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中考专题训练——证明圆的切线
1．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD，
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC=6，tan∠CDA=，求CD的长．
2．如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．
3．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C
（1）求证：AE与⊙O相切于点A；
（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长．
4．如图，已知AC是⊙O的直径，B为⊙O上一点，D为的中点，过D作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
（Ⅰ）求证：EF为⊙O的切线；
（Ⅱ）若AB＝2，∠BDC＝2∠A，求的长．
5．如图,⊙O是△ABC 的外接圆，AB=AC，BD是⊙O的直径，PA∥BC，与DB的延长线交于点P，连接AD．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB=，BC=4，求AD的长．
6．如图，PB与⊙O相切于点B，过点B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连结PA，AO，AO的延长线交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若tan∠BAD=，且OC=4，求BD的长．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E．
（1）求证：ED为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，ED=4，EO的延长线交⊙O于F，连DF、AF，求△ADF的面积．
8．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，过点C作CE⊥DB，垂足为点E，直线AB与CE交于点F．
(1)求证：CF为⊙O的切线．
(2)当∠CAB= 多少时，从点A、C、F、D为顶点的四边形是菱形．

9．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果半径的长为3，tanD=，求AE的长．
10．如图，已知直线AB与x轴、y轴分别交于点A和点B，OA=4，且OA，OB长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两实根，以OB为直径的⊙M与AB交于C，连接CM，交x轴于点N，点D为OA的中点．
（1）求证：CD是⊙M的切线； （2）求线段ON的长．
11．已知：四边形OABC是菱形，以O为圆心作⊙O，与BC相切于点D，交OA于E，交OC于F，连接OD，DF．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）连接EF交OD于点G，若∠C=45°，求证：GF2=DG OE．
12．如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．
（1）求证：直线CA是⊙O的切线；
（2）若BD=DC，求的值．
13．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，
AD⊥CD且∠DAC＝∠BAC，
(1)求证：CD是⊙O 的切线；
(2)若AD＝6，AB＝8，求AC.
14．如图，已知⊙O的直径CD=6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形．过A点作直线EF∥BD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于G点．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求AE的长．
15．在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O分别与AB、AC相交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)分别延长CB、FD相交于点G，∠A＝60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．
16．如图，⊙O是以Rt△ABC的直角边AC 为直径的圆，与斜边AB相交于点D，过D作DH⊥AC，垂足为H，又过D点作直线交BC于E，使∠HDE = 2∠A．求证：
(1) DE是⊙O的切线；(2) OE是Rt△ABC的中位线．
17．如图，⊙O的直径AB=4，∠BAC=30°，AC交⊙O于D，D是AC的中点．
（1）过点D作DE⊥BC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求与线段DE、BE围成的阴影面积．
18．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D在CO的延长线上，连接BD，已知BC=BD，AB=4，BC=2．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求CD的长．
19．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值．
20．如图，直线经过⊙O上的点，并且，，⊙O交直线于，连接．
（1）求证：直线是⊙O的切线；
（2）求证：△BCD∽△ BEC
（3）若，⊙O的半径为3，求的长．
参考答案：
1．（1）证明见解析；（2）4.
【分析】（1）连接OD，如图，先证明∠CDA=∠ODB，再根据圆周角定理得∠ADO+∠ODB=90°，则∠ADO+∠CDA=90°，即∠CDO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由于∠CDA=∠ODB，则tan∠CDA=tan∠ABD=，根据正切的定义得到tan∠ABD=，接着证明△CAD∽△CDB，由相似的性质得，然后根据比例的性质可计算出CD的长．
【解析】（1）证明：连接OD，如图，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠BDO，
∵∠CDA=∠CBD，
∴∠CDA=∠ODB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠ADO+∠CDA=90°，
即∠CDO=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠CDA=∠ODB，
∴tan∠CDA=tan∠ABD=，
在Rt△ABD中，tan∠ABD=，
∵∠DAC=∠BDC，∠CDA=∠CBD，
∴△CAD∽△CDB，
∴，
∴CD=×6=4．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．
2．（1）证明见解析；（2）
【解析】分析：（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接OB，证明OB⊥PE即可．
（2）要求sinE，首先应找出∠E所在的直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的性质求出EP或EO的长即可解决问题
解析：（1）证明：连接OB
∵PO⊥AB，
∴AC=BC，
∴PA=PB,
在△PAO和△PBO中
,
∴△PAO和≌△PBO，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴PB是⊙O的切线．
（2）连接BD，则BD∥PO，且BD=2OC=6
在Rt△ACO中，OC=3，AC=4
∴AO=5
在Rt△ACO与Rt△PAO中，
∠APO=∠APO，
∠PAO=∠ACO=90°
∴△ACO △PAO
∴
∴PO=，PA=
∴PB=PA=
在△EPO与△EBD中，
BD∥PO
∴△EPO∽△EBD
∴，
解得EB=，PE=，
∴sinE=.
点评：本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质．能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．
3．（1）证明见解析；（2）AD=2．
【分析】（1）如图，连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D=∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE=∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD=90°，可得结论；
（2）先证明OA⊥BC，由垂径定理得：，FB=BC，根据勾股定理计算AF、OB、AD的长即可．
【解析】（1）如图，连接OA，交BC于F，
则OA=OB，
∴∠D=∠DAO，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠DAO，
∵∠BAE=∠C，
∴∠BAE=∠DAO，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
即∠DAO+∠BAO=90°，
∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，
∴AE⊥OA，
∴AE与⊙O相切于点A；
（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，
∴OA⊥BC，
∴，FB=BC，
∴AB=AC，
∵BC=2，AC=2，
∴BF=，AB=2，
在Rt△ABF中，AF==1，
在Rt△OFB中，OB2=BF2+（OB﹣AF）2，
∴OB=4，
∴BD=8，
∴在Rt△ABD中，AD=．
【点评】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．
4．（1）详见解析；（2）
【分析】（Ⅰ）连接OD，OB，只要证明OD⊥EF即可；
（Ⅱ）根据已知结合圆内接四边形的性质得出∠A=60°，即可得出△OAB 等边三角形，再利用弧长公式计算得出答案．
【解析】（1）连接OD，OB，
∵D为的中点，
∴∠BOD＝∠COD，
∵OB＝OC，
∴OD⊥BC，
∴∠OGC＝90°，
∵EF∥BC，
∴∠ODF＝∠OGC＝90°，
即OD⊥EF，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BDC＝180°，
又∵∠BDC＝2∠A，
∴∠A+2∠A＝180°，
∴∠A＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB 等边三角形，
∵OB＝AB＝2，
又∵∠BOC＝2∠A＝120°，
∴EC＝．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质等知识点的综合运用，正确得出△OAB是等边三角形是解题关键．
5．（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）连接OA交BC于点E，根据垂径定理的推论求得OA⊥BC，然后根据平行线的性质证得∠PAO=90°，即可证得结论．
（2）根据勾股定理求得AE，得出tan∠C=，根据∠D=∠C，得出tan∠D=，从而求得AD的长．
试题解析：
（1）证明：连接OA交BC于点E，如图所示：
由AB=AC可得OA⊥BC，
∵PA∥BC，
∴∠PAO=∠BEO=90°．
∵OA为⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线．
（2）解：根据（1）可得CE=BC=2．
Rt△ACE中，AE＝＝1，
∴tan∠C=
∵BD是直径，
∴∠BAD=90°，
又∵∠D=∠C，
∴tan∠D=，
∴AD=2．
【点评】运用了切线的判定、勾股定理、正切函数等；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．
6．（1）证明见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）连接OB，由SSS证明△PAO≌△PBO，得出∠PAO=∠PBO=90°即可；
（2）连接BE，证明△PAC∽△AOC，证出OC是△ABE的中位线，由三角形中位线定理得出BE=2OC，由△DBE∽△DPO可求出．
试题解析：（1）连结OB，则OA=OB．如图1，
∵OP⊥AB，
∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB．
在△PAO和△PBO中，
∵，
∴△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠PBO=∠PAO．∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，
∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；
（2）连结BE．如图2，
∵在Rt△AOC中，tan∠BAD=tan∠CAO=，且OC=4，
∴AC=6，则BC=6．在Rt△APO中，∵AC⊥OP，
∴△PAC∽△AOC，∴AC2=OC PC，解得PC=9，
∴OP=PC+OC=13．在Rt△PBC中，由勾股定理，得PB=，
∵AC=BC，OA=OE，即OC为△ABE的中位线．
∴OC=BE，OC∥BE，∴BE=2OC=8．
∵BE∥OP，∴△DBE∽△DPO，
∴，即，解得BD=．
7．（1）见解析；（2）△ADF的面积是．
【解析】试题分析：（1）连接OD，CD，求出∠BDC=90°，根据OE∥AB和OA=OC求出BE=CE，推出DE=CE，根据SSS证△ECO≌△EDO，推出∠EDO=∠ACB=90°即可；
（2）过O作OM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，求出OM=FN，求出BC、AC、AB的值，根据sin∠BAC＝，求出OM，根据cos∠BAC＝，求出AM，根据垂径定理求出AD，代入三角形的面积公式求出即可．
试题解析：
（1）证明：连接OD，CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠CDA=90°=∠BDC，
∵OE∥AB，CO=AO，
∴BE=CE，
∴DE=CE，
∵在△ECO和△EDO中
，
∴△ECO≌△EDO，
∴∠EDO=∠ACB=90°，
即OD⊥DE，OD过圆心O，
∴ED为⊙O的切线．
（2）过O作OM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，
则OM∥FN，∠OMN=90°，
∵OE∥AB，
∴四边形OMFN是矩形，
∴FN=OM，
∵DE=4，OC=3，由勾股定理得：OE=5，
∴AC=2OC=6，
∵OE∥AB，
∴△OEC∽△ABC，
∴，
∴，
∴AB=10，
在Rt△BCA中，由勾股定理得：BC==8，
sin∠BAC=，
即 ，
OM==FN，
∵cos∠BAC=，
∴AM=
由垂径定理得：AD=2AM=，
即△ADF的面积是AD×FN=××=．
答：△ADF的面积是．
【点评】考查了切线的性质和判定，勾股定理，三角形的面积，垂径定理，直角三角形的斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．
8．30°
【解析】（1）连结OC，如图，由于∠A=∠OCA，则根据三角形外角性质得∠BOC=2∠A，而∠ABD=2∠BAC，所以∠ABD=∠BOC，根据平行线的判定得到OC∥BD，再CE⊥BD得到OC⊥CE，然后根据切线的判定定理得CF为⊙O的切线；
（2）根据三角形的内角和得到∠F=30°，根据等腰三角形的性质得到AC=CF，连接AD，根据平行线的性质得到∠DAF=∠F=30°，根据全等三角形的性质得到AD=AC，由菱形的判定定理即可得到结论．
答：
(1)证明：连结OC，如图，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∴∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，
∵∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABD=∠BOC，
∴OC∥BD，
∵CE⊥BD，
∴OC⊥CE，
∴CF为⊙O的切线;
(2)当∠CAB的度数为30°时，四边形ACFD是菱形，理由如下：
∵∠A=30°，
∴∠COF=60°，
∴∠F=30°，
∴∠A=∠F，
∴AC=CF，
连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BD，
∴AD∥CF，
∴∠DAF=∠F=30°，
在△ACB与△ADB中,
，
∴△ACB≌△ADB，
∴AD=AC，
∴AD=CF，
∵AD∥CF，
∴四边形ACFD是菱形．
故答案为30°.
9．（1）证明见解析；（2）．
【解析】试题分析：（1）连接OC，如图，由弧BC=弧CF得到∠BAC=∠FAC，加上∠OCA=∠OAC．则∠OCA=∠FAC，所以OC∥AE，从而得到OC⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先在Rt△OCD中利用正切定义计算出CD=4，再利用勾股定理计算出OD=5，则sinD=，然后在Rt△ADE中利用正弦的定义可求出AE的长．
试题解析：解：（1）连接OC，如图．∵点C为弧BF的中点，∴弧BC=弧CF，∴∠BAC=∠FAC．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AE．∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（2）在Rt△OCD中，∵tanD=，OC=3，∴CD=4，∴OD==5，∴AD=OD+AO=8．在Rt△ADE中，∵sinD=，∴AE=．
点评：本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
10．（1）证明见解析；（2） NO=．
【分析】（1）由OA、OB长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两实根，OA=4，则OA×OB=12，根据根与系数的关系可得OB=3，即可得⊙M的半径为1.5；因BM=CM=1.5，根据等腰三角形的性质可得∠OBA=∠BCM；连结OC，OB是⊙M的直径，则∠ACO=90°，D为OA的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得OD=AD=CD=2， 根据等腰三角形的性质可得∠OAC=∠ACD，又因∠OAC+∠OBA=90°，即可得∠BCM+∠ACD=90°，由此即可判定CD是⊙M的切线．
（2）先判断△NOM∽△NCD，根据相似三角形的性质求解即可.
试题解析：
【解析】解：（1）OA、OB长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两实根，OA=4，则OA×OB=12，
得OB=3，⊙M的半径为1.5；
∵BM=CM=1.5，
∴∠OBA=∠BCM．
连结OC，OB是⊙M的直径，则∠ACO=90°，D为OA的中点，
∴OD=AD=CD=2，
∴∠OAC=∠ACD，
又∵∠OAC+∠OBA=90°，
∴∠BCM+∠ACD=90°，
∴∠NCD=90°，
∴CD是⊙M的切线．
（2）∵∠CND=∠CND，∠NOM=∠NCD=90°，
∴△NOM∽△NCD，
∴，即，
∴NO=．
【点评】本题考查的知识点有圆的切线的判定方法、直径所对的圆周角为90度、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形相似的判定和性质．证明圆的切线的方法有：当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径．
11．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）过O作OH⊥AB，由菱形的性质可求得OH=OD，由切线的性质可知OD为圆O的半径，可得OH为圆O的半径，可证得结论；
（2）由条件可证明△DGF∽△DFO，再利用相似三角形的性质可证得结论．
【解析】1）如图，过O作OH⊥AB，
∵四边形OABC为菱形，
∴AB=BC，
∵BC为⊙O的切线，
∴OD⊥BC，且OD为⊙O的半径，
∴AB OH=BC OD，
∴OH=OD，
∴AB为⊙O的切线；
（2）由（1）可知OD⊥CB，
∴AO⊥DO，
∴∠AOD=90°，
∴∠DFO=∠AOD=45°，
∵∠C=45°，且∠ODC=90°，
∴∠DOF=45°，
在△OGF中，∠DGF为△OGF的外角，
∴∠DGF=∠DOF+∠GFO=45°+∠GFO，
∵∠DFO=∠DFG+∠GFO=45°+∠GFO，
∴∠DGF=∠DFO，且∠GDF=∠FDO，
∴△DGF∽△DFO，
∴，即DF GF=DG OF，
∵OF=OD=OE，
∴DF=GF，
∴GF2=DG OE．
【点评】本题主要考查切线的判定和性质及相似三角形的判定，掌握切线的判定方法和相似三角形的判定方法是解题的关键，注意等积法的应用．
12．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）若要证明直线CA是⊙O的切线，则只要证明∠ACB=90°即可；
（2）易证△ADF∽△ACE，由相似三角形的性质以及结合已知条件即可求出的值．
【解析】解：（1）证明：∵BC为直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∴∠1+∠3=90°
∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵CE=CF
∴∠4=∠5，
∵∠3=∠4，
∴∠3=∠5，
∴∠2+∠5=90°，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∴直线CA是⊙O的切线；
（2）由（1）可知，∠1=∠2，∠3=∠5，
∴△ADF∽△ACE，
∴，
∵BD=DC，
∴tan∠ABC= =
∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACD+∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACD，
∴tan∠ACD=，
∴sin∠ACD=，
∴=．
【点评】本题考查了切线的判断和性质、相似三角形的判断和性质、圆周角定理以及三角函数的性质，熟记切线的判断和性质是解题的关键．
13．（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：(1) 连接，证明,可得，就可以证明是的切线.
(2)根据两角对应相等，两三角形相似证明然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式，代入数据进行计算即可求解．
试题解析：
证明：连接，
,
为半径
是的切线．
连接，为的直径，
在与中,
即
点评：证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路：1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径：2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直.1不常用,一般常用2.
14．（1）证明见解析；（2）3.
【解析】解：（1）证明：∵CD为直径，
∴∠DBC=90°，
∴BD⊥BC，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO∥BC，
∴BD⊥OA，
∵EF∥BD，
∴OA⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接OB，如图，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC，
而OB=OC=OA，
∴OB=OC=BC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠C=60°，
∴∠AOE=∠C=60°，
在Rt△OAE中，∵tan∠AOE=，
∴AE=3tan60°=3．
15．（1）证明见解析（2）18-6π
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质证出∠A=∠ODB，得出OD∥AC，证出DF⊥OD，即可得出结论；
（2）证明△OBD是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠BOD=60°，求出∠G=30°，由直角三角形的性质得出OG=2OD=2×6=12，由勾股定理得出DG的长，阴影部分的面积=△ODG的面积﹣扇形OBD的面积，即可得出答案．
【解析】解：（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AC=BC，OB=OD，
∴∠ABC=∠A，∠ABC=∠ODB，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）∵AC=BC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴ABC=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∵DF⊥OD，
∴∠ODG=90°，
∴∠G=30°，
∴OG=2OD=2×6=12，
∴DG=OD=，
∴阴影部分的面积=△ODG的面积﹣扇形OBD的面积=．
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】试题分析：(1)连接OD，通过三角形的外角证出∠HDE =∠HOD，再根据垂直定义利用等量代换证出∠HDE +∠ODH = 90，即可通过垂直证明结论.
(2)通过全等证出OE∥AB，再根据O是AC中点，即可得到结论.
证明：(1) 连结OD，则OD是⊙O的半径．
∵　∠HDE = 2∠A，∠DOH = 2∠A，∴　∠HDE =∠HOD．
∵　DH⊥AC，∴　∠DOH +∠ODH = 90，
∴　∠HDE +∠ODH = 90， 即OD⊥DE． ∴DE是⊙O的切线．
(2) ∵　DE是⊙O的切线，
∴　∠ODE = 90，又OC = OD，OE = OE，
∴　△ODE≌△OCE， ∴　∠COE =∠DOE．
又 ∵　∠COD = 2∠A， ∴　∠COE =∠A，
∴　OE∥AB，又AO = OC，
∴　OE是Rt△ABC的中位线．
17．证明见解析；（2）．
【解析】分析: （1）连接OD，易证DO是△ABC的中位线，从而可知OD∥BC，所以∠EDO=∠CED，由于DE⊥BC，从而可知DE是⊙O的切线；（2）连接BD，分别求出四边形OBED与扇形OBD的面积，然后即可求出阴影部分面积．
本题解析:
（1）证明：连接OD．
∵D是AC的中点，O是AB的中点，
∴DO是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，则∠EDO=∠CED
又∵DE⊥BC，
∴∠CED=90°，
∴∠EDO=∠CED=90°
∴OD⊥DE
∴DE是⊙O的切线，
（2）连接BD
∵AB是直径
∴∠ADB=90°
∵∠BAC=30°，AB=4
∴BD=2∠ABD=60°
∵OB=OD
∴△OBD是等边三角形
∴∠ODB=∠BOD=60°，OB=OD=BD=2
∵∠EDO=90°
∴∠BDE=30°
∴在Rt△BDE中 BE=1，DE=
∴S阴=S四边形ODEB﹣S扇形OBD= =
答：阴影面积为.
18．见解析
【解析】试题分析：（1）由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，进而得到三角形ABC为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出sinA的值，利用特殊角的三角函数值求出∠A的度数为60度，再由OA=OC，得到三角形AOC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两个角为60度，进而求出∠BCD为30度，利用三角形内角和定理求出∠OBD为直角，即OB垂直于BD，即可得 证；
（2）由AB为直径，求出半径为2，由BC=BD，利用等边对等角得到一对角相等，再由OC=OB得到一对角相等，等量代换得到∠D=∠OBC，再由一对公共角相等，得到三角形OCB与三角形BCD相似由相似得比例，即可求出CD的长．
试题解析：（1）∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∵sinA=，∴∠A=60°，∵AO=CO，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC=∠ACO=60°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACO=90°﹣60°=30°，∵∠BOD=∠AOC=60°，∴∠OBD=180°﹣（∠BOD+∠D）=90°，∴OB ⊥BD，则BD为圆O的切线；
（2）∵AB为圆O的直径，且AB=4，∴OB=OC=2，∵BC=BD，∴∠BCD=∠D，∵OC=OB，∴∠BCD=∠OBC，∴∠D=∠OBC，在△BCD和△OCB中，∠D=∠OBC，∠BCD=∠OCB，∴△BCD∽△OCB，∴，即，则CD=6．
19．（1）证明见解析；（2）8.
【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是 O的切线；
（2）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN MC；代入数据可得MN MC=BM2=8．
【解析】(1)证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB.
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°.
∴∠PCB+∠OCB=90°，OC⊥CP.
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
(2)连接MA，MB，
∵点M是的中点，
∴ =
∴∠ACM=∠BCM
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠BCM=∠ABM
∵∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB
∴
∴BM2=MN MC
又∵AB是O的直径， =，
∴∠AMB=90°，AM=BM
∵AB=4，
∴BM=
∴MN MC=BM2=8
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】试题分析：（1）连接OC，根据等腰三角形性质可得OC与AB垂直，即可证明；
（2）由已知易得∠BCD=∠E，又∠B是公共角，即可证明；
（3）由△BCD∽△ BEC，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可．
试题分析：（1）如图，连接．
，，． 是⊙O的切线．
（2）是直径，．．
又，，
．又，．
（3），．
，．
设，则．
又， ．
解之，得，．，．
∴BC=AC=4 又∵OC=3 ∴OA=5.

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