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【专题7】 函数的奇偶性题型探究
重要知识点讲解
知识点1：函数的奇偶性
【知识点讲解】
（一）奇函数、偶函数定义
1.奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数。
奇函数的图像关于原点对称
2.偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
偶函数的图像关于y轴对称
（二）注意事项
1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件
2.如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
3.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
四．判断函数奇偶性的3种常用方法
1.定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
2.图象法：
3.性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
知识点2：函数奇偶性的性质
【知识点讲解】
根据函数奇偶性解题时可以根据以下方法：
1．定义域关于原点对称；
2．若奇函数在原点有定义，则；
3．根据奇函数有，偶函数求解；
4．根据“如果一个函数是奇函数，那么它是由若干个简单的奇函数加减构成；如果一个函数是偶函数，那么它由若干个简单的偶函数加减构成”； 例如：
【例1】（1）（2020·陕西渭滨.高二期末（文））已知是上的奇函数，且当时，，则当时， 。
（2）（2020·全国课时练习）函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________.
（3）（2020·全国课时练习）若函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，则实数a的值为 。
【例2】（2022·北京海淀·二模）若是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
利用奇偶性求解参数问题
奇偶函数有许多优美而独特的性质，如：奇、偶函数的定义域关于原点对称；一般地，为多项式时，若为奇函数，则的偶次项系数为0，若为偶函数，则的奇次项系数为0；若奇函数在处有定义，则，同学们在解决此类问题时，若能抓住这些性质，往往能够巧妙解题.
【举一反三】
1．（2020·全国课时练习）已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.则f(x)在R上的表达式为________．
2．（2021·江苏沭阳.高三期中）已知函数为偶函数，则的值为__________.
3．已知是定义在上的偶函数，则a+b等于______．
4.（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为( )
A．1 B．8 C． D．
题型：已知奇函数+M
例1．（2021·河北石家庄市·石家庄一中）已知，则___________.
【方法技巧与总结】
已知奇函数+M，，则
（1） （2）
【举一反三】
1.（2017全国2卷）已知函数时奇函数，且函数的最大值和最小值分别为，则
考向七 函数的单调性与奇偶性的应用
【知识点讲解】
已知定义在上的函数，且在上单调递增；若，
【例1】（1）（2021·河南高三月考）设奇函数在定义域上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2021·云南师大附中高三月考）已知、是定义在上的偶函数和奇函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【举一反三】
1、 已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且，则的解析式为（ 　）
A. 　　　 B． 　　　 C． 　　　　　 D．
2、定义在上的偶函数，当时，单调递减，若成立，求的取值范围；
已知定义在上的奇函数是增函数，求使成立的实数的取值范围．
利用奇偶性求解解集问题（函数奇偶性与单调性结合问题）
例题1 （东华18-19学年期中测试）已知函数为偶函数，当时，，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【方法总结】
奇、偶函数图象对称性的两大应用
应用一：巧作函数图象．
(1)奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于y轴对称．
(2)根据以上奇、偶函数图象对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图象，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图象问题．
应用二：求函数最值、单调性问题．
函数的奇偶性反映到图象上是图象的对称性，可以利用图象解决关于原点对称的区间上的函数值的有关问题，也可以解决关于原点对称的区间上的函数的单调性问题，同时可以简化解题过程．
变式1 (山东省实验中学18-19学年期末测试)已知函数为偶函数，且在区间上单调递增，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式3 (2019·开封高一检测)设为偶函数，且在区间内是增函数，，则的解集为(　　)
A． B．
C． D．
知识点3：抽象函数奇偶性判断
【例题精讲】
例题1 (1)函数，若对任意实数都有；求证：为奇函数；
(2)函数，若对任意实数都有，且；
求证：为偶函数；
变式1(东莞市18-19学年高一期末测试) 若定义在上的函数满足：对任意，有（为非零常数），则下列说法一定正确的是（ ）
A.为偶函数 B.为奇函数 C.为偶函数 D.为奇函数
例题2 已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立；
证明函数是上的减函数； （2）讨论函数的奇偶性；
（3）若，求的取值范围；
变式2（2019年山东曲阜一中高一月考） 已知函数的定义域为，若对于任意的，都有，且时，；
（1）判断函数的奇偶性并证明； （2）用定义判断函数的单调性；
知识点4：函数的对称性
1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称
2、轴对称的等价描述：
【解题指导】 若，则说明关于对称；
拓展结论1：
在定义域内恒满足条件 的图像的对称轴
3、中心对称的等价描述：
【解题指导】 若，则说明关于对称；
拓展结论2：
在定义域内恒满足条件 的图像的对称中心
【例题精讲】
【例1】（2021·广东揭阳市·高三一模）已知函数定义域为，满足，且对任意均有成立，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三】
1．（2021·长宁区·上海市延安中学）奇函数的图像关于直线对称，，则_________.
2.（2021·浙江）已知函数，且，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点4：函数的周期性
【知识点讲解】
1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期
2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等
3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期
4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数
5、函数周期性的判定：
（1）：可得为周期函数，其周期
（2）的周期
分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：
所以有：，即周期
注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期
（3）的周期
分析：
（4）（为常数）的周期
分析：，两式相减可得：
（5）（为常数）的周期
【例题精讲】
【例1】（2021·曲靖市第二中学）已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】若函数对于任意实数满足条件，若，则__________；
变式1 设是上的奇函数，，当时，，则=____；
变式2 已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______.
函数性质的综合运用
【知识点讲解】
双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）
① 若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期
分析：关于轴对称
关于轴对称
的周期为
② 若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期
③ 若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期
7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.
（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值
（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”
（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）
（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴 （或对称中心），则 存在无数条对称轴，其通式为
证明：关于轴对称
函数的周期为
关于轴对称
注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法.
【例题精讲】
【例3】（2021·上海松江区）已知函数是定义域为R的奇函数，满足，若，则__________．
【举一反三】
1．（2021·广东高考模拟）已知是定义在上的奇函数，满足，且，则（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2021·安徽亳州二中）定义在上的函数满足，且，则=__________。
3.（2021·四川高考模拟）已知定义域的奇函数的图像关于直线对称,且当时,,则（ ）
A． B． C． D．
4.（2019·永安市第一中学高考模拟）已知是定义在上的奇函数，满足,若，则（ ）
A．1 B．0 C．1 D．2019
【题型优化测训】
1.（多选）（2021·邵阳市第十一中学）已知函数满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020秋 番禺区校级期末）已知且，则（1）　　
A． B． C． D．19
3．（2020 海南）若定义在的奇函数在单调递减，且（2），则满足的的取值范围是　　
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．（2021·浙江金华市）设是定义在上的函数，对任意实数有，又当时，，则______．
5．（2021·安徽芜湖市）已知是定义在上的奇函数，且当时，则的值为
6．（2021·广西）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且，则
7．（2021·广东广州市第二中学）已知函数为R上的奇函数，则n的值为___________.
8．（2021·四川资阳市）定义在R上的偶函数满足,，则（ ）
A． B． C．2 D．4【专题7】 函数的奇偶性题型探究
重要知识点讲解
知识点1：函数的奇偶性
【知识点讲解】
（一）奇函数、偶函数定义
1.奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数。
奇函数的图像关于原点对称
2.偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
偶函数的图像关于y轴对称
（二）注意事项
1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件
2.如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
3.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
四．判断函数奇偶性的3种常用方法
1.定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
2.图象法：
3.性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
知识点2：函数奇偶性的性质
【知识点讲解】
根据函数奇偶性解题时可以根据以下方法：
1．定义域关于原点对称；
2．若奇函数在原点有定义，则；
3．根据奇函数有，偶函数求解；
4．根据“如果一个函数是奇函数，那么它是由若干个简单的奇函数加减构成；如果一个函数是偶函数，那么它由若干个简单的偶函数加减构成”； 例如：
【例1】（1）（2020·陕西渭滨.高二期末（文））已知是上的奇函数，且当时，，则当时， 。
（2）（2020·全国课时练习）函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________.
（3）（2020·全国课时练习）若函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，则实数a的值为 。
【答案】（1）（2）a＝1或a（3）0
【解析】（1）由题意，设，则，则，
因为函数为上的奇函数，则，得，
即当时，.
（2）：∵函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），
即f（﹣x）＝ax2﹣（2a2﹣a﹣1）x+1＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1，
即﹣（2a2﹣a﹣1）＝2a2﹣a﹣1，∴2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝1或a，
（3）由题意，函数是定义域R上的奇函数，
根据奇函数的性质，可得，代入可得，解得.
【例2】（2022·北京海淀·二模）若是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】由为奇函数可得，代入相应解析式解方程即可.【详解】
易知定义域为，由为奇函数可得，即，解得.故选：C.
利用奇偶性求解参数问题
奇偶函数有许多优美而独特的性质，如：奇、偶函数的定义域关于原点对称；一般地，为多项式时，若为奇函数，则的偶次项系数为0，若为偶函数，则的奇次项系数为0；若奇函数在处有定义，则，同学们在解决此类问题时，若能抓住这些性质，往往能够巧妙解题.
【举一反三】
1．（2020·全国课时练习）已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.则f(x)在R上的表达式为________．
【答案】
【解析】因为是奇函数，且定义域为，故当时，；
则当时，.故答案为：.
2．（2021·江苏沭阳.高三期中）已知函数为偶函数，则的值为__________.
【答案】
【解析】因为函数为偶函数,
故,故恒成立.故.故,则.故答案为：
3．已知是定义在上的偶函数，则a+b等于______．
【答案】0
【解析】根据题意，已知f（x）=（a-1）x3+bx2是定义在[b，2+b]上的偶函数，
有b+2+b=0，解可得b=-1， 则f（x）=（a-1）x3-x2，
若f（x）为[-1，1]上的偶函数，则有f（-x）=f（x），
即（a-1）（-x）3-（-x）2=（a-1）x3-x2， 分析可得：a=1， 则a+b=0； 故答案为：0．
4.（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为( )
A．1 B．8 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知f(0)＝0可求m的值，根据x≤0时的解析式，结合f(x)是奇函数可求x＞0时f(x)的解析式，判断f(x)在[1，2]上单调性即可求其最大值.
【详解】
∵是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，
又∵，，∴，∴时，，
设，则，则，则，
即当x＞0时，，∴f(x)在上单调递减，∴f(x)在上的最大值为.故选：C.
题型：已知奇函数+M
例1．（2021·河北石家庄市·石家庄一中）已知，则___________.
【答案】由，
得，
则，则；故答案为：.
【方法技巧与总结】
已知奇函数+M，，则
（1） （2）
【举一反三】
1.（2017全国2卷）已知函数时奇函数，且函数的最大值和最小值分别为，则
.【知识点】函数奇偶性的性质
【参考答案】
考向七 函数的单调性与奇偶性的应用
【知识点讲解】
已知定义在上的函数，且在上单调递增；若，
【例1】（1）（2021·河南高三月考）设奇函数在定义域上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2021·云南师大附中高三月考）已知、是定义在上的偶函数和奇函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）D（3）-18
【解析】因为是奇函数，因此原不等式变形为，
又在上单调递减，所以，解得，所
以原不等式的解集为.故选：C.
（2），所以，，①，，②，
因为、是定义在上的偶函数和奇函数，由②可得，
则有，解得.故选：D.
【举一反三】
1、 已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且，则的解析式为（ 　）
A. 　　　 B． 　　　 C． 　　　　　 D．
【答案】C
2、定义在上的偶函数，当时，单调递减，若成立，求的取值范围；
【解析】
【答案】
3、 已知定义在上的奇函数是增函数，求使成立的实数的取值范围．
【答案】；
利用奇偶性求解解集问题（函数奇偶性与单调性结合问题）
例题1 （东华18-19学年期中测试）已知函数为偶函数，当时，，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【知识点】函数奇偶性的性质
【难度】中
【参考答案】A
【方法总结】
奇、偶函数图象对称性的两大应用
应用一：巧作函数图象．
(1)奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于y轴对称．
(2)根据以上奇、偶函数图象对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图象，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图象问题．
应用二：求函数最值、单调性问题．
函数的奇偶性反映到图象上是图象的对称性，可以利用图象解决关于原点对称的区间上的函数值的有关问题，也可以解决关于原点对称的区间上的函数的单调性问题，同时可以简化解题过程．
变式1 (山东省实验中学18-19学年期末测试)已知函数为偶函数，且在区间上单调递增，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【知识点】函数奇偶性的性质
【难度】中
【参考答案】B
变式3 (2019·开封高一检测)设为偶函数，且在区间内是增函数，，则的解集为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C　根据题意，偶函数在上为增函数，且，
则函数在上为减函数，且，作出函数的草图如图所示，
又由，可得或
由图可得或，
即不等式的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)．故选C.
知识点3：抽象函数奇偶性判断
【例题精讲】
例题1 (1)函数，若对任意实数都有；求证：为奇函数；
(2)函数，若对任意实数都有，且；
求证：为偶函数；
【答案】（1）因为，令，则，即
令，则，即
所以，所以为奇函数；
（2）因为，令，则
解得（舍去）或
令，则，即
因为，所以，即
所以为偶函数；
变式1(东莞市18-19学年高一期末测试) 若定义在上的函数满足：对任意，有（为非零常数），则下列说法一定正确的是（ ）
A.为偶函数 B.为奇函数
C.为偶函数 D.为奇函数
【知识点】函数奇偶性的判断 【难度】难
【参考答案】D
例题2 已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立；
（1）证明函数是上的减函数；
（2）讨论函数的奇偶性；
（3）若，求的取值范围；
【答案】（1）任取，且
因为，所以
所以
因为，所以
因为当时，恒成立，所以
所以即
所以函数是上的减函数；
（2）令，则，解得
令，则
因为，所以 ，所以
所以是奇函数；
(3) ；
变式2（2019年山东曲阜一中高一月考） 已知函数的定义域为，若对于任意的，都有，且时，；
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）用定义判断函数的单调性；
（3）设.若对所有，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）为奇函数，证明略；
（2）在上为单调递增函数；
（3）的取值范围为；
知识点4：函数的对称性
1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称
2、轴对称的等价描述：
【解题指导】 若，则说明关于对称；
拓展结论1：
在定义域内恒满足条件 的图像的对称轴
3、中心对称的等价描述：
【解题指导】 若，则说明关于对称；
拓展结论2：
在定义域内恒满足条件 的图像的对称中心
【例题精讲】
【例1】（2021·广东揭阳市·高三一模）已知函数定义域为，满足，且对任意均有成立，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数满足，所以函数关于直线对称，
因为对任意均有成立，所以函数在上单调递减.
由对称性可知在上单调递增.
因为，即，
所以，即，解得.故选：D.
【举一反三】
1．（2021·长宁区·上海市延安中学）奇函数的图像关于直线对称，，则_________.
【答案】
【解析】因为函数是奇函数，所以，
因为函数关于直线对称，，则，
，所以.
故答案为：
2.（2021·浙江）已知函数，且，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由得图象的对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，故选：C.
知识点4：函数的周期性
【知识点讲解】
1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期
2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等
3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期
4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数
5、函数周期性的判定：
（1）：可得为周期函数，其周期
（2）的周期
分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：
所以有：，即周期
注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期
（3）的周期
分析：
（4）（为常数）的周期
分析：，两式相减可得：
（5）（为常数）的周期
【例题精讲】
【例1】（2021·曲靖市第二中学）已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵是奇函数，∴，
又，∴是周期函数，周期为4．
∴．故选：A．
【例2】若函数对于任意实数满足条件，若，则__________；
【答案】；
【解析】（1）因为；
（2）；
；
变式1 设是上的奇函数，，当时，，则=____；
【解析】（1）（先求出周期）
（2）
【答案】；
变式2 已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______.
【解析】2.5 由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝－＝f(x)．故函数的周期为4.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5. ∴f(105.5)＝2.5.
函数性质的综合运用
【知识点讲解】
双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）
① 若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期
分析：关于轴对称
关于轴对称
的周期为
② 若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期
③ 若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期
7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.
（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值
（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”
（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）
（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴 （或对称中心），则 存在无数条对称轴，其通式为
证明：关于轴对称
函数的周期为
关于轴对称
注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法.
【例题精讲】
【例3】（2021·上海松江区）已知函数是定义域为R的奇函数，满足，若，则__________．
【答案】1
【解析】因为，
所以，
所以，即函数是周期为4的周期函数.
所以,,
,
所以原式等于
故答案为：
【举一反三】
1．（2021·广东高考模拟）已知是定义在上的奇函数，满足，且，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数满足，
所以关于直线对称，所以，
又是定义在上的奇函数，所以，
又由可得，
所以，故，
因此，函数是以4为周期的周期函数，
所以，又
因此.故选B
2．（2021·安徽亳州二中）定义在上的函数满足，且，则=__________。
【答案】-1
【解析】由题意知定义在上的函数满足，得是奇函数，所以，即，赋值得，故，得周期是8，所以
3.（2021·四川高考模拟）已知定义域的奇函数的图像关于直线对称,且当时,,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵f（x）是奇函数，且图象关于x＝1对称；∴f（2﹣x）＝f（x）；
又0≤x≤1时，f（x）＝x3；∴．故选：B．
4.（2019·永安市第一中学高考模拟）已知是定义在上的奇函数，满足,若，则（ ）
A．1 B．0 C．1 D．2019
【答案】B
【解析】根据题意，函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（x+1），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，则有f（﹣x）＝f（x+2），
又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝-f（x），则有f（x）＝-f（x+2），则f（x+2）=- f（x+4），可得f（x）= f（x+4）则函数f（x）为周期为4的周期函数，
又由f（1）＝1，则f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，
f（-1）=- f（1）=-1，则f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，
又f（-2）=f（2）＝-f（2），则f（2）=0，且f（0）=0，所以f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝505-505+0=0；故选：B．
【题型优化测训】
1.（多选）（2021·邵阳市第十一中学）已知函数满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】由条件，可知函数的周期，因为，则.故选：CD
2．（2020秋 番禺区校级期末）已知且，则（1）　　
A． B． C． D．19
【解答】解：；
；
（1）．
故选：．
3．（2020 海南）若定义在的奇函数在单调递减，且（2），则满足的的取值范围是　　
A．，， B．，， C．，， D．，，
【解答】解：定义在的奇函数在单调递减，且（2），的大致图象如图：
在上单调递减，且；
故；
当时，不等式成立，
当时，不等式成立，
当或时，即或时，不等式成立，
当时，不等式等价为，
此时，此时，
当时，不等式等价为，
即，得，
综上或，
即实数的取值范围是，，，
故选：．
4．（2021·浙江金华市）设是定义在上的函数，对任意实数有，又当时，，则______．
【答案】
【解析】由，即
所以，所以是以4为周期的周期函数.
所以
故答案为：
5．（2021·安徽芜湖市）已知是定义在上的奇函数，且当时，则的值为
【答案】-6
【解析】是定义在上的奇函数，
则，解得，
当时，，
所以.
6．（2021·广西）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且，则
【答案】10
【解析】因为，所以.又是奇函数，是偶函数，所以，
则，故.
7．（2021·广东广州市第二中学）已知函数为R上的奇函数，则n的值为___________.
【答案】2
【解析】∵函数为R上的奇函数，∴，即，解得，
当时，，，所以为奇函数，符合题意.故答案为：2.
8．（2021·四川资阳市）定义在R上的偶函数满足,，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】根据题意，函数满足，则，又由为偶函数，
则有，则，函数是周期为2的周期函数，故，故选：C.【专题 7】
重要知识点讲解
知识点 1：函数的奇偶性
【知识点讲解】
（一）奇函数、偶函数定义
1.奇函数：如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)是奇函数。
奇函数的图像关于原点对称
2.偶函数：如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)是偶函数
偶函数的图像关于 y 轴对称
（二）注意事项
1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件
2.如果函数 f(x)是奇函数且在 x＝0 处有定义，则一定有 f(0)＝0；如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝
f(|x|)．
3.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
四．判断函数奇偶性的 3种常用方法
1.定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验
证 f(－x)＝±f(x)或其等价形式 f(－x)±f(x)＝0 是否成立．
2.图象法：
3.性质法：设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，
偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
知识点 2：函数奇偶性的性质
【知识点讲解】
根据函数奇偶性解题时可以根据以下方法：
1．定义域关于原点对称；
2．若奇函数在原点有定义，则 f (0) 0；
3．根据奇函数有 f ( x) f (x) ，偶函数 f ( x) f (x) 求解；
1
4．根据“如果一个函数是奇函数，那么它是由若干个简单的奇函数加减构成；如果一个函数是偶函数，那
么它由若干个简单的偶函数加减构成”； 例如：
2 1 2 为奇函数 a c d f 0f x ax bx c d x ex fx
为偶函数 b e 0
【例 1】（1）（2020·陕西渭滨.高二期末（文））已知 f (x) 是 R上的奇函数，且当 x 0时，f (x) 3x2 2x 1，
则当 x 0 时， f (x) 。
（2）（2020·全国课时练习）函数 y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则 a＝________.
（3）（2020·全国课时练习）若函数 f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1 为偶函数，则实数 a 的值为 。
2
【答案】（1） f x 3x 2x+1（2）a＝1或 a= 1（3）0
2
【解析】（1）由题意，设 x 0 ，则 x 0，则 f ( x) 3x2 2x 1，
因为函数 f x 为R上的奇函数，则 f ( x) f (x) ，得 f (x) f ( x) 3x2 2x+1，
即当 x 0 时， f x 3x2 2x+1.
（2）：∵函数 f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1 为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），
即 f（﹣x）＝ax2﹣（2a2﹣a﹣1）x+1＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1，
a2
1
即﹣（2 ﹣a 2 2﹣1）＝2a ﹣a﹣1，∴2a ﹣a﹣1＝0，解得 a＝1 或 a= ，
2
x a
（3）由题意，函数 f x 2 是定义域 R 上的奇函数，x 1
0 a
根据奇函数的性质，可得 f 0 0，代入可得 f 0 2 0 ，解得 a 0 .0 1
x a, x 0【例 2】（2022·北京海淀·二模）若 f x bx 1, x 0是奇函数，则（ ）
A． a 1,b 1 B． a 1,b 1 C． a 1,b 1 D． a 1,b 1
【答案】C
【解析】
f ( 1) f (1)
【分析】由 f (x) 为奇函数可得 f ( 2) ，代入相应解析式解方程即可.【详解】 f (2)
f ( 1) f (1) 1 a b 1 a 1易知定义域为 x x 0 ，由 f (x) 为奇函数可得
f ( 2) f (2)
，即 2 a 2b 1 ，解得 .故选：C. b 1
利用奇偶性求解参数问题
2
奇偶函数有许多优美而独特的性质，如：奇、偶函数的定义域关于原点对称；一般地， f (x) 为
多项式时，若 f (x) 为奇函数，则 x的偶次项系数为 0，若 f (x) 为偶函数，则 x的奇次项系数
为 0；若奇函数 f (x) 在 x 0 处有定义，则 f (0) 0，同学们在解决此类问题时，若能抓住这
些性质，往往能够巧妙解题.
【举一反三】
2
1．（2020·全国课时练习）已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x>0 时，f(x)＝x －2x＋3.则 f(x)
在 R 上的表达式为________．
x2 2x 3, x 0

【答案】 f x 0, x 0

x
2 2x 3, x 0
【解析】因为 f x 是奇函数，且定义域为 R，故当 x 0时， f x 0；
x2 2x 3, x 0

则当 x 0 时，f x f x x2 2x 3 x2 2x 3 .故答案为： f x 0, x 0 .
x2 2x 3, x 0
2．（2021·江苏沭阳.高三期中）已知函数 f x 1 x2 bx (b R) 为偶函数，则 f 2 的值为__________.
1
【答案】
4
2
【解析】因为函数 f x x bx (b R)为偶函数,
故 f x x 2 1b x x2 bx 1 ,故 x2 bx x2 bx恒成立.故b 0.故 f x x2 ,则 f 2 . 4
1
故答案为：
4
3．已知 = 1 3 + 2是定义在[ ，2 + ]上的偶函数，则 a+b 等于______．
【答案】0
3 2
【解析】根据题意，已知 f（x）=（a-1）x +bx 是定义在[b，2+b]上的偶函数，
3 2
有 b+2+b=0，解可得 b=-1， 则 f（x）=（a-1）x -x ，
若 f（x）为[-1，1]上的偶函数，则有 f（-x）=f（x），
3 2 3 2
即（a-1）（-x） -（-x） =（a-1）x -x ， 分析可得：a=1， 则 a+b=0； 故答案为：0．
4.（2022· 2河北衡水·高三阶段练习）已知 f x 是定义在 R上的奇函数，且 x 0 时， f x 3x 2x m ，则
3
f x 在 1,2 上的最大值为( )
A．1 B．8 C． 5 D． 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知 f(0)＝0 可求 m的值，根据 x≤0 时的解析式，结合 f(x)是奇函数可求 x＞0 时 f(x)的解
析式，判断 f(x)在[1，2]上单调性即可求其最大值.
【详解】
∵ f x 是定义在 R上的奇函数，∴f(0)＝0，
又∵ x 0 ， f x 3x 2 2x m ，∴ f 0 0 m，∴ x 0 时， f x 3x2 2x，
设 x 0，则 x 0，则 f x 3x2 2x，则 f x f x 3x2 2x，
即当 x＞0 时， f x 3x2 2x，∴f(x)在 1,2 上单调递减，∴f(x)在 1,2 上的最大值为 f 1 5 .故选：C.
题型：已知 f (x) 奇函数+M
例 1．（2021·河北石家庄市·石家庄一中）已知 f (x) x2021 ax3 bx 7, f ( 5) 4 ，则
f (5) ___________.
【答案】由 f (x) x2021 ax3 bsin x 7 ，
得 f ( 5) ( 5)2021 a ( 5)3 bsin( 5) 7 52021 53a bsin 5 7 4，
则52021 53a bsin 5 11，则 f (5) 52021 53a bsin 5 7 11 7 18 ；故答案为： 18.
【方法技巧与总结】
已知 f (x) 奇函数+M， x [ a,a]，则
（1） f ( x) f (x) 2M （2） f (x)max f (x)min 2M
【举一反三】
x 1 2 g(x)
1.（2017 全国 2 卷）已知函数 g (x) 时奇函数，且函数 f (x) 2 的最大值和最小值分别为x 1
M与m，则M m _______ .
.【知识点】函数奇偶性的性质
【参考答案】 2
4
考向七 函数的单调性与奇偶性的应用
【知识点讲解】
已知定义在 a,a a 0 上的函数 f (x) ，且 f (x) 在 0,a 上单调递增；若 f (m) f (n) ，
a m a

f (x)

为奇函数 a n a

m n

a m a
f (x) 为偶函数 a n a
m n
【例 1】（1）（2021·河南高三月考）设奇函数 f x 在定义域 2,2 上单调递减，则不等式
f 2x
1
f 1 x 0的解集为（ ）
4
A． 2 2 3 7 3 7 3, B． ,

C． ,

D． , ,


4 8 4 8 4
（2）．（2021·云南师大附中高三月考）已知 f x 、 g x 是定义在 R上的偶函数和奇函数，若
f x g x 22 x，则 g 1 （ ）
A．5 B． 5 C．3 D． 3
【答案】（1）C（2）D（3）-18
1
【解析】因为 f x 是奇函数，因此原不等式变形为 f 2x f x 1 ，
4

2 2x
1
2
4
又 f x 在 2,2 上单调递减，所以 2 x 1 2 7 3，解得 x ，所
8 4
2x 1 x 1
4
7 3
以原不等式的解集为 , .故选：C. 8 4
（2） f x g x 22 x ，所以， f 1 g 1 23 8，①， f 1 g 1 2，②，
因为 f x 、 g x 是定义在 R上的偶函数和奇函数，由②可得 f 1 g 1 2，
5
f 1 g 1 8
则有 g 1 3 ，解得 .故选：D. f 1 g 1 2
【举一反三】
1、已知函数 f (x) 是定义在R上的奇函数，g(x) 是定义在R上的偶函数，且 f (x) g(x) 1 x 2 x 3 ，则 g(x)
的解析式为（ ）
A. 1 x2 B． 2 2x2 C． x2 1 D． 2x2 2
【答案】C
2、定义在 [ 2,2]上的偶函数 g(x) ，当 x 0 时， g(x) 单调递减，若 g (1 m) g (m) 成立，求m 的取值范围；

2 1 m 2 2 m 1 2 1 m 3
1
【解析】 2 m 2 1 m
2
1 m m 1 1 m 2 m2 m
2
m 1 m 1 【答案】 2
3、 已知定义在 [ 2，2]上的奇函数 f (x) 是增函数，求使 f (2a 1) f (1 a) 0 成立的实数 a的取值范围．

【答案】 0
3
， ；
2
利用奇偶性求解解集问题（函数奇偶性与单调性结合问题）
例题 1 （东华 18-19 学年期中测试）已知函数 f (x) 为偶函数，当 x [0, ) 时， f (x) x 1，则
f (x 1) 0 的解集为（ ）
A. (0,2) B. ( 2,0) C. ( 1,0) D.[1,2]
【知识点】函数奇偶性的性质
【难度】中
【参考答案】A
【方法总结】
奇、偶函数图象对称性的两大应用
应用一：巧作函数图象．
(1)奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于 y轴对称．
(2)根据以上奇、偶函数图象对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图象，画出其关于
原点或 y轴对称的另一部分的图象问题．
应用二：求函数最值、单调性问题．
函数的奇偶性反映到图象上是图象的对称性，可以利用图象解决关于原点对称的区间上的函数值的有
关问题，也可以解决关于原点对称的区间上的函数的单调性问题，同时可以简化解题过程．
6
变式 1 (山东省实验中学 18-19 学年期末测试)已知函数 f x 为偶函数，且在区间 ( , 0]上单调递增，若
f 3 2 ，则不等式 f x 2的解集为（ ）
A． 3,0 B． 3,3 C．[ 3, ) D． , 3 3,
【知识点】函数奇偶性的性质
【难度】中
【参考答案】B
变式 3 (2019·开封高一检测)设 f (x) 为偶函数，且在区间 － ，0 内是增函数， f －2 ＝0 ，则 xf (x) 0
的解集为( )
A． －1，0 2，＋ B． － ，－2 0，2
C． －2,0 2,＋ D． －2，0 0，2
解析：选 C 根据题意，偶函数 f (x) 在 － ，0 上为增函数，且 f －2 ＝0 ，
则函数 f (x) 在 0，＋ 上为减函数，且 f －2 ＝f 2 ＝0 ，作出函数 f (x) 的草图如图所示，
x 0 x 0
又由 xf (x) 0，可得 或
f (x) 0

f (x) 0
由图可得－2 x 0或 x 2，
即不等式的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)．故选 C.
知识点 3：抽象函数奇偶性判断
【例题精讲】
例题 1 (1)函数 f (x), x R，若对任意实数 a,b都有 f (a b) f (a) f (b) ；求证： f (x) 为奇函数；
(2)函数 f (x), x R，若对任意实数 a,b都有 f (a b) f (a b) 2 f (a) f (b)，且 f 0 0；
求证： f (x) 为偶函数；
【答案】（1）因为 f (a b) f (a) f (b) ，令 a b 0 ，则 f (0 0) f (0) f (0) ，即 f 0 0
令 a x,b x，则 f ( x x) f ( x) f (x)，即 f (0) f ( x) f (x) 0
所以 f ( x) f (x) ，所以 f (x) 为奇函数；
（2）因为 f (a b) f (a b) 2 f (a) f (b)，令 a b 0 ，则 f (0) f (0) 2 f (0)2
解得 f 0 0（舍去）或 f 0 1
令 a 0,b x，则 f (0 x) f (0 x) 2 f (0) f (x) ，即 f (x) f ( x) 2 f (0) f (x)
因为 f 0 1，所以 f (x) f ( x) 2 f (x)，即 f ( x) f (x)
所以 f (x) 为偶函数；
7
变式 1(东莞市 18-19 学年高一期末测试) 若定义在 R 上的函数 f (x) 满足：对任意 x1, x2 R ，有
f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) a（ a为非零常数），则下列说法一定正确的是（ ）
A. f (x) 为偶函数 B. f (x) 为奇函数
C. f (x) a为偶函数 D. f (x) a为奇函数
【知识点】函数奇偶性的判断 【难度】难
【参考答案】D
例题 2 已知函数 y f x 的定义域为 R，且对任意 a,b R，都有 f a b f a f b ，且当 x 0时，
f x 0恒成立；
（1）证明函数 y f x 是 R上的减函数；
（2）讨论函数 y f x 的奇偶性；
（3）若 f x2 2 f x 0 ，求 x的取值范围；
【答案】（1）任取 x1 , x2 R，且 x1 x2
因为 f a b f a f b ，所以 f a b f a f b
所以 f x2 f x1 f x2 x1
因为 x1 x2 ，所以 x2 x1 0
因为当 x 0时， f x 0恒成立，所以 f x2 x1 0
所以 f x2 f x1 0 即 f x2 f x1
所以函数 y f x 是 R上的减函数；
（2）令 x y 0 ，则 f 0 f 0 f 0 ，解得 f 0 0
令 y x，则 f 0 f x f x
因为 f 0 0 ，所以 f x f x 0，所以 f x f x
所以 y f x 是奇函数；
(3) x x 1或x 2 ；
变式 2（2019年山东曲阜一中高一月考） 已知函数 f x 的定义域为 1,1 ，若对于任意的 x, y 1,1 ，
都有 f x y f x f y ，且 x 0时， f x 0；
（1）判断函数 f x 的奇偶性并证明；
（2）用定义判断函数 f x 的单调性；
（3）设 f 1 1 .若 f x m2 2am 1对所有 x 1,1 ， a 1,1 恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1） f x 为奇函数，证明略；
8
（2） f x 在 1,1 上为单调递增函数；
（3）m的取值范围为 m m 2或m 2 ；
知识点 4：函数的对称性
1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称
2、轴对称的等价描述：
【解题指导】 若 f (a x) f (b x)，则说明 f (x) x a b关于 对称；
2
拓展结论 1：
f (x) 在定义域内恒满足条件 y f (x) 的图像的对称轴
f (a x) f (a x) x a
f (x) f (a x) x a
2
f (a x) f (b x) x a b
2
3、中心对称的等价描述：
【解题指导】 若 f (a x) f (b x) a b，则说明 f (x) 关于 , 0

对称；
2
拓展结论 2：
f (x) 在定义域内恒满足条件 y f (x) 的图像的对称中心
f (a x) f (a x) a,0
f (x) f (a x) a
,0

2
f (a x) f (b x) a b
, 0
2
【例题精讲】
【例 1】（2021·广东揭阳市·高三一模）已知函数 f x 定义域为 R，满足 f x f 2 x ，且对任意
1 x1 x2 均有 x1 x2 f x1 f x2 0成立，则满足 f 2x 1 f 3 x 0的 x的取值范围是
（ ）
A． , 2 2 ,

B． , 0
4 ,
3 3
9

C． 2,
2
D． 0,
4
3 3
【答案】D
【解析】因为函数 f x 满足 f x f 2 x ，所以函数 f x 关于直线 x 1对称，
因为对任意1 x1 x2 均有 x1 x2 f x1 f x2 0成立，所以函数 f x 在 1, 上单调递减.
由对称性可知 f x 在 ,1 上单调递增.
因为 f 2x 1 f 3 x 0，即 f 2x 1 f 3 x ，
所以 2x 1 1 3 x 1 4，即 2x 2 2 x ，解得0 x .故选：D.
3
【举一反三】
1．（2021·长宁区·上海市延安中学）奇函数 y f x 的图像关于直线 x 2对称， f 3 3，则
f ( 1) f 0 _________.
【答案】 3
【解析】因为函数是奇函数，所以 f 0 0，
因为函数关于直线 x 2对称， f 4 x f x ，则 f 1 f 3 ，
f 1 f 1 f 3 3，所以 f 1 f 0 3.
故答案为： 3
2.（2021·浙江）已知函数 f (x) x2 bx c，且 f (2 x) f ( x) ，则下列不等式中成立的是（ ）
A． f ( 4) f (0) f (4) B． f (0) f ( 4) f (4)
C． f (0) f (4) f ( 4) D． f (4) f (0) f ( 4)
【答案】C
【解析】由 f (2 x) f ( x) 得 f (x) 图象的对称轴为 x 1，
所以 f (x) 在 ( ,1]上单调递减，在[1, )上单调递增，且 f (4) f ( 2)，
所以 f (0) f ( 2) f (4) f ( 4) ，故选：C.
知识点 4：函数的周期性
10
【知识点讲解】
1、定义：设 f x 的定义域为D，若对 x D，存在一个非零常数T ，有 f x T f x ，则称函数
f x 是一个周期函数，称T 为 f x 的一个周期
2、周期性的理解：可理解为间隔为T 的自变量函数值相等
3、若 f x 是一个周期函数，则 f x T f x ，那么 f x 2T f x T f x ，即 2T 也是 f x
的一个周期，进而可得： kT k Z 也是 f x 的一个周期
4、最小正周期：正由第 3 条所说， kT k Z 也是 f x 的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找
周期中最小的正数，即称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数 f x C
5、函数周期性的判定：
（1） f x a f x b ：可得 f x 为周期函数，其周期T b a
（2） f x a f x f x 的周期T 2a
分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式： f x 2a f x a
所以有： f x 2a f x a f x f x ，即周期T 2a
注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看
能否得出周期
（3） f x a 1 f x 的周期
T 2a
f x
1 1
分析： f x 2a 1 f xf x a
f x
（4） f x f x a k （ k为常数） f x 的周期T 2a
分析： f x f x a k , f x a f x 2a k ，两式相减可得： f x 2a f x
（5） f x f x a k （ k为常数） f x 的周期T 2a
【例题精讲】
【例 1】（2021·曲靖市第二中学）已知函数 f (x) 是定义在R 上的奇函数， f (x 4) f (x)，且 f (1) 1，
11
则 f (2019) f (2020) （ ）
A． 1 B． 0 C．1 D． 2
【答案】A
【解析】∵ f (x) 是奇函数，∴ f (0) 0, f ( 1) f (1) 1，
又 f (x 4) f (x)，∴ f (x) 是周期函数，周期为 4．
∴ f (2019) f (2020) f ( 1) f (0) 1 0 1．故选：A．
【例 2】 2012若函数 f (x) 对于任意实数 x满足条件 f (x 2) ，若 f (1) 5，则 f ( f (5)) __________；
f (x)
2012
【答案】 ；
5
【解析】（1 f (x 2) 2012 2012）因为 f x 2 T 4 ；
f (x) 2012
f x 2
（2） f 5 T 4 f 1 5 ；
f x 2012
f ( f (5)) f 5 T 4 f 3 f x 2 2012 2012 ；
f 1 5
变式 1 设 f x 是 , 上的奇函数， f x 2 f x ，当1 x 2 时， f x x，则 f (7.5) =____；
【解析】（1） f x 2 f x f x 2 T 4 （先求出周期）
（2） f (7.5) f 3.5 f 1.5 1.5
【答案】 1.5 ；
1
变式 2 已知 f(x)是定义在 R上的偶函数，并且 f(x＋2)＝－ ，当 2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f(105.5)＝______.
f x
1 1
【解析】2.5 由已知，可得 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－ ＝－ 1 ＝f(x)．故函数的周期为 4.f x＋2 －
f x
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．∵2≤2.5≤3，由题意，得 f(2.5)＝2.5. ∴f(105.5)＝2.5.
函数性质的综合运用
【知识点讲解】
双对称出周期：若一个函数 f x 存在两个对称关系，则 f x 是一个周期函数，具体情况如下：（假设b a）
① 若 f x 的图像关于 x a, x b轴对称，则 f x 是周期函数，周期T 2 b a
分析： f x 关于 x a轴对称 f x f 2a x
12
f x 关于 x b轴对称 f x f 2b x
f 2a x f 2b x f x 的周期为T 2b 2a 2 b a
② 若 f x 的图像关于 a,0 , b,0 中心对称，则 f x 是周期函数，周期T 2 b a
③ 若 f x 的图像关于 x a轴对称，且关于 b,0 中心对称，则 f x 是周期函数，周期T 4 b a
7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.
（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值
（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”
（3）单调区间：由于间隔 kT k Z 的函数图象相同，所以若 f x 在 a,b b a T 上单调增（减），
则 f x 在 a kT ,b kT k Z 上单调增（减）
（4）对称性：如果一个周期为T 的函数 f x 存在一条对称轴 x a （或对称中心），则 f x 存在无数
kT
条对称轴，其通式为 x a k Z
2
证明： f x 关于 x a 轴对称 f x f 2a x
函数 f x 的周期为T f x kT f x
f x kT f 2a x f x 关于 x a kT 轴对称
2
注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法.
【例题精讲】
【例 3】（2021·上海松江区）已知函数 y f x 是定义域为 R的奇函数，满足 f 1 x f 1 x ，若
f 1 1，则 f 1 f 2 f 3 f 50 __________．
【答案】1
【解析】因为 f 1 x f 1 x ，
所以 f (x 2) f ( x) f (x)，
所以 f (x 4) f (x 2) f (x)，即函数 f x 是周期为 4 的周期函数.
所以 （f 3） f 3 4 f 1 f 1 , f (4) f (0) f (2) 0 ,
13
f (1) f (2) f (3) f (4) 0 ,
所以原式等于12( f 1 f 2 f 3 f (4)) f (49) f (50) f (49) f (50) f (1) f (2) 1
故答案为：1
【举一反三】
1．（2021·广东高考模拟）已知 ( )是定义在 上的奇函数，满足 (1 + ) = (1 )，且 (1) = ，则 (2) +
(3) + (4) =（ ）
A．0 B． C． D．3
【答案】B
【解析】因为函数 ( )满足 (1 + ) = (1 )，
所以 ( )关于直线 = 1 对称，所以 (2) = (0)， (3) = ( 1)
又 ( )是定义在 上的奇函数，所以 (0) = 0，
又由 (1 + ) = (1 )可得 ( + 1) = (1 ) = ( 1)，
所以 ( + 2) = ( )，故 ( + 4) = ( + 2) = ( )，
因此，函数 ( )是以 4 为周期的周期函数，
所以 (4) = (0)，又 (1) =
因此 (2) + (3) + (4) = (0) + ( 1) + (0) = (1) = .故选 B
2．（2021·安徽亳州二中）定义在R上的函数 f (x) 满足 f (x) f (4 x)， f ( x) f (x) 0,且 f ( 3) 1，
则 f (2019) =__________。
【答案】-1
【解析】由题意知定义在R上的函数 f (x) 满足 f (x) f (4 x)， f ( x) f (x) 0,得 f (x) 是奇函数，所
以 f (x) f (4 x) f ( x)，即 f (x) f (x 4)，赋值得 f (x 4) f (x 8)，故 f (x) f (x 8) ，
得 f (x) 周期是 8，所以 f (2019) f (3) f ( 3) 1
3.（2021·四川高考模拟）已知定义域 R的奇函数 f x 的图像关于直线 x 1对称,且当0 x 1
时, f x x3 5 ,则 f （ ）
2
27 1 1 27
A． B． C． D．
8 8 8 8
14
【答案】C
【解析】∵f（x）是奇函数，且图象关于 x＝1 对称；∴f（2﹣x）＝f（x）；
5 5 13 1 1
又 0≤x≤1时，f（x）＝x ；∴ f f 2 f f ．故选：B．
2 2 2 2 8
4.（2019·永安市第一中学高考模拟）已知 是定义在 上的奇函数，满足 (1 + ) = (1 ),若 (1) = 1，
则 (1) + (2) + (3) + . . . + (2019) =（ ）
A．1 B．0 C．1 D．2019
【答案】B
【解析】根据题意，函数 f（x）满足 f（1﹣x）＝f（x+1），则函数 f（x）的图象关于直线 x＝1 对称，则
有 f（﹣x）＝f（x+2），
又由函数 f（x）为奇函数，则 f（﹣x）＝-f（x），则有 f（x）＝-f（x+2），则 f（x+2）=- f（x+4），可
得 f（x）= f（x+4）则函数 f（x）为周期为 4 的周期函数，
又由 f（1）＝1，则 f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，
f（-1）=- f（1）=-1，则 f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，
又 f（-2）=f（2）＝-f（2），则 f（2）=0，且 f（0）=0，所以 f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝
f（2018）＝0，则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝505-505+0=0；故选：B．
【题型优化测训】
1.（多选）（2021·邵阳市第十一中学）已知函数 f (x) 满足 f (x 3) f (x) ，且 f (1) 2，则下列结论正
确的是（ ）
A． f ( 1) 1 B． f (0) 0 C． f (4) 2 D． f (10) 2
【答案】CD
【解析】由条件 f x 3 f x ，可知函数的周期T 3，因为 f 1 2 ，则 f 4 f 10 2 .故选：
CD
2．（2020 秋 番禺区校级期末）已知 f (x) x5 3ax3 4bx 8且 f ( 1) 10 ，则 f （1） ( )
A． 26 B． 18 C． 10 D．19
【解答】解： f ( 1) 1 3a 4b 8 10 ；
3a 4b 19 ；
f （1） 1 3a 4b 8 1 19 8 26 ．
15
故选： A．
3．（2020 海南）若定义在 R的奇函数 f (x) 在 ( ,0) 单调递减，且 f （2） 0 ，则满足 xf (x 1) 0 的 x的
取值范围是 ( )
A． [ 1，1] [3， ) B． [ 3， 1] [0 ，1] C． [ 1， 0] [1， ) D．[ 1， 0] [1，3]
【解答】解： 定义在 R 的奇函数 f (x) 在 ( ,0) 单调递减，且 f （2） 0 ， f (x) 的大致图象如图：
f (x)在 (0, ) 上单调递减，且 f ( 2) 0 ；
故 f ( 1) 0；
当 x 0 时，不等式 xf (x 1) 0 成立，
当 x 1时，不等式 xf (x 1) 0 成立，
当 x 1 2或 x 1 2 时，即 x 3或 x 1时，不等式 xf (x 1) 0 成立，
当 x 0 时，不等式 xf (x 1) 0 等价为 f (x 1) 0，
x 0
此时 ，此时1 x 3， 0 x 1 2
当 x 0 时，不等式 xf (x 1) 0 等价为 f (x 1) 0，
x 0
即 ，得 1 x 0，
2 x 1 0
综上 1 x 0 或1 x 3，
即实数 x的取值范围是 [ 1， 0] [1，3] ，
故选： D．
4．（2021·浙江金华市）设 f x 是定义在 R上的函数，对任意实数有 f x f x 2 1，又当0 x 2
f x 1时， ，则 f 8 ______．
x
16
【答案】 2
【解析】由 f x f x 2 1，即 f x
1

f x 2
f x 4 1 1 f x
所以 f x 2 1 ，所以 f x 是以 4 为周期的周期函数.
f x
f 8 f 0 1 1 2
所以 f 2 2
2
故答案为： 2
5．（2021·安徽芜湖市）已知 f x 是定义在 m 9,2m 3 上的奇函数，且当 x 0时， f x x2 x,则
f m 的值为
【答案】-6
【解析】 f x 是定义在 m 9,2m 3 上的奇函数，
则m 9 2m 3 0，解得m 2 ，
当 x 0 时， f x x2 x，
所以 f m f 2 f 2 4 2 6 .
6．（2021·广西）已知 f (x) 是R上的奇函数，g(x) 是R上的偶函数，且 f (x) g(x) 2x 3 x 2 3x 1 ，
则 f (1) g(2)
【答案】10
【解析】因为 f (x) g(x) 2x 3 x 2 3x 1 ，所以 f ( x) g( x) 2x 3 x 2 3x 1 .又 f (x) 是奇函
数， g(x)是偶函数，所以 f (x) g(x) 2x 3 x 2 3x 1 ，
则 f (x) 2x 3 3x, g(x) x 2 1 ，故 f (1) g(2) 5 5 10.
n 3x 2
7．（2021·广东广州市第二中学）已知函数 f x 为 R 上的奇函数，则 n 的值为___________.
3x 1
【答案】2
17
x
【解析】∵函数 f x n 3 2 为 R 上的奇函数，∴ f 0 0，即 fx 0
n 2
0，解得 n 2 ，
3 1 1 1
n 2 f (x) 2 3
x 2 x x
当 时， ，x f x
2 3 2 2 2 3
f x ，所以 f (x) 为奇函数，符合题
3 1 3 x 1 1 3x
意.故答案为：2.
8．（2021·四川资阳市）定义在 R上的偶函数 f (x) 满足f(1 x) f(1 x), f (0) 2，则 f (10) （ ）
A． 4 B． 2 C．2 D．4
【答案】C
【解析】根据题意，函数 f (x) 满足f(1 x) f(1 x)，则 f x f 2 x ，又由 f (x) 为偶函数，
则有 f ( x) f (x) ，则 f (x 2) f (x) ，函数 f (x) 是周期为 2 的周期函数，故 f (10) f (0) 2，故选：
C.
18

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