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信宜一中高二数学复习资料圆锥曲线之椭圆
1、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
第一定义 到两定点的距离之和等于常数，即（）
第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即
范围 且 且
顶点 、 、 、 、
轴长 长轴的长 短轴的长
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
离心率
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
（焦点）弦长公式 ，
圆锥曲线第1页
3、椭圆常用的二级结论（能够记忆最好，不能记忆也没所谓）
（1）是椭圆上的任意一点，是椭圆的一个焦点，
则的取值范围是.
（2）是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左右焦点，
则的取值范围是.
（3）是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左右焦点，
则的取值范围是.
（4）为椭圆上一点，其中是椭圆的左右焦点，
，则..
（5）为椭圆上一点，其中是椭圆的左右焦点，
则为短轴端点时最大.
（6）为椭圆上一点，其中是椭圆的左右顶点，
则为短轴端点时最大.
一、单选题
1．的两个顶点坐标，，它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D． （思考的面积最大值是什么？）
2．若动点到定点的距离和它到直线的距离之比是1：2，则下列说法不正确的是（ ） A．点的轨迹是离心率为的椭圆 B．点的轨迹方程是
C．点的轨迹是长轴长为8的椭圆 D．点的轨迹是短轴长为的椭圆
圆锥曲线第2页
3．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
4．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，若的垂直平分线过的下顶点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知等边三角形的一个顶点在椭圆E上，另两个顶点位于E的两个焦点处，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是椭圆的右焦点，过椭圆的下顶点且斜率为的直线与以点为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆与双曲线具有相同焦点、，P是它们的一个交点，且，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．若椭圆的焦距是2，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．已知曲线C的方程为（，且，），则下列结论正确的
圆锥曲线第3页
是（ ）
A．当时，曲线C为圆 B．若曲线C为椭圆，且焦距为，则
C．当或时，曲线C为双曲线 D．当曲线C为双曲线时，焦距等于4
10．已知椭圆的左 右焦点为 ，点为椭圆上的点不在轴上），则下列选项中正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的离心率
C． 的周长为 D．的取值范围为
11．设椭圆的左、右焦点分别为，，则下列说法中正确的有（ ）
A．离心率 B．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为
C．若是椭圆上的一点，则面积的最大值为1
D．若是椭圆上的一点，且，则面积为
三、填空题
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，若焦距为4，点P是椭圆上与左、右顶点不重合的点，且的面积最大值.椭圆的方程为________．
13．已知椭圆，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.则椭圆的方程为__________．
14．已知是椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为__________．
圆锥曲线第4页
15．椭圆的左焦点为，M为椭圆上的一点，N是的中点，O为原点，若，则______．
16．已知为椭圆：的右焦点，为椭圆的左顶点，是椭圆上一点，且垂直于轴，若直线的倾斜角为30°，则椭圆的离心率为___________.
四、解答题
17．已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且长轴长为4.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 直线与椭圆相交于A，两点，求弦长.
圆锥曲线第5页
18．已知，是椭圆：的左、右焦点，离心率为，点A在椭圆C上，且的周长为.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若B为椭圆C的上顶点，过的直线与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线BP与x轴交于点M，直线BQ与x轴交于点N，判断是否为定值.若是，求出定值，若不是，请说明理由.
19．已知点在椭圆：上，椭圆E的离心率为.
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 若不平行于坐标轴且不过原点O的直线l与椭圆E交于B，C两点，判断是否可能为等边三角形，并说明理由.
圆锥曲线第6页高二数学复习资料：圆锥曲线之椭圆答案（第1—4页）
1.【答案】D 2.【答案】D 3.【答案】B 4.【答案】A 5.【答案】B 6.【答案】A
7.【答案】B 【详解】设点为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，设，
由椭圆和双曲线的定义可得，解得，，
由余弦定理可得，所以，，即，
所以，，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.
故选：B.
8．【答案】AC 9．【答案】AC
10．【答案】AC 【详解】椭圆，
，椭圆的长轴长为，故A正确，
椭圆的离心率，故B错误，
的周长为：，故C正确，
设，则，且，
故， 又，则，
故，
故的取值范围是，故D错误.
圆锥曲线答案第1页
11．【答案】BCD
【详解】由椭圆得：长半轴长，短半轴长，半焦距，
对于A，椭圆的离心率，A错误；
对于B，因弦AB过焦点，则的周长为，B正确；
对于C，令点P的纵坐标为，于是得△面积，
当且仅当点P为短轴端点时取“=”，C正确；
对于D，由余弦定理得：
，即，解得，
因此， 面积为，D正确.
12．【答案】 13．【答案】
14．【答案】 【详解】根据题意，取点为第一象
限的点，过点作的垂线，垂足为，如下所示：
因为为等边三角形，又，
故可得，则点的坐标为，
代入椭圆方程可得：，又，整理得：，
即，解得（舍）或.
15．【答案】4 【详解】椭圆的左焦点为,如图，
设右焦点为 ,则 ，由N是的中点，O为得中点，,
圆锥曲线答案第2页
故 , 又 ，所以.
16．【答案】 【详解】 由题意由于轴，是焦点，在椭圆上，
令，得，解得（负的舍去，在第一象限），所以，
又，，所以
，，即，，
，．
17．解(1) ∵椭圆的中心在原点，焦点为，且长轴长为4，
， ， ， 故椭圆的方程为；
(2)设，联立解得 和 ，
，∴弦长.
18．解 (1)解：因为的周长为，所以，即，
又离心率，所以，， 所以，
故椭圆的方程为．
(2)由题意知，直线的斜率一定不可能为0，设其方程为，，，
联立，得， 所以，，
圆锥曲线答案第3页
因为点为，所以直线的方程为，所以点，
直线的方程为，所以点，所以即为定值．
19．解(1)由点在椭圆上，得，即，
又，即，解得，所以椭圆的方程为.
(2)假设为等边三角形，设，，
联立，消去得，
由韦达定理得，由得，
故，
所以的中点为，所以，
故，
与等边三角形中矛盾，
所以假设不成立，故三角形不可能是等边三角形.
圆锥曲线答案第4页

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