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第1章 直线与方程
第01讲 直线的斜率与倾斜角
课程标准 重难点
理解直线的斜率和倾斜角的概念；理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性；3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 1.倾斜角永远存在但斜率不一定2.倾斜角与斜率的计算
知识点一　直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。
规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以倾斜角的范围是．
【概念解读】
1.要清楚定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角.
2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.
3.倾斜角的范围是.当时，直线与x轴平行或与x轴重合.
4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.
5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.
知识点二　直线的斜率
斜率的定义
1..倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．
2.概念解读：当直线与x轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0；直线与x轴垂直时，=90°，k不存在。由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.
3.直线的倾斜角与斜率之间的关系
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
斜率公式
1.斜率公式：已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式.
【概念解读】
对于上面的斜率公式要注意下面五点：
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x轴垂直；
(2)k与P1、P2顺序无关，即y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
(4)当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合；
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
考法01 直线的倾斜角
设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线，则直线1的倾斜角为
【跟踪训练】
1.已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．
【方法总结】
1.解答此类问题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．
2.求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
考法02 直线的斜率
【例2】如图所示，直线的倾斜角，直线与垂直，求，的斜率．
【跟踪训练】
2.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m＝________.
3.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________(其中m≥1)．
考法03 三点共线
（2021·吉林扶余市第一中学期末）若a∈N，又三点A（a，0），B（0，a+4），C（1，3）共线，求a的值．
【跟踪训练】
4.已知A（―3，―5），B（1，3），C（5，11）三点，试判断这三点是否在同一直线上．
【方法总结】
1.应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解．
2.用斜率公式可解决三点共线问题
1.知识体系
2.斜率公式
(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说， 如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝.
(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
题组A 基础过关练
一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，下列四条直线中，斜率最大的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，，直线的斜率为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为，则其一条边所在直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
5．若，，三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知点A(1，0)，B(2，)，C(m，2m)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为________.
7．若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则________.
8．若直线经过，两点，则直线的倾斜角的大小是________．
题组B 能力提升练
1．直线：与轴交于点，把绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（ ）
A． B．
C． D．
2．直线xsinα-y+2=0的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中，正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是
D．当直线的倾斜角时，直线的斜率在这个区间上单调递增.
5．已知直线与两点，点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是______．
6．已知直线的倾斜角为，则的取值范围是_________．
7．已知直线.
（1）若直线过点，试写出直线的一个方向向量；
（2）若实数，求直线的倾斜角的取值范围.
8．已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1).
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？
题组C 培优拔尖练
1．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，，，，分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（ ）
A． B． C． D．
2．坐标平面内有相异两点，，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法错误的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件；
B．直线与直线互相平行，则；
C．过两点的所有直线的方程为；
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为．
5．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____．
6．颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：），表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值．
该研究小组得到以下结论：
①在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高;
②在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高;
③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高;
④在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低．
其中，所有正确结论的序号是__________．
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
第1章 直线与方程答案
第01讲 直线的斜率与倾斜角
课程标准 重难点
理解直线的斜率和倾斜角的概念；理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性；3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 1.倾斜角永远存在但斜率不一定2.倾斜角与斜率的计算
知识点一　直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。
规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以倾斜角的范围是．
【概念解读】
1.要清楚定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角.
2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.
3.倾斜角的范围是.当时，直线与x轴平行或与x轴重合.
4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.
5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.
知识点二　直线的斜率
斜率的定义
1..倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．
2.概念解读：当直线与x轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0；直线与x轴垂直时，=90°，k不存在。由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.
3.直线的倾斜角与斜率之间的关系
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
斜率公式
1.斜率公式：已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式.
【概念解读】
对于上面的斜率公式要注意下面五点：
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x轴垂直；
(2)k与P1、P2顺序无关，即y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
(4)当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合；
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
考法01 直线的倾斜角
设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线，则直线1的倾斜角为
【答案】当0°≤＜135°时，为+45°，当135°≤＜180°时，为－135°
【解析】倾斜角的范围是[0°，180°），因此，只有当+45°∈[0°，180°），即当0°≤＜135°时，的倾斜角才是+45°，而当135°≤＜180°时，的倾斜角为－135°．故应选D．
【跟踪训练】
1.已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．
【答案】60°或120°
【解析】有两种情况：①如图（1），直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图（2），直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
【方法总结】
1.解答此类问题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．
2.求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
考法02 直线的斜率
【例2】如图所示，直线的倾斜角，直线与垂直，求，的斜率．
【解析】由图形可知，，则k1，k2可求．
直线的斜率．
∵直线的倾斜角=90°+30°=120°，
∴直线的斜率k2=tan120°=tan(180°―60°)=―tan60°=．
【跟踪训练】
2.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m＝________.
【答案】1.2
【解析】tan 45°＝，得m＝2.
3.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________(其中m≥1)．
【答案】2.0°<α≤90°
【解析】当m＝1时，直线与x轴垂直，此时斜率不存在，倾斜角为90°.当m>1时，直线的斜率为k＝＝＝，因为m>1，所以k>0，故直线的倾斜角的取值范围为0°<α<90°.综上可知，直线的倾斜角α的取值范围是0°<α≤90°.
考法03 三点共线
（2021·吉林扶余市第一中学期末）若a∈N，又三点A（a，0），B（0，a+4），C（1，3）共线，求a的值．
【解析】∵A、B、C三点共线，∴直线AC、BC的斜率相等，
∴，解之得，a=±2．
【跟踪训练】
4.已知A（―3，―5），B（1，3），C（5，11）三点，试判断这三点是否在同一直线上．
【解析】由题意可知直线AB的斜率，直线BC的斜率．
因为kAB=kBC，即两条直线的斜率相同，并且它们过同一点B，所以A，B，C三点在同一直线上．
【方法总结】
1.应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解．
2.用斜率公式可解决三点共线问题
1.知识体系
2.斜率公式
(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说， 如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝.
(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
【答案】①轴正向 ②倾斜角 ③0° ④0°<180° ⑤ ⑥ ⑦k>0 ⑧90° ⑨增大
题组A 基础过关练
一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由变形可得，则，又，所以，
2．如图所示，下列四条直线中，斜率最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由图可知：斜率为负，斜率为，的斜率为正，
又的倾斜程度大于，所以的斜率最大，故选：D.
3．如图，在矩形中，，直线的斜率为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，在中，，，
∴，即.
设直线的倾斜角为，则，
∴直线的倾斜角为，故.
故选：A.
4．已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为，则其一条边所在直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
以正方形的顶点为坐标原点，建立如图坐标系，
根据题意，对角线的斜率为，设其倾斜角为，
则正方形的倾斜角分别为，
又，
所以两直角边的斜率分别为或.
故选: B.
5．若，，三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，故，
因为三点共线，故，故，
故选：A.
6．已知点A(1，0)，B(2，)，C(m，2m)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为________.
【答案】
【解析】设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α，又tanα=，0°≤α<180°，所以α=60°，2α=120°，
所以kAC==tan120°=，得m=.
故答案为：
7．若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则________.
【答案】
【解析】由题意得，
ab+2(a+b)=0，．
故答案为：．
8．若直线经过，两点，则直线的倾斜角的大小是________．
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为，
因为直线经过，两点，
所以直线的斜率，
所以，
因为，所以，
故答案为：
题组B 能力提升练
1．直线：与轴交于点，把绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设的倾斜角为，则，∴，
由题意知，
∴
.故选：C．
2．直线xsinα-y+2=0的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】直线的斜率为，
∵， ∴
∴倾斜角的取值范围是.故选：B.
3．直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设直线的倾斜角为，
当时，；
当时，则．
因为
所以
综上可得：．
故选：A
4．下列命题中，正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是
D．当直线的倾斜角时，直线的斜率在这个区间上单调递增.
【答案】C
【解析】倾斜角的范围为时，直线斜率，倾斜角的范围为时，直线斜率，故A错误；直线的倾斜角时，直线斜率不存在，故B错误；直线倾斜角，则斜率的范围为，故C正确；斜率在和上单调递增，故D错误.故选：C.
5．已知直线与两点，点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】由条件得有解，解得，
由，得或．
故答案为：．
6．已知直线的倾斜角为，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】当时，直线为，斜率不存在，倾斜角；
当时，直线化为直线的斜截式方程：
斜率，即，
综上可知，倾斜角的取值范围是
故答案为：
7．已知直线.
（1）若直线过点，试写出直线的一个方向向量；
（2）若实数，求直线的倾斜角的取值范围.
【解析】（1）把代入直线的方程，得，解得，此时直线的方程为，
故直线的一个方向向量为；
（2）因为，所以直线的斜率，
∴当时，当且仅当时等号成立；
当时，当且仅当时等号成立；
综上有，可得倾斜角.
8．已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1).
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？
【解析】(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，
即k＝＝>0，
解得m>－2.
(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，
即k＝＝<0，
解得m<－2.
(3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，此方程无解，故直线MN的倾斜角不可能为直角.
题组C 培优拔尖练
1．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，，，，分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】都为五角星的中心点，平分第三颗小星的一个角，
又五角星的内角为，可知，
过作轴平行线，则，所以直线的倾斜角为，
故选：C
2．坐标平面内有相异两点，，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为点，是相异两点，
，且，
设直线的倾斜角为，则
当，倾斜角的范围为．
当，倾斜角的范围为．
故选：B
3．已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为，所以，
设倾斜角为，，则，
所以.故选：B
4．下列说法错误的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件；
B．直线与直线互相平行，则；
C．过两点的所有直线的方程为；
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为．
【答案】ABCD
【解析】对于：当时，“直线与直线互相垂直”，
当直线与直线互相垂直时，即解得或，
故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故错误．
对于：直线与直线互相平行，所以解得或，经检验或都成立；故错误；
对于：过，，，（且，两点的所有直线的方程为，故错误．
对于：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为：
故①：经过原点的直线为，②设在坐标轴上的截距为，设直线方程为所以，解得，故，故错误．
故选：．
5．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____．
【答案】
【解析】正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系，
设对角线OB所在直线的倾斜角为，则，
由正方形性质可知，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
故，
.
故答案为：；.
6．颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：），表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值．
该研究小组得到以下结论：
①在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高;
②在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高;
③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高;
④在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低．
其中，所有正确结论的序号是__________．
【答案】②④
【解析】依题意，，知直线的斜率越大，颗粒物过滤效率越小. 看图分析如下：
在第1种口罩的4次测试中，四条直线中，直线斜率最大，故最小，第4次测试时的颗粒物过滤效率最低，则①错误；
在第2种口罩的4次测试中，四条直线中，直线斜率最小，故最大，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高，则②正确；
在第1次和第2次测试中，直线斜率大于斜率，，即第1种口罩的颗粒物过滤效率高，在第3次和第4次测试中，斜率大于直线，斜率，即第2种口罩的颗粒物过滤效率高，故③错误，④正确.
故答案为：②④.
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
目标导航
知识精讲
能力拓展
例 1
例 2
例 3
课堂小结
直线的倾斜角与斜率
倾斜角
斜率
当直线与轴相交时，我们取轴作为基准， ① 与直线向上方向之间所成的角叫做直线的 ② ．当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为 ③ ，因此，倾斜角的取值范围是 ④
斜率公式：在直角坐标平面内，已知两点，经过这两点的直线的斜率k= ⑤
倾斜角不是90°的直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用表示，即k= ⑥
分层提分
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例 1
例 2
例 3
课堂小结
直线的倾斜角与斜率
倾斜角
斜率
当直线与轴相交时，我们取轴作为基准， ① 与直线向上方向之间所成的角叫做直线的 ② ．当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为 ③ ，因此，倾斜角的取值范围是 ④
斜率公式：在直角坐标平面内，已知两点，经过这两点的直线的斜率k= ⑤
倾斜角不是90°的直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用表示，即k= ⑥
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