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【专题14】 二倍角公式
知识网络
【知识点讲解】
两角和差公式 二倍角公式 半角公式
；
；
；
；
；
；
二倍角万能公式：
①
②； ③
【即时训练】
求下列各三角函数的值：
①，求； ②，，求；
③； ④； ⑤； ⑥；
⑦，求； ⑧，并且，求.
重要知识点讲解
知识点1：二倍角的正弦公式
【例题精讲】
例题1 已知，为第二象限角，那么__________；
变式1 已知，则_________；
变式2 设，，则____________；
例题2 已知，则____________；
变式3 已知，，则（ ）
A． B． C． D．
知识点2：二倍角的余弦公式
【例题精讲】
例题1 已知为锐角，且满足，则等于______；
变式1 ____________；
变式2 的最大值为____________；
例题2 已知函数；（1）求的值；（2）若，，求的值；
变式3 已知，则（ ）
A． B．2 C． D．
例题3 已知，则的最小正周期和一个单调减区间分别为（ ）
A． B． C． D．
变式3 已知函数满足：，，且在上单调.
（1）求的解析式；（2）若，，求.
知识点3：二倍角的正切公式
【例题精讲】
例题1 化简的结果为__________；
例题2 若，，且为第二象限角，则_________；
例题3 已知，，且、为锐角，求的值；
知识点4：二倍角公式的变换灵活应用
【二倍角公式的变换方式】
①配方变换：
②因式分解变换：
③降幂扩角变换：
（符号看象限）
④升幂缩角变换：
⑤变式变换：
题型一：直接应用二倍角公式
例题1 设，则
变式1 若，则
变式1 化简( )
A． B． C． D．
题型二：配方变换与因式分解变换
例题2 已知
变式2 已知
题型三：降幂和升幂变换
例题3 化简
变式3：化简
半角公式：
公式
①
②（符号看象限）
③
例题1
变式1 若且，则
例题2 则
变式2 已知则
【题型优化测训】
【题型1】： 变形公式。
『秒杀策略』:（升降幂公式）；。
1.(高考题)= 。
2.(2013年新课标全国卷II)已知，则 ( )
A. B. C. D.
3.(2019年新课标全国卷II10)已知，，则= ( )
A. B. C. D.
4.(高考题)已知函数，则是 ( )
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数
5.(高考题)已知函数。
（1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值。
6.(高考题)函数的最小正周期是 ，单调递减区间是 。
7.(2020年新高考江苏卷)已知=，则的值是 。
8(高考题)已知函数。
（1）求的最小正周期； （2）若在区间上的最大值为，求的最小值。
【题型2】： 万能公式。
『秒杀策略』:均可用表示：；； 。
1.(2010年新课标全国卷9)若，是第三象限的角，则 ( )
A. B. C.2 D.-2
2.(2011年新课标全国卷5)已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则= ( )
A. B. C. D.
3.(2016年新课标全国卷III)若，则= ( )
A. B. C. D.
4.(2018年新课标全国卷III)函数的最小正周期为 ( )
A. B. C. D.
5.(2018年新课标全国卷I)已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则 ( )
A. B. C. D.
6.(2020年新高考浙江卷13)已知，则_______， 。
【题型3】： 半角公式。
『秒杀策略』：。
1.(2014年新课标全国卷I8)设,，且，则 ( )
A. B. C. D.【专题14】 二倍角公式
知识网络
【知识点讲解】
两角和差公式 二倍角公式 半角公式
；
；
；
；
；
；
二倍角万能公式：
①
②
③
【即时训练】
求下列各三角函数的值：
①，求； ②，，求；
③； ④； ⑤； ⑥；⑦，求；
⑧，并且，求．
【答案】①； ②； ③；④； ⑤；⑥；
⑦； ⑧．
重要知识点讲解
知识点1：二倍角的正弦公式
【例题精讲】
例题1 已知，为第二象限角，那么__________；
【答案】；
变式1 已知，则_________；
【答案】；
变式2 设，，则____________；
【答案】；
例题2 已知，则____________；
【答案】；
变式3 已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用以及解出，的值，再利用二倍角公式化简即可求解.
【详解】
因为，所以，
代入得，
因为，所以，所以，
所以，
，
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是熟记同角三角函数基本关系，以及三角函数值在每个象限内的符号，熟记正余弦的二倍角公式，计算仔细.
知识点2：二倍角的余弦公式
【例题精讲】
例题1 已知为锐角，且满足，则等于______；
【答案】；
变式1 ____________；
【答案】；
变式2 的最大值为____________；
【答案】；
例题2 已知函数；（1）求的值；（2）若，，求的值；
【答案】（1）；（2）；
变式3 已知，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】
先利用二倍角的余弦公式转化为，再利用商数关系求解.
【详解】
已知，
所以，
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查同角三角函数基本关系式和二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
例题3 已知，则的最小正周期和一个单调减区间分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将f（x）进行化简，结合正弦函数图像的性质求解即可.
【详解】
，
的最小正周期，
由，
解得，
得单调减区间为，
当时，得的一个单调减区间，
故选：B．
【点睛】
思路点睛：该题考查正余弦二倍角公式和辅助角公式的应用，解题思路如下：
（1）首先利用正、余弦倍角公式和辅助角公式化简函数解析式；
（2）利用正弦函数的性质，求得其最小正周期和单调区间.
变式3 已知函数满足：，，且在上单调.
（1）求的解析式；（2）若，，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)根据题意知对称轴以及相邻的平衡位置得出周期即可得，再由对称轴得出，可得解析式.
(2)由题意知，利用二倍角得出，根据角的范围得出，再利用，即可求得.
【详解】
（1）由知是对称轴，
又，且在上单调，
，即，
，
由是对称轴得，，又，
故，
；
（2），
，
，
，
.
【点睛】
本题主要考查三角函数解析式的应用，余弦的二倍角公式的应用，同角三角函数基本关系是的应用，两角差的正弦公式的应用，根据三角函数的对称性和单调性是解决本题的关键，是中档题.
知识点3：二倍角的正切公式
【例题精讲】
例题1 化简的结果为__________；
【答案】；
例题2 若，，且为第二象限角，则_________；
【答案】；
例题3 已知，，且、为锐角，求的值；
【答案】；
知识点4：二倍角公式的变换灵活应用
【二倍角公式的变换方式】
①配方变换：
②因式分解变换：
③降幂扩角变换：
（符号看象限）
④升幂缩角变换：
⑤变式变换：
题型一：直接应用二倍角公式
例题1 设，则
【解析】
又，，所以，，
.
变式1 若，则
【解析】由，
得
则.
变式1 化简( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由原式利用二倍角公式，和同角三角函数基本关系进行化简，即可得到结果.
【详解】
，
所以
.
故选：A
【点睛】
本题主要考查三角函数的化简求值，涉及到同角三角函数基本关系和三角恒等变换，属于中档题.
题型二：配方变换与因式分解变换
例题2 已知
【解析】两边平方得：
将用代替得：
两边同除得：，
解方程得;,
代入二倍角公式得：.
变式2 已知
【解析】两边平方得：
化简得：
，
.
题型三：降幂和升幂变换
例题3 化简
【解析】原式=，
化简得：
由和差公式得：
变式3：化简
【解析】利用降幂公式化简得：
，
.
半角公式：
公式
①
②（符号看象限）
③
例题1
【答案】A
变式1 若且，则
【答案】A
例题2 则
【答案】2
变式2 已知则
【答案】
【题型优化测训】
【题型1】： 变形公式。
『秒杀策略』:（升降幂公式）；。
1.(高考题)= 。
【解析】：。
2.(2013年新课标全国卷II)已知，则 ( )
A. B. C. D.
【解析】：，选A。
3.(2019年新课标全国卷II10)已知，，则= ( )
A. B. C. D.
【解析】：，，由知一求二得，选B。
4.(高考题)已知函数，则是 ( )
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数
【解析】：，选D。
5.(高考题)已知函数。
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值。
【解析】：（1），；(2)。
6.(高考题)函数的最小正周期是 ，单调递减区间是 。
【解析】：，,。
7.(2020年新高考江苏卷)已知=，则的值是 。
【解析】：原式=，得。
8(高考题)已知函数。
（1）求的最小正周期；
（2）若在区间上的最大值为，求的最小值。
【解析】：（1），所以的最小正周期为。
（2）由（1）知，因为，所以。要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1，所以，即，所以的最小值为。
【题型2】： 万能公式。
『秒杀策略』:均可用表示：；； 。
1.(2010年新课标全国卷9)若，是第三象限的角，则 ( )
A. B. C.2 D.-2
【解析】：法一：万能公式：是第三象限的角，是第二或第四象限角，=
=，，代入选A。
法二：切化弦：。同乘以分子或分母可得：，，代入。
2.(2011年新课标全国卷5)已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则= ( )
A. B. C. D.
【解析】：由题意可知，再由万能公式得=，选B。
3.(2016年新课标全国卷III)若，则= ( )
A. B. C. D.
【解析】：由万能公式得=，选D。
4.(2018年新课标全国卷III)函数的最小正周期为 ( )
A. B. C. D.
【解析】：由万能公式得，最小正周期为。
5.(2018年新课标全国卷I)已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则 ( )
A. B. C. D.
【解析】：，得=，得。
6.(2020年新高考浙江卷13)已知，则_______， 。
【解析】：，。
【题型3】： 半角公式。
『秒杀策略』：。
1.(2014年新课标全国卷I8)设,，且，则 ( )
A. B. C. D.
【解析】法一：由半角公式得：，，即，选B。
法二：切化弦：，即。
秒杀方法：取特殊角：，代入得。

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