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6.4平面向量的应用 学案
知识图谱
平面向量的应用
知识精讲
一. 向量在几何中的应用
1. 平面向量的运算在几何中的运用
（1）证明线线平行和点共线问题
此类问题常用向量共线基本定理：若,其中,则
.
（2）证明垂直问题
此类问题常用向量数量积的运算性质：
,其中非零向量.
（3）求夹角问题
此类问题可利用夹角公式：
,其中非零向量.
（4）求线段的长度
此类问题可以用向量的模的计算公式：
若,则
2．中点坐标公式和三角形重心坐标公式：
（1）中点坐标公式：
若，且为的中点：则 ；
（2）三角形重心坐标公式：
若的三个顶点坐标为：，为的重心，
则；
注意：重心分的中线为的性质.
拓展：定比分点的坐标公式
设,因为，所以：
注意：根据这个公式可以在三个量中，知道两个求第三个；
3．平移和平移公式：
点的平移公式：设是旧点，它按平移后的新点是，则它们的坐标有如下关系： ；
注：应用这个公式可以对新旧点和平移向量三个量中，解决知二求一的问题.
二. 在物理中的应用
1. 向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用.
2. 向量在速度的分解与合成中的应用.
解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；
二是转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题得到解决。
三点剖析
一. 注意事项
1. 力使物体位移所做的功可用下式计算：从物理的角度来看数量积的意义，切记两个向量的积是一个数.注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围
二. 必备公式
1. 中点坐标公式：
若，且为的中点：则 ；
2. 三角形重心坐标公式：
若的三个顶点坐标为：，为的重心，
则
3. 平移和平移公式：
点的平移公式：设是旧点，它按平移后的新点是，则它们的坐标有如下关系：
几何中的应用
例题1、 已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且，则∠AOB的大小是________
例题2、 设O是△ABC的外接圆圆心，且，则∠AOC=（　　）
A. B. C. D.
例题3、 如图，在三角形ABC中=3，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为（　　）
A. B. C. D.
例题4、 在△ABC中，已知=8，sinB=cosA sinC，S△ABC=3，D为线段AB上的一点，且，则mn的最大值为（　　）
A.1 B. C.2 D.3
随练1、 三个共面向量、、两两所成的角相等，且||=1，||=2，||=3，则|++|=（　　）
A. B.6 C.或6 D.3或6
随练2、 在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，E为线段CD上一动点，则的取值范围是　　．
随练3、 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2=16，|+|=|-|，则||=（　　）
A.8 B.4 C.2 D.1
随练4、 平面直角坐标系xOy中，已知向量，且．
（1）求x与y之间的关系式；
（2）若，求四边形ABCD的面积．
物理中的应用
例题1、 力=(2，1)，=（3，3）（单位：牛顿） 作用于物体M，使其从点A（1，0）移至点B（3，4）（单位：米），则合力所作的功为____（焦耳）．
例题2、 一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°处，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°，此船的航速是（　　）
A.8（+） B.8（-）
C.16（+） D.16（-）
随练1、 河水的流速为，一艘小船想以垂直于河岸方向的速度驶向对岸，
则小船在静水中的速度大小为（ ）
A. B. C. D.
随练2、 如图所示，正六边形的边长为，求.
拓展
1、 在△ABC中，AB=3，AC=2，，则=　　　　　　．
2、 如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=30°，AD是边BC上的高，则 的值等于（　　）
A.0 B.4 C.8 D.-4
3、 已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为（0，1），（，0），（0，﹣2），O为坐标原点，动点P满足||=1，则||的最小值是（　　）
A.﹣1 B.﹣1 C.+1 D.+1
4、 一物体受到相互垂直的两个力的作用，两力大小都为，
则两个力的合力的大小为（ ）
A. B. 　 　 C. D.
5、 已知一物体在共点力的作用下产生位移
，则共点力对物体做的功为（ ）
A. B. C. D.

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