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中考专题训练——二次函数与面积问题
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与y轴交于点A，与x轴交于点E、B，连接、，且点，，点P为抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，过点作平行于轴，交抛物线于点，若点在的上方，作平行于轴交于点，连接，，当时，求点坐标．
2．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点．直线经过点、．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是直线下方的抛物线上一动点（不与点、重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点．设点的横坐标为，连接，线段把分成两个三角形，若这两个三角形的面积比为，求出的值．
3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，3），顶点C位于第二象限，连结AB，AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是y轴正半轴上一点，且在B点上方，若∠DCB=∠CAB，请你猜想并证明CD与AC的位置关系；
（3）设与△AOB重合的△EFG从△AOB的位置出发，沿x轴负方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
4．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．
5．如图，已知抛物线经过坐标原点O及A（，0），其顶点为B（m，3），C是AB中点，点E是直线OC上的一个动点 （点E与点O不重合），点D在y轴上，且EO=ED．
（1）求此抛物线及直线OC的解析式；
（2）当点E运动到抛物线上时，求BD的长；
（3）连接AD，当点E运动到何处时，△AED的面积为？请直接写出此时E点的坐标．
6．如图①，已知抛物线经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．
7．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
8．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；
(3)在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图①，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点E的坐标；
(3)如图③，若抛物线的顶点坐标为点D，点P是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线和抛物线交于点，，且点B是抛物线的顶点．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)点P是直线上方抛物线上的一点，求当面积最大时点P的坐标；
(3)M是直线上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求直线的解析式；
(2)M是二次函数图象对称轴上的点，在抛物线上是否存在点N．使以M，N，A，O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点是抛物线上的动点，连接，设的面积为S．求S与x之间的函数关系式，当时，求S的最大值．
12．已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中点A为，与y轴负半轴交于点，其对称轴是直线．
(1)求二次函数的解析式；
(2)圆为的外接圆，点E是延长线上一点，的平分线交圆于点D，连接，求的面积；
(3)在（2）的条件下，y轴上是否存在点P，使得以P，C，B为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理由．
13．抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点是点D．
(1)求抛物线解析式；
(2)连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以1个单位每秒的速度向左平移，对应点分别是O'，B'，C′，设S表示O'B'C'与四边形AOCD的重叠部分面积，求S与时间t的函数解析式；
(3)如图2，点M（m，n）为抛物线上的任意一点，过M向直线y作垂线，垂足为E，点F为抛物线对称轴上的一点，当ME﹣MF恒等于时，求F点的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与轴交于点，与轴交于点、且点，，抛物线的对称轴与交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点是直线上方抛物线上的一动点，连接，，求面积的最大值；
(3)若点是抛物线上一点，在直线上是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
15．如图，抛物线与x轴交于A，C两点，与直线交于A，B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在直线AB上方的抛物线上运动．
①点P在什么位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标；
②当点P与点C重合时，连接PE，将△PEB 补成矩形，使△PEB上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，且A(﹣2，0)，直线BC的解析式为y3．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A作ADBC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE、EB、BD、DC，求四边形BECD面积的最大值时相应点E的坐标；
(3)将抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在(2)中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A(0，﹣4)，点B(4，0)．
(1)求此二次函数的解析式．
(2)若点P是直线AB下方抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求出点P的坐标和△PAB的最大面积．
(3)当t≤x≤t+3时，此二次函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，直接写出t的值．
18．如图，已知抛物线y＝ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y＝kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、＝），并证明你的判断；
(3)若k＝1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．
19．直线y＝x﹣2与x、y轴分别交于点A、C．抛物线的图象经过A、C和点B（1，0）．
(1)求抛物线的解析式和顶点G的坐标；
(2)在直线y＝﹣1上是否存在点P，使得△PBG的周长最小？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在直线AC上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离是多少？
20．已知抛物线的对称轴是，且与x轴交于A、两点，与y轴交于C点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，设点D是线段BC上的一动点，过D作x轴的垂线，交抛物线于E，当线段DE的长度最大时，判断此时四边形OCDE的形状并说明理由；
(3)如图2，设P是抛物线上且位于直线BC上方的点，求△BCP面积的最大值．
参考答案：
1．(1)；
(2)，．
【分析】（1）将点、代入二次函数解析式，建立方程求解，即可求出答案；
（2）先求出点的坐标和的长度，再用待定系数法求出的解析式，设点和的横坐标为，可用含的式子表示点和的纵坐标，然后可用含的式子表示的长度，然后可表示四边形的面积；确定点的坐标，然后求出三角形的面积，最后根据已知条件列方程求解．
【解析】（1）将点，分别代入得，
，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）轴，点，
∴当时，，
∴，，
∴，；
设直线AB的解析式为，
将，分别代入得，
，解得，
∴直线的解析式为；
设点的横坐标为，则，，
∴，
∵，，
∴；
又∵函数，当时，有，
解得，，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，，
当时，；当时，，
∴，．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，函数图像的交点，三角形和四边形的面积计算，一元二次方程，理解题意，掌握这些知识点是解题的关键．
2．(1)
(2)或
【分析】（1）由直线求出、坐标，再将它们代入即可得抛物线解析式；
（2）线段把分成两个三角形，它们的底边都是，用面积之比等于高的比列方程即可得到答案．
【解析】（1）解：令直线，解得，
令，解得，
，，
把点，代入中，得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）过点作于点，如图所示：
点的横坐标为，
点，点，点，
，，
，
，则，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
①当时，解得；
②当时，解得；
综上所述，或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查一次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，分三角形问题，解题的关键是用的代数式表示的长度以及用面积之比等于高的比，处理这一道有公共边的面积比问题．
3．（1）；（2）；（3）S＝
【解析】试题分析：（1）先根据抛物线与y轴交于点B（0，3）求得m的值，再由抛物线的顶点在第二象限，即可得到结果；
（2）由A（-3，0），B（0，3），C（-1，4）根据勾股定理可求得，根据勾股定理的逆定理可得，再结合∠DCB=∠CAB，即可证得结果；
（3）当0＜t≤时，如图，EF交AB于点Q，GF交AC于点N，过N做MP//FE交x轴于P点，交BF的延长线点M，BF的延长线交AC于点K，由△AGN∽△KFN根据相似三角形的性质可得，即可表示出PN，即可得到结果；当＜t≤3时，如图， EF交AB于点N，交AC于点M，BF交AC于点P，由△AME∽△PMF根据相似三角形的性质可得，即可表示出ME，从而可以求得结果.
（1）抛物线与y轴交于点B（0，3）
∴
∴
抛物线的顶点在第二象限，
∴
∴抛物线的解析式为；
（2）A（-3，0），B（0，3），C（-1，4）
∴
∴
∴
∴
又
∴
∴；
（3）当0＜t≤时，如图，EF交AB于点Q，GF交AC于点N，过N做MP//FE交x轴于P点，交BF的延长线点M，BF的延长线交AC于点K
由△AGN∽△KFN
得
即
解得PN＝2t
∴
当＜t≤3时，如图， EF交AB于点N，交AC于点M，BF交AC于点P
由△AME∽△PMF
得
即
解得ME＝2(3－t)
∴
综上所述：S＝
考点：二次函数的综合题
点评：解答本题的关键是读懂题意，画出图形，正确作出辅助线，熟练运用相似三角形的性质及三角形的面积公式解决问题.
4．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）当a=时，△BDC的面积最大，此时P（，）；（3）m的变化范围为：﹣≤m≤5
【解析】解：（1）由题意得：，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）令，
∴x1= -1，x2=3，即B（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b′，
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设P（a，3-a），则D（a，-a2+2a+3），
∴PD=（-a2+2a+3）-（3-a）=-a2+3a，
∴S△BDC=S△PDC+S△PDB
∴当时，△BDC的面积最大，此时P（，）；
（3）由（1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴OF=1，EF=4，OC=3，
过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，
当M在EF左侧时，
∵∠MNC=90°，
则△MNF∽△NCH，
∴，
设FN=n，则NH=3-n，
∴，
即n2-3n-m+1=0，
关于n的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0，
得m≥，
当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，
作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM=45°，
∵FM=EF=4，
∴OM=5，
即N为点E时，OM=5，
∴m≤5，
综上，m的变化范围为：≤m≤5．
【点评】本题考查二次函数的应用，二次函数的应用是中考的必考题型，考生在解此类问题时一定要注意分析求最大值和最小值所需要函数解决的问题．
5．（1）抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x，直线OC的解析式为y=﹣x；（2）；（3）E点的坐标为（﹣）或（，﹣）．
【解析】分析：（1）先根据抛物线过原点和A（），得出抛物线对称轴为x=，故可得出B点坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+）2+3，由抛物线经过（0，0）可求出a的值，故可得出抛物线的解析式，由C为AB的中点可得出C点坐标，进而得出直线OC的解析式；
（2）连接ED，由于点E是抛物线与直线OC的交点所以联立二次函数与直线的解析式可求出E点坐标，过E作EF⊥y轴于F可求出OF的长，再由EO=ED可得出D点坐标，故可求出BD的长．
（3）连接DE、AE、AD，设E（x，﹣x），由A，D两点坐标即可得出OA=2，OD=，由S四边形AODE=S△AOE+S△DOE=S△AED+S△AOD即可得出结论．
解析：（1）∵抛物线过原点和A（），∴抛物线对称轴为x=，∴B（）．
设抛物线的解析式为y=a（x+）2+3．
∵抛物线经过（0，0），∴0=3a+3，∴a=﹣1，∴y=﹣（x+）2+3=﹣x2﹣2x．
∵C为AB的中点，A（﹣2，0）、B（﹣，3），∴C（﹣），∴直线OC的解析式为y=﹣x；
（2）如图1，连接ED．
∵点E为抛物线y=﹣x2﹣2x与直线y=﹣x的交点（点E与点O不重合），∴，解得：或（不合题意，舍去），∴E（﹣）；
过E作EF⊥y轴于F，可得OF=．
∵OE=DE，EF⊥y轴，∴OF=DF，∴DO=2OF=，∴D（0，），∴BD==；
（3）如图2，连接DE、AE、AD，设E（﹣a，a）（a＞0）．
∵A（﹣2，0），D（0，a），∴OA=2，OD=a，∴S△AED=S△AOE+S△DOE﹣S△AOD
=×2×a+×a×a﹣×2×a
=a2﹣a，
∴a2﹣a=，解得：a=；
∴E（﹣），
同理，当E在第四象限时，E（，﹣）．
故E点的坐标为（﹣）或（，﹣）．

点评：本题考查的是二次函数综合题．涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、三角形的面积公式等知识，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
6．（1）；（2）顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；（3）2．
【分析】（1）把点A、B、C代入抛物线解析式利用待定系数法求解即可．
（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可．
（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．
【解析】解：（1）∵抛物线经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），
∴，解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）∵，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2．
（3）如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∴PP′=1．
又由平移的性质知，阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，
而平行四边形A′APP′的面积=1×2=2．
∴阴影部分的面积=2．
7．（1）y=x2﹣4x+3；（2）存在，抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）△ACE的最大面积，此时E点坐标为（，）．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可．
（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D．
（3）方法1：过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点C作，垂足为H．设点E的坐标为，则点F、G的坐标均可表示出来，且可得EF的长，由即可得关于x的二次函数，从而可求得结果；
方法2：过点E作∥x轴，并分别过点A，C作、于点P、Q，设点E的坐标为，则点P、Q的坐标均可表示出来，AP、CQ\、PQ、EP、EQ的长度均可表示出来，由即可得关于x的二次函数，从而可求得结果；
方法3：过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点E作，垂足为M．由已知得AC这定值， 设点E的坐标为，则点F的坐标为，点G的坐标为．可得AG=FG，为等腰直角三角形，从而得为等腰直角三角形，，由三角形面积公式即可得关于x的二次函数，从而可求得结果；
方法4：根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解析】解：（1）∵抛物线经过点、，代入得
，解得．
∴抛物线的表达式为．
（2）∵点A，B关于对称轴对称，
∴点D为直线与对称轴的交点时的周长最小．
设直线的解析式为，则，解得．
∴直线的解析式为．
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，当时，，
∴抛物线对称轴上存在点，使的周长最小．
（3）方法1：
如图所示，过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点C作，垂足为H．
由（2）得，直线AC的表达式为．
设点E的坐标为，则点F的坐标为，点G的坐标为．
∴．
∴
，
当，即点E的坐标为时，的最大面积为·
方法2：
如图所示，过点E作∥x轴，并分别过点A，C作、于点P、Q，设点E的坐标为，则点P的坐标为，点Q的坐标为．
∴，，，，．
∴
．
∴当，即点E的坐标为时，的最大面积为·
方法3：
如图所示，过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点E作，垂足为M．
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴．
由（2）得，直线AC的表达式为．
设点E的坐标为，则点F的坐标为，点G的坐标为．
∴，．
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形．
∴．
∴
．
∴当，即点E的坐标为时，的最大面积为·
方法4：
如图，设过点E与直线AC平行的直线为，
∴由，得，
当，即时，点E到AC的距离最大，的面积最大，此时，，
∴点E的坐标为．
设过点E的直线与x轴交点为F，则点F的坐标为．
∴．
∵直线AC的解析式为，
∴．
∴点F到AC的距离为．
又∵，
∴的最大面积为，此时点E的坐标为．
8．(1)
(2)9
(3)存在，点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）
【分析】（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）如答图1所示，首先求出的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值，最后得到四边形BMCA面积的最大值．
（3）如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标．
(1)
解：如答图1所示，过点作轴于点，则，．
，
，
，
．
点、在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为：．
(2)
解：，，，
连接，过点作轴垂线，交于，设，
，，
，
，
，
当时，有最大值等于4，
∵，
四边形面积最大值等于9．
(3)
解：假设存在这样的．
如答图2所示，设直线与轴交于点，与直线交于点．
设直线的解析式为，将、代入得：
，
解得：，，
直线解析式为：，
令，得，，．
在中，由勾股定理得：．
设，则在中，由勾股定理得：．
设与直线相切于点，则．
在与中，
，，
∴，
，即，
化简得：，解得或．
存在一个以点为圆心，为半径且与直线相切的圆，点的坐标为或．
【点评】本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件的点坐标．
9．(1)抛物线的解析式为；
(2)的最大值为；此时，点；
(3)满足条件的点P有4个，坐标分别为或或或．
【分析】（1）将，代入抛物线，即可求函数解析式；
（2）求出直线的解析式为，设，，根据得二次函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；
（3）分三种情况讨论：①当，②当，③当时．利用菱形的性质即可求解．
【解析】（1）解：将，代入抛物线，
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，
∴，
设直线的解析式为，
将代入，
得，解得，
∴直线的解析式为，
作轴交于点G，
设，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
此时，；
（3）解：存在，理由如下：
∵抛物线，
∴顶点D的坐标为，
∵，
∴，
设，则，，
以B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形，有以下三种情况：
①当时，则，
∴P或P；
②当时，则，
解得，
∴P；
③当时，则，
解得（舍），
∴P；
综上所述，满足条件的点P有4个，坐标分别为或或或；
【点评】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图像及性质、掌握菱形的性质，分类讨论、数形结合是解题的关键．
10．(1)；
(2)
(3)点N的坐标为或或或
【分析】（1）设直线的解析式为，将，代入得到关于k、b的值即可；设抛物线的解析式为，然后将点A的坐标代入求得a的值即可；
（2）过点P作轴，交直线于点Q，设点，则），则，然后依据三角形的面积公式列出的面积与a的函数关系式，进而根据二次函数的性质求解即可；
（3）先根据题意画出图形，需要注意本题共有四种情况，然后依据菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【解析】（1）解：设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
B是抛物线的顶点，且，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图1所示，过点P作轴交直线于点Q，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，面积最大，此时）；
（3）解：如图2所示，延长交x轴于点C，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
，即是等腰直角三角形，
在中，根据勾股定理，得，
，
，
点N的坐标为；
如图3所示，过点N作轴，垂足为C，
，，
，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，即是等腰直角三角形，
在中，根据勾股定理，得，
，
，
点N的坐标为；
如图4所示，连接交y轴于点C，
四边形是菱形，，
，，，
点M的纵坐标为1，
点M在直线上，
将代入，得，
解得，
点M的坐标为，
，
点N的坐标为；
如图5所示，此时M点与A点重合，
四边形是菱形，
，
，
四边形为正方形，
，
，
点N的坐标为，
综上所述，当以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形时，点N的坐标为或或或．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的最值，三角形的面积公式，菱形的性质，等腰直角三角形以及勾股定理，解题的关键在于列出的面积与a的函数关系式以及分类讨论并根据题意画出符合条件的图形．
11．(1)．
(2)点N的坐标为或或．
(3)．
【分析】（1）先利用二次函数解析式求得点B和点C的坐标，设直线的解析式为，将代入求解即可；
（2）先求得，分两种情况讨论：①设为平行四边形的一边，由平行四边形的对边平行且相等可得点N的横坐标为0或2，代入函数解析式求解可得，，②当为平行四边形的对角线时，设，，由平行四边形的对角线互相平分可得，求得x的值，代入函数解析式求解即可；
（3）过点P作y轴的平行线交直线于点Q．当时，点，点，可表示，整理为顶点式即可求解．
【解析】（1）解：在中，
令，得，解得．
∴．
令，得，
∴．
设直线的解析式为，将代入，得
，解得
∴直线的解析式为．
（2）解：∵，得，解得．
∴，
∴，
①如图，设为平行四边形的一边，
则，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点N的横坐标为0或2，
将代入，可得，
将代入，可得，
∴，，
如图，当为平行四边形的对角线时，设，
由平行四边形的对角线互相平分可得，，
解得：，
将代入，可得，
∴，
综上，点N的坐标为或或．
（3）如图，过点P作y轴的平行线交直线于点Q．
当时，点，点
．
∴．
∴当时，S的最大值为．
【点评】本题考查了二次函数综合、平行四边形的性质、一次函数与几何综合、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数的性质．
12．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据抛物线具有对称性，可以求出点B的坐标，再用待定系数法求解析式即可．
（2）根据以及圆的相关性质，可知为等腰直角三角形，从而得出与的数量关系，列式求解即可．
（3）分4种情况画出图形，利用相似三角形的判定与性质求解即可．
【解析】（1）解：∵，对称轴为直线，
∴，
由题意可知，，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴为圆的直径，点坐标为，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，为等腰直角三角形，
连接，则，
∴，D的坐标为，
如图1，设与y轴交于点F，
∵，
∴，
∴，
过D作垂直于y轴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，，．
由（2）知，，，．
如图2，当点P在点C的上方时，若，
∵，
∴，
显然，和中不存在两个相等的角，即不可能相似；
如图3，中不存在的角，所以和中不存在两个相等的角，即不可能相似；
如图4，当点P在点C下方，时，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图5，当点P在点C下方，时，，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上可知，P点坐标为或．
【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式，以及几何图形和二次函数相结合的应用，数形结合是解题关键．
13．(1)y＝﹣x2﹣2x+3；
(2)S
(3)（﹣1，）．
【分析】（1）将点A（﹣3，0）和B（1，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，解方程组即可求解；
（2）配方求出顶点坐标为：（﹣1，4），用待定系数法求直线AD的函数关系式为：y＝2x+6，当C′在AD上时，令y＝3，即2x+6＝3，解得：x，分四种情况分别求出重叠面积；
（3）设点F坐标为（﹣1，h），则MF，MEn，表示出MF＝MEn，两边平方得（m+1）2+（n﹣h）2＝（）2，化简m2+2m+1+h2﹣2nh，将n＝﹣m2﹣2m+3代入上式，整理，得（2h）m2+（4h﹣15）m+1+h2﹣6h0，利用0乘任何数都得0，即可求解．
（1）
解：将点A（﹣3，0）和B（1，0）代入y＝ax2+bx+3，
得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点D的坐标为：（﹣1，4），
设直线AD的函数关系式为：y＝mx+n，
则：，
解得：，
∴直线AD的函数关系式为：y＝2x+6，
对y＝﹣x2﹣2x+3来说，当x＝0时，y＝3，即点C的坐标是（0，3），
当C′在AD上时，令y＝3，即2x+6＝3，
解得：x，
①如图1，当0＜t＜1时，
由题意得，OC＝O′C′＝3，OB＝O′B′＝1，
∴OB′＝1﹣t，
∵OC O′C′，
∴△O′B′C′∽△OB′M，
∴ 即，
解得：OM＝3（1﹣t），
S＝S△O′B′C′﹣S△OMB′
3×13（1﹣t）2＝；
②当1≤t时，如图2，
△O′B′C′完全在四边形AOCD内，
此时：S1×3；
③当时，如图3，
设B′C′，C′O′与AD的交点分别为P，Q，
过点P作PH⊥C′O′于点H，
∵AO＝3，OO′＝t，
∴AO′＝3﹣t，O′Q＝A O′tan∠QAO′＝2AO′＝6﹣2t，
∴C′Q＝3﹣（6﹣2t）＝2t﹣3，
∵PHAB，
∴∠HPQ＝∠DAO，
∴QH＝HPtan∠HPQ＝2HP，C′H3HP，
∴HPC′Q，
∴S（2t﹣3）（2t﹣3）；
④当3＜t≤4时，如图4，
BB′＝t，则AB′＝4﹣t，
tan∠DAM＝tan∠PAN2，tan∠PB′N＝tan∠CBO＝3，
设NB′＝m，则PN＝3m，AN＝1.5m，
∵AB′＝NB′＋AN，
∴2.5m＝4﹣t，
解得：m（4﹣t），
∴PN＝，
∴S（4﹣t） （4﹣t）（t﹣4）2，
综上所述：S
（3）
设点F坐标为（﹣1，h），则MF，MEn，
∵ME﹣MF，
∴MF＝MEn，
∴（m+1）2+（n﹣h）2＝（）2，
∴m2+2m+1+h2﹣2nh，
将n＝﹣m2﹣2m+3代入上式，
整理，得（2h）m2+（4h﹣15）m+1+h2﹣6h0，
∴当h时，上式对于任意实数m的值恒成立，
∴满足题意的点F的坐标为（﹣1，）．
【点评】本题考查了二次函数的图像和性质、待定系数法求一次函数和二次函数解析式、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、两点间的距离公式等知识，综合性很强，解题的关键是分类讨论和数形结合思想的应用．
14．(1)
(2)
(3)存在，或或或
【分析】将点，坐标代入二次函数解析式中，建立方程求解，即可求出答案；
先确定出点坐标，直线的解析式，过点作轴交于，利用三角形面积公式得出，即可求出答案；
分为边和为对角线两种情况进行求解：当为平行四边形的边时，由建立方程求解；当为对角线时，由与互相平分建立方程组求解即可．
（1）解：∵点，在抛物线上，，，二次函数的解析式为；
（2）如图， ，，直线的解析式为，点是抛物线的对称轴与直线的交点，，由知，二次函数的解析式为，过点作轴交于，设，，，，当时，，即面积的最大值为；
（3）∵抛物线的对称轴与交于点，，设，，若，四边形为平行四边形，，解得或，或；若，四边形为平行四边形，同理求出；若为对角线，则，解得不合题意舍去或 综合以上可得出点的坐标为或或或．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，三角形面积的求法，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点的坐标时，分类讨论是解本题的难点．
15．(1)
(2)①当时，最大，为，此时点
②矩形未知顶点的坐标D（-6，-3）；
【分析】（1）先确定出点A的坐标，进而用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先确定出点B的坐标，①设点P（m，-m2-2m+3），得出PG=-m2-3m+4，利用三角形的面积公式建立函数关系式即可得出结论；
②先确定出点E的坐标，进而判断出△BPE是直角三角形，即可作出图形，利用两直线的交点坐标的求法即可得出结论．
（1）解：点是直线与轴的交点，，点在上，，，抛物线的解析式为
（2）解：由题意知，（是点的纵横坐标）或，，①如图，设点，过点作轴交于，，，当时，最大，为，此时点，； ②由 ⑴ 知，抛物线的解析式为，,抛物线的对称轴为直线，点在直线上，，点与点重合，，，，，，，是直角三角形，且，，，直线的解析式为，上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，第一种情况：作出如图1所示的矩形（以为矩形的一边），四边形BECD是矩形C（-3，0），E（-1，-2），B（-4，-5），由平移可得D（-6，-3），第二种情况：以为矩形的一边，如图1所示的矩形，，，直线的解析式为，，，的解析式为③，，且，的解析式为④，联立③④解得，，，，由平移得，；
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，直角三角形的判定，解（1）的关键是求出点A坐标，解（2）的关键是判断出△BPE是直角三角形，是一道中等难度的中考常考题．
16．(1)yx2+x+3
(2)点E的坐标为(3,)
(3)存在，点N的坐标为(﹣2,2)或(7,﹣2)或(﹣3,﹣2)
【分析】（1）利用直线BC的解析式求出点B、C的坐标，代入抛物线求得a、b的值，即可得抛物线的表达式；
（2）根据四边形BECD面积最大值时，E点到直线BC的距离最远，即此时直线yx+n与抛物线只有一个交点，联立直线和抛物线，使该方程判别式为0即可求得E的坐标；
（3）分AE是平行四边形的边、AE是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
（1）
解：∵直线BC的解析式为y3，
∴令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝3，
∴点B、C的坐标分别为(6,0)、(0,3)；
∵A(﹣2,0)，
∴代入抛物线得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：yx2+x+3．
（2）
解：∵ADBC，
∴设直线AD的表达式为：yx+m，
将A(﹣2，0)代入直线AD即可求得：m＝﹣1，
∴直线AD：yx﹣1，
设过点E与直线BC平行的直线：yx+n，
∵四边形BECD面积最大值时，E点到直线BC的距离最远，即此时直线yx+n与抛物线只有一个交点，
∴令yx+nx2+x+3，
化简得：x2﹣6x+4n﹣12＝0①，
由Δ＝36﹣4(4n﹣12)＝0得：n，
∴方程①的解为：x1＝x2＝3，
∴四边形BECD面积最大值时相应点E的坐标为(3,)．
（3）
解：存在，理由：
①当AE是平行四边形的对角线时，
∵y(x+2)2+(x+2)+3x2+4，
∴新抛物线的表达式为：yx2+4，且原抛物线对称轴为直线x＝2，
∵点A、E的坐标分别为(﹣2,0)、(3,)，
∴AE中点的坐标为(,)，
设点M(2,t)，点N(s,t2+4)，
则由中点公式得：，，
解得：s＝﹣2，t＝2(负值舍去)，
∴N(﹣2,2)；
②当AE是平行四边形的边时，
设M(2,t')，点N(s',t'2+4)，
则s'﹣2＝5，解得s'＝7，N(7,﹣2)，
s'﹣2＝﹣5，解得s'＝﹣3，N(﹣3,﹣2)，
综上，点N的坐标为：(﹣2,2)或(7,﹣2)或(﹣3,﹣2)．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中(3)问要注意分类求解，避免遗漏．
17．(1)y＝x2﹣3x﹣4
(2)P(2，﹣6)，△PAB的面积最大值为8
(3)或
【分析】（1）用待定系数法，将点A(0，-4)，点B(4，0)代入解析式，即可求解；
（2）过点P作PQ∥y轴交AB于点Q，求出直线AB的解析式为y=x-4，设P(t，t2-3t-4)，则Q(t，t-4)，则，t=2时，△PAB的面积最大值为8，此时P(2，-6)；
（3）分四种情况讨论：①当t时，当x＝t时，y＝t2﹣3t﹣4=n，当x＝t+3时，=m，由m﹣n＝6t＝3，解得t<,应舍去；②当 ，即≤t时，当x=时，y=n，若，即：0 ，应舍去，即可求解。
（1）
解：将点A（0，﹣4），点B（4，0）代入y＝x2+bx+c，
∴ ，
∴ ，
∴y＝x2﹣3x﹣4；
（2）
解：过点P作PQ∥y轴交AB于点Q，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得，
∴y＝x﹣4，
设P（t，t2﹣3t﹣4），则Q（t，t﹣4），
∴PQ＝t﹣4﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，
∴ ，
∵0＜t＜4，
∴t＝2时，△PAB的面积最大值为8，
此时P（2，﹣6）；
（3）
解：∵y＝x2﹣3x﹣4＝ ，
∴抛物线的对称轴为直线x，
①当t时，
当x＝t时，y＝t2﹣3t﹣4=n，
当x＝t+3时，=m，
∴m﹣n＝6t＝3，
解得t<,应舍去；
②当 ，即≤t时，
当x=时，y=n，
若，即：0x=t+3时，=m，
∴m﹣n＝t2+3t﹣43，
解得t，或t，应舍去；
若，即：≤t≤0时，
x=t时，y＝t2﹣3t﹣4=m，
∴m﹣n＝t2-3t﹣43，
解得：t应舍去，或t；
③当t+3，即t时，
当x＝t时，y＝t2﹣3t﹣4=m，
当x＝t+3时，=n，
∴m﹣n＝t2﹣3t﹣4﹣（t2+3t﹣4）＝﹣6t＝3，
解得t> ，应舍去；
综上所述：t的值为或．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是求解的关键．
18．(1)
(2)；证明见解析
(3)存在；S△QBF的最大值为2+2，此时Q点坐标为（2，2）
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）设B(，)，而F（0，2），利用两点间的距离公式得到BF=，而BC=，所以BF=BC；
（3）作轴交于点，设，利用和二次函数的性质即可求解．
（1）
把点（-2，2），（4，5）代入得：
，
解得：，
所以抛物线解析式为；
（2）
BF＝BC．
理由如下：
设B(，)，已知F（0，2），
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴；
（3）
作轴交于点．
经过点F（0，2），且时，
∴一次函数解析式为，
解方程组，
得或，
则，
设，则，
∴，
∴
当时，有最大值，最大值为，此时点坐标为．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
19．(1)；点G（，）
(2)存在，点P的坐标为（，﹣1）
(3)点D的坐标为（2，1），最大距离为．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）作点B关于直线y=-1的对称点H（1，-2），连接GH交直线y=-1于点P，在点P为所求点，进而求解；
（3）由S△ACD=S梯形AGFC-S△CDF-S△ADG=（AG+FC） FG-FC FD-DG AG，即可求解．
（1）
解：在直线解析式y＝x﹣2中，
令x＝0，得y＝﹣2；
令y＝0，得x＝4，
∴A（4，0），C（0，﹣2）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵点A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）在抛物线上，
则，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
抛物线的对称轴为x＝，
当x＝时，，
故点G（，）；
（2）
在直线y＝﹣1上存在点P，使得使得△PBG的周长最小，
作点B关于直线y＝﹣1的对称点H（1，﹣2），连接GH交直线y＝﹣1于点P，在点P为所求点，
理由：△PBG的周长＝BG+BP+PG＝BG+PH+PG＝GH+GB为最小，
设直线BG的表达式为，
由点B、G的坐标得，
，
解得：，
∴，
当y＝1＝，解得x＝，
故点P的坐标为（，﹣1）；
（3）
设点D坐标为（x，y），
则，
在Rt△AOC中，OA＝4，OC＝2，
由勾股定理得：AC＝2．
连接CD、AD，过点D作DF⊥y轴于点F，过点A作AG⊥FD交FD的延长线于点G，
则FD＝x，DG＝4﹣x，OF＝AG＝y，FC＝y+2．
S△ACD＝S梯形AGFC﹣S△CDF﹣S△ADG
＝（AG+FC） FG﹣FC FD﹣DG AG
＝（y+y+2）×4﹣（y+2） x﹣（4﹣x） y
＝2y﹣x+4，
将y＝﹣x2+x﹣2代入得：S△ACD＝2y﹣x+4＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，△ACD的面积最大，最大值为4．
当x＝2时，y＝1，
∴D（2，1）．
∵S△ACD＝AC DE，AC＝2，
∴当△ACD的面积最大时，高DE最大，
则DE的最大值为：．
∴当D与直线AC的距离DE最大时，点D的坐标为（2，1），最大距离为．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、最值、图形面积计算等知识点，第（2）问有多种解法，可以从不同角度尝试与探究．
20．(1)
(2)平行四边形，理由见解析
(3)8
【分析】（1）根据抛物线的对称轴可知，即b=-5a，然后将点B（4，0）代入关系式求出a，可得出答案；
（2）先求出直线BC的关系式，再设点D的坐标，可表示点E的坐标，进而表示出DE，然后讨论极值可得结论；
（3）作轴，再设P点的坐标，可知点G的坐标，进而得出PG，最后表示出，再配方讨论极值即可．
（1）
∵抛物线的对称轴是，
∴，
∴b=-5a，
∴．
将点B（4，0）代入，
∴，
解得a=-1，
∴；
（2）
四边形OCDE是平行四边形，理由如下：
令x=0，则y=-4，
∴C（0，-4）．
令y=0，则，
解得x=4或x=-1，
∴A（-1，0），B（4，0）．
设直线BC的关系式为y=kx+b，
∴，
解得，
∴y=x-4．
设D（t，t-4），则E（t，-t2+5t-4），
∴DE=-t2+5t-4-t+4=-t2+4t=-（t-2）2+4，
∴当t=2时，DE的长度最大为4，
∴D（2，-2），E（2，2）．
∵OC=DE=4，，
∴四边形OCDE是平行四边形，
（3）
过点P作轴，交BC于点G，
设，则，
∴，
∴，
∴当m=2时，的值最大为8．
【点评】这是一道关于二次函数的综合问题，掌握二次函数的图像和性质，及平行四边形的性质和判定是解题的关键．

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