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【高一数学D版】第5讲：正、余弦定理及其应用
【知识梳理】
知识点1：正弦定理和余弦定理
1、.在中，若角所对的边分别是为外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
公式
常见 变形 (1)； (2)； (3)；
2、面积公式：
知识点2：三角形基本知识
1.在中，
；
在中，，，
，
3.若为锐角，
4.c为最长边，锐角，钝角，直角
5.ABC中的射影定理：
6.＝p·r（，r是三角形内切圆半径）
知识点3：三角恒等变换
1.二倍角公式
；
2.降幂公式
；；
3.辅助角公式
（其中）
题型讲解：
题型一 利用余弦定理解三角形
类型1：已知两边及一角，解三角形
方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：
一是利用余弦定理的推论求出其余角；
二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解；
【例1-1】在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则a＝________cm；
【答案】60
【解析】由余弦定理得：a＝＝60(cm)．
【变式1-1】（1）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝( )
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】由余弦定理，得4＋b2－2×2bcosA＝5.
整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D．
（2）在△ABC中，已知sinC＝，a＝2，b＝2，求边c.
【答案】
【解析】∵sinC＝，且0当C＝时，cosC＝，此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，即c＝2.
当C＝时，cosC＝－，此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝28，即c＝2.
类型2：已知三边解三角形
法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一
法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解
【例1-2】在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C.
【答案】A＝，B＝π，C＝
【解析】根据余弦定理，cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝，
cos C＝＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.∴B＝π－A－C＝π－－＝π，
∴A＝，B＝π，C＝.
【变式1-2】在△ABC中，若a＝＋1，b＝－1，c＝，则△ABC的最大角的度数为( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】C
【解析】显然＞＋1＞－1，
∴，∴C＝120°.
题型二 正、余弦定理边角互化
【方法概要】
利用正弦定理进行边角互化，必须出现齐次式；
利用余弦定理进行边角互化，条件须和余弦定理形式相同。
【例2-1】在，内角所对的边长分别为．若，且，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】边换角后约去，得，所以，但B非最大角，所以．
【例2-2】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设
①求A； ②若，求sin C.
(答案)①由已知得，故由正定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得.
因为0°＜A＜180°，
所以A＝60°.
②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin (120°－C)＝2sin C，
即＋cos C＋sin C＝2sin C，
可得cos (C＋60°)＝－.
由于0°＜C＜120°，
所以sin (C＋60°)＝，
故sin C＝sin (C＋60°－60°)＝sin (C＋60°)cos 60°－cos (C＋60°)sin 60°＝.
【变式2-1】△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正弦定理，得，
即，，∴．
【变式2-2】设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则角C＝ .
【答案】
【解析】因为3sin A＝5sin B，所以由正弦定理可得3a＝5b.
因为b＋c＝2a，所以c＝2a－a＝a.
令a＝5，b＝3，c＝7，则由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
得49＝25＋9－2×3×5cos C，解得cos C＝－，所以C＝.
【变式2-3】（2020·福建漳州·高三三模）在中，角的对边分别为，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为在中，角的对边分别为，，
所以由正弦定理得：，
所以，
因为，所以，又，所以，故选：B.
题型三 利用正余弦定理判断三角形形状
【知识点讲解】
（1）判断三角形形状可以通过边来判断，也可以通过角来判断；
（2）通过角来判断三角形形状时，要判断最大角（根据大边对大角）；
【例3-1】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【解析】∵，∴由正弦定理得，
∴，∴，∴，∴△ABC是直角三角形．
【变式3-1】若，则为（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形
【答案】B
【解析】因为，而由正弦定理可知
所以，即在三角形ABC中，可得B=45°
同理，由正弦定理可知
所以，即在三角形ABC中，可得C=45°
所以三角形ABC为等腰直角三角形
【变式3-2】在中，若等式成立，则的形状是（ ）．
A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【解析】由正弦定理得，即，故三角形为等边三角形.
【例3-2】已知中，且，试判断的形状．（等边三角形）
【解析】解：，，化为：．
又，，化为：，，为等边三角形．
【变式3-3】在中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断的形状．
【答案】直角三角形
【解析】将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos Bcos C.
由余弦定理并整理，
得b2＋c2－b22－c22＝2bc××，
∴.
∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形．
【变式3-4】在中，如果，则该三角形的形状为____________；
【答案】等腰三角形
【解析】由余弦定理，得cos A＝，
∴.
同理.
∵，
∴.
∴a－b＋c＝b－a＋c，
∴a＝b，即为等腰三角形．
【例3-3】（福建省永安市第一中学2018-2019学年月考）在中，角的对边分别是， ，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
【答案】A
【解析】因为，所以,
,因此，故选A。
【方法技巧】
1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
【例3-4】在中，若角、、所对的边分别为、、，，且的面积，试判断的形状．
【解析】解：中，由利用正弦定理可得，
即，故有，，，为直角三角形，．
再根据的面积，求得，故三角形为等腰三角形．
综上可得，为等腰直角三角形．
【变式3-5】在中，角的对边分别为，根据下列条件判断三角形的形状
（1）； （2）；
（3）； （4）；
【答案】（1）等腰三角形（2）直角三角形（3）等腰直角三角形（4）直角三角形
【变式3-6】（2020秋 蒸湘区校级期中）在中，，且，试判断的形状．
【解析】解：利用正弦定理化简得：，
，
，即，
又，可得：，整理可得：，
由余弦定理可得：，
由，可得：，
可得：，则三角形形状为等边三角形．
题型四 利用余弦定理求边的取值范围
【例4】锐角的边长分别为，3，1，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】有题意可得，解得；
又且，解得且.
所以三角形的边长的取值范围是.
【变式4-1】在锐角中，b＝1，c＝2，则的取值范围是( )
A．1【答案】C
【解析】由三角形的性质，知c－b1.
又由cos A＝＝>0，得0由cos B＝＝>0，得a∈R.
由cos C＝＝>0，得a>.综上，知【变式4-2】（2021 清远期末）在△ABC中，sinA：sinB：sinC＝2：3：x，且△ABC为锐角三角形，则x的取值范围是（　　）
A． B．x＜5 C．2＜x D．x＜5
【解析】解：由正弦定理可知，a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝2：3：x，
即：a：b：c＝2：3：x
①、若b是此三角形中的最大边，则：
1＜x＜3；
∴cosB0，则：x．
从而此时，有：．
②、若c是此三角形中的最大边，则：x≥3
∴cosC，得：．
从而此时，有：3．
综上x的取值范围是．
故选：A．
【变式4-3】（2009 湖南）在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于　2　，AC的取值范围为（）　．
【解析】解：（1）根据正弦定理得：，
因为B＝2A，化简得即2；
（2）因为△ABC是锐角三角形，C为锐角，
所以，由B＝2A得到A+2A且2A，从而解得：，
于是，由（1）的结论得2cosA＝AC，故．
故答案为：2，（，）
题型五 利用正弦定理解三角形（多解问题）
类型1：已知两角及一边解三角形
方法概要：
（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
（2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；
（3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论
【例5-1】已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c.
【答案】B＝105°，b＝5(＋)，c＝10.
【解析】∵A＝30°，C＝45°，
∴B＝180°－(A＋C)＝105°，
又由正弦定理得：c＝＝10.
b＝＝＝20sin(60°＋45°)＝5(＋)．
∴B＝105°，b＝5(＋)，c＝10.
【变式5-1】在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.
【解析】A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°，
由正弦定理＝，得b＝＝＝4，
由＝，得c＝＝＝＝4(＋1)．
类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题）
当为锐角时：
当为钝角时
【例5-2】根据下面的条件解，则解唯一的是（ ）
A.，， B.，，
C.，， D.，，
【答案】D
【解析】A：由
可得或，因此，三角形有两解；
B：三角形中，大边对大角，由得，
又为钝角，所以也为钝角，显然不成立，解的个数为0个；
C：由不成立，所以三角形解的个数为0个；
D由，所以，
因此三角形只有一个.
【变式5-2】（2020秋 广西月考）在中，角、、的对边分别为、、，且，，则满足条件的三角形个数是　　
A．0 B．1 C．2 D．无数个
【解析】解：，，
由正弦定理得：，
又为三角形的内角，
则满足条件的三角形个数是2个．
故选：．
【变式5-3】（2020秋 紫阳县校级期中）在中，若，，，则此三角形解的情况
一解 B．两解
C．无解 D．解的个数不能确定
【解析】解：在中，，，，
由正弦定理得：，
则此三角形无解．
故选：．
【例5-3】（2021·安徽省怀宁县第二中学高三月考（文））在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，作于，，
．若有两解，则，故选：C．
【变式5-3】已知在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【解析】因为在中，，，，
若三角形有两解，则有，即，
即，所以.故选D
题型六 三角形面积与周长
【方法技巧】
求周长和面积相互转化的公式：
【例6-1】【2019年高考全国Ⅱ卷理】的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．
【答案】
【解析】由余弦定理得，所以，即，
解得（舍去），
所以，
【方法技巧】
1.求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
【变式6-1】（2020·陕西高三三模）已知，，分别为内角，，的对边，，，，则的面积为__________.
【答案】
【解析】由于，，，
∵，∴，，
由余弦定理得，解得，
∴的面积.
故答案为：.
【例6-2】（2021·四川眉山市·高三三模）在中，，，分别是角，，所对的边，若的面积，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得整理得：
由余弦定理得：，即，即
又，解得.故选：C.
【变式6-2】（2020·江西省信丰中学高三月考（文））在中，，，若的面积等于，则边长为__________．
【答案】
【解析】因为，故，所以.又，所以，故，从而，填．
【变式6-3】（2020·河南焦作·高三一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知的面积为，，，则的值为_______.
【答案】4
【解析】因为，所以，
因为已知的面积为，
所以，整理得，
由余弦定理得，所以.故答案为：
【例6-3】【2017年全国卷1】的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为．
（1）求；
（2）若，，求的周长．
（1）面积.且
由正弦定理得，
由得.
（2）由（1）得，
又
，，
由余弦定理得 ①
由正弦定理得，
②
由①②得
，即周长为
【变式6-2】(2019河南郑州一模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为S,且满足sin B=
(1)求sin Asin C;
(2)若4cos Acos C=3,b=,求△ABC的周长.
【答案】（1）（2）
【变式6-3】已知分别是三个内角的对边，且.
（1）求角的大小； （2）若,的周长为，求该三角形的面积.
解：（1）由正弦定理得
即……………………………………2分
即,由于，故…………4分
又,所以…………………………………………………6分
（2）由于，三角形的周长为6，故…………………………7分
由余弦定理有，即，故…………………………10分
所以三角形的面积…………………………12分
【课后巩固练习】
1．（2020秋 城关区校级月考）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　
A． B． C． D．
【解析】解：根据题意，在中，，
则，
又由，，则有，即；
故选：．
2．（2020 太原校级二模）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的值为　　
A． B． C． D．
【解析】解：在锐角中，，，
，
，①
又，是锐角，
，
由余弦定理得：，
即，
②
由①②得：，
解得．
故选：．
3.（2020秋 大石桥市校级月考）已知中，，则满足此条件的三角形的个数是　
A．0 B．1 C．2 D．无数个
【解析】解：中，，
根据正弦定理得，
解得：，且；
所以满足条件的角有2个，对应三角形有2个．
故选：．
4、已知中，角，，的对边分别为，，，试判断下列三角形的形状：
（1）； （2）； （3）．
【解析】解：在中，
，，，．
（1），，
即，，，
或，即或，
为等腰三角形或直角三角形；
（2），，
，，
，，即．为等腰三角形；
（3），，，
，，
，，，即．为等腰三角形．
5．（2020秋 平度市期中）在中，角，，对应的边分别是，，．已知
（1）求角的大小；
（2）若的面积，，求的值．
（3）若，试判断的形状．
【解析】解：（1）由得，
即，所以，所以．（4分）
（2）由，得．（5分）
又，知．由余弦定理可得：，（7分）
又由正弦定理得，．
．（9分）
（3），
即（10分）
即，
，
（13分）
由（1）得，所以
所以为等边三角形．（14分）
【高一数学D版】第6讲：解三角形综合
题型讲解：
正余弦定理在平面几何中的应用
类型1：中线问题
例1．在△ABC中，AB=2，AC=3，BC边上的中线AD=2，则△ABC的面积为　 　．
【答案】
例2如图所示，在△ABC，已知,，AC边上的中线,
求：（1）BC的长度； （2）的值。
【答案】（1）2 （2）
变式1．△ABC中，AB＝2，AC＝，cosB＝，则BC边上的中线AD长　　．
【答案】
变式2．△ABC中，，则BC边上的中线AD长　　．
【答案】
，，，
由，得，．
类型2：角平分线问题
方法概要：
角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所形成的两条线段与这个角的两边对应成比例.
证明：在中，是的平分线，过点作，
是的平分线，，
过点作,垂足为
例1．已知△ABC的边AB，AC的长分别为2，3，∠BAC＝120°，则△ABC的角平分线AD的长为
【答案】
例2．中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．
(Ⅰ) 求； (Ⅱ)若，，求和的长．
解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，
∵==2
∴BD=2DC，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC
在△ABD中，=，∴sin∠B=
在△ADC中，=，∴sin∠C=；
∴==．…6分
（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．
过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN，
∴==2，
∴AB=2AC，
令AC=x，则AB=2x，
∵∠BAD=∠DAC，
∴cos∠BAD=cos∠DAC，
∴由余弦定理可得：=，
∴x=1，
∴AC=1，
∴BD的长为，AC的长为1．
变式1．已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，AD平分∠BAC与BC边交于D点，若a＝7，b＝5，c＝3，则线段AD的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】
变式2 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
【答案】9
【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.
类型3：高线问题
例1．若的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，且.
(1)求c；
(2)若，过点C作，垂足为H，若，求的面积S.
【答案】(1) (2)
(1)由，
得，
所以
，
因为，所以，所以.
(2)
如图所示：
因为，又，故，
所以，
所以，所以，
所以，
所以的面积为：，
故的面积为3.
变式1．在中，，，分别为角，，的对边，且．
（1）求角；
（2）若的面积为，边上的高，求，．
【试题来源】河南省新乡市2020-2021学年高三下学期2月一轮复习摸底考试
【答案】（1）；（2），．
【分析】（1）化角为边，化简得，再利用余弦定理求角；
（2）由正弦定理算出，由面积公式算出，由余弦定理计算中即可．
【解析】（1）因为，所以，
所以，即．
由余弦定理可得，
因为，所以．
（2）由正弦定理可得．
因为的面积为，所以，解得．
由余弦定理可得，
则．
类型4：其他类型几何问题（双余弦）
例1．（2021·全国高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由题设，，由正弦定理知：，即，
∴，又，
∴，得证.
（2）由题意知：，
∴，同理，
∵，
∴，整理得，又，
∴，整理得，解得或，
由余弦定理知：，
当时，不合题意；当时，；
综上，.
变式1．如图，在中，，，点D在线段上．
（1）若，求的长；
（2）若，且，求的值．
【试题来源】江西省新八校2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用正弦定理求解即可．（2）用余弦定理求出，在两个三角形中用正弦定理得出，代入值求解即可．
【解析】（1）因为，且，
所以，所以；
（2）因为，
故算得，
在中，利用正弦定理有，
在中，有，
所以，
因为，所以，
所以.
解三角形中范围、最值问题
方法概要：
解三角形中处理不等关系的几种方法
（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域；
（2）利用均值不等式求得最值.
题型一：边或角的取值范围
例1．在中，若，，则的最大值为（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】B【详解】
设，由正弦定理知，因此
，
故
，其中，
所以当时，，取得最大值，且最大值为，
故选：B.
例2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角C的大小；
(2)若的面积，求ab的最小值.
【答案】(1)；(2)48
(1)由已知及正弦定理得：，又，
所以，即且，
所以.
(2)
由题意知：，即，
由余弦定理知：，即，因此，当且仅当时取等号，
所以ab的最小值为48.
变式1．（2021·江西）在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若ccosA+acosC=2，AC边上的高为，则∠ABC的最大值为
【答案】
【解析】，
由余弦定理可得，整理可得，
又AC边上的高为，所以，即，
，当且仅当取等号，
，即，即，
，，则，
，故∠ABC的最大值为.
变式2．（2009 湖南）在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于　2　，AC的取值范围为（）　．
【解析】解：（1）根据正弦定理得：，
因为B＝2A，化简得即2；
（2）因为△ABC是锐角三角形，C为锐角，
所以，由B＝2A得到A+2A且2A，从而解得：，
于是，由（1）的结论得2cosA＝AC，故．
故答案为：2，（，）
题型二：面积或周长取值范围
例1：在中，角所对的边分别为，已知
（1）求的大小; （2）若，求的取值范围
解：（1）由条件可考虑使用正弦定理，将分子进行“边化角”
（2）思路：考虑在中，已经已知 ，从而可求出外接圆半径，进而与也可进行边角互化。若从边的角度考虑，则能够使用的不等关系只有“两边之和大于第三边”，但不易利用 这个条件，考虑利用角来解决
解：
， 。
例2：.的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】(1) ;(2).
【解析】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．
，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.
(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，
故，解得.
又应用正弦定理，，
由三角形面积公式有：
.
又因,故，
故.故的取值范围是
变式1．【2020年高考全国Ⅱ卷理数17】中，．
（1）求；（2）若，求周长的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【思路导引】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；
（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果．
【解析】（1）由正弦定理可得：，，
，．
（2）由余弦定理得：，
即．
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为．
【专家解读】本题考查了正弦定理、余弦定理，考查三角形周长最大值的求解问题，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值．
变式2．【2020年高考浙江卷18】
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】（I）；（II）
【思路导引】（I）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B的大小；
（II）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围．
【解析】（I）由结合正弦定理可得：，△ABC为锐角三角形，故．
（II）结合(1)的结论有：
．
由可得：，，则，，即的取值范围是．
【专家解读】本题考查了正弦定理、余弦定理及其应用，考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键熟记有关公式，进行合理转化．解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值．
变式3．（2020秋 台州期中）锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小为　　；若，则面积的取值范围是　　．
【解析】解：由题意知，，
由正弦定理得：，化简得：，
由余弦定理得，，
又，
则，
又，则，
因为是锐角三角形，
所以，解得，
因为，
由正弦定理得，
所以，
所以的面积为，
由，
所以，
所以，
所以；即面积的取值范围是．故答案为：，．
题型三：利用均值不等式求最值.
例1：（2021 上饶一模）已知外接圆半径是2，，则的面积最大值为　　．
【解析】解：外接圆半径是2，，
由正弦定理，可得：，解得：，
，
，或，
当时，由余弦定理可得：
，
此时．
当时，由余弦定理可得：，
解得：，此时．
的面积最大值为．
故答案为：．
例2.【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
【答案】9
【解析】
由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.
变式1．（2020秋 莲湖区校级月考）已知的面积为，角，，所对的边长分别为，，，，则的最小值为　　．
【解析】解：由三角形面积公式得：，即，
根据余弦定理得：，
则，即的最小值为，
故答案为：．
变式2．（2021 成都模拟）的内角，，的对边分别为，，，且，的外接圆半径为，则面积的最大值为　　
A． B． C． D．
【解析】解：的外接圆半径为，
由正弦定理，可得，，
代入已知等式得，
即，
，
由此可得，
结合，得．
，
（当且仅当时，取等号），
面积为，
当且仅当时，的面积的最大值为．
故选：．
变式3．（2020·广西高三三模）在中,角的对边分别为,且.
(1)求角;(2)若的面积为,求的最小值.
【答案】(1)；(2) 12.
【解析】(1)由正弦定理及已知可得
，
(2)
， ，当且仅当时等号成立.故的最小值为12.
变式4．（2021 金台区月考）在中，角，，所对的边分别为，，，设为的面积，满足，则角的最大值是　　
A． B． C． D．
【解析】解：中，由于，由余弦定理可得，
花间可得，，故的最大值为，故选：．
解三角形与其他知识点综合
例题1．（2020 广元模拟）已知函数，在中，角，，的对边分别为，，．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若（A），，求的最小值．
【解析】解：（Ⅰ），
，
由，得：，，
的单调递增区间为，．
（Ⅱ）由（A），是三角形内角，得：，
．
，，而是边长，
的最小值为3．
变式1．（2020秋 静海县校级期末）已知函数
（1）求函数的最大值，并写出取最大值时的取值集合；
（2）若，求的值；
（3）在中，角、、的对边分别为，，，若，求的最小值．
【解析】解：（1）函数
．
函数的最大值为．
当取最大值时，，解得．
故的取值集合为，．
（2），
，
，，．
．
（3）由题意（A），化简得，，，，解得．
在中，根据余弦定理，得．
由，知，即．当时，取最小值为．
【课后巩固练习】
1．（2020·安徽庐江·高三三模）在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，由余弦定理得,当且仅当时取“”，的最小值为，选C.
2．（2020·河南高三三模）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，则的周长的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
由正弦定理得，
所以，
又，得，当且仅当时等号成立，
所以的周长的最大值是.
故选：A
已知的角所对的边分别是，且，若的外接圆半径为，则面积的最大值为__________
思路：由可联想到余弦定理求，所以，从而，所求面积可表示为，则只需解出的最大值即可。由外接圆半径及可得：，所以，而，所以有，所以
答案：
4．（2020 化州市二模）设三个内角，，的对边分别为，，，的面积满足．
（1）求角的值；
（2）求的取值范围．
【解析】解：（1）的面积满足，
可得，
即有，
则，
由，可得；
（2）由，
即，
，
由，可得，
则，
即有的取值范围是，．【高一数学D版】第5讲：正、余弦定理及其应用
【知识梳理】
知识点1：正弦定理和余弦定理
1、.在中，若角所对的边分别是为外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
公式
常见 变形 (1)； (2)； (3)；
2、面积公式：
知识点2：三角形基本知识
1.在中，
；
在中，，，
，
3.若为锐角，
4.c为最长边，锐角，钝角，直角
5.ABC中的射影定理：
6.＝p·r（，r是三角形内切圆半径）
知识点3：三角恒等变换
1.二倍角公式
；
2.降幂公式
；；
3.辅助角公式
（其中）
题型讲解：
题型一 利用余弦定理解三角形
类型1：已知两边及一角，解三角形
方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：
一是利用余弦定理的推论求出其余角；
二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解；
【例1-1】在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则a＝________cm；
【变式1-1】（1）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝( )
A． B． C．2 D．3
（2）在△ABC中，已知sinC＝，a＝2，b＝2，求边c.
类型2：已知三边解三角形
法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一
法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解
【例1-2】在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C.
【变式1-2】在△ABC中，若a＝＋1，b＝－1，c＝，则△ABC的最大角的度数为( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
题型二 正、余弦定理边角互化
【方法概要】
利用正弦定理进行边角互化，必须出现齐次式；
利用余弦定理进行边角互化，条件须和余弦定理形式相同。
【例2-1】在，内角所对的边长分别为．若，且，则=（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设
①求A； ②若，求sin C.
【变式2-1】△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则角C＝ .
【变式2-3】（2020·福建漳州·高三三模）在中，角的对边分别为，已知，则（ ）
B． C． D．
题型三 利用正余弦定理判断三角形形状
【知识点讲解】
（1）判断三角形形状可以通过边来判断，也可以通过角来判断；
（2）通过角来判断三角形形状时，要判断最大角（根据大边对大角）；
【例3-1】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【变式3-1】若，则为（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形
【变式3-2】在中，若等式成立，则的形状是（ ）．
A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【例3-2】已知中，且，试判断的形状．（等边三角形）
【变式3-3】在中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断的形状．
【变式3-4】在中，如果，则该三角形的形状为____________；
【例3-3】（福建省永安市第一中学2018-2019学年月考）在中，角的对边分别是， ，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
【方法技巧】
1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
【例3-4】在中，若角、、所对的边分别为、、，，且的面积，试判断的形状．
【变式3-5】在中，角的对边分别为，根据下列条件判断三角形的形状
（1）； （2）；
（3）； （4）；
【变式3-6】（2020秋 蒸湘区校级期中）在中，，且，试判断的形状．
题型四 利用余弦定理求边的取值范围
【例4】锐角的边长分别为，3，1，则的取值范围是________.
【变式4-1】在锐角中，b＝1，c＝2，则的取值范围是( )
A．1【变式4-2】（2021 清远期末）在△ABC中，sinA：sinB：sinC＝2：3：x，且△ABC为锐角三角形，则x的取值范围是（　　）
A． B．x＜5 C．2＜x D．x＜5
【变式4-3】（2009 湖南）在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于　　，AC的取值范围为　 ．
题型五 利用正弦定理解三角形（多解问题）
类型1：已知两角及一边解三角形
方法概要：
（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
（2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；
（3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论
【例5-1】已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c.
【变式5-1】在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.
类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题）
当为锐角时：
当为钝角时
【例5-2】根据下面的条件解，则解唯一的是（ ）
A.，， B.，，
C.，， D.，，
【变式5-2】（2020秋 广西月考）在中，角、、的对边分别为、、，且，，则满足条件的三角形个数是　　
A．0 B．1 C．2 D．无数个
【变式5-3】（2020秋 紫阳县校级期中）在中，若，，，则此三角形解的情况
一解 B．两解 C．无解 D．解的个数不能确定
【例5-3】（2021·安徽省怀宁县第二中学高三月考（文））在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】已知在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
题型六 三角形面积与周长
【方法技巧】
求周长和面积相互转化的公式：
【例6-1】【2019年高考全国Ⅱ卷理】的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．
【方法技巧】
1.求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
【变式6-1】（2020·陕西高三三模）已知，，分别为内角，，的对边，，，，则的面积为__________.
【例6-2】（2021·四川眉山市·高三三模）在中，，，分别是角，，所对的边，若的面积，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2020·江西省信丰中学高三月考（文））在中，，，若的面积等于，则边长为__________．
【变式6-3】（2020·河南焦作·高三一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知的面积为，，，则的值为_______.
【例6-3】【2017年全国卷1】的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为．
（1）求； （2）若，，求的周长．
【变式6-2】(2019河南郑州一模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为S,且满足sin B=
(1)求sin Asin C; (2)若4cos Acos C=3,b=,求△ABC的周长.
【变式6-3】已知分别是三个内角的对边，且.
（1）求角的大小； （2）若,的周长为，求该三角形的面积.
【课后巩固练习】
1．（2020秋 城关区校级月考）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　
A． B． C． D．
2．（2020 太原校级二模）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的值为　　
A． B． C． D．
3.（2020秋 大石桥市校级月考）已知中，，则满足此条件的三角形的个数是　
A．0 B．1 C．2 D．无数个
4、已知中，角，，的对边分别为，，，试判断下列三角形的形状：
（1）； （2）； （3）．
5．（2020秋 平度市期中）在中，角，，对应的边分别是，，．已知
（1）求角的大小；
（2）若的面积，，求的值．
（3）若，试判断的形状．
【高一数学D版】第6讲：解三角形综合
题型讲解：
正余弦定理在平面几何中的应用
类型1：中线问题
例1．在△ABC中，AB=2，AC=3，BC边上的中线AD=2，则△ABC的面积为　 　．
例2如图所示，在△ABC，已知,，AC边上的中线,
求：（1）BC的长度； （2）的值。
变式1．△ABC中，AB＝2，AC＝，cosB＝，则BC边上的中线AD长　　．
变式2．△ABC中，，则BC边上的中线AD长　　．
类型2：角平分线问题
方法概要：
角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所形成的两条线段与这个角的两边对应成比例.
证明：在中，是的平分线，过点作，
是的平分线，，
过点作,垂足为
例1．已知△ABC的边AB，AC的长分别为2，3，∠BAC＝120°，则△ABC的角平分线AD的长为
例2．中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．
(Ⅰ) 求； (Ⅱ)若，，求和的长．
变式1．已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，AD平分∠BAC与BC边交于D点，若a＝7，b＝5，c＝3，则线段AD的长为（　　）
A． B． C． D．
变式2 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
类型3：高线问题
例1．若的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，且.
(1)求c； (2)若，过点C作，垂足为H，若，求的面积S.
变式1．在中，，，分别为角，，的对边，且．
（1）求角； （2）若的面积为，边上的高，求，．
类型4：其他类型几何问题（双余弦）
例1．（2021·全国高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：； （2）若，求.
变式1．如图，在中，，，点D在线段上．
（1）若，求的长； （2）若，且，求的值．
解三角形中范围、最值问题
方法概要：
解三角形中处理不等关系的几种方法
（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域；
（2）利用均值不等式求得最值.
题型一：边或角的取值范围
例1．在中，若，，则的最大值为（ ）
A．7 B． C． D．
例2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角C的大小； (2)若的面积，求ab的最小值.
变式1．（2021·江西）在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若ccosA+acosC=2，AC边上的高为，则∠ABC的最大值为
变式2．（2009 湖南）在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于　 　，AC的取值范围为　 ．
题型二：面积或周长取值范围
例1：在中，角所对的边分别为，已知
（1）求的大小; （2）若，求的取值范围
例2：.的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
变式1．【2020年高考全国Ⅱ卷理数17】中，．
（1）求；（2）若，求周长的最大值．
【专家解读】本题考查了正弦定理、余弦定理，考查三角形周长最大值的求解问题，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值．
变式2．【2020年高考浙江卷18】
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【专家解读】本题考查了正弦定理、余弦定理及其应用，考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键熟记有关公式，进行合理转化．解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值．
变式3．（2020秋 台州期中）锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小为　　；若，则面积的取值范围是　　．
题型三：利用均值不等式求最值.
例1：（2021 上饶一模）已知外接圆半径是2，，则的面积最大值为　　．
例2.【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
变式1．（2020秋 莲湖区校级月考）已知的面积为，角，，所对的边长分别为，，，，则的最小值为　 　．
变式2．（2021 成都模拟）的内角，，的对边分别为，，，且，的外接圆半径为，则面积的最大值为　　
A． B． C． D．
变式3．（2020·广西高三三模）在中,角的对边分别为,且.
(1)求角;(2)若的面积为,求的最小值.
变式4．（2021 金台区月考）在中，角，，所对的边分别为，，，设为的面积，满足，则角的最大值是　　
A． B． C． D．
解三角形与其他知识点综合
例题1．（2020 广元模拟）已知函数，在中，角，，的对边分别为，，．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间； （Ⅱ）若（A），，求的最小值．
变式1．（2020秋 静海县校级期末）已知函数
（1）求函数的最大值，并写出取最大值时的取值集合；
（2）若，求的值；
（3）在中，角、、的对边分别为，，，若，求的最小值．
【课后巩固练习】
1．（2020·安徽庐江·高三三模）在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·河南高三三模）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，则的周长的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3.已知的角所对的边分别是，且，若的外接圆半径为，则面积的最大值为__________
4．（2020 化州市二模）设三个内角，，的对边分别为，，，的面积满足．
（1）求角的值； （2）求的取值范围．

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