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数列求和方法专题练习
专题目录：
知识储备；
题型专练；
真题再现
课后练习
一、知识储备
二、题型分类
题型一：等比等差公式法求和
1．已知等差数列，其前项的和为，，则（ ）
A．24 B．36 C．48 D．64
2.知数列的前n项和，则（ ）
A．350 B．351 C．674 D．675
题型二：倒序相加法求和
1.已知函数满足，若数列满足，则数列的前10项和为（ ）
A． B．33 C． D．34
2.已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
题型三：错位相减法求和
1.数列的前项和，数列的前项和，满足.
（1）求及；
（2）设数列的前项和为，求并证明：.
2．已知数列是公差不为零的等差数列，若，且、、成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
题型四：分组求和
1、若数列的通项公式是，则（ ）
A．45 B．65 C．69 D．
2、设为等差数列，是正项等比数列，且，.在①，②，这两个条件中任选一个，回答下列问题：
（1）写出你选择的条件并求数列和的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若，求数列的前项和.
题型五：裂项相消法求和
1、若数列的前项和满足.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
2、已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
题型六：奇偶并项求和方法
1、设是数列的前n项和，已知，
⑴求数列的通项公式；
⑵设，求数列的前项和．
2．已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
真题再现
1、(2022新高考全国I卷·第17题)记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
/2、(2021年新高考Ⅰ卷·第17题)已知数列满足，
(1)记，写出，，并求数列的通项公式；
(2)求的前20项和．
3、(2020新高考II卷(海南卷)·第18题)已知公比大于的等比数列满足．
(1)求通项公式；
(2)求．
4、(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科·第18题)已知是各项均为正数的等比数列，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
5、(2017年高考数学课标Ⅲ卷文科·第17题)设数列满足．
(1)求的通项公式;
(2)求数列 的前项和．
课后精练
1、已知若等比数列满足则（ ）
A． B．1010 C．2019 D．2020
2、设等差数列的前项和为，且，，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
3、已知数列的通项公式，则 （　　）
A．150 B．162 C．180 D．210
4、数列中，，，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求的前项和.
5、设数列的前项和为，且.
（1）证明：是等比数列；
（2）令，证明：.
6、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝3an－3，其中n∈N*．
（1）证明：数列{an}为等比数列；
（2）设bn＝2n－1，cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．
7、已知数列满足，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.数列求和方法专题练习
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题型专练；
真题再现
课后练习
一、知识储备
二、题型分类
题型一：等比等差公式法求和
1．已知等差数列，其前项的和为，，则（ ）
A．24 B．36 C．48 D．64
【答案】B
【详解】
由等差数列的性质，可得，则
故选：B
2.知数列的前n项和，则（ ）
A．350 B．351 C．674 D．675
【答案】A
【分析】
先利用公式求出数列的通项公式，再利用通项公式求出的值.
【详解】
当时，；
当时，.
不适合上式，
.
因此，；
故选：A.
题型二：倒序相加法求和
1.已知函数满足，若数列满足，则数列的前10项和为（ ）
A． B．33 C． D．34
【答案】A
【分析】
根据，并结合倒序相加法可求出，再利用等差数列求和公式得到答案.
【详解】
函数满足，
①，
②，
由①②可得，，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前10项和为.
故选：A.
2.已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
【答案】D
【分析】
根据函数满足，利用倒序相加法求出，再求前20项和．
【详解】
解：函数满足，①，
②，
由①②可得，
，所以数列
是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查函数的性质及倒序相加法求和，属于基础题．
题型三：错位相减法求和
1.数列的前项和，数列的前项和，满足.
（1）求及；
（2）设数列的前项和为，求并证明：.
【答案】（1），；（2），证明见解析.
【分析】
（1）利用可求出，由可得，两式相减整理可得，从而可得数列是首项为，公比的等比数列，进而可求出，
（2）先利用错位相法求出，再利用放缩法可证得结论
【详解】
（1）当时，；
当时，；
符合上式，所以.
当时，即，所以；
当时，由可得，
相减得，即，
所以数列是首项为，公比的等比数列，所以.
（2），
所以，
则，
相减得
，
所以.
因为，所以，所以.
2．已知数列是公差不为零的等差数列，若，且、、成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设等差数列的公差为，利用已知条件得出关于的方程，求出的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）求得，然后利用错位相减法可求得.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
、、成等比数列，则，即，
整理得，，.
因此，；
（2）由（1）可得.
，①
（2）.
①②得，
因此，.
题型四：分组求和
1、若数列的通项公式是，则（ ）
A．45 B．65 C．69 D．
【答案】B
【分析】
由题意可得，从而可得，进而可得答案
【详解】
因为，
所以，
则 ，
故选：B．
2、设为等差数列，是正项等比数列，且，.在①，②，这两个条件中任选一个，回答下列问题：
（1）写出你选择的条件并求数列和的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若，求数列的前项和.
【答案】（1）条件选择见解析，，；（2）.
【分析】
（1）设的公差为，的公比为，根据所选的条件结合已知条件得出和的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列和等比数列的通项公式可求得数列和的通项公式；
（2）求得，利用分组求和法可求得.
【详解】
（1）选择①：设的公差为，的公比为.
则根据题意有，解得，
所以，；
选择②：设的公差为，的公比为.
则根据题意有，解得，
所以，；
（2）由（1）可知，
所以
.
题型五：裂项相消法求和
1、若数列的前项和满足.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】证明：当时，，计算得出，
当时，根据题意得，，所以 ，即
，即 数列是首项为-2，公比为2的等比数列
由（1）知，
，1
则
2、已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1），（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为（），
因为，且成等比数列，
所以，即，
解得（舍去）或，
所以，
（2）由（1）可得，
所以
题型六：奇偶并项求和方法
1、设是数列的前n项和，已知，
⑴求数列的通项公式；
⑵设，求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）因为，所以当时，
两式相减得， 所以
当时，，，则
所以数列为首项为，公比为的等比数列， 故
（2）由（1）可得
所以
故当为奇数时，
当为偶数时，
综上
2．已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，.
因为，所以，所以.
因为，所以.
两式相减，得，即
又因为，所以.
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以.
（2）由（1）可知
故当为偶数时，
当为奇数时，
所以
真题再现
1、(2022新高考全国I卷·第17题)记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
解析：(1)∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,∴当时，，
∴,整理得：,
即,∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
(2)
∴
/2、(2021年新高考Ⅰ卷·第17题)已知数列满足，
(1)记，写出，，并求数列的通项公式；
(2)求的前20项和．
【答案】；．
解析:(1)由题设可得
又，，故即即
所以为等差数列，故．
(2)设的前项和为，则，
因为，
所以
．
3、(2020新高考II卷(海南卷)·第18题)已知公比大于的等比数列满足．
(1)求通项公式；
(2)求．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：．
(2)由于：，故：
．
4、(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科·第18题)已知是各项均为正数的等比数列，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】解：(1)设的公比为，由题设得，即.
解得(舍去)或.
因此的通项公式为.
(2)由(1)得，因此数列的前项和为.
5、(2017年高考数学课标Ⅲ卷文科·第17题)设数列满足．
(1)求的通项公式;
(2)求数列 的前项和．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)因为
当时，；
当时，有……①
………………②
两式相减可得，所以，当时，
所以数列的通项公式为，．
(2)由(1)可得．
记数列 的前项和为
所以．
课后精练
1、已知若等比数列满足则（ ）
A． B．1010 C．2019 D．2020
【答案】D
【详解】
等比数列满足
即2020
故选：D
2、设等差数列的前项和为，且，，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】A
【分析】
由，求得，又由，求得，求得，得到，进而求得，结合题意，即可求解.
【详解】
设等差数列的公差为，
因为，所以，
整理得，即，
由，可得，即，所以，
所以，所以，
所以，
因为恒成立，所以，故的最小值为1.
故选：A.
3、已知数列的通项公式，则 （　　）
A．150 B．162 C．180 D．210
【答案】B
【解析】由对勾函数的性质可知：
当时，数列为递减；当时，数列为递增．
所以
=
=
=
=162
4、数列中，，，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1），，变形为，，进而证明结论；
（2）由（1）可得：，再利用分组求和即可得出.
【详解】
（1）证明：，，
.
又因为，
数列是首项为1，公比为5的等比数列，
（2）由（1）可得：，
，
的前项和
5、设数列的前项和为，且.
（1）证明：是等比数列；
（2）令，证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）当时，可得，由有两式相减得从而得证.
(2) 由（1）,所以，则，利用等比数列的求和公式可求和，从而可证.
【详解】
（1）∵，∴，
两式相减得，即
又，即，所以，
∴是1为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1），∴，
∴
∴.
6、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝3an－3，其中n∈N*．
（1）证明：数列{an}为等比数列；
（2）设bn＝2n－1，cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据数列的递推关系作差法即可证明；
（2）利用错位相减求和法即可求出答案．
【详解】
（1）因为，--------①
所以当时，，解得，
当时，，---------②
由①-②并整理得，，
由上递推关系得，所以，
故数列是首项为3，公比为3的等比数列，
（2）由（1）得：，
又因为，所以，
所以，
，
两式相减得：，
即：，
整理可得：
7、已知数列满足，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）
时，有，即，故，
又时也适合该式，
（2）因为，
所以①
则②
①-②得，
.

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