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一、中线问题
例题1．在中，内角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且边上的中线长为，求的面积.
【答案】（1）（2）
（1）由正弦定理得，化简得.
由余弦定理得，
由可得；
（2）设的中点为，
由余弦定理得，，
由可得，
即即，
所以.
又，，所以，
所以.
可以尝试中线向量法，更加简便
练习
1．已知函数．
(1)求的最小正周期和最大值：
(2)设的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且，，AB边上的中线长为，求的面积．
【答案】(1)，最大值为.(2)
(1)
，
故，当，即，时有最大值为.
(2)，即，，故.
AB边上的中线长，，
故，
故，解得或（舍去），
.
2．在三角形中，有．
（1）求角A；
（2）设是边上的中线，若，求中线的长．
【答案】（1）；（2）.
（1）由已知，化简得，
，
整理得，
即，
由于，则，所以．
（2）由题意得，，
又，
所以，
所以
3．在中，是边的中线，，且．
（1）求的面积；
（2）若，求的长．
【答案】（1）；（2）．
【详解】
（1），则，
；
（2）由得，延长到，使，连接．
由平面向量加法的平行四边形法则可得，
所以，，，即的长为．
4．已知是三内角的对边，且.
（1）求角B的大小；
（2）若，且的面积为，求
①周长；
②AC边的中线BD的长度.
【答案】（1）；（2）①；②.
解：（1）由正弦定理：，
，
，又，
又，所以；
（2）①由余弦定理：(1)，
由三角形面积公式：，即(2)，
由（1）（2），
所以，三角形周长为：；
②在中分别使用余弦定理：
（3）
（4）
又因为
（3）+（4）得
所以.
二、角平分线问题
例题1．如图，已知是中的角平分线，交边于点.
（1）用正弦定理证明：；
（2）若，，，求的长.
【答案】(1)证明见解析；(2).
：（1）∵是的角平分线，∴根据正弦定理，在中，，在中，
∵∴,∴
（2）根据余弦定理，，即，解得
又，∴，解得，； 设，则在与中，
根据余弦定理得，且
解得，即的长为．
例题2．在中，线段是的角平分线，且求.
【答案】（1）；
解（1）平分
例题3．在△中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则 __________；
【答案】
由角平分线的性质知：，若，
因为，则，
所以，整理得，解得或（舍）.
所以.
故答案为：
练习
1．在中，是的中点，，，．
（1）的面积为________．
（2）若为的角平分线，在线段上，则的长度为________．
【答案】
解：（1）由题意，是的中点，
，，
即，解得．
，
又，，．
（2）由题意，由（1）可知，．由可得，即，从而.
2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求角A的大小；
(2)若，AD＝2，且AD平分∠BAC，求△ABC的面积．
注：三角形的内角平分线定理：在△PQR中，点M在边QR上，且PM为∠QPR的内角平分线，有．
【答案】(1)(2)
(1)因为，故，
所以即，
而为三角形内角，故.
(2)因为，所以，
因为为角平分线，故且即，
由余弦定理可得，
且
所以，解得，
故，
所以三角形的面积为.
3．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在BC边上，AD是角平分线，，且的面积为．
(1)求A的大小及的值；
(2)若，求BD的长．
【答案】(1)，(2)
(1)解：在中，，
由正弦定理得，
∴由余弦定理可得，
又∵，∴，
∵，
∴，解得，
∴；
(2)解：∵，由（1）得，∴，
∵AD是角平分线，
∴，
故，解得，
在中，，，，
由余弦定理得，
∴．
4．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边上，为的角平分线．．
(1)求；
(2)若，求的大小．
【答案】(1)(2)
(1)，，即
由正弦定理可得
，
即
(2)，即
设，则
，解得
解三角形（周长（边长）问题（含定值，最值，范围问题））
例题1．在中，角的对边分别为，且．
(1)求角；
(2)若的面积，且，求的周长．
【答案】(1)(2)
(1)因为，由余弦定理，得到，
又，所以；
(2)因为△的面积，且，
所以有，
联立，则，
所以△的周长为
例题2．在中，角所对的边分别为，已知．
(1)若，求； (2)求的最大值．
【答案】(1)(2)
(1)∵∵，∴，∴
所以．
(2)在中由余弦定理可知
∴
当且仅当时，的最大值为．
例题3．在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)解：因为，
由正弦定理得，
即，
即，
因为，所以，
所以.
因为，所以，
所以，因为，所以.
(2)解：由正弦定理得，
所以
，
所以.
因为，所以，
所以，所以.
练习
1．已知中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若的面积，且，求的值．
【答案】(1)(2)
(1)解：因为，
由正弦定理可得，即，即，
由余弦定理可得，
故，因为，所以．
(2)解：因为，所以，
再由，即，所以，
所以.
2．在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角的值；
(2)若为锐角三角形，利用（1）所求的角值求的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)因为，所以，
因为，∵，
∴，∵，∴，∴，
因为，∴，∴.
(2)由正弦定理，
，
∵为锐角三角形，∴，即，，
∴}
∴的取值范围是.
3．已知的内角所对的边分别是，．
(1)求角；
(2)若外接圆的周长为，求周长的最大值．
【答案】(1)(2)9
(1)由正弦定理可得，即．
由余弦定理得．
又，所以．
(2)因为△外接圆的周长为，所以△外接圆的直径为．
由正弦定理得，则．由余弦定理得．
因为，所以，即，
由三角形性质知，当且仅当时，等号成立．所以故△周长的最大值9．
4．已知的内角的对边分别为，且．
(1)判断的形状；(2)若，，求周长的取值范围．
【答案】(1)直角三角形或等腰三角形(2)
(1)为等腰三角形或直角三角形，证明如下：
由及正弦定理得，，
即，
即，
整理得，所以，
故或，
又、、为的内角，所以或，
因此为等腰三角形或直角三角形．
(2)由（1）及知为直角三角形且不是等腰三角形，
且，故，且，
周长，
因为，故，
得，所以，
解三角形（面积问题（含定值，最值，范围问题））
角度1：求三角形面积（定值问题）
例题1．（2022·陕西省安康中学高二期末（理））在中，．
(1)求的大小；
(2)若，．求的面积．
【答案】(1)(2)
(1)解：因为，由正弦定理可得，
即，
又在中，，所以，，所以；
(2)解：由余弦定理得，即，
解得，所以，又，
所以；.
角度2：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式）
例题2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在中，角的对边分别为，．
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)(2)
(1)由，可得，得，则，
由于，所以．
(2)由，可得，又，则，
则，（当且仅当时等号成立），则，（当且仅当时等号成立），则，即面积的最大值为．
角度3：求三角形面积（范围问题，优先推荐正弦定理化角）
例题3．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期中）在锐角中，内角的对边分别为，向量，，满足.
(1)求角的值；(2)若，求的面积的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)，，，
由正弦定理得，
可得，即，
由，可得，由，可得．
(2)因为，，，
由正弦定理得，
，，
，
锐角，，
，
，
.
练习
1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
(1)求角B；
(2)若，，D为AC边的中点，求的面积．
【答案】(1)(2)
(1)由，有，两边同乘得，故，即．
因为，所以A为锐角，，所以．
又因为，所以．
(2)在中，由余弦定理，即，故，解得或舍）．
故．
2．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若M为的中点，，求面积的最大值．
【答案】(1)(2)
(1)解法一：因为，
由正弦定理得：，
所以，
因为，
所以，
为，
所以．
解法二：因为，
由余弦定理得：，
整理得，
即，
又由余弦定理得
所以，
因为，
所以．
(2)解法一：因为M为的中点，
所以，
所以，
即，
即，
而，
所以即，当且仅当时等号成立
所以的面积为．
即的面积的最大值为．
解法二：设，
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得，②
因为，所以
所以①+②式得．③
在中，由余弦定理得，
而，所以，④
联立③④得：，即，
而，
所以，即，当且仅当时等号成立．
所以的面积为．
即的面积的最大值为．
3． 中，角所对的边分别为，已知，且.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)解：由题意，向量，
因为，可得，
又由正弦定理得，
因为，所以，所以，
即，所以，
可得，所以或，
又因为，所以.
(2)解：由（1）结合正弦定理，可得，
所以，
所以，
又由为锐角三角形，且，则，解得，
因为在单调递增，所以，
所以，即解三角形题型归纳
一、中线问题
1、向量化(三角形中线问题）
如图在中，为的中点，(此秘籍在解决三角形中线高效便捷）
2、角互补
例题．在中，内角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且边上的中线长为，求的面积.
练习
1．已知函数．
(1)求的最小正周期和最大值：
(2)设的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且，，AB边上的中线长为，求的面积．
2．在三角形中，有．
（1）求角A；
（2）设是边上的中线，若，求中线的长．
3．在中，是边的中线，，且．
（1）求的面积；
（2）若，求的长．
4．已知是三内角的对边，且.
（1）求角B的大小；
（2）若，且的面积为，求
①周长；
②AC边的中线BD的长度.
二、角平分线问题
角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
核心技巧1：内角平分线定理：
或
核心技巧2：等面积法(使用频率最高）
核心技巧3：边与面积的比值：
核心技巧4：角互补：
在中有：;
在中有：
例题1．如图，已知是中的角平分线，交边于点.
（1）用正弦定理证明：；
（2）若，，，求的长.
例题2．在中，线段是的角平分线，且求.
例题3．在△中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则
练习
1．在中，是的中点，，，．
（1）求的面积
（2）若为的角平分线，在线段上，则的长度为多少
2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求角A的大小；
(2)若，AD＝2，且AD平分∠BAC，求△ABC的面积．
3．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在BC边上，AD是角平分线，，且的面积为．
(1)求A的大小及的值；
(2)若，求BD的长．
4．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边上，为的角平分线．．
(1)求；
(2)若，求的大小．
三、周长（边长）问题（含定值，最值，范围问题）
核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形）
利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；
核心技巧2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形）
利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
例题1．在中，角的对边分别为，且．
(1)求角；
(2)若的面积，且，求的周长．
例题2．在中，角所对的边分别为，已知．
(1)若，求； (2)求的最大值．
例题3．在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，求的取值范围.
练习
1．已知中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若的面积，且，求的值．
2．在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角的值；
(2)若为锐角三角形，利用（1）所求的角值求的取值范围.
3．已知的内角所对的边分别是，．
(1)求角；
(2)若外接圆的周长为，求周长的最大值．
4．已知的内角的对边分别为，且．
(1)判断的形状；(2)若，，求周长的取值范围．
四、面积问题（含定值，最值，范围问题）
基本公式1、正弦定理及其变形
基本公式2、余弦定理及其推论
基本公式3、常用的三角形面积公式
（1）；
（2）（两边夹一角）；
核心秘籍1、基本不等式
①
②
核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）
利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.
角度1：求三角形面积（定值问题）
例题1．在中，．
(1)求的大小；
(2)若，．求的面积．
角度2：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式）
例题2．在中，角的对边分别为，．
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值．
角度3：求三角形面积（范围问题，优先推荐正弦定理化角）
例题3．在锐角中，内角的对边分别为，向量，，满足.
(1)求角的值；(2)若，求的面积的取值范围．
练习
1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
(1)求角B；
(2)若，，D为AC边的中点，求的面积．
2．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若M为的中点，，求面积的最大值．
3． 中，角所对的边分别为，已知，且.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.

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