资源简介

数列求通项专题练习
专题目录：
知识储备；
题型专练；
真题再现
课后练习
一、知识储备
二、题型分类
题型一：累加法求通项（系数相同差的形式）
1、已知数列满足，，则__________.
【答案】
【解析】因为，所以，
则当时， ，将个式子相加可得
，因为，则，
当时，符合题意，所以.
故答案为: .
2．设数列中，，则通项 ___________．
【答案】
【解析】∵ ∴，，
，，，，
将以上各式相加得：
故应填；
题型二：累乘法求通项（系数不同比值形式）
1．已知，，则数列的通项公式等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
当n≥2时，，
经检验，也符合上述通项公式.
本题选择C选项.
2．在数列中，，，则______．
【答案】
【解析】由题意得：当时，，所以，即，
也即是，所以，
所以，故答案为：.
题型三：证明类求通项—定义法（等比与等差的定义）
1、设数列的前项和为，若．
（1）证明为等比数列并求数列的通项公式；
【解析】由得，当时，
两式作差得：，即，即，
令得，所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以，故．
2.已知数列满足，且.
（1）证明：数列为等比数列；
【解析】因为，所以，又，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列；；
题型四：公式法求通项（等差等比通项公式即可）
1、各项均为整数的等差数列{an}，其前n项和为Sn，a1＝－1，a2，a3，S4＋1成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
【解析】设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＝－1，a2，a3，S4＋1成等比数列，
所以a＝a2·(S4＋1)，
即(－1＋2d)2＝(－1＋d)(－3＋6d)，解得d＝2，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－3.
2、已知{an}为正项等比数列，a1＋a2＝6，a3＝8.
(1)求数列{an}的通项公式an；
【解析】(1)依题意，设等比数列{an}的公比为q，则有则3q2－4q－4＝0，而q＞0，
所以q＝2.
于是a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
题型五：已知求（按照步骤求解即可）
1、数列的前n项和，则其通项公式________.
【答案】
【解析】当时，；
当时，；
故故答案为：
2、已知是首项不为1的正项数列，其前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
【解析】解：（1）由，①
得，
解得（舍或．
当时，，②
①②得，
整理得：．
，．
可得数列是首项为2，公差为3的等差数列．
；
题型六：构造法求通项（构造等差、构造等比数列）
1、（构造等比） (1)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－4an＝3×2n＋1，求数列{an}的通项公式．
(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
【解】　(1)由an＋1－4an＝3×2n＋1得，－＝3，
设bn＝，则bn＋1＝2bn＋3，设bn＋1＋t＝2(bn＋t)，所以2t－t＝3，解得t＝3，所以bn＋1＋3＝2(bn＋3)，所以＝2，又b1＋3＝＋3＝1＋3＝4，所以数列{bn＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以bn＋3＝4×2n－1＝2n＋1，所以bn＝2n＋1－3，所以an＝bn·2n＝(2n＋1－3)×2n＝22n＋1－3×2n.
因为an＋1＝(n∈N*)，所以＝＋1，设＋t＝3，所以3t－t＝1，解得t＝，所以＋＝3，又＋＝1＋＝，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以＋＝×3n－1＝，所以an＝.
2、（构造等差）
（1）若数列满足，且，则___________.
【答案】
【解析】 ，即
数列是以为首项，为公差的等差数列
故答案为：
（2）设数列的前n项和满足，且，则_____．
【答案】
【解析】由，得
是以为首相，1为公差的等差数列，
，
，
当 时，，
故答案为：
真题再现
1.(2021年新高考Ⅰ卷·第17题)已知数列满足，
(1)记，写出，，并求数列的通项公式；
解析:(1)由题设可得
又，，故即即
所以为等差数列，故．
2.(2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题)记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
(1)求数列的通项公式；
(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：．
3.(2021年高考全国甲卷文科·第18题)记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列．
解析：∵数列是等差数列，设公差为
∴，
∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴
∴是等差数列．
4.(2022新高考全国I卷·第17题)记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
解析：(1)∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,∴当时，，
∴,整理得：,
即,∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
5.(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科·第17题)(12分)已知数列满足，． 设．
(1)求，，；
(2)判断数列是否为等比数列，并说明理由；
(3)求的通项公式．
【答案】解：(1)由条件可得．将代入得，，而，所以，．
将代入得，，所以，．从而，，．
(2)是首项为，公比为的等比数列．
由条件可得，即，又，所以是首项为，公比为的等比数列．
(3)由(2)可得，所以．
【题目栏目】数列\等比数列\等比数列的综合应用
【题目来源】2018年高考数学课标Ⅰ卷文科·第17题
四、【课后精练】
1、已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
a1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.
2、数列{an}满足a1＝1, ＝an＋1(n∈N*)．
(1)求证：数列{a}是等差数列，并求出{an}的通项公式；
【解析】解：(1)由＝an＋1得a－a＝2，且a＝1，
所以数列{a}是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以a＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
又由已知易得an＞0，
所以an＝(n∈N*)．
3、已知数列中，则___________.
【答案】
【解析】因为，所以且，
所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
故答案为：.
4、已知数列满足 ，则的通项公式为__________________．
【答案】
【解析】因为，，所以，即
所以以为首项，为公比的等比数列，所以
所以故答案为：
5、已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
【解析】（1）当时，，；
当时，由，①
得，②
①②，得，，也符合，
因此，数列的通项公式为．
6、已知数列是等差数列，其前n项和为，且，．数列为等比数列，满足，．
（1）求数列，的通项公式；
【解析】（1）设数列的公差是d，数列是的公比是q．
由题意得，所以，所以；
∴，，
∴，∴．数列求通项专题练习
专题目录：
知识储备；
题型专练；
真题再现
课后练习
一、知识储备
二、题型分类
题型一：累加法求通项（系数相同差的形式）
1、已知数列满足，，则__________.
2．设数列中，，则通项 ___________．
题型二：累乘法求通项（系数不同比值形式）
1．已知，，则数列的通项公式等于（ ）
A． B． C． D．
2．在数列中，，，则______．
题型三：证明类求通项—定义法（等比与等差的定义）
1、设数列的前项和为，若．
（1）证明为等比数列并求数列的通项公式；
2.已知数列满足，且.
（1）证明：数列为等比数列；
题型四：公式法求通项（等差等比通项公式即可）
1、各项均为整数的等差数列{an}，其前n项和为Sn，a1＝－1，a2，a3，S4＋1成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
2、已知{an}为正项等比数列，a1＋a2＝6，a3＝8.
(1)求数列{an}的通项公式an；
题型五：已知求（按照步骤求解即可）
1、数列的前n项和，则其通项公式________.
2、已知是首项不为1的正项数列，其前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
题型六：构造法求通项（构造等差、构造等比数列）
1、（构造等比） (1)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－4an＝3×2n＋1，求数列{an}的通项公式．
(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
2、（构造等差）
（1）若数列满足，且，则___________.
（2）设数列的前n项和满足，且，则_____．
真题再现
1.(2021年新高考Ⅰ卷·第17题)已知数列满足，
(1)记，写出，，并求数列的通项公式；
2.(2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题)记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
(1)求数列的通项公式；
3.(2021年高考全国甲卷文科·第18题)记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列．
4.(2022新高考全国I卷·第17题)记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
5.(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科·第17题)(12分)已知数列满足，． 设．
(1)求，，；
(2)判断数列是否为等比数列，并说明理由；
(3)求的通项公式．
四、【课后精练】
1、已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
2、数列{an}满足a1＝1, ＝an＋1(n∈N*)．
(1)求证：数列{a}是等差数列，并求出{an}的通项公式；
3、已知数列中，则___________.
4、已知数列满足 ，则的通项公式为__________________．
5、已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
6、已知数列是等差数列，其前n项和为，且，．数列为等比数列，满足，．
（1）求数列，的通项公式；

展开更多......

收起↑