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(共12张PPT)
“一线三等角”模型的探究与应用
年 级：九年级
学 科：初中数学（浙教版）
问
题
背景
如图，在△ACD中，∠ACD=90°，AC=DC，按如下步骤操作：
（2）分别过点A、D作直线l的垂线段，垂足分别为点B、E；
B
E
从这个图形中你能得到什么结论？
结论：△ABC≌△CED
如果将△ACD的形状作一下改变，这个结论还成立吗？
（1）任意作一条直线 经过点C(不与AC、DC重合)；
“一线三直角”全等模型
探究1：若将等腰直角△ACD改为任意直角三角形，按上面的步骤(1)(2)作图；
从这个图形中你能得到什么结论？
结论：△ABC∽△CED
“一线三直角”基本图形
特征：∠ABC=∠ACD=∠CED=90°且顶点在同一直线上.
结论：△ABC∽△CED
探究2：如图，若将直角三角形ACD改成任意△ACD，已知∠B=∠ACD=∠E=a，
△ABC与△CDE还相似吗？请说明理由.
∵∠B=∠ACD=a
∴∠BAC+∠ACB=∠ACB+∠DCE=180°-a
∴∠BAC=∠DCE
又∵∠B=∠E=a
∴△ABC∽△CED
“一线三等角”基本图形
问
题
背景
问
题
探究
结论：△ABC∽△CED
特征：∠B=∠ACD=∠E=a且顶点在同一直线上
B
E
“一线三直角”相似模型
模型提炼：“一线三等角”基本图形
问
题
背景
问
题
探究
一.三个等角可以是锐角、直角或钝角
二.点C还可以在线段BE或EB的延长线上
同侧型
异侧型
尝试
问
题
背景
问
题
探究
如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为________.
思考1：由已知条件△ABC是等边三角形你能得到什么？
∠ABD=∠DCE=60°
思考2：由∠ABD=∠DCE=60°，结合条件∠ADE=60°，你想到了什么？
“一线三等角”模型
∵△ABC是等边三角形，
∴CD=BC-BD=9-3=6，∠BAD+∠ADB=120°.
又∵∠ADE=60°，
∴∠DAB=∠EDC，
则
∴∠B=∠C=60°，AB=BC，
解得CE=2
∴AE=AC-CE=9-2=7.
∴∠ADB+∠EDC=120°.
∴△ABD ∽ △DCE.
60°
三个等角：∠B=∠ADE=∠C=60°
“一线三等角”模型
7
例题 如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=-x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C(2,0)，点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值为___________.
问
题
背景
问
题
探究
P
思考1：由直线y=-x+m你能得到什么？
OB=OA=m，∠OBA=∠OAB=45°
思考2：结合条件∠CPA=∠ABO=45°你想到了什么？
存在“一线二等角”
找可能的另一“等角”构“一线三等角”
思考3：如将y轴看成“一线”，如何寻另一“等角”？
解：在y轴半负轴上截OD，使OD=OC=2，则∠PDC=45°，CD=
由y=-x+m可得A（m，0），B（0，m），
y
x
O
C
A
B
D
∵∠CPA=∠ABO=45°
又∵∠ABP=∠PDC=45°
∴OA=OB=m，∠OBA=∠OAB=45°，AB=
∴∠BPA+∠OPC=∠BPA+∠BAP=135°
∴∠OPC=∠BAP .
∴△PCD∽△APB
∴
∴
解得：m=12
m=12
问
题
背景
问
题
探究
“一线三等角” 模型
找角：根据图形中存在的“一线二等角”，找可能的另一“等角”
定线：将相等角所在顶点的直线看成“一线”.
构相似：利用两个相等的角，再补一个相等的角，从而构造“一线三等角”相似模型
例 已知：等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转.
问
题
背景
问
题
探究
拓展生长
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，求证：△BPE∽△CFP；
图a
步骤一：找角
∠B=∠C=30°
∠EPF=
步骤二：定线
步骤三：找相似
∠BEP+∠BPE=∠BPE+∠CPF=150°
∠BEP=∠CPF
∠B=∠C，
△BPE∽△CFP
例 已知：等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转.
问
题
背景
问
题
探究
拓展生长
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F.
①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
图b
△BPE∽△CFP
例 已知：等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转.
问
题
背景
问
题
探究
拓展生长
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F.
图b
②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；
①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
△BPE∽△CFP
思考1：△BPE与△PFE有没有相等的量？
∠EBP=∠EPF
思考3：目前我们已知什么？
△BPE∽△CFP
思考2：结合∠EBP=∠EPF，要证△BPE与△PFE相似，你会用相似的哪个判断方法？
BP=PC
△BPE∽△PFE
例 已知：等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转.
问
题
背景
问
题
探究
拓展生长
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F.
图b
②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；
③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S.
①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
思考1：结合EF=m，△EPF的面积S你会怎么表示？
思考2：PG如何表示？
G
由△BPE∽△PFE你能得到什么？
∠BEP=∠PEF
思考3：由∠BEP=∠PEF，PG⊥EF，你想到了什么？
K
PG=PK
在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°
BC=
BP
在△BPK中，PK=
PG=
“一线三等角” 模型
当点P为BC中点时，△BPE∽△PFE∽△CFP
特征：∠ABC=∠ACD=∠CED=a，且顶点在同一直线上.
构造模型步骤：①找角 ②定线 ③找相似
结论：△ABC∽△CED
数形结合思想
转化思想
问
题
背景
问
题
探究
拓展生长
梳理提升

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