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【高一数学D版】第6讲：正余弦定理应用举例
【知识梳理】
实际测量中的有关名称、术语：
1、仰角与俯角：
（1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
（2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
2、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角
（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°）
3、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
常考题型：
题型一 测量距离问题
当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：
（1）两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝.
（2）两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.
（3）两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.
类型1：两点不相通的距离
【例1-1】某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为3km和5km，测得灯塔A在观察站C北偏西，灯塔B在观察站C北偏东，则两灯塔A，B间的距离为
A． B． C．7 D．
【答案】C
【分析】根据题意，中，，，，利用余弦定理可求得AB的距离．
【解析】由题意，中，，，，
利用余弦定理可得，所以．故选C．
类型2：两点间可视但有一点不可到达
【例1-2】如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________ m.
【答案】20
【解析】∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，
所以由正弦定理得，＝，
∴AB＝＝＝20(m)．即A，B两点间的距离为20 m.
类型3：两点都不可到达
【例1-3】如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．
【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，
∴AC＝DC＝.在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，
得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝.
在△ABC中，由余弦定理，
得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝＋－2×××＝.∴AB＝(km)．
∴A，B两点间的距离为 km.
变式1．蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离的军事基地和，测得红军的两支精锐部队分别在处和处，且，，，，如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以△ADC是等边三角形，所以．
在△BDC中，根据正弦定理得，，所以．
在△ABC中，根据余弦定理得，
，
所以．
变式2．某人在A处向正东方向走后到达B处，他沿南偏西方向走到达C处，结果他离出发点恰好，那么的值为
A．或 B．或 C．或 D．
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，在中解三角形即可求解．
【解析】如图：，，，，
在中由余弦定理可得，
即，所以，即，
解得或，故选B
【名师点睛】本题的关键点是根据题意找出正确的边和角的大小，选择余弦定理解三角形即可．
变式3.如图所示，为了测量、两岛屿的距离，小明在处观测到、分别在处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西60°方向，则、两岛屿的距离为__________海里．
【试题来源】陕西省汉中市十校2020-2021学年高二上学期期中校际联考
【答案】
【分析】中利用正弦定理求出，中求得，再在中利用余弦定理即得结果．
【解析】连接AB，依题意，
中，，故由正弦定理得，
即，得．
中，，故．
中，，故由余弦定理得
．故答案为．
题型二 测量高度问题
测量高度问题需要注意三个问题
(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
例1．（2020·江苏南通·高三三模）在高分辨率遥感影像上，阴影表现为低亮度值，其分布范围反映了地物成像时遮光情况的二维信息，可以通过线段长度（如图：粗线条部分）与建筑物高度的几何关系来确定地表建筑物的高度数据．在不考虑太阳方位角对建筑物阴影影响的情况下，太阳高度角、卫星高度角与建筑物高度、线段的关系如图所示，在某时刻测得太阳高度角为，卫星高度角为，阴影部分长度为L，由此可计算建筑物得高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，设，，
由于，
所以在中，．在中，，
所以，解得，所以，故选：B．
例2．综合实践课中，小明为了测量校园内一棵樟树的高度，如图，他选取了与樟树树根部C在同一水平面的A B两点(B在A的正西方向)，在A点测得樟树根部C在西偏北30°的方向上，步行40米到B处，测得树根部C在西偏北75°的方向上，树梢D的仰角为30°，则这棵樟树的高度为__________米．
【试题来源】湖北省黄冈市部分普通高中2020-2021学年高三上学期12月联考
【答案】
【分析】结合已知条件，利用正弦定理，通过求解三角形即可．
【解析】根据图形知，
中，，，，
由正弦定理得，，解得，
在中，，所以．
【名师点睛】该题考查的是有关解三角形的实际应用问题，解题方法如下：
（1）根据题意，结合题中条件，将问题转化为解三角形问题；
（2）利用正弦定理求得相应边长；
（3）结合题中所给的条件，找出相应角的大小，利用三角形边角关系，求得结果．
变式1．在一幢米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为，塔基的俯角为 ，那么这座塔吊的高是
A． B．
C． D．
【试题来源】新疆生产建设兵团第四师第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】B
【解析】根据题意作图如下：
由题意知，仰角，俯角，
在等腰直角三角形中，，
在直角三角形中，，所以 ，
所以塔高，故选B.
【名师点睛】解决本题的关键是能根据题意画出图形，能找出俯角和仰角.
变式2．飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先看到山顶的俯角为，经过后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省豫北名校2020-2021学年高二上学期11月质量检测（文）
【答案】D
【分析】根据已知条件可得，，，利用正弦定理可求出
，再计算到边的距离，即可求解．
【解析】如图，，
因为，所以．
在中，由正弦定理可得，可得，
因为，
所以到边的距离为，
所以山顶的海拔高度为，故选D.
变式3 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得，，（米），并在C处测得塔顶A的仰角为，则塔高__________米．
【试题来源】湖南省长沙市雅礼教育集团2020-2021学年高二上学期期中
【答案】20
【分析】结合图形，利用正弦定理与直角三角形的边角关系，即可求出塔高AB的长．
【解析】在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，，
所以＝，所以＝，
CB＝20×＝20；中，∠ACB＝45°，
所以塔高AB＝BC＝20m．故答案为20．
例题3（19-20高二上学期期末）：在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，423米的东莞第一高楼民盈国贸中心2号楼（以下简称“国贸中心”）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.
第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的点测得国贸中心顶部的仰角为，正对国贸中心前进了米后，到达点，在点测得国贸中心顶部的仰角为，然后计算出国贸中心的高度（如图）.
第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸中心处于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤：①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米；②正对国贸中心，将镜子前移米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米.然后计算出国贸中心的高度（如图）.
实际操作中，第一小组测得米，，，最终算得国贸中心高度为；第二小组测得米，米，米，最终算得国贸中心高度为；假设他们测量者的“眼高”都为米.
（1）请你用所学知识帮两个小组完成计算（参考数据：，,答案保留整数结果）；
（2）你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）对于第一小组，利用锐角三角函数解答；第二小组利用三角形相似可求；
（2）从测量难易程度以及数据的误差，对比分析.
【详解】
解：（1）第一小组：在中得，；在中得，
因为即，得米
米
第二小组：,得
同理得， ，因为得
所以=米 ，所以米
（2）优点：①测量方法较好理解，普适性强；②计算思路简洁；
不足：①的距离较长，测量要求高，难度大；②角度测量较难精准，容易造成误差；③场地要求较高；
第二组方案
优点：①测量方法有创意（用到镜面成像和相似三角形）；②相对距离短，比较好测量；③只需测量距离，需要的工具少；
不足：①两次放镜子相对距离太短，容易造成误差；②镜面放置较难保持水平，容易造成误差；③如果镜面较大，人眼看镜内物像时，两次不一定都看准镜面上的同一个点，易造成误差；④人与镜子的距离差值较小，测量容易造成误差
【点睛】
本题考查利用所学数学知识建立数学模型解决实际问题，属于基础题.
变式2．山顶有一座石塔BC，已知石塔的高度为.
（1）如图（1），若以B，C为观测点，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为，用，，表示山的高度h.
（2）如图（2），若将观测点选在地面的直线AD上，其中D是塔顶B在地面上的正投影．已知石塔高度，当观测点E在AD上满足时，看BC的视角(即∠BEC)最大，求山的高度h.
【答案】（1）h＝；（2）h＝180.
【分析】
（1）由已知条件可得，利用正弦定理得到，再利用即可得出结果；（2）设，先求出，再利用两角差的正切公式得到，最后利用基本不等式即可得出结果.
【详解】
（1）解：在中，，
由正弦定理得：，得，
则，
（2）设，
，
，
，
当且仅当，即时，最大，从而最大，
由题意，，解得.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
题型三 测量角度问题（航海问题）
【例3】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________．
【答案】
【解析】在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800 BC＝20.
由正弦定理，得＝ sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30°，
得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.
【变式3-1】（1）已知A，B两岛相距100km，B在A的北偏东，甲船自A以40km/h的速度向B航行，同时乙船自B以30km/h的速度沿方位角（即东偏南）方向航行，当两船之间的距离最小时，两船合计航行距离（ ）．
A．等于 B．小于100km C．大于100km D．等于100km
【答案】C
【解析】由题意得，两船航行方向所在直线的夹角为，
设航行时间为小时，此时两船之间的距离为km，
则甲船到B的距离为km，乙船离B的距离为km，
由余弦定理可得：
，
因此，当时，取得最小值，即取得最小值；
此时两船合计航行距离为km.故选C
【变式3-1】（2）某船只在海面上向正东方向行驶了xkm迅速将航向调整为南偏西60°，然后沿着新的方向行驶了3km，此时发现离出发点恰好3km，那么x的值为（ ）
A．3 B．6 C．3或6 D．4或6
【答案】C
【解析】设出发点为，向东航行到处后改变航向到达，
则，，，，
由正弦定理可得：，即，
．
或，
（1）若，则，为直角三角形，，
（2）若，则，为等腰三角形，．故选：．
【变式3-2】（1）如图所示，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．
【答案】15分钟
【解析】设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，
则CD＝10t海里，BD＝10t海里．
在△ABC中，由余弦定理，
得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos 120°＝6，
∴BC＝海里．
又∵＝，
∴sin∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.
在△BCD中，由正弦定理，得＝，
∴sin∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°，
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
∴D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝，∴t＝小时≈15分钟．
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．
题型四 测综合性问题
例题5．由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济 小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，(为长度单位).陈某准备过点修建一条长椅（点，分别落在，上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.
（1）求点到点的距离；
（2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值.
【答案】（1）；（2），面积的最小值.
【分析】
（1）连接，，在中，利用余弦定理求出，可求出，可得出的值，在中，利用正弦定理求出的值，进而利用勾股定理可求得；
（2）利用三角形的面积公式可得出，利用基本不等式可求得的最小值，进而可求得面积的最小值及其对应的的值.
【详解】
解：（1）连接、，
在中，，
由余弦定理可得：，.
在中，由余弦定理可得，.
在中，，
由正弦定理可得：，解得：.
在直角中，，；
（2），
.
.
，当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，.
【点睛】
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
变式2．今年春节，突如其来的疫情对消费市场造成巨大冲击，全国范围内餐饮业都受到重大影响.进入五月随着天气转暖，国内新冠肺炎疫情防控形势持续向好，各大城市在做好防控工作的同时，在灯火通明的城市商圈和步行街也逐渐开放了夜市以发展经济.在“全民夜市练摊”的热潮中，某商场经营者贾某准备在商场门前经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中顶角，且在该区域内点处有一棵树，经测量点到区域边界，的距离分别为，（为长度单位）.贾某准备过点修建一条长椅（点B，C分别落在，上，长椅的宽度及树的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.
（Ⅰ）求点到点的距离；
（Ⅱ）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出最小面积.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），三角形区域面积最小为.
【分析】
（Ⅰ）连接,设，则，在和中，利用将表示出来即，求出的值，进而求出到的距离；
（Ⅱ）将三角形区域面积表示出来，可得：，利用基本不等式可得，解得：，即可求面积的最小值，再利用等号成立的条件即可求得.
【详解】
（Ⅰ）连接,设，则，
在中,，
在中,，所以，
即，所以①，
又因为② ，
由①②解得：，所以.
（Ⅱ），
又因为，
，
解得，所以，
当且仅当时等号成立，此时面积最小为，
所以，又因为，解得，
所以当时，该三角形区域面积最小为.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是,设，则，利用正弦定理可以求出的值，第二问关键是利用面积的两种表示，结合基本不等式求出.
【课后巩固练习】
1、如图，一艘船上午在处测得灯塔在它的北偏东处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东处，且与它相距．此船的航速是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先设航速为，计算AB长度，再利用正弦定理列关系即求得．
【解析】设航速为
在中，，，，
由正弦定理得，所以．故选C．
【名师点睛】解三角形应用题的一般步骤：
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；
（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；
（3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；
（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
2．在灯塔A的正东方向，相距40海里的B处，有一艘渔船遇险，在原地等待营救．海警船在灯塔A的南偏西，相距20海里的C处．现海警船要沿直线CB方向，尽快前往B处救援，则sin∠ACB等于
A． B． C． D．
【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题 （理）
【答案】A
【分析】在中，由余弦定理得，由正弦定理得．
【解析】在中，，，，由余弦定理得，
所以，由正弦定理得．故选A．
3．如图，某班同学为测量河两岸输电塔架底部间的距离，在与塔架同岸选取一点，测得米，，则两塔架底部之间的距离为
A．米 B．米
C．米 D．米
【试题来源】2020年安徽省普通高中学业水平考试
【答案】B
【分析】先利用三角形内角和求出，在利用正弦定理求得即可．
【解析】中，，故，
根据正弦定理得，代入数据，
解得米．故选B．
4、 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，1)，直线OB的倾斜角为45°，且|OB|＝.
(1)求点B的坐标及线段AB的长度；
(2)在平面直角坐标系中，取1厘米为单位长度．现有一质点P以1厘米/秒的速度从点B出发，沿倾斜角为60°的射线BC运动，另一质点Q同时以厘米/秒的速度从点A出发作直线运动，如果要使得质点Q与P会合于点C，那么需要经过多少时间？
【解析】：(1)设点B(x0，y0)，
依题意x0＝cos 45°＝1，y0＝sin 45°＝1，
从而B(1，1)，又A(－3，1)，所以AB∥x轴，则|AB|＝|1－(－3)|＝4.
(2)设质点Q与P经过t秒会合于点C，则AC＝t，BC＝t.
由AB∥x轴及BC的倾斜角为60°，得∠ABC＝120°.
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 120°，
所以2t2＝16＋t2＋8t·，
化简得t2－4t－16＝0，解得t＝2－2(舍去)或t＝2＋2.
即若要使得质点Q与P会合于点C，则需要经过(2＋2)秒．　
5、如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P(观察站高度忽略不计)，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°方向，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°方向，俯角为60°的C处．
(1)求船的航行速度是每小时多少千米？
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？
【解析】：(1)在Rt△PAB中，∠APB＝60°，AP＝1，
所以AB＝APtan 60°＝.
在Rt△PAC中，∠APC＝30°，
所以AC＝APtan 30°＝.
在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，
所以BC＝＝＝.
则船的航行速度为÷＝2(千米/时)．
(2)在△ACD中，∠DAC＝90°－60°＝30°，sin∠DCA
＝sin(180°－∠ACB)＝sin∠ACB＝＝＝，sin∠CDA＝sin(∠ACB－30°)
＝sin∠ACB·cos 30°－cos∠ACB·sin 30°
＝×－　＝.
由正弦定理得＝，
所以AD＝＝＝.
故此时船距岛A有千米．【高一数学D版】第6讲：正余弦定理应用举例
【知识梳理】
实际测量中的有关名称、术语：
1、仰角与俯角：
（1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
（2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
2、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角
（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°）
3、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
常考题型：
题型一 测量距离问题
当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：
（1）两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝.
（2）两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.
（3）两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.
类型1：两点不相通的距离
【例1-1】某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为3km和5km，测得灯塔A在观察站C北偏西，灯塔B在观察站C北偏东，则两灯塔A，B间的距离为
A． B． C．7 D．
类型2：两点间可视但有一点不可到达
【例1-2】如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________ m.
类型3：两点都不可到达
【例1-3】如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．
变式1．蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离的军事基地和，测得红军的两支精锐部队分别在处和处，且，，，，如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是 （ ）
A． B． C． D．
变式2．某人在A处向正东方向走后到达B处，他沿南偏西方向走到达C处，结果他离出发点恰好，那么的值为
A．或 B．或 C．或 D．
变式3.如图所示，为了测量、两岛屿的距离，小明在处观测到、分别在处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西60°方向，则、两岛屿的距离为__________海里．
题型二 测量高度问题
测量高度问题需要注意三个问题
(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
例1．（2020·江苏南通·高三三模）在高分辨率遥感影像上，阴影表现为低亮度值，其分布范围反映了地物成像时遮光情况的二维信息，可以通过线段长度（如图：粗线条部分）与建筑物高度的几何关系来确定地表建筑物的高度数据．在不考虑太阳方位角对建筑物阴影影响的情况下，太阳高度角、卫星高度角与建筑物高度、线段的关系如图所示，在某时刻测得太阳高度角为，卫星高度角为，阴影部分长度为L，由此可计算建筑物得高度为（ ）
A． B． C． D．
例2．综合实践课中，小明为了测量校园内一棵樟树的高度，如图，他选取了与樟树树根部C在同一水平面的A B两点(B在A的正西方向)，在A点测得樟树根部C在西偏北30°的方向上，步行40米到B处，测得树根部C在西偏北75°的方向上，树梢D的仰角为30°，则这棵樟树的高度为__________米．
【名师点睛】该题考查的是有关解三角形的实际应用问题，解题方法如下：
（1）根据题意，结合题中条件，将问题转化为解三角形问题；
（2）利用正弦定理求得相应边长；
（3）结合题中所给的条件，找出相应角的大小，利用三角形边角关系，求得结果．
变式1．在一幢米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为，塔基的俯角为 ，那么这座塔吊的高是
A． B． C． D．
变式2．飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先看到山顶的俯角为，经过后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为
A． B．
C． D．
变式3 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得，，（米），并在C处测得塔顶A的仰角为，则塔高__________米．
例题3（19-20高二上学期期末）：在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，423米的东莞第一高楼民盈国贸中心2号楼（以下简称“国贸中心”）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.
第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的点测得国贸中心顶部的仰角为，正对国贸中心前进了米后，到达点，在点测得国贸中心顶部的仰角为，然后计算出国贸中心的高度（如图）.
第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸中心处于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤：①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米；②正对国贸中心，将镜子前移米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米.然后计算出国贸中心的高度（如图）.
实际操作中，第一小组测得米，，，最终算得国贸中心高度为；第二小组测得米，米，米，最终算得国贸中心高度为；假设他们测量者的“眼高”都为米.
（1）请你用所学知识帮两个小组完成计算（参考数据：，,答案保留整数结果）； （2）你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由.
变式2．山顶有一座石塔BC，已知石塔的高度为.
（1）如图（1），若以B，C为观测点，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为，用，，表示山的高度h.
（2）如图（2），若将观测点选在地面的直线AD上，其中D是塔顶B在地面上的正投影．已知石塔高度，当观测点E在AD上满足时，看BC的视角(即∠BEC)最大，求山的高度h.
题型三 测量角度问题（航海问题）
【例3】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________．
【变式3-1】（1）已知A，B两岛相距100km，B在A的北偏东，甲船自A以40km/h的速度向B航行，同时乙船自B以30km/h的速度沿方位角（即东偏南）方向航行，当两船之间的距离最小时，两船合计航行距离（ ）．
A．等于 B．小于100km C．大于100km D．等于100km
【变式3-1】（2）某船只在海面上向正东方向行驶了xkm迅速将航向调整为南偏西60°，然后沿着新的方向行驶了3km，此时发现离出发点恰好3km，那么x的值为（ ）
A．3 B．6 C．3或6 D．4或6
【变式3-2】（1）如图所示，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．
题型四 测综合性问题
例题5．由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济 小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，(为长度单位).陈某准备过点修建一条长椅（点，分别落在，上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.
（1）求点到点的距离；
（2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值.
【点睛】
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
变式2．今年春节，突如其来的疫情对消费市场造成巨大冲击，全国范围内餐饮业都受到重大影响.进入五月随着天气转暖，国内新冠肺炎疫情防控形势持续向好，各大城市在做好防控工作的同时，在灯火通明的城市商圈和步行街也逐渐开放了夜市以发展经济.在“全民夜市练摊”的热潮中，某商场经营者贾某准备在商场门前经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中顶角，且在该区域内点处有一棵树，经测量点到区域边界，的距离分别为，（为长度单位）.贾某准备过点修建一条长椅（点B，C分别落在，上，长椅的宽度及树的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.
（Ⅰ）求点到点的距离；
（Ⅱ）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出最小面积.
【课后巩固练习】
1、如图，一艘船上午在处测得灯塔在它的北偏东处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东处，且与它相距．此船的航速是
A． B． C． D．
2．在灯塔A的正东方向，相距40海里的B处，有一艘渔船遇险，在原地等待营救．海警船在灯塔A的南偏西，相距20海里的C处．现海警船要沿直线CB方向，尽快前往B处救援，则sin∠ACB等于
A． B． C． D．
3．如图，某班同学为测量河两岸输电塔架底部间的距离，在与塔架同岸选取一点，测得米，，则两塔架底部之间的距离为
A．米 B．米 C．米 D．米
4、 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，1)，直线OB的倾斜角为45°，且|OB|＝.
(1)求点B的坐标及线段AB的长度；
(2)在平面直角坐标系中，取1厘米为单位长度．现有一质点P以1厘米/秒的速度从点B出发，沿倾斜角为60°的射线BC运动，另一质点Q同时以厘米/秒的速度从点A出发作直线运动，如果要使得质点Q与P会合于点C，那么需要经过多少时间？
5、如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P(观察站高度忽略不计)，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°方向，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°方向，俯角为60°的C处．
(1)求船的航行速度是每小时多少千米？
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？

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