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选修三6.1分类加法与分步乘法计数原理题型整理
知识储备
题型专练
1、分类加法计数原理的应用
2、分步乘法计数原理的应用
3、两个计数原理的综合应用
4、有限制条件的计数问题
5、涂色问题
三、课后加练
知识储备
二、题型分类
题型一：分类加法计数原理的应用
1.现有高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名.从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛，有多少种不同的选法（ ）
A．60 B．45 C．30 D．12
【答案】D
【解析】
因为三个年级共有名学生，
由分类加法计数原理可得：
从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛，共有种不同的选法.
故选：D.
2.从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（ ）个
A．98 B．56 C．84 D．49
【答案】A
【解析】当公差为时，数列可以是：，，，……，共13种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共11种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共9种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共7种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，，，共5种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，共3种情况.
当公差为时，数列可以是：，共1种情况.
总的情况是.
又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，
所以这样的等差数列共有个.
故选：A
3.将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（ ）
A．16种 B．12种 C．9种 D．6种
【答案】B
【解析】由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：
当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； ^
当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
因此，不同的放球方法有12种，故选B.
题型二：分步乘法计数原理的应用
1.将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方案有（ ）
A．12种 B．9种 C．8种 D．6种
【答案】C
2.教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（　　）
A．10种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【解析】
共分4步：一层到二层 2种，二层到三层 2种，三层到四层 2种，四层到五层 2种，一共=16种. 故选D．
3.如图，某城市中，、两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从到不同的走法共有（ ）
A．10 B．13 C．15 D．25
【答案】C
【解析】
因为只能向东或向北两个方向
向北走的路有5条，向东走的路有3条
走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果
根据分步计数原理知共有种结果，选C
题型三：两个计数原理的综合应用
1.有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（ ）
A．21种 B．315种 C．153种 D．143种
【答案】D
【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种，
选一本数学书一本英语书有5×7=35种，
选一本语文书一本英语书有9×5=45种，
∴共有63+45+35=143种选法.
故选D.
2.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．
（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
解：（1）种；
（2）种．
3.用这六个数字，完成下面两个小题．
（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被整除的且百位数字不是的不同的五位数；
（2）若直线方程中的可以从已知的六个数字中任取个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？
【详解】（1）当末位数字是时，百位数字不是， 第一步，放百位有4种方法，
第二步，放剩余的三个位置有种，则共有个；
当末位数字是，首位数字是时，共有个；
当末位数字是时，首位数字是或或时，共有个；
故共有个．
（2）中有一个取时，有条；都不取时，有条；
与重复；，与重复．
故共有条．
题型四：有限制条件的计数问题
1.将数字1，1，2，2，3，3排成三行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】A
【解析】
由题意，可按分步原理计数，
第一步，第一行第一个位置可从1，2，3三数字中任意选一个，有三种选法，
第二步，第一行第二个位置可从余下两数字中选一个，有二种选法，
第三步，第二行第一个位置，由于不能与第一行第一个位置上的数字同，故其有两种选法，
第四步，第二行第二个位置，由于不能与第一行第二个数字同也不能第二行第一个数字同，故它只能有一种填法，
第五步，第三行第一个数字不能与第一行与第二行的第一个数字同，故其只有一种填法，
第六步，此时只余下一个数字，故第三行第二列只有一种填法，
由分步原理知，总的排列方法有3×2×2×1×1×1＝12种.
故选：A．
2.（多选题）有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是（ ）
A. 每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
B. 每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
C. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种
D. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种
【答案】AC
【详解】对于A选项， 第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，后面的2个同学也有3种报法，根据分步计数原理共有种结果，A正确，B错误；对于C选项，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择，第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择，根据分步计数原理共有种结果，C正确，D错误.
3.有一项活动，需要在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加.
（1）若只需选1人参加，则有多少种不同的选法？
（2）若需要老师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？
（3）若需要1名老师、1名学生参加，则有多少种不同的选法？
【答案】（1）16；（2）120；（3）39.
【解析】（1）需一人参加，有三类：第一类选老师，有3种不同的选法；第二类选男生，有8种不同的选法；第三类选女生，有5种不同的选法.共有种不同的选法；
（2）需老师、男同学、女同学各一人，则分3步，第一步选老师，有3种不同的选法；第二步选男生，有8种不同的选法；第三步选女生，有5种不同的选法.共有种不同的选法；
（3）第一步选老师有3种不同的选法，第二步选学生有种不同的选法，共有种不同的选法.
题型五：涂色问题
1.现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A．150种 B．180种 C．240种 D．120种
【答案】B
【解析】分步涂色，第一步对涂色有5种方法，第二步对涂色有4种方法，第三步对涂色有3种方法，第四步对涂色有3种方法，
∴总的方法数为．
故选：B．
2.现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案有______种.
【答案】144
【解析】第一步，对区域1进行涂色，有4种颜色可供选择，即有4种不同的涂色方法；
第二步，对区域2进行涂色，区域2与区域1相邻，有3种颜色可供选择，即有3种不同的涂色方法；
第三步，对区域3进行涂色，区域3与区域1、区域2相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；
第四步，对于区域4进行涂色，区域4与区域2、区域3相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；
第五步，对区域5进行涂色，若其颜色与区域4相同，则区域6有2种涂色方法，若其颜色与区域4不同，则区域6只有1种涂色方法，故区域5，6共有种涂色方法，
由分步乘法计数原理知，不同的涂色方案的种数为.
故答案为：144
3.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（ ）
【答案】1560
【详解】解：分4步进行分析：
①，对于区域，有6种颜色可选；
②，对于区域，与区域相邻，有5种颜色可选；
③，对于区域，与、区域相邻，有4种颜色可选；
④，对于区域、，若与颜色相同，区域有4种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有3种颜色可选，区域有3种颜色可选，
则区域、有种选择，
则不同的涂色方案有种.
课后精练
1.某中学的教学楼共有5层，每层均有两个楼梯，某同学从一楼上到五楼可能的走法有（ ）
A．10种 B．16种 C．25种 D．32种
【答案】B
【详解】走法共分四步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共种.
2.（多选题）几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，；(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，，下列结论正确的是（ ）
A．最高处的树枝为 当中的一个
B．最低处的树枝一定是
C．这九棵树枝从高到低不同的顺序共有33种
D．这九棵树枝从高到低不同的顺序共有32种
【答案】AC
【详解】解：由题判断出部分树枝由高到低的顺序为，还剩下，，，且树枝比高，树枝在树枝，之间，树枝比低，故选项正确；
先看树枝，有4种可能，若在，之间，
则有3种可能：①在，之间，有5种可能；
②在，之间，有4种可能；
③在，之间，有3种可能，
此时树枝的高低顺序有（种）。
若不在，之间，则有3种可能，有2中可能，
若在，之间，则有3种可能，
若在，之间，则有三种可能，
此时树枝的高低顺序有（种）可能，
故这九根树枝从高到低不同的顺序共有种，故选项正确.故选：AC.
3.如图所示,连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有(　　)个.
A．40 B．30 C．20 D．10
【答案】A
【详解】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：
第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32（个）；
第二类，有两条公共边的三角形共有8（个）．由分类加法计数原理知，共有32+8＝40（个）．
4.甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守当地某月日至日，共天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】日至日，分别为，有天奇数日， 天偶数日，
第一步安排奇数日出行，每天都有种选择，共有种，
第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选天安排甲的车，另外一天安排其它车，有种，
第二类，不安排甲的车，每天都有种选择，共有种，共计，
根据分步计数原理，不同的用车方案种数共有.故选D.
5.现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种
【答案】D
【解析】根据题意分步完成任务：
第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；
第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；
第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；
第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；
第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；
第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；
所以不同的涂色方法：种.
故选：D.
6.某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________.
【答案】54
【详解】甲有三个培训可选，甲乙不参加同一项，所以乙有二个培训可选，丙、丁各有三个培训可选，根据乘法计数原理，不同的报名方法种数为.
7．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343 ，12521等.两位数的回文数有11 ，22 ，3，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是_____________.
【答案】40
【详解】由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为，，，.如果末（首）位为，中间一位数有种可能，同理可得，如果末（首）位为或或，中间一位数均有种可能，所以有个.
8.已知集合，若a，b，c∈M，则：
（1）可以表示多少个不同的二次函数？
（2）可以表示多少个图象开口向上的二次函数？
【解析】
（1）因为a不能取0，所以有5种取法，b有6种取法，c有6种取法，
所以可以表示个不同的二次函数.
（2）的图象开口向上时，a不能取小于等于0的数，所以有2种取法，b有6种取法，c有6种取法，
所以可以表示个图象开口向上的二次函数
9.已知集合是平面上的点，．
（1）可表示平面上多少个不同的点？
（2）可表示多少个坐标轴上的点？
解：（1）完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法也有6种，
∴P点个数为N=6×6=36(个)；
（2）根据分类加法计数原理，分为三类：
①x轴上（不含原点）有5个点；
②y轴上（不含原点）有5个点；
③既在x轴，又在y轴上的点，即原点也适合，
∴共有N=5+5+1=11（个）．
10.现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人.
(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？
(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？
【解析】（1）根据题意，选其中一人为负责人，有3种情况，
若选出的是高一学生，有13种情况，
若选出的是高二学生，有12种情况，
若选出的是高三学生，有9种情况，
由分类计数原理可得，共有12+13+9＝34种选法．
（2）根据题意，从高一学生中选出1人，有13种情况；
从高二学生中选出1人，有12种情况；
从高三学生中选出1人，有9种情况；
由分步计数原理，可得共有12×13×9＝1404种选法．
（3）根据题意，分三种情况讨论：
若选出的是高一、高二学生，有12×13＝156种情况，
若选出的是高一、高三学生，有13×9＝117种情况，
若选出的是高二、高三学生，有12×9＝108种情况，
由分类计数原理可得，共有156+117+108＝381种选法．选修三6.1分类加法与分步乘法计数原理题型整理
知识储备
题型专练
1、分类加法计数原理的应用
2、分步乘法计数原理的应用
3、两个计数原理的综合应用
4、有限制条件的计数问题
5、涂色问题
三、课后加练
知识储备
二、题型分类
题型一：分类加法计数原理的应用
1.现有高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名.从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛，有多少种不同的选法（ ）
A．60 B．45 C．30 D．12
2.从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（ ）个
A．98 B．56 C．84 D．49
3.将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（ ）
A．16种 B．12种 C．9种 D．6种
题型二：分步乘法计数原理的应用
1.将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方案有（ ）
A．12种 B．9种 C．8种 D．6种
2.教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（　　）
A．10种 B．种 C．种 D．种
3.如图，某城市中，、两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从到不同的走法共有（ ）
A．10 B．13 C．15 D．25
题型三：两个计数原理的综合应用
1.有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（ ）
A．21种 B．315种 C．153种 D．143种
2.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．
（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
3.用这六个数字，完成下面两个小题．
（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被整除的且百位数字不是的不同的五位数；
（2）若直线方程中的可以从已知的六个数字中任取个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？
题型四：有限制条件的计数问题
1.将数字1，1，2，2，3，3排成三行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
2.（多选题）有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是（ ）
A. 每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
B. 每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
C. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种
D. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种
3.有一项活动，需要在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加.
（1）若只需选1人参加，则有多少种不同的选法？
（2）若需要老师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？
（3）若需要1名老师、1名学生参加，则有多少种不同的选法？
题型五：涂色问题
1.现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A．150种 B．180种 C．240种 D．120种
2.现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案有______种.
3.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（ ）
课后精练
1.某中学的教学楼共有5层，每层均有两个楼梯，某同学从一楼上到五楼可能的走法有（ ）
A．10种 B．16种 C．25种 D．32种
2.（多选题）几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，；(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，，下列结论正确的是（ ）
A．最高处的树枝为 当中的一个
B．最低处的树枝一定是
C．这九棵树枝从高到低不同的顺序共有33种
D．这九棵树枝从高到低不同的顺序共有32种
3.如图所示,连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有(　　)个.
A．40 B．30 C．20 D．10
4.甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守当地某月日至日，共天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为（ ）
A． B． C． D．
5.现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种
6.某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________.
7．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343 ，12521等.两位数的回文数有11 ，22 ，3，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是_____________.
8.已知集合，若a，b，c∈M，则：
（1）可以表示多少个不同的二次函数？
（2）可以表示多少个图象开口向上的二次函数？
9.已知集合是平面上的点，．
（1）可表示平面上多少个不同的点？
（2）可表示多少个坐标轴上的点？
10.现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人.
(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？
(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？

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