资源简介

第1讲 等差数列专题练习
一、知识储备：
二、题型分类：
题型一：等差数列基本量计算
1.在等差数列{an}中，若a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　∵a1＋a5＝10＝2a3，∴a3＝5.故d＝a4－a3＝7－5＝2.
2．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
【答案】　13
【解析】　由已知得，解得，
所以a6＝a1＋5d＝13.
3．若x≠y，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则＝________.
【答案】　【解析】　由于，，则.
题型二：等差数列的性质
1.已知等差数列中，若，，求的通项公式.
【思路点拨】可以直接列方程组求解和；同时留意到脚标，可以用性质：当时解题.
【解析】∵，∴即，
代入已知，有，解得或，
当，时，，∴；
当，时，， ∴.
2.在等差数列中，，则=
【答案】10
3.在等差数列中，若，， 则= ， =
【答案】∵，，∴，
∴，∴.
题型三：数列的通项公式与求和
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)
A．5　　　　　　　　　　　 B．7
C．9 D．11
答案　A
解析　∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，得3a3＝3，则a3＝1，
∴S5＝＝5a3＝5，故选A项．
2.等差数列中，若， 则=_________.
【答案】由，得.
3.已知两等差数列、的前项和分别为、，且，试求.
【解析】
方法一：∵，
∴ .
方法二：由得
方法三：由题设，令等差数列前项和， ，则
，，
∴.
题型四：数列的实际应用问题
1.年，考古工作者在湖南省云梦县睡虎地秦墓出土了大量记载秦法律令的竹简，其中包括徭律一条．徭律是秦代关于徭役的法律，其中规定：服徭戍迟到处以申斥和赀罚．失期三日到五日，谇；六日到旬，赀一盾；过旬，赀一甲．意思是：迟到天以内算正常，不处罚；迟到天，口头批评；迟到日，罚一面盾牌；迟到天以上，罚一副甲胄．若有一队服徭役的农民从甲地出发前往乙地，甲、乙两地相距里，第一天行里，以后每天都比前一天少行里，要求天内到达，则该队服徭役的农民最可能受到的惩罚是（ ）．
A．无惩罚 B．谇 C．赀一盾 D．赀一甲
【答案】C
【解析】由题意知，每日行走的路程成等差数列，记为，
因为首项为，公差为，所以．
设从甲地到乙地用天，则，即，解得或（舍），
即从甲地出发前往乙地所用的时间为天，因为要求天到达，所以迟到了天，
又因为迟到日，罚一面盾牌，故应赀一盾．故选：C.
2.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第个三角形数为.记第个边形数为,以下列出了部分边形数中第个数的表达式:
三角形数
正方形数
五边形数
六边形数
可以推测的表达式,由此计算___________.
【答案】1000
3.根据科学测算，运载神舟飞船的长征系列火箭，在点火后一分钟上升的高度为1 km，以后每分钟上升的高度增加2 km，在达到离地面240 km高度时船箭分离，则从点火到船箭分离大概需要的时间是(　　)
A．20分钟 B．16分钟
C．14分钟 D．10分钟
答案　B
解析　本题主要考查等差数列的通项公式．设火箭每分钟上升的距离组成一个数列，
显然a1＝1，而an－an－1＝2.所以可得an＝1＋2(n－1)＝2n－1.所以Sn＝＝n2＝240.所以从点火到船箭分离大概需要的时间是16分钟．故选B.
题型五：等差数列中的最值问题
1.在数列{an}中，an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，a1＝－23.
(1)求an；
(2)设Sn为{an}的前n项和，求Sn的最小值．
(1)由an＋1＋an＝2n－44(n≥1)，an＋2＋an＋1＝2(n＋1)－44，得an＋2－an＝2.
又a1＋a2＝2－44，a1＝－23 a2＝－19，
同理得a3＝－21，a4＝－17，
故a1，a3，a5，…是以a1为首项，2为公差的等差数列；
a2，a4，a6，…是以a2为首项，2为公差的等差数列．
从而an＝
(2)当n为偶数时，
Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋(an－1＋an)
＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2×(n－1)－44]
＝2[1＋3＋…＋(n－1)]－·44＝－22n，
故n＝22时，Sn取最小值－242.
当n为奇数时，
Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)
＝a1＋(2×2－44)＋…＋[2×(n－1)－44]，
＝a1＋2[2＋4＋…＋(n－1)]＋·(－44)
＝－22n－.故n＝21或23时，Sn取最小值－243，
综上所述，Sn的最小值为－243.
2.已知数列{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，.
(1)求公差d；
(2)若a1＝，求数列{bn}中的最大项和最小项；
(3)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围．
【解析】　(1)∵S4＝2S2＋4，∴，
解得d＝1.所以公差d为1.
(2)∵，∴数列{an}的通项公式为，∴.
∵函数在和上分别是单调减函数，
∴当1≤n≤3时，b3当n≥4时，1∴数列{bn}中的最大项是b4＝3，最小项是b3＝－1，
故数列{bn}中的最大项和最小项分别为3，－1.
(3)由，得.
又函数在(－∞，1－a1)和(1－a1，＋∞)上分别是单调减函数，
∴当x<1－a1时，f(x)<1；
当x>1－a1时，f(x)>1.
∵对任意的n∈N*，都有bn≤b8，
∴7<1－a1<8，∴－7∴a1的取值范围是(－7，－6)．
真题再现：
【2020年高考全国II卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.故选：C
【2020年高考北京】在等差数列中，，．记，则数列
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】B
【解析】由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，
且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.故选：B．
【2020年新高考全国Ⅰ卷】将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
【答案】
【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
课后练习:
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8等于(　　)
A．72 B．54
C．36 D．18
答案　A
2．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝(　　)
A．138 B．135
C．95 D．23
答案　C
解析　由等差数列性质得2a3＝4，2a4＝10.
即a3＝2，a4＝5，公差d＝3，a1＝2－6＝－4
∴S10＝－4×10＋×3＝95，故选C.
3．在等差数列{an}中，若a1＋a7＋a8＋a12＝12，则此数列的前13项之和为(　　)
A．39 B．52
C．78 D．104
答案　A
解析　设数列的公差为d，则由a1＋a7＋a8＋a12＝12可得4a1＋24d＝12，即a1＋6d＝3，即a7＝3，故前13项之和为＝13a7＝39.
4．在等差数列{an}中，a2＝5，a7＝3，在该数列中的任何两项之间插入一个数，使之仍为等差数列，则这个新等差数列的公差为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
答案　C
解析　{an}的公差d＝＝－
∴新等差数列的公差d′＝(－)×＝－，故选C.
5．设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则(　　)
A．S4C．S6S5
答案　B
解析　∵a2＝－6，a8＝6，∴a5＝0
∴S4＝S5，故选B.
6．在等差数列{an}中，a2＋a4＝p，a3＋a5＝q，则S6＝(　　)
A．p＋q B.(p＋q)
C．2(p＋q) D.(p＋q)
答案　B
解析　(a2＋a4)＋(a3＋a5)＝2(a3＋a4)＝2(a1＋a6)＝p＋q，
∴a1＋a6＝(p＋q)．∴S6＝＝(p＋q)．
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是(　　)
A．24 B．48
C．60 D．72
答案　B
解析　设等差数列{an}的公差为d，由题意可得解得则S10－S7＝a8＋a9＋a10＝3a1＋24d＝48，选B.
8.中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．
答案　5
解析　由题意知，1 010为数列首项a1与2 015的等差中项，故＝1 010，解得a1＝5.
9.设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________．
答案　－72
解析　设等差数列{an}首项为a1，公差为d，则有
∴，
∴S16＝16a1＋d＝－72.
10.等差数列的前项和为,已知,则的最小值为________.
【答案】
11.已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
答案　(1)略　(2)最大项a4＝3，最小项a3＝－1
解析　(1)证明　因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝.
所以当n≥2时，bn－bn－1＝－
＝－＝－＝1.
又b1＝＝－，
所以，数列{bn}是以－为首项，以1为公差的等差数列．
(2)解　由(1)知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋.
设函数f(x)＝1＋，易知f(x)在区间和上为减函数．
所以，当n＝3时，an取得最小值－1；
当n＝4时，an取得最大值3.第1讲 等差数列专题练习
一、知识储备：
二、题型分类：
题型一：等差数列基本量计算
1.在等差数列{an}中，若a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
2．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
3．若x≠y，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则＝________.
题型二：等差数列的性质
1.已知等差数列中，若，，求的通项公式.
2.在等差数列中，，则=
3.在等差数列中，若，， 则= ， =
题型三：数列的通项公式与求和
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)
A．5　　　　　　　　　　　 B．7
C．9 D．11
2.等差数列中，若， 则=_________.
3.已知两等差数列、的前项和分别为、，且，试求.
题型四：数列的实际应用问题
1.年，考古工作者在湖南省云梦县睡虎地秦墓出土了大量记载秦法律令的竹简，其中包括徭律一条．徭律是秦代关于徭役的法律，其中规定：服徭戍迟到处以申斥和赀罚．失期三日到五日，谇；六日到旬，赀一盾；过旬，赀一甲．意思是：迟到天以内算正常，不处罚；迟到天，口头批评；迟到日，罚一面盾牌；迟到天以上，罚一副甲胄．若有一队服徭役的农民从甲地出发前往乙地，甲、乙两地相距里，第一天行里，以后每天都比前一天少行里，要求天内到达，则该队服徭役的农民最可能受到的惩罚是（ ）．
A．无惩罚 B．谇 C．赀一盾 D．赀一甲
2.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第个三角形数为.记第个边形数为,以下列出了部分边形数中第个数的表达式:
三角形数
正方形数
五边形数
六边形数
可以推测的表达式,由此计算___________.
3.根据科学测算，运载神舟飞船的长征系列火箭，在点火后一分钟上升的高度为1 km，以后每分钟上升的高度增加2 km，在达到离地面240 km高度时船箭分离，则从点火到船箭分离大概需要的时间是(　　)
A．20分钟 B．16分钟
C．14分钟 D．10分钟
题型五：等差数列中的最值问题
1.在数列{an}中，an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，a1＝－23.
(1)求an；
(2)设Sn为{an}的前n项和，求Sn的最小值．
2.已知数列{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，.
(1)求公差d；
(2)若a1＝，求数列{bn}中的最大项和最小项；
(3)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围．
真题再现：
【2020年高考全国II卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【2020年高考北京】在等差数列中，，．记，则数列
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【2020年新高考全国Ⅰ卷】将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
课后练习:
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8等于(　　)
A．72 B．54
C．36 D．18
2．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝(　　)
A．138 B．135
C．95 D．23
3．在等差数列{an}中，若a1＋a7＋a8＋a12＝12，则此数列的前13项之和为(　　)
A．39 B．52
C．78 D．104
4．在等差数列{an}中，a2＝5，a7＝3，在该数列中的任何两项之间插入一个数，使之仍为等差数列，则这个新等差数列的公差为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
5．设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则(　　)
A．S4C．S6S5
6．在等差数列{an}中，a2＋a4＝p，a3＋a5＝q，则S6＝(　　)
A．p＋q B.(p＋q)
C．2(p＋q) D.(p＋q)
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是(　　)
A．24 B．48
C．60 D．72
8.中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．
9.设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________．
10.等差数列的前项和为,已知,则的最小值为________.
11.已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．

展开更多......

收起↑