 的周期T= 2can-1 d
【变式演练】
1. 1已知数列 an 中，a1= 2，an+1=- a + 1 n∈N
* ,则S2020=___________.
n
【答案】6856
【详解】已知数列 1 1 1 1 a *n 中，a1= 2，an+1=- a + 1 (n∈N )，所以 a2=- a + 1 =- 2+ 1 =- 3，n 1
a3=- 1a + 1 =-
1 =- 31 2 a
1 1
4=- a + 1 =- 3 = 2，所以数列 an 是周期为 3的数列，2 - 3 + 1
3 - 2 + 1
S2020= (a1+ a2+ a3) × 673+ a1= 2- 1 - 33 2 × 673+ 2=
685
6 .故答案为：
685
6
2. 数列 an 中，a1= 3，an- anan+1= 1(n∈N )，An表示数列 an 的前n项之积，A2020=________.
【答案】-3
【详解】∵ a an- 11= 3，an- anan+1= 1(n∈N )，∴ an+1= a ，n
2
3- 1 2 3 - 1 -
1 - 1 2 1
∴ a = = ,a = =- 1 ,a = 2 = 3,a = 3- 1 2 3
- 1 - - 1
2 3 3 3 2 2 4 1 5 3 = 3 ,a6=
1 2
- 2
=- 2 ,a7= 1
3 2 3 - 2
= 3, an 是以 3为周期的周期数列，且 a1a2a3=-1由 2020= 3× 673+ 1，∴A = -1 6732020 a1=-3.故
答案为：-3.
【题型二十二】奇偶讨论型
【典例分析】
1. (2021·全国 ·高三专题练习 )已知数列 an 满足 a1= 2，an+ an+1= -1 n，则数列 an 的通项公式为__
____．
【答案】a = -1 n+1n n+ 1 .
【分析】先由 an+1+ an= (-1)n，得 an+1+ an+2= -1 n+1，进一步得到 an+2- an=-2 -1 n，再分奇偶项来
求通项公式即可．
【详解】因为 a + a = -1 n，所以 a + a = -1 n+1，得 a - a =-2 -1 nn n+1 n+1 n+2 n+2 n ．所以当n为奇数时，
an+2- an= 2，
当n为偶数时，an+2- an=-2．又 a1= 2，an+ an+1= -1 n，所以 a2=-3，
所以 a1，a3，a5， ，a2k-1， 构成以 2为首项，2为公差的等差数列，
a2，a4，a6， ，a2k， 构成以-3为首项，-2为公差的等差数列．
所以当n是奇数时，a = 2+ 2 n+ 1n 2 - 1 =n+ 1；当n是偶数时，an=-3- 2
n
2 - 1 =- n+ 1 ．
故数列 an 的通项公式为 an= -1 n+1 n+ 1 ．故答案为：an= -1 n+1 n+ 1 .
【提分秘籍】
基本规律
讨论型：
1.分段数列
2.奇偶各自是等差，等比或者其他数列
【变式演练】
1. (2021·全国 · 1高三阶段练习 (理 ))已知数列 an 满足 a1=- 2 ，a2= 1，数列 an 的奇数项单调递增，偶数
an+1- an
项单调递减，若 2n+ 1 = 1，在数列 an 的通项公式为______．
n, n= 2k- 1【答案】an= k∈N +，-n, n= 2k
an+1- a【分析】根据题意，由数列的单调性分析可得： a5> a3> a1> a2> a4>

a n6> ；又由 2n+ 1 = 1，即
an+1- an = 2n+ 1，变形分析可得 a2n+1- a2n-1= 2；由此求出 a2n-1和 a2n，综合可得答案.
【详解】依题意， a2n-1 单调递增，故 a1< a3< a5< ；数列 a2n 单调递减，故 a2> a4> a6> ，所以 a5
> >
a - a
a a > a > a > a > ；因为 n+1 n 3 1 2 4 6 2n+ 1 = 1，故 a2 +1- a2n= 4n+ 1；同理 a2n- a2 - =-4n+ 1，所以n n 1
a2n+1- a2n-1= 2；又 a1= 1，所以 a2n-1= 1+ 2 n- 1 = 2n- 1，所以 a2y- 2n- 1 =- 4n- 1 ，则 a2n=
n, n= 2k- 1 n, n= 2k- 1
-2n，所以数列 an 的通项公式为 an= .故答案为：an=-n, n= 2k k∈N
+.
-n, n= 2k
2. 已知数列 an 满足 a = -1 nn+1 an+n ，则 an 的前 40项和为__________．
福建省霞浦第一中学 2018- 2019学年高三下学期第一次月考数学 (理 )试题
【答案】-400
【详解】∵ a = -1 nn+1 an+n ，当n为奇数时, a1+ a2=-1,a3+ a4=-3,a5+ a6=-5,....,a39+ a40=-39.
该数列前 40项和为S40= 20× 20× 19 -1 + 2 × (-2) =-400．
真题再现
1. (2022·全国 ·高考真题 )记Sn为数列 an 的前n项和，已知 a1= , S1 n
1
a 是公差为 3 的等差数列．n
(1) 1 1 1求 an 的通项公式；(2)证明：a + a + + a < 2．1 2 n
n n+ 1
【答案】(1) = an 2 (2)见解析
【分析】(1)利用等差数列的通项公式求得 Sn = 1+ 1 n- 1 = n+ 2
n+ 2 a
a 3 3 ，得到 =

S nn
n 3
，利用和与项
n+ 2 a n+ 1 a
的关系得到当n≥ 时， = - = 2 a S S n - n-1 ,进而得： an = n+ 1n n n-1 3 3 a n- 1，利用累乘法求n-1
n n+ 1 n n+ 1得 an= 2 ，检验对于n= 1也成立，得到

an 的通项公式 an= 2 ；
(2)由 (1)的结论，利用裂项求和法得到 1 1 1 1a + a + + a = 2 1- n+ 1 ，进而证得.1 2 n
(1) ∵ a1=
S S
1，∴S = a = 1,∴ 11 1 a = 1,又∵
n 1
a 是公差为 3 的等差数列，∴
Sn = 1+ 1a 3 n- 1 =
n+ 2
3 ,1 n n
n+ 2 a∴S = nn 3 ,
n+ 1 a∴当 ≥ 时， = n-1
n+ 2 a n+ 1
，∴ = - = n -
a
n 2 S a S S n-1n-1 3 n n n-1 3 3 ,整理得： n- 1 an=
n+ 1 an-1,
an n+ 1 a2 a3 an-1 an 3 4 n n+ 1 n n+ 1即 = an-1 n- 1
,∴ an= a1× a × a × × a × = 1× × × × × = ，1 2 n-2 an-1 1 2 n- 2 n- 1 2
n n+ 1
显然对于n= 1也成立，∴ an 的通项公式 =

an 2 ；
(2) 1 = 2a = 2
1 - 1 ,
n n n+ 1 n n+ 1
∴ 1a +
1 + + 1 1 1 1 1 1 1
1 a2 a
= 2 1- 2 + -n 2 3 + n - n+ 1 = 2 1- n+ 1 < 2
2. (2021·浙江 · 9高考真题 )已知数列 an 的前n项和为Sn，a1=- 4 ，且 4Sn+1= 3Sn- 9.
(1)求数列 an 的通项；(2)设数列 bn 满足 3bn+ (n- 4)an= 0(n∈N *)，记 bn 的前n项和为Tn，若Tn
≤ λbn对任意n∈N 恒成立，求实数 λ的取值范围.
n
【答案】(1)an=-3 34 ；(2) - 3≤ λ≤ 1.
【分析】(1)由 4Sn+1= 3Sn- 9，结合Sn与 an的关系，分n= 1,n≥ 2讨论，得到数列 {an}为等比数列，即可
得出结论；
(2)由 3bn+ (n- 4)an= 0结合 (1)的结论，利用错位相减法求出Tn，Tn≤ λbn对任意n∈N 恒成立，分类讨
论分离参数 λ，转化为 λ与关于n的函数的范围关系，即可求解.
【详解】(1)当n= 1时，4(a1+ a2) = 3a1- 9，4a 92= 4 - 9=-
27 27
4 ,∴ a2=- 16，
当n≥ 2时，由 4Sn+1= 3Sn- 9①，得 4Sn= 3Sn-1- 9②，①-②得 4an+1= 3an
a2=- 2716 ≠ 0,∴ ≠
a
a 0,∴ n+1 = 3，又 a2 3n a 4 a = 4 ,∴ {an}是首项为-
9
4，公比为
3
4 的等比数列，∴ an=-
9
n 1 4
3
n-1
=-3 3
n
4 4 ；
n
(2)由 3bn+ (n- 4)an= 0，得 bn=- n- 43 an= (n- 4)
3
4 ，
3 3 2 3 4 n所以Tn=-3× 4 - 2× 4 - 1×
3
4 + 0×
3 3
4 + +(n- 4) 4 ，
3 3 2 3 3 3 4 3 n 3 n+1
4 Tn=-3× 4 - 2× 4 - 1× 4 + +(n- 5) 4 + (n- 4) 4 ，
两式相减得 1
2 3 4 n n+1
4 Tn=-3×
3
4 +
3
4 +
3
4 +
3 3 3
4 + 4 - (n- 4) 4
9 n-1
9 16 1-
3
4 n+1 n+1 n+1 n+1=- 4 + 3 - (n- 4)
3
4 =-
9 + 9 - 4 34 4 4 - (n- 4)
3
4 =-n
3
4 ，1- 4
3 n+1 3 n+1 n所以Tn=-4n 4 ，由Tn≤ λbn得-4n 4 ≤ λ(n- 4)
3
4 恒成立即 λ(n- 4) + 3n≥ 0恒成立，
n= 4时不等式恒成立；n< 4时，λ≤- 3nn- 4 =-3-
12
n- 4，得 λ≤ 1；
n> 4时，λ≥- 3n =-3- 12n- 4 n- 4，得 λ≥-3；所以-3≤ λ≤ 1.
3. (2020·全国 ·高考真题 (理 ))设数列 {an}满足 a1= 3，an+1= 3an- 4n．
(1)计算 a2，a3，猜想 {an}的通项公式并加以证明；
(2)求数列 {2nan}的前n项和Sn．
【答案】(1)a2= 5，a3= 7，an= 2n+ 1，证明见解析；(2)Sn= (2n- 1) 2n+1+ 2.
【分析】(1)方法一：(通性通法 )利用递推公式得出 a2,a3，猜想得出 an 的通项公式，利用数学归纳法证
明即可；
(2)方法一：(通性通法 )根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．
【详解】(1)
[方法一 ]【最优解】：通性通法
由题意可得 a2= 3a1- 4= 9- 4= 5，a3= 3a2- 8= 15- 8= 7，由数列 an 的前三项可猜想数列 an 是以
3为首项，2为公差的等差数列，即 an= 2n+ 1．证明如下：当n= 1时，a1= 3成立；
假设n= k k∈N 时，ak= 2k+ 1成立.
那么n= k+ 1时，ak+1= 3ak- 4k= 3(2k+ 1) - 4k= 2k+ 3= 2(k+ 1) + 1也成立 .则对任意的n∈N *，都
有 an= 2n+ 1成立；
[方法二 ]：构造法
由题意可得 a2= 3a1- 4= 9- 4= 5，a3= 3a2- 8= 15- 8= 7．由 a1= 3,a2= 5得 a2- a1= 2． an+1= 3an
- 4n，则 an= 3an-1- 4(n- 1) (n≥ 2)，两式相减得 an+1- an= 3 an- an-1 - 4．令 bn= an+1- an，且 b1=
2，所以 bn= 3bn-1- 4，两边同时减去 2，得 bn- 2= 3 bn-1- 2 ，且 b1- 2= 0，所以 bn- 2= 0，即 an+1- an=
2，又 a2- a1= 2，因此 an 是首项为 3，公差为 2的等差数列，所以 an= 2n+ 1．
[方法三 ]：累加法由题意可得 a2= 3a1- 4= 9- 4= 5，a3= 3a2- 8= 15- 8= 7．
由 a = - a a3a 4n得 n+1 - n =- 4n ，即 a2 - a1 =-4× 1 ，a3 - a2 =-8× 1 ， an - an-1n+1 n =3n+1 3n 3n+1 32 31 32 33 32 33 3n 3n-1
-4(n- 1) × 1 (n≥ 2)．以上各式等号两边相加得 ann n -
a1
1 =-4 1×
1 1 1
3 3 3 32
+ 2×
33
+ +(n- 1) × n ，3
所以 an = (2n+ 1) 1 ．所以 a = 2n+ 1(n≥ 2)．当n= 1时也符合上式．综上所述，a = 2n+ 1．
3n 3n n n
[方法四 ]：构造法
2a2= 3a1- 4= 5,a3= 3a2- 8= 7，猜想 an= 2n+ 1．由于 an+1= 3an- 4n，所以可设 an+1+ λ(n+ 1) + μ=
3 an+ λn+ μ ，其中 λ,μ为常数．整理得 an+1= 3an+ 2λn+ 2μ- λ．故 2λ=-4,2μ- λ= 0，解得 λ=-2,μ
=-1．所以 an+1- 2(n+ 1) - 1= 3(an- 2n- 1) = = 3n a1- 2× 1- 1 ．又 a1- 3= 0，所以
an- 2n- 1 是各项均为 0的常数列，故 an- 2n- 1= 0，即 an= 2n+ 1．
(2)由 (1)可知，an 2n= (2n+ 1) 2n[方法一 ]：错位相减法
Sn= 3× 2+ 5× 22+ 7× 23+ +(2n- 1) 2n-1+ (2n+ 1) 2n，①
2Sn= 3× 22+ 5× 23+ 7× 24+ +(2n- 1) 2n+ (2n+ 1) 2n+1，②
由①-②得：-Sn= 6+ 2× 22+ 23+ +2n - (2n+ 1) 2n+1
22× 1- 2n-1= 6+ 2× 1- 2 - (2n+ 1) 2
n+1= (1- 2n) 2n+1- 2，即S = (2n- 1) 2n+1n + 2.
[方法二 ]【最优解】：裂项相消法
2na nn= (2n+ 1)2 = (2n- 1)2n+1- (2n- 3)2n= bn+1- b ，所以S = 2a + 22a + 23a + +2nn n 1 2 3 an= b2- b1
+ b3- b2 + b4- b3 + + bn+1- bn = bn+1- b1= (2n- 1)2n+1+ 2．
[方法三 ]：构造法
当n≥ 2时，Sn=Sn-1+ (2n+ 1) 2n，设S nn+ (pn+ q) 2 =Sn-1+[p(n- 1) + q] 2n-1，即Sn=Sn-1+
-p
-pn- q- p 2 = 2,
2 2
n，则 ，解得 p=-4,q= 2．所以S + (-4n+ 2) 2
n
n =Sn-1+[-4(n- 1) + 2]

-q- p
2 = 1,
2n-1，即 Sn+ (-4n+ 2) 2n 为常数列，而S1+ (-4+ 2) 2= 2，所以Sn+ (-4n+ 2) 2n= 2．故Sn= 2+
(2n- 1) 2n+1．
[方法四 ]：
因为 2na nn= (2n+ 1)2 = 2n 2n+ 2n= 4n 2n-1+ 2n，令 b =n 2n-1n ，则 f(x) = x+ x2+ x3+ +xn=
x 1- xn x 1- xn n+1 n
1- x x≠ , ，
( ) = + + 2+ + n-1= 1+nx - (n+ 1)x0 1 f x 1 2x 3x nx 1- x = ，(1- x)2
所以 b 21+ b2+ +bn= 1+ 2 2+ 3 2 + +n 2n-1= f (2) = 1+n 2n+1- (n+ 1)2n．
n
故S = 4f (2) + 2+ 22+ 23+ +2n= 4 1+n 2n+1 n
2 1- 2
n - (n+ 1)2 +

1- 2 = (2n- 1)2
n+1+ 2．
4. (2017·全国 ·高考真题 (文 ))设数列 an 满足 a1+ 3a2+ +(2n- 1)an= 2n.
(1) a求 an 的通项公式；(2)求数列 n + 2n 1 的前n项和．
【答案】(1) a = 2 2nn 2n- 1；(2) 2n+ 1 .
【解析】(1)利用递推公式 ,作差后即可求得 an 的通项公式.
(2)将 an 的通项公式代入 ,可得数列
an
2n+ 1 的表达式 .利用裂项法即可求得前 项和.
【详解】(1)数列 an 满足 a1+ 3a2+ + 2n- 1 an= 2nn≥ 2时 ,a1+ 3a2+ + 2n- 3 an-1= 2 n- 1
∴ 2n- 1 an= 2 ∴ a = 2n 2n- 1 当n= 1时 ,a1= 2,上式也成立∴ a =
2
n 2n- 1
( a2) n = 2 1 1 an 2n+ 1 (2n- 1) (2n+ 1) = 2n- 1 - 2n+ 1 ∴数列 2n+ 1 的前n项和
= 1- 13 +
1 1
3 - 5 + +
1 1 1 2n
2n- 1 - 2n+ 1 = 1- 2n+ 1 = 2n+ 1
5. (2019·全国 ·高考真题 (理 ))已知数列 {an}和 {bn}满足 a1= 1，b1= 0，4an+1= 3an- bn+ 4 ，4bn+1= 3bn
- an- 4.
(1)证明：{an+ bn}是等比数列，{an- bn}是等差数列；
(2)求 {an}和 {bn}的通项公式.
【答案】(1)见解析；(2)a = 1n +n- 1，b = 1 -n+ 1．2n 2 n 2n 2
【分析】(1)可通过题意中的 4an+1= 3an- bn+ 4以及 4bn+1= 3bn- an- 4对两式进行相加和相减即可推导
出数列 an+ bn 是等比数列以及数列 an- bn 是等差数列；
(2)可通过 (1)中的结果推导出数列 an+ bn 以及数列 an- bn 的通项公式，然后利用数列 an+ bn 以及
数列 an- bn 的通项公式即可得出结果．
【详解】(1)由题意可知 4an+1= 3an- bn+ 4，4bn+1= 3bn- an- 4，a1+ b1= 1，a1- b1= 1，
所以 4an+1+ 4bn+1= 3an- bn+ 4+ 3bn- an- 4= 2a + 2b ，即 a + b = 1n n n+1 n+1 2 an+ bn ，
所以数列 1 n-1 an+ bn 是首项为 1、公比为 2 的等比数列，a
1
n+ bn= 2 ，
因为 4an+1- 4bn+1= 3an- bn+ 4- 3bn- an- 4 = 4an- 4bn+ 8，
所以 an+1- bn+1= an- bn+ 2，数列 an- bn 是首项 1、公差为 2的等差数列，an- bn= 2n- 1．
(2)由 (1)可知， + 1 n-1an bn= 2 ，an- bn= 2n- 1，
所以 a = 1n 2 an+ bn+ an- bn =
1 +n- 1n 2，b
1 1 1
n= 2 an+ bn- an- bn = n -n+ 2．2 2
三、模拟检测
1. (2022·四川 · 1 1 1 1宜宾市叙州区第一中学校高三期中 )数列 2 , 6 , 12 , 20 ,...的一个通项公式是 ( )
A. a 1 1 1 1 1n= ( - ) B. an= ( - ) C. an= n - n+ 1 D. an= 1-n n 1 2 2n 1 n
【答案】C
【分析】根据数列的特征可知，1 = 1- 1 , 1 = 1 - 1 , 1 = 12 2 6 2 3 12 3 -
1 , 1 1 14 20 = 4 - 5，即可得到它的一个通
项公式．
【详解】根据题意可知，1 = 1- 1 , 1 = 1 - 1 , 1 12 2 6 2 3 12 = 3 -
1
4 ,
1 1
20 = 4 -
1
5， ，所以 a =
1
n n -
1
n+ 1．
故选：C．
2. (2022·浙江省杭州学军中学高三阶段练习 )在等差数列 an 中，a1= 3，且 a1，a4，a10成等比数列，则 an的
通项公式为 ( )
A. an= 2n+ 1 B. an=n+ 2
C. an= 2n+ 1或 an= 3 D. an=n+ 2或 an= 3
【答案】D
【分析】利用等比中项得 a24= a1 a10，从而可求公差 d，即可得等差数列通项公式.
【详解】解：设等差数列 an 的公差为 d，又 a1，a4，a10成等比数列，
所以 a24= a 21 a10，则 (3+ 3d) = 3× (3+ 9d)，解得：d= 0或 d= 1
所以 an= a1+ (n- 1)d=n+ 2或 3.
故选：D.
3. (2020·云南省楚雄天人中学高三阶段练习 )已知数列 an 满足 a1= 1,an= an-1+ 3n- 2(n≥ 2)，则 an
的通项公式为 ( )
2 2
A. a = 3n2n B. an= 3n2+n C. a = 3n -n 3n +nn 2 D. an= 2
【答案】C
【详解】由 an= an-1+ 3n- 2得 an- an-1= 3n- 2，∴ an- a1= 4+ 7+ ...+ 3n- 2
= (n- 1) (4+ 3n- 2)
2
= 3n -n- 2，∴ a = 3n
2-n
2 2 n 2 ，当n= 1时也符合，∴数列的通项公式为 an=
3n2-n
2 .故选C .
4. 已知数列 {an}满足 a1= 1，a - a =na a (n∈N *n n+1 n n+1 )，则 an=__________．
【答案】 2
n2-n+ 2
【解析】因为 an-
a - a
an+1=na a ，所以 n n+1 1 1n n+1 a a = a - a =n,
1 = 1 - 1 + 1 - 1a a a a a ...+n n+1 n+1 n n n n-1 n-1 n-2
1 - 1 + 1 = ( - )+ ( - )+ + + + + 1 = (n- 1) (n- 1+ 1)
2
a a a n 1 n 2 ... 3 2 1
n -n+ 2
2 1 1 a1 2
+ 1= 2 an=
2
n2-n+ 2
5. 已知数列 an 中，a1= 2，n an+1- an = an+
a
1，n∈N *，则 nn 的取值范围是_____________．
【答案】 2,3
an 1 n+ 1 a【详解】由题意得， - = + ，即 = n + 1 ，则 an+1 = a aa n 1 n+1n+1 an n n an+1 n n n+ 1 n + ，即 -n n+ 1 n+ 1
an = 1 1n n - n+ 1，
所以 a2 - a1 = - 1 ，a3 - a1 2 = 1 - 1 a4 a3 1 1 an an-1 1 12 1 2 3 2 2 3，4 - 3 = 3 - 4， ，n - n- 1 = n- 1 - n，
相加得，an - a1 an 1 = 1-
1 n
n，故 n = 2+ 1-
1 = 3- 1n n，
因为函数 y= 3- 1x 在 0,+∞ 上单调递增，且当 x→+∞时，3-
1
x → 3，
所以 2≤ 3- 1n < 3，即
an
n 的取值范围是 2,3 .故答案为： 2,3 .
6. (2022·全国 ·高三课时练习 )已知 a1= 1，an=n an+1- an n∈N+ ，则数列 an 的通项公式是 an= ( )
n+1
A. 2n- 1 B. n+ 1 2n C. n D. n
【答案】D
【分析】根据题意可得 an+1 = n+ 1a n ，再利用累乘法计算可得；n
【详解】由 aa n+ 1n=n an+1- an ，得 n+ 1 a =na ，即 n+1n n+1 a = n ，n
则 an n an-1 n- 1 an-2 n- 2 a2 2a =n-1 n- 1
，a = n- 2，a =n-2 n-3 n- 3
， ，a =1 1
，n≥ 2，
由累乘法可得 ana =n，所以 an=n，n≥ 2，又 a1= 1，符合上式，所以 an=n.故选：D．1
7. (2020·福建 ·厦门一中高三阶段练习 )已知函数 an 的前 n项和满足 S n+1n= 2 - 1，则数列 an 的通项公
式为 ( )
= = = 3，n= 1 = 3，n= 1A. a 2nn B. an 2n C. an n, ≥ D. a2 n 2 n 2n,n≥ 2
【答案】C
【解析】当n= 1时，a1=S1= 3，当n≥ 2时，an=Sn-S nn-1= 2 ，得到答案.
【详解】Sn= 2n+1- 1，当n= 1时，a 1+11=S1= 2 - 1= 3；
当n≥ 2时，a =S -S = 2n+1- 1 - 2n- 1 = 2n = 3，n= 1n n n-1 .故 an n, ≥ .故选：C .2 n 2
8. (2022·安徽 ·巢湖市第一中学模拟预测 (文 ))已知首项为 1的数列 an 的前 n项和为 Sn，且 Sn+1= Sn+
12an+ 5，则数列 an 的通项公式为 an=___________.
【答案】1611 12
n-1- 511
【分析】利用Sn与 an的关系，得到 an+1= 12an+ 5，再利用待定系数法，进行构造数列，得到 5 an+ 11 为等
比数列，进而利用等比通项公式即可求解.
【详解】由题意得，an+1= 12an+ 5，设 an+1+ λ= 12 an+ λ ，故 an+1= 12an+ 11λ，则 11λ= 5，故 λ= 511，则
5
a + 5
an+1+
= 12 a + 5 ，即 11n+1 11 n 11 5 = 12，则数列 a +
5 是首项为 16 n 11 11，公比为 12的等比数列，故 anan+ 11
+ 5 = 16 12n-1，故 a = 16 12n-1- 5 .故答案为：16 12n-1 511 11 n 11 11 11 - 11
9. (2023· 1全国 ·高三专题练习 )设数列 an 的前 n项和为 Sn，若 a1= 1，Sn- 3 an+1= 0 n∈N
* ，则 an 的
通项公式为__________．
1, n= 1【答案】an= 3 4n-2, n≥ 2
【分析】根据 an+1=Sn+1-Sn可得Sn+1= 4Sn，由此可证得数列 Sn 是等比数列，由此可得Sn；利用 an与Sn
的关系可求得 an.
【详解】由S - 1n 3 an+1= 0得：Sn-
1
3 Sn+1-Sn = 0，即Sn+1= 4Sn，
又S1= a1= 1，∴数列 Sn 是以 1为首项，4为公比的等比数列，∴Sn= 4n-1；
当n= 1时，a1=S1= 1；
当n≥ 2时，an=Sn-Sn-1= 4n-1- 4n-2= 3 4n-2；经检验：a1= 1不满足 a = 3 4n-2n ；故答案为：an=
1, n= 1 .3 4n-2, n≥ 2
10.(2020·黑龙江 ·哈尔滨市第一中学校高三期末 )各项均不为零的数列 an 的前 n项和为 Sn，且 an+
3SnSn-1= 0(n≥ 2)，a1= 13 ，则数列 an 的通项公式为_________．
1
3 , n= 1
【答案】an=
1 - ( , n≥ 23n n- 1)
【分析】根据数列的递推关系构造等差数列，利用 an与Sn的关系即可求出数列的通项公式．
【详解】解：由 an+ 3Sn Sn-1= 0得 an=-3Sn Sn-1，当n≥ 2时，a 1n=-3Sn Sn-1=Sn-Sn-1，∵ a1= 3，∴
Sn Sn-1≠ 0，
等式两边同时除以S 1 1 1n Sn-1得 S - S = 3，即n n-1 Sn 是以 3为首项，3为公差的等差数列，
则 1 1S = 3+ 3(n- 1) = 3n，即Sn= 3n，则 an=-3Sn Sn-1=-
1 ，n≥ 2，∵ a = 1 不满足 a =
n 3n(n- 1) 1 3 n
- 1( - )，n≥ 2，3n n 1
1 , n= 1 1 3 3 , n= 1
∴数列的通项公式 an= 1 ，故答案为：an= ． 1 - 3n( - ) , n≥ 2 -n 1 3n(n- 1) , n≥ 2
11. (2019·江西吉安一中高考模拟 (理 )) 4设数列 an 满足 a1= 1,an+1= 4- a n∈N
*
n
(1) 1求证：数列 an-

2 是等差数列；(2)略.
【答案】(1) ∴ an= 2- 2n+ 1 =
2n
n+ 1 ,；.
【详解】(1) ∵ a = 4 ,∴ 1 - 1 = 1 - 1n+1 4- an an+1 an- 2 4 an- 2
4- a - 2n
= 4- an - 1 = 2- an 12an- 4 an- 2 2an- 4
=- 2 为常数
又∵ a 1 11= 1,∴ a - 2 =-1,∴数列 a - 2 是以-1为首项-
1
2 为公差的等差数列.1 n
a
12.(2021·全国 ·高三专题练习 )数列 an 满足 a1= 1,a nn+1= 2a + 1，则数列 an 通项公式为 an=_____n
___.
【答案】 12n- 1
【分析】对递推关系 = aa nn+1 2a + 1 两边取倒数，则可得
1
a 为等差数列，根据等差数列的通项公式可求n n
出 1a 的表达式，从而可得数列 an 的通项公式.n
【详解】因为 = an ，故 1 = 2a + 1a n 1n+1 2an+ 1 a a
= + 2，
n+1 n an
所以 1 1a - a = 2，故
1
a 是首项为 1，公差为 2的等差数列，n+1 n n
所以 1a = 1+ 2 n- 1 = 2n- 1，所以 an=
1
2n- 1 .故答案为：
1
2n- 1 .n
13.(2021 ·甘肃 ·武威第六中学模拟预测 (理 ))已知数列 an 满足 a 1= 1，a n= a + 1 a + 11 2 2 3 a 3+
+ 1n- 1 an-1 n> 1 ．数列 an 的通项公式是______．
1, n= 1
【答案】an= n2 , n≥ 2
【分析】由 an= a + 1 1 11 2 a2+ 3 a3+ + n- 1 an-1(n> 1)，得到 a
1 1 1
n+1= a1+ 2 a2+ 3 a3+ + n- 1 an-1+
1 a ，两式作差，得到 a - aa = 1 a ，整理得到 n+1 n+ 1n n n+1 n n n a = n ，累乘求得
an n
a = 2，结合n的条件，以及 a1n 2
= 1，得到数列 an 的通项公式.
【详解】∵ an= a1+ 12 a
1
2+ 3 a + +
1
3 n- 1 an-1(n> 1)，a1= 1当n= 2时，a2= a1= 1
当n> 2时，∴ a 1 1 1 1 1n+1= a1+ 2 a2+ 3 a3+ + n- 1 an-1+ n an，两式相减得：an+1- an= n an，即 an+1=
n+ 1
n an，
∴ an+1 = n+ 1， an = n an-1 n- 1 a3 3 an na n a n- 1，a = n- 2， a = 2，累乘得：a = 2，所以 an=
n
2， n> 2 n n-1 n-2 2 2
1, n= 1 1, n= 1
∴ an= n ，故答案为：an= , n≥ 2 n .2 2 , n≥ 2
14.(2022·全国 ·高三课时练习 )已知数列 an 满足 a 21= 2，an+1= an，则数列 an 的通项公式为 an= ( )
A. 2n- 1 B. 2n-1 C. 22n-1 D. n2
【答案】C
【分析】将 an+1= a2n两边同时取常用对数，即可得数列 lgan 是以 lg2为首项，2为公比的等比数列，从而
求得数列 an 的通项公式.
【详解】易知 an> 0，且 an≠ 1，在 an+1= a2n的两边同时取常用对数，得 lgan+1= 2lgan，
lga
故 n+1lga = 2，所以数列 lgan 是以 lg2为首项，2为公比的等比数列，n
所以 n-1 n-1lga = 2n-1× lg2= lg22n ，所以 a 2n= 2 ，故选 :C．
15. .(2021·全国 ·高三专题练习 )若数列 an 满足 a n+11= 1，an+1= 6an+ 2 ，则数列 an 的通项公式 an=__
______.
【答案】2× 6n-1- 2n-1
【解析】由 a = 6a + 2n+1，可得 an+1 = a3× n an 1 1n+1 n 2n+1 2n
+ 1，设 bn= n ，即 bn+1+ 2 = 3 b2 n+ 2 ，先求出的 bn 通
项公式，进而得到答案.
【详解】由 an+1= 6an+ n+1，可得
an+1 = × a2 n+1 3
n
n + 1，设 b =
an
2 2 n 2n
则 b 1 1n+1= 3bn+ 1，则 bn+1+ 2 = 3 bn+ 2
所以 1 bn+ 2 是以 1为首项，3为公比的等比数列.
则 b + 1 = 3n-1n 2 ，则 bn= 3
n-1- 12，所以 an= 2× 6
n-1- 2n-1
故答案为：2× 6n-1- 2n-1
16.(2016·辽宁沈阳 ·高三期末 )已知数列 an 中，a1= 2,an+1= 2an+ 3 2n,则数列 an 的通项公式 an=__
____．
【答案】(3n- 1) 2n-1
【详解】试题分析：由题意得 an+1= 2an+ n，则
a
3 2 n+1 = a2 nn n-1 + 3，又因为
a1
1 = 2，所以数列
an+1
2 2 2 - 1 2n
是首项为 a2，公差为 3的等差数列，所以 n n-1
2n-1
= 2+ 3(n- 1) = 3n- 1，即 an= (3n- 1) 2 ，即数列的通项
公式为 an= (3n- 1) 2n-1.
17.已知正项数列 an 的前n项和S 满足S 2- n2 2 +n n +n- 1 Sn- n +n = 0 n∈N ,
(1)求数列 an 的通项公式;
(2) 3 3设 bn= a a ,Tn是数列 bn 的前n项和 ,证明 :对于任意n∈N
+都有Tn<
n n+1 4
.
【答案】(1)an= 2n；(2)略.
【详解】(1)解关于S 的方程S 2- n2n n +n- 1 Sn- n2+n = 0,可得Sn=n2+n或Sn=-1(舍去 ),
n= 1时 ,a1= 2,n≥ 2时 ,an=Sn-Sn-1= 2n,∴ an= 2n.
(2)b = 3 = 3 = 3 1 - 1 ,由裂项相消法可得T = 3 1- 1 ,∵n∈N+n a a n ，∴Tn3
4 .
n n+1
18.(2022·全国 ·高三课时练习 )已知数列 an 满足 a1 a2 an= 2 2 ，数列 an 的通项公式是______．
【答案】an= 2n
n n+1
【分析】首先令Tn= a1 a 22 an= 2 ，根据Tn与 an的关系求解即可.
n n+1
【详解】令Tn= a1 a 22 an= 2 ，当n= 1时，T1= a1= 2，
n n+1
当 ≥ 时， = T
2
n 2 a n 2n T = - = 2
n，
n- n n 1 1 2 2
检验：当n= 1时，a1= 2=T1，所以 a = 2nn .
故答案为：a = 2nn
2x- 1, x≤ 0
19.(2021·河北省唐县第一中学高三期中 )已知函数 f(x) = { ，把函数 g(x) = f(x) - x的零
f(x- 1) + 1,x> 0
点按照从小到大的顺序排成一个数列 an ，则该数列的通项公式为 ． ( )
n(n- 1)
A. an= 2 (n∈N
*) B. an=n(n- 1) (n∈N *)
C. an=n- 1(n∈N *) D. an= 2n- 2(n∈N *)
【答案】C
【详解】试题分析：作出函数图象易得函数 g(x) = f(x) - x的零点为 ，故数列 {an}数列的通
项公式为 an=n- 1(n∈N *)
20.在数列 an 中，若 a1= 1,a2= 2，并有 an= an+1an-1对 n> 1且 n∈N *恒成立；则 a2020+ a2021=______
_________．
全国百强名校领军考试 2020- 2021学年高三上学期理科数学试题
【答案】32
【详解】由条件 an=
an+1 aa n+1 1n+1an-1及 an+1= an+2an，得 an+2= a = = ，n an+1an-1 an-1
即 an+2= 1 *a (n> 1且n∈N )，则 a
1 *
n+6= a = an n∈N ，从而知 6是数列 an 的一个周期；n-1 n+3
由 aa1= 1,a2= 2，及 a n+1n+2= a ，得 a3= 2,a4= 1,a5= a6=
1
2；故 a2020+ a2021= a4+ a5= 1+
1 3
2 = 2 故答案n
为：32 .
另解：由 aa1= 1,a2= 2，又 an= an+1an-1即 a nn+1= a 对n> 1且n∈N *，可得 a3= 2,a4= 1,a5= a6=
1 ,a7
n-1 2
= 1,a8= 2, ,从而知 6是数列 an 的一个周期；
故 a 1 3 32020+ a2021= a4+ a5= 1+ 2 = 2 .故答案为：2
21.已知数列 an 的前n项和为Sn，且 a1= 1，2Sn= an+1an，则S20= ( )
A. 200 B. 210 C. 400 D. 410
【答案】B
【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等差数列的前n项和公式的应用求出结
果．
【详解】
由题 a1= 1，2Sn= an+1an，又因为 a1=S1
所以当n= 1时，可解的 a2= 2
当n≥ 2时，2Sn-1= anan-1，与 2Sn= an+1an相减得 an+1- an-1= 2
当n为奇数时，数列 an 是以 1为首相，2为公差的等差数列，an= 2n- 1
当n为偶数时，数列 an 是以 2为首相，2为公差的等差数列，an= 2n
所以当n为正整数时，an=n，
则S20= 1+ 2+ 3+ +20= 210。故选B.

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