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【专题3】通过空间向量解决立体几何中的角度问题
【思维导图】
【常见考法】
考法一 线线角
【典例1】在正方体中，为棱上一点且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式１】如图，直三棱柱的侧棱长为3，，，点，分别是棱，上的动点，且，当三棱锥的体积取得最大值时，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【变式２】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【典例２】在正方体中，P是侧面上的动点，与垂直，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式３】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，是的中点．
求异面直线与所成角的余弦值； （2）若点是棱上一点，且，求的值．
考法二 线面角
【典例1】（2020 海南）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．
（1）证明：平面；
（2）已知，为上的点，，求与平面所成角的正弦值．
【变式1】（2018 浙江）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．
（Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．
【典例2】（2020 山东）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．
（1）证明：平面；
（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
【变式2】如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图．
1若，证明：平面； 2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．
考法三 面面角
【典例1】（2021 新高考Ⅱ）在四棱锥中，底面是正方形，若，，．
（Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．
【变式1】（2019 新课标Ⅰ）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．
（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．
【典例2】（2021 北京）已知正方体，点为中点，直线交平面于点．
（1）求证：点为中点；（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求．
【变式2】（2021 甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．
（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？
【变式3】如图1，直角梯形中，，，E、F分别是和上的点，且，，，沿将四边形折起，如图2，使与所成的角为60°.
（1）求证：平面；
（2）M为上的点，，若二面角的余弦值为，求的值.【专题3】通过空间向量解决立体几何中的角度问题
【思维导图】
【常见考法】
考法一 线线角
【典例1】在正方体中，为棱上一点且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，，
设异面直线与所成角为，则异面直线与所成角的余弦值为．
故选：B．
【变式１】如图，直三棱柱的侧棱长为3，，，点，分别是棱，上的动点，且，当三棱锥的体积取得最大值时，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，当且仅当，即时等号成立，即当三棱锥的体积取得最大值时，点，分别是棱，的中点，
方法一：连接，，则，，，，
因为，所以即为异面直线与所成的角，
由余弦定理得，∴．
方法二：以为坐标原点，以、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，所以，
所以异面直线与所成的角为．故选：C
【变式２】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设棱长为1，，，，由题意得：，，
，
又
即异面直线与所成角的余弦值为：本题正确选项：
【典例２】在正方体中，P是侧面上的动点，与垂直，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，设，其中，
则，
因为与垂直，所以，所以，
所以，
因为，所以当时，取得最大值，此时取得最小值；
【变式３】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，是的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）若点是棱上一点，且，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）以点为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，
，故
∵，∴与所成角的余弦值为．
（2）解：设，则，
∵，∴，即，∴，
又，即，∴，故，
，∴。
考法二 线面角
【典例1】（2020 海南）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．
（1）证明：平面；
（2）已知，为上的点，，求与平面所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：过在平面内作直线，
由，可得，即为平面和平面的交线，
平面，平面，，
又，，平面，
，平面；
（2）解：如图，以为坐标原点，直线，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
，为上的点，，
，，
则，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，作，则为平面与平面的交线为，因为，是等腰直角三角形，所以，0，，
则，0，，，1，，，1，，
设平面的法向量为，，，
则，，取，可得，0，，
，，与平面所成角的正弦值为．
【变式1】（2018 浙江）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．
（Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．
【解答】证明：平面，平面，
，
，，，
，
又，，
，
同理可得：，
又，平面．
解：取中点，过作平面的垂线，交于，
，，
，，，，
以为原点，以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，0，，，0，，，，，
，，，，0，，，，，
设平面的法向量为，，，则，
，令可得，1，，．
设直线与平面所成的角为，则．
直线与平面所成的角的正弦值为．
【典例2】（2020 山东）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．
（1）证明：平面；
（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
【解答】解：（1）证明：过在平面内作直线，
由，可得，即为平面和平面的交线，
平面，平面，，
又，，平面，
，平面；
（2）如图，以为坐标原点，直线，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，
设，0，，，0，，，1，，，1，，
设平面的法向量为，，，
则，，取，可得，0，，
，，
与平面所成角的正弦值为
，当且仅当取等号，
与平面所成角的正弦值的最大值为．
【变式2】如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图．
1若，证明：平面；
2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，，
由已知得，，平面
又平面BDE，，
又，，平面
2在图2中，，，，即面DEFC，
在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE，
由题意得，，由勾股定理可得，则，，
过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，
以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
．
设平面ACD的一个法向量为，
由得,取得，
设，则m，，，得
设CP与平面ACD所成的角为，．所以
考法三 面面角
【典例1】（2021 新高考Ⅱ）在四棱锥中，底面是正方形，若，，．
（Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：中，，，，所以，所以；
又，，平面，平面，所以平面；
又平面，所以平面平面．
（Ⅱ）解：取的中点，在平面内作，
以为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，0，，，，，，1，，，0，，
因为平面，所以平面的一个法向量为，0，，
设平面的一个法向量为，，，
由，2，，，，，
得，即，
令，得，，所以，2，；
所以，，所以二面角的平面角的余弦值为．
【变式1】（2019 新课标Ⅰ）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．
（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，过作，则，且，
又，，四边形为平行四边形，则，
由，为中点，得为中点，而为中点，
，，则四边形为平行四边形，则，
，
平面，平面，
平面；
（2）解：以为坐标原点，以垂直于的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，1，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
又平面的一个法向量为，
．
二面角的正弦值为．
【典例2】（2021 北京）已知正方体，点为中点，直线交平面于点．
（1）求证：点为中点；（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求．
【解答】（1）证明：连结，
在正方体中，，平面，平面，
则平面，因为平面平面，
所以，则，
故，又因为，
所以四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
所以，，
而点为的中点，所以，
故，则点为的中点；
（2）解：以点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体边长为2，设点，0，，且，
则，2，，，1，，，1，，
故，
设平面的法向量为，
则，即，所以，，故，
设平面的法向量为，
则，即，
所以，，故，因为二面角的余弦值为，
则，解得，又，所以，故．
【变式2】（2021 甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．
（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？
【解答】（1）证明：连接，
，分别为直三棱柱的棱和的中点，且，
，，
，，
，，
，即，
故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，，1，，，2，，
设，则，0，，
，2，，，1，，，即．
（2）解：平面，平面的一个法向量为，0，，
由（1）知，，1，，，1，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，，，，，
，，
当时，面与面所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，
故当时，面与面所成的二面角的正弦值最小．
【变式3】如图1，直角梯形中，，，E、F分别是和上的点，且，，，沿将四边形折起，如图2，使与所成的角为60°.
（1）求证：平面；
（2）M为上的点，，若二面角的余弦值为，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：在图1中，，，又，所以是矩形，
所以在图2中，，又平面，所以平面，
因为，又平面，所以平面，
又因为，所以平面平面，
而平面，所以平面.
（2）解：因为，所以是与所成的角，所以，
∵，，∴平面，故平面平面，作于点O，则平面，，，，
以O为原点，平行于的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，.
，，，，
设平面的法向量为，
则，取，得.
平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
所以，
平方整理得，因为，所以.

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