资源简介

《垂径定理在生活中的应用》教案
一、学习目标
1.掌握垂径定理及其逆定理；
2.会运用垂径定理解决一些实际生活中的线段长问题；
3.探索并掌握用垂径定理求线段长度的一般方法.
二、学习重难点
重点：利用垂径定理求生活问题中线段的长.
难点：分析实际生活问题情境，再利用垂径定理进行求解，是本节课的难点.
三、学习过程：
（一）问题背景
问题1：一根排水管的横截面如图1所示（排水管的厚度忽略不计），管中有一些水，若已知排水管的半径长和水面宽，你能求水的最大深度吗？
思考：求解这一问题需要探寻圆中哪些线段之间的关系呢？
问题2：如图是一个圆弧形的桥拱的横截面与桥下水面宽的示意图，你知道怎样确定桥拱圆弧的半径吗？
思考：可以量取哪些相关线段，来求此圆弧的半径呢？
生活中有很多与圆有关的求某些线段长的问题，你能想到能运用圆的哪些知识，运用怎样的方法来解决呢？
【设计意图】以两个实际生活中涉及其圆中相关线段的问题来引入本节内容，激发学生的学习兴趣，直接引入课程的内容，让学生明白本节课解决什么问题.
（二）问题探究
1.复习回顾垂径定理。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
逆定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
逆定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
几何语言叙述：如图2，垂径定理：已知⊙O中，AB是直径，AB⊥CD，
那么：CE=DE，，.
逆定理1：已知⊙O中，AB是直径，CE=DE，
那么：AB⊥CD，，.
逆定理2：已知⊙O中，AB是直径，或.，
那么：AB⊥CD，CE=DE.
2.理清垂径定理涉及线段之间的关系.
关键词：垂直 直径 双平分
结构整理：
如图3，由垂径定理或逆定理均能得到AB⊥CD，若连结半径OC，存在Rt△OCE，可得半径、半弦长、弦心距之间的关系：OC2=CE2+OE2，这个 Rt△OCE可以定义为“双半Rt△” .
若已知半径、弦心距OE、弦长CD中任意两条，可以直接计算得到另一条；
由BE=OB-OE，AE=OA+OE，也可得弦长CD，BE（或AE），半径之间的关系：半径2=半弦2+（半径-BE）2，已知其中任意两条，可以计算得另一条线段.
3.简单应用:
一根排水管的横截面如图3所示（排水管的厚度忽略不计），已知排水管的半径AO=10，排水管中水面宽AB=12.（1）求圆心O到水面的距离OC.
解：由题意，OC⊥AB，
∴AC=BC=AB=×12=6.
由勾股定理，得
OC==8.
【分析】已知半径和弦长，要求弦心距，可以依据垂径定理，由半径垂直弦，得弦被平分，在一个双半Rt三角形中，利用勾股定理求弦心距.
（2）排水管中水的最大深度是多少？
【分析】最大深度：等于半径减去弦心距.在第（1）问基础上可以继续来求解其他相关线段，并引导学生如何从题中文字信息转化为数学语言，再进一步借助图形找到几何信息.
（3）若水量增大，请问排水管中水上涨多少米后，水面宽会变为16
解析：由A’B’//AB//A’’B’’，
∴OC⊥AB，OE⊥A’’B’’
Rt△OA’C中，
A’C=B’C=1/2A’B’=1/2×16=8.
由勾股定理，得
OF=6.所以上涨高度：CF=8-6=2.
同理可得：OE=6，或者上涨：8+6=14
【分析】解决实际生活问题时，需分析题目条件，再将文字信息转化为数学语言和图形信息，通过作半径垂直弦（或由已知半径垂直弦），利用垂径定理找到双半Rt三角形的已知边长，利用勾股定理求出相关线段.
【设计意图】问题探究通过复习垂径定理及其逆定理的相关内容，理清涉及线段之间的关系，让学生能够明白垂径定理解决实际问题时的一般方法和基本图形。在具体的题目应用过程中，让学生逐步清楚根据已知条件，利用垂径定理找到“双半Rt△”，自然生成思路和解法，并让学生体会，在遇到多条平行弦时，要分别求解，遇多种情况时需分类讨论.
（三）拓展生长
已知一座桥的桥拱是圆弧形，桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为30m，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为9m，求这座桥的桥拱圆弧的半径.
【分析】圆不完整时，需要引导学生自己补图，找到圆心、半径，并将题中信息转化为数学语言和图形信息。用表示桥拱圆弧，设所在圆的圆心为O，D为的中点，连结OD，交AB于点C，由垂径定理逆定理可得OD垂直平分AB.所以CD就是拱高.在这个过程中，寻找到“双半Rt△OAC”，找线段之间的关系进一步求解，由于半径未知，那么OC也未知，因此不能直接求解，需要设元列方程进行计算求解。
解析： 由题意，可得：AB=30，CD=9，
∴AC=AB=15(m)，
OC=OD-DC=（R-9）（m）.
在Rt△OAD中，OA2=AC2+OC2，
∴R2=152+(R-9)2，
解得R＝17m.
【设计意图】本例在问题探究的基础上，需要学生考虑补圆心，找相关线段条件，让并且根据题意能够利用垂径定理的逆定理来找到直角三角形和边长关系，当不能直接求解时，引导学生通过设元，列方程求解.
变式：如图，有一个双车道隧道，横截面呈圆弧形，隧道内路面宽为8m，隧道拱顶（圆弧中点）到路面的距离为6m，求圆弧形隧道口的半径长，并判断一辆货车，车身宽3米，车身连集装箱总共高为4米，能否从这个隧道通过，请说明理由.
【分析】引导学生根据题意作出隧道横截面的几何图形，并将隧道的相关文字信息借助图形转化为数学语言，再进一步求解圆弧形隧道的半径.并把货车抽象成一个矩形，考虑正好通过时的状态，再根据临界情况，求相关的线段进行判断.
【设计意图】此变式在圆弧形图形上与前面有了较大的变化，补的圆心在弧与弦内部，并且融入生活中的需用垂径定理进一步解决的问题，如求车辆通行问题等,让学生再次熟悉垂径定理下在双半Rt△求线段的问题.
四、梳理提升
用垂径定理怎样解决生活问题的方法，你掌握了吗？
本节内容主要复习的是垂径定理在生活中的应用问题，首先需要引导学生将这类文字信息题转化为数学语言，借助图形扎到几何信心，若图形信息不全，需要补圆心找条件。根据已知条件通过作半径垂直弦或知弧（或弦）中点，可以证半径垂直弦，从而找到一个双半Rt三角形，通过直接计算或间接设元的方法来求相关线段或解决水面上涨、车辆通行等问题。在解决这类问题时我们需要分类讨论、构造图形。

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