资源简介

一、数列求通项（法、法）
必备秘籍
1对于数列，前项和记为；
①；②
②：
使用法注意两步：①②
法归类
角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求
角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知，，求； 已知首项为1的数列的前项和为，且．求数列的通项公式；
角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 记得检验n=1时 数列满足．求
2对于数列，前项积记为；
①；②
①②：
法归类
角度1：已知和的关系 角度1：用，得到 例子：的前项之积.
角度2：已知和的关系 角度1：用替换题目中 例子：已知数列的前n项积为，且.
法：角度2：将题意中的用替换
例题1．已知首项为1的数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
感悟升华（核心秘籍） 1、已知与，使用法时，用替换作为核心秘籍记忆； 2、当遇到，使用法时，用替换作为核心秘籍记忆；
【答案】
依题意，，故，
因为，所以，
又，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，．
当时，，
又当n＝1时，也满足上式，所以．
法：角度2：已知和的关系
例题2．已知数列的前项积为，且.求数列的通项公式；
【答案】，
当时，
当时，∴
由得即
∴
∴是以3为首项，2为公差的等差数列，
∴，
练习
1、（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【解析】（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；
（2） ∴
2、（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【解析】（1）因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．
（2）由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时．
3．已知数列的前项和为，各项均为正数的数列的前项积为，且，，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：为等比数列.
【答案】(1)(2)证明见解析
(1)解：当时，，，
当时，，
所以，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以；
(2)证明：，，
当时，，则，
由于，则，
所以数列是等比数列.
二、数列求通项（累加法、累乘法）
必备秘籍
一、累加法（叠加法）
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得：=
二、累乘法（叠乘法）
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
例题：在数列中，，求数列的通项公式；
【答案】依题意，，
即，
所以当时
当时也满足上式，所以
三、数列求通项（隔项等差（等比）数列）
必备秘籍
1、隔项等差数列
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中：
①构成以为首项的等差数列，公差为；
②构成以为首项的等差数列，公差为；
2、隔项等比数列
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中：
①构成以为首项的等比数列，公比为；
②构成以为首项的等比数列，公比为；
例题1． ，，求的通项公式；
【答案】(1)
因为 所以， 两式相减得，所以是隔项等差数列，
且， 所以为奇数， 为偶数，
所以.
例题2．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，.求数列的通项公式；
【答案】由题意得，，则，两式相减得，
∵，∴.∵，∴当，，
又，∴，∴当时，.
综上，.
角度2：隔项等比数列
例题3．已知数列满足，，.
求数列的通项公式；
【答案】(1)
解：由题意，当时，，可得，
因为，可得，所以，，
所以数列的奇数项和偶数项都是公比为的等比数列.
所以当为奇数时，设，则，
当为偶数时，设，则.
因此，.
练习：
1．已知数列满足，．求数列的通项公式；
【答案】；
依题意，，由得：，
则当n为奇数，时，
，满足上式，
当n为偶数，时，
，满足上式，
即当n为奇数时，，当n为偶数时，，
所以．
2.若数列，，，求数列的通项公式.
答案
当是奇数时：，整理得；当是偶数时：，整理得
解：因为，所以，两式相除：，所以是隔项等比数列；
构成以为首项的等比数列，公比为；
构成以为首项的等比数列，公比为；
当是奇数时：，整理得
当是偶数时：，整理得
四、数列求通项（构造法、倒数法）
必备秘籍
1.构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（
其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.
标准模型：（为常数，）或（为常数，）
例：在数列中，，且.证明：为等比数列，并求的通项公式；
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
例：设数列满足： .求数列的通项公式.
（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.
例：已知正项数列中，，，求数列的通项公式．
（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
例：已知数列中，，.求数列的通项公式；
2.倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
例：已知数列中，，，求的通项公式.
类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）
例：已知数列的通项公式为，，求数列的通项公式.
二、典型例题
例题1．在数列中，，且.
证明：为等比数列，并求的通项公式；
感悟升华（核心秘籍） 1、使用构造法模型的标准（类型1）： 标准模型：（为常数，）或（为常数，） 其中“待定系数”，作为核心模型直接记忆
【答案】(1)证明见解析，
解：因为，所以，又，所以，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列.
故，即.
例题2．设数列满足： .求数列的通项公式.
感悟升华（核心秘籍） 1、使用构造法模型的标准（类型2）： ① ② ③ 注意对比例题2,3,4的技巧
【答案】.
由知：，而，
∴数列是首项、公差为的等差数列，即，
∴.
例题3．已知正项数列中，，，求数列{an}的通项公式．
【答案】.
在递推公式的两边同时除以，得＝×＋，①
令，则①式变为，即，
所以数列是等比数列，
其首项为，公比为，
所以，
即
所以，
例题4．已知数列中，，.求数列的通项公式；
【答案】；
因为，令，则，又，所以.
对两边同时除以，得，
又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，故；
例题5．已知数列中，，，求的通项公式.
感悟升华（核心秘籍） 1、使用倒数法模型的标准：（类型1） ，此类型取倒数化简后，从而构造出新的等差数列
【答案】.
，两边取倒数得，即，
又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，故；
例题6．已知数列的通项公式为，
求数列的通项公式.
感悟升华（核心秘籍） 1、使用倒数法模型的标准：（类型2） 形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：，再用待定系数法.
【答案】(1)
解：因为，
所以，
则，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以；
练习
1．记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.求的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
【答案】(1)
(2)证明见解析；
(1)解：设等差数列的公差为，
因为，
则，
解得或（舍去），
所以；
(2)证明：因为，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；一、 数列求通项（法、法）
必备秘籍：
1对于数列，前项和记为；
①；②
②：
使用法注意两步：①②
法归类
角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求
角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知，，求； 已知首项为1的数列的前项和为，且．求数列的通项公式；
角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求记得检验n=1时 数列满足．求
2对于数列，前项积记为；
①；②
①②：
法归类
角度1：已知和的关系 角度1：用，得到 例子：的前项之积.
角度2：已知和的关系 角度1：用替换题目中 例子：已知数列的前n项积为，且.
法：角度2：将题意中的用替换
例题1．已知首项为1的数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
法：角度2：已知和的关系
例题2．已知数列的前项积为，且.求数列的通项公式；
练习：
1、（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
2、（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
3．已知数列的前项和为，各项均为正数的数列的前项积为，且，，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：为等比数列.
二、数列求通项（累加法、累乘法）
必备秘籍
一、累加法（叠加法）
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得：=
二、累乘法（叠乘法）
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
总结：
1、使用累加法的标准模型：
①或②
2、累加法使用过程中，从开始，最后结束时应写到，注意避免出现，最大的下角标只写到.
3、使用累乘法的标准模型：
①或②
4、累加法使用过程中，从开始，最后结束时应写到，注意避免出现，最大的下角标只写到.
例题．在数列中，，求数列的通项公式；
三、数列求通项（隔项等差（等比）数列）
必备秘籍
1、隔项等差数列
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中：
①构成以为首项的等差数列，公差为；
②构成以为首项的等差数列，公差为；
2、隔项等比数列
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中：
①构成以为首项的等比数列，公比为；
②构成以为首项的等比数列，公比为；
例题1．已知数列，，，求的通项公式；
对于本例中作为一个模型直接记忆，考试遇到判断为隔项等差数列.便于快速求解
特别注意分奇偶时，判断是第几项
例题2．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，.求数列的通项公式；
角度2：隔项等比数列
例题3．已知数列满足，，.
求数列的通项公式；
对于本例中作为一个模型直接记忆，考试遇到判断为隔项等比数列.便于快速求解
特别注意分奇偶时，判断是第几项
练习
1、已知数列满足，．求数列的通项公式；
2.若数列，，，求数列的通项公式.
四、数列求通项（构造法、倒数法）
必备秘籍
1.构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.
标准模型：（为常数，）或（为常数，）
例1：在数列中，，且.证明：为等比数列，并求的通项公式；
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
例2：设数列满足： .求数列的通项公式.
（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.
例3：已知正项数列中，，，求数列的通项公式．
（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
例4：已知数列中，，.求数列的通项公式；
2.倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
例5：已知数列中，，，求的通项公式.
类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）
例6：已知数列的通项公式为，，求数列的通项公式.
练习
1.记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.求的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；

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