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【专题5】等差数列
【思维导图】
【考点梳理】
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为 (为常数)．
(2)等差中项：数列成等差数列的充要条件是，其中叫做的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：.
注：（1）当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数型；
（2）等差数列的单调性只与公差有关，当时，为递增数列；时，为常数列；时，为递减数列.
(2)前n项和公式：.
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广： (∈N*)．
(2)若为等差数列，且 (∈N*)，则
(3)若是等差数列，公差为，则也是等差数列，公差为.
(4)若，是等差数列，则也是等差数列．
(5)若是等差数列，公差为，则，…(∈N*)是公差为的等差数列．
考法一 等差数列基本量运算
【典例1】（1）(2017·全国卷Ⅰ)记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C　
【解析】设等差数列{an}的公差为d，
则由得即解得d＝4.
等差数列运算问题的通性通法：
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项和公差，然后由通项公式或前项和公式转化为方程(组)求解．
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
（2）设为等差数列的前n项和，若，，则________.
【答案】－72
【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由已知，得解得
∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.
【易错点】在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．
【方法点拨】等差数列前n项和公式的应用方法
根据不同的已知条件选用两个求和公式，若已知首项和公差，则使用公式Sn＝na1＋d；若已知通项公式，则使用公式Sn＝，同时注意与性质“a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…”的结合使用．
【变式1】等差数列的前项和为，已知，则 (　　)
A．8　　 B．12 C．16　 　 D．24
【答案】C
【解析】由已知得a1＋4d＝8,3a1＋d＝6，解得a1＝0，d＝2.故a9＝a1＋8d＝16.故选C．
【变式2】设等差数列的前项和为，若，，，则正整数____.
【答案】13
【解析】由Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝－12＋＝－，
又Sk＋1＝＝＝－，
解得k＝13.
【变式3】(2018·东北四市高考模拟)已知数列满足，，则…(　　)
A．9 B．15 C．18 D．30
【答案】C
【解析】由an＋1－an＝2可得数列{an}是等差数列，公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.
【变式4】（2020·梅河口市第五中学高三月考）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，则（ ）
A．3 B． C．-3 D．
【答案】D
【解析】设数列是公差为，，首项为，因为
所以，所以，所以
所以故选：D
考法二 等差数列性质的应用
【典例2】（1）在等差数列中，，表示数列的前项和，则 (　　)
A．18 B．99 C．198 D．297
【答案】B
【解析】因为a3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，
所以a6＝9所以S11＝(a1＋a11)＝11a6＝99.
【易错点】不能将等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，或者中间项求错.
【方法点拨】等差数列奇数项和性质S2n－1＝(2n－1)an。
（2）已知为等差数列，若，，则________.
【答案】20
【解析】法一：设数列的公差为d，则a7＋a8＋a9＝a1＋6d＋a2＋6d＋a3＋6d＝5＋18d＝10，所以18d＝5，故a19＋a20＋a21＝a7＋12d＋a8＋12d＋a9＋12d＝10＋36d＝20.
法二：由等差数列的性质，可知S3，S6－S3，S9－S6，…，S21－S18成等差数列，
设此数列公差为D.
所以5＋2D＝10，所以D＝.
所以a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6D＝5＋15＝20.
【易错点】弄不清a19＋a20＋a21是新构造数列的项数.
【方法点拨】若{an}是等差数列，Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
（3）(2018·石家庄一模)已知函数的图像关于直线对称，且在上单调，若数列是公差不为的等差数列，且，则数列的前项的和为　　)
A．－200 B．－100
C．－50 D．0
【答案】B
【解析】因为函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，所以f(x)在(－∞，－1)上也单调，且数列{an}是公差不为0的等差数列．又f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝＝50(a50＋a51)＝－100.
【易错点】忽视由函数的对称性及单调性知f(x)在(－∞，－1)上也单调；
【方法点拨】结合函数的性质知a50＋a51＝－2.要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝＝(n，m∈N*)等．
【变式1】(2018·岳阳模拟)在等差数列中，如果，，那么 (　　)
A．95　　　　　　　　　 　 B．100
C．135 D．80
【答案】B
【解析】由等差数列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8构成新的等差数列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100.
【变式2】(2018届高三·西安八校联考)设等差数列的前项和为，且，则 (　　)
A．52 B．78 C．104 D．208
【答案】C
【解析】依题意得3a7＝24，a7＝8，S13＝＝13a7＝104.
【变式3】设等差数列的前项和为，已知前6项和为36，最后6项的和为180，＝(n＞6)，则数列的项数为________．
【答案】18
【解析】由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①
an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②
①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，
∴a1＋an＝36，又Sn＝＝324，∴18n＝324，∴n＝18.
【变式4】（2021·全国·高二课时练习）等差数列中，，则＝（ ）
A．10 B．20 C．40 D．2＋log25
【答案】B
解：因为 ，所以原式＝log2220＝20.
故选：B.
考法三 等差数列的判定与证明
【典例3】（1）(2018·贵州适应性考试)已知数列满足，且.
(1)求； (2)证明数列是等差数列，并求的通项公式．
【答案】(1)a2＝6，a3＝15；(2)an＝2n2－n
【解析】(1)由已知，得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.
由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
(2)证明：由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，
得＝2，即－＝2，
所以数列是首项＝1，公差d＝2的等差数列．
则＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.
【易错点】用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解．比如，对于满足an－an－1＝1(n≥3)的数列{an}而言并不能判定其为等差数列，因为不能确定起始项a2－a1是否等于1.
等差数列的判定与证明方法
方　法 解　读 适合题型
定义法 对于任意自然数，为同一常数 是等差数列 解答题中证明问题
等差中项法 成立 是等差数列
通项公式法 (为常数)对任意的正整数都成立 是等差数列 选择、填空题中的判定问题
前n项和法 验证(为常数)对任意正整数都成立 是等差数列
（2）（2021·广西·桂林中学高二开学考试）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
1．D
解：因为，则，又，则，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以，所以，
则．
故选：D
【变式1】（2021·山西运城市·高三期中）已知数列中，，，设，求证：数列是等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】证明：当时，，
，所以是以1为首项，为公差的等差数列 ；
【变式2】（2021·全国·高二单元测试）数列满足，已知．
（1）求，；
（2）若，则是否存在实数t，使为等差数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【详解】
（1）；；（2）存在；．
（1）当时，．
当时，，
∴．
∴，解得．
（2）当时，
．
要使为等差数列，则为常数，即，
即存在，使为等差数列．
【变式3】（2020·江西丰城九中高三期中节选）数列满足，证明：数列是等差数列；
【答案】证明见解析；
【解析】∵，∴，∴，
∴数列是以1为首项，以1为公差的等差数列；
考法四 等差数列前n项和的性质
【考点梳理】
与等差数列各项的和有关的性质
(1)若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的.
(2)若是等差数列，分别为的前项，前项，前项的和，则成等差数列．
（3）两个等差数列，的前项和之间的关系为.
【典例4-1】（2020·江苏省包场高级中学高二月考）在等差数列中，，其前n项和为，若，则（ ）
A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040
C
设等差数列的前项和为，则，
所以是等差数列．因为，
所以的公差为，又，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以
故选：C
【变式1】（2021·全国·高二课时练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则（ ）
A．0 B．2018 C． D．2020
8．D
【详解】
设等差数列的公差为d，
由等差数列的性质可得为等差数列，的公差为.
，
，
解得.
则.
故选：D.
【变式2】（2020·河北·邢台市南和区第一中学高二月考）已知数列的通项公式是，前项和为，则数列的前11项和为
A． B． C． D．
9．D
【详解】
由题意知数列为等差数列，
∴．
∴，
∴数列的前11项和为．
选D．
【典例4-2】（2021·全国·高二单元测试）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．28 B．32 C．16 D．24
B
【详解】
由等差数列前n项和的性质，
可得，，，成等差数列，
∴，解得.
∴ 2，6，10，成等差数列，
可得，解得.
故选：B
【变式1】（2021·河南·高二月考）记等差数列的前项和为，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
C
【详解】
因为是等差数列的前项，
由等差数列前项和的性质可知：
，，成等差数列，
所以，
即，解得：，
故选：C.
【变式2】（2020·湖北·秭归县第一中学高二期中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则下列判断错误的是（ ）
A．S5，S10-S5，S15-S10必成等差数列 B．S2，S4-S2，S6-S4必成等差数列
C．S5，S10，S15+S10有可能是等差数列 D．S2，S4+S2，S6+S4必成等差数列
D
【详解】
由题意，数列为等差数列，为前项和，
根据等差数列的性质，可得而，和构成等差数列，所以，所以A，B正确；
当首项与公差均为0时，是等差数列，所以C正确；
当首项为1与公差1时，此时，此时不构成等差数列，所以D错误.
故选：D.
【典例4-3】（2021·河南·高二月考）已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
10．B
【详解】
因为为等差数列，
故，即，同理可得：，所以.
故选：B．
【变式1】（2021·全国·高二课时练习）已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（ ）
A． B． C． D．
11．A
【详解】
∵，
∴，
故选：A
【变式2】（2021·西藏日喀则·高二期末（理））已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，若，则（ ）
A． B． C． D．
12．C
【详解】
因为，则．
故选：C．
考法五 等差数列的前n项和的最值问题
【典例5-1】设等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则当最大时，__________．
【答案】或
【解析】法一：由，可得，所以
，由并结合对应的二次函数的图象知，当或时最大．
法二：由，得，即，，由可知，故当或时最大．
【易错点】由于，所以，当或时最大，错解中忽略了数列中为0的项．
【典例5-2】（2020·湖北武汉市·高三期末）若是等差数列的前项和，其首项，， ，则使成立的最大自然数是（ ）
A．198 B．199 C．200 D．201
【解析】∵， ∴和异号；
∵，，
有等差数列的性质可知，等差数列的公差，
当时，；当时，；
又 ，，
由等差数列的前项和的性质可知，使前项和成立的最大自然数是.故选：A．
【方法点拨】求等差数列前n项和的最值的方法
(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．
(2)通项公式法：求使成立时最大的n值即可．一般地，等差数列中，若，且则：
①若为偶数，则当时，最大；
②若为奇数，则当或时，最大．
(3)邻项变号法：①时，满足的项数使得取得最大值为；
②当时，满足的项数使得取得最小值为.
【变式1】在等差数列中，，，则数列的前n项和的最大值为(　　)
A．S15　　　　 　　B．S16 C．S15或S16 D．S17
【答案】A
【解析】∵a1＝29，S10＝S20，
∴10a1＋d＝20a1＋d，解得d＝－2，
∴Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.
∴当n＝15时，Sn取得最大值．
【变式2】设等差数列的前项和为，且，，，则满足的最大自然数的值为(　　)
A．6 B．7 C．12 D．13
【答案】C
【解析】因为a1>0，a6a7<0，所以a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，所以S12>0，S13<0，所以满足Sn>0的最大自然数n的值为12.
【变式3】（2021·全国·高二课时练习）若数列是等差数列，首项，公差，且，，则使数列的前项和成立的最大自然数是（ ）
A．4039 B．4038 C．4037 D．4036
由题意，得数列是递减数列，由，且，可得，，且，，
∴，，
∴使数列的前项和成立的最大自然数是4038．
故选：B
【变式4】（多选）（2021·福建省龙岩第一中学高二月考）设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则（ ）
A． B．数列是递减数列 C．时，的最大值为11 D．数列中最小项为第7项
ACD
解：，，又，，A对；
由的分析可知，当时，当时，可知等差数列为递减数列，当时，数列为递增数列，B错；
，又，C对；
，时，，时，，，，时，，
当，时，、且递减、为正数且递减，最小．D对．
故选：ACD．
考法六 等差数列前n项和偶数项和奇数项和与绝对值问题
关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质．
①若项数为，则，，.
②若项数为，则，，，，.
【典例6-1】 已知数列为等差数列，其前项和为，在前项中，偶数项之和与奇数项之和的比为，则这个数列的公差为________
【答案】
【变式1】（2020·河北·武邑武罗学校高二期中）已知等差数列的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为
A．10 B．20 C．30 D．40
B
【详解】
设等差数列的公差为，项数为，前项和为，则，即这个数列的项数为20，故选择B.
【变式2】已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为_________；项数为_____________
【答案】（1）11 （2）7
【典例6-2】 在等差数列中，，，求数列的前项和.
【答案】
所以，，
令，即，解得
（1）当时
数列的前项和
（2）当时
数列的前项和
综上所述：
【变式1】设等差数列满足；
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和及使得最大的序号的值；
（3）求数列的前项和；
【答案】（1）设等差数列的公差为，则由题意得，解得，所以；
（2）；
因为，所以当时，取最大值；
（3）令，即，解得；
①当时，
②当时，
综上所述：
【专题6】等比数列
【思维导图】
【考点梳理】
1．等比数列的有关概念
(1)等比数列的定义
一般地，如果一个数列从__第2项__起，每一项与它的前一项的比等于__同一__常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的__公比__，通常用字母表示．
注：若， (项数相同)是等比数列，则 ()，，，，仍是等比数列．
(2)等比中项
如果三个数a，G，b成等比数列，则G叫做a和b的等比中项，那么__＝__，即_G2＝ab_.
2．等比数列的有关公式
(1)等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，，则它的通项公式.
注：①可以改写为，当且时，等比数列的第项是指数函数当的函数值.
②当或时，是递增数列;
当或时，是递减数列;
当时，是常数列;
当时，是摆动数列;
3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：＝ (n，m∈N*)．
(2)若为等比数列，且 (N*)，则.
(3)若数列是等比数列，公比为，则是公比为的等比数列.
(4)若数列是等比数列，且，则成等比数列.
4．等比数列的前n项和公式
等比数列的公比为 ()，其前项和为.
注：当时，是等比数列的充要条件，此时.
5．等比数列的前n项和性质
(1)若公比不为的等比数列的前项和为，则仍成等比数列，其公比为.
(2)等比数列中，若所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，公比为,则：
①若共有项，则；②若共有项，则
考法一 等比数列基本量运算
【典例1】在等比数列中，
(1)已知，求； (2)已知，求和； (3)已知，，求．
【答案】(1) 189. (2)51. (3)当q＝1时，a1＝；当q＝－时，a1＝6．
【解析】(1)a6＝a1q5＝3×25＝96．S6＝＝＝189．
(2)∵a4＝a1q3，∴64＝－q3．∴q＝－4，∴S4＝＝＝51．
(3)由题意，得
②÷①，得＝3，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1或q＝－．
当q＝1时，a1＝；
当q＝－时，a1＝6．
【易错点】在等比数列{an}中，首项a1与公比q是两个最基本的元素；有关等比数列的问题，均可化成关于a1，q的方程或方程组求解．解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2)利用等比数列的有关性质；(3)注意在使用等比数列前n项和公式时，要考虑q是否等于1．
解决等比数列有关问题的两种常用思想
方程思想 等比数列中共有五个基本量，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求解关键量，问题就迎刃而解
分类讨论的思想 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当n时，的前n项和；当时，的前n项和
【变式1】已知等比数列的前三项依次为，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，故a1＝4，a2＝6，所以q＝，
则an＝4×.
【变式2】已知数列是公比为的等比数列，且，则的值为(　　)
A．3 B．2
C．3或－2 D．3或－3
【答案】D
【解析】由a1·a3＝4，a4＝8，得aq2＝4，a1q3＝8，解得q＝±2.当q＝2时，a1＝1，此时a1＋q＝3；当q＝－2时，a1＝－1，此时a1＋q＝－3.故选D.
【变式3】已知是首项为1，公差为2的等差数列，表示的前项和．
(1)求及；
(2)设是首项为2的等比数列，公比满足，求的通项公式及其前项和.
【答案】(1)an＝2n－1，Sn＝n2；(2)Tn＝(4n－1)
【解析】(1)因为{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
故Sn＝＝＝n2.
(2)由(1)得a4＝7，S4＝16.
因为q2－(a4＋1)q＋S4＝0，
即q2－8q＋16＝0，
所以(q－4)2＝0，从而q＝4.
又b1＝2，{bn}是公比q＝4的等比数列，
所以bn＝b1qn－1＝2·4n－1＝22n－1.
从而{bn}的前n项和Tn＝＝(4n－1)．
考法二 等比数列性质的应用
【典例2-1】等比数列中，是方程的两个根，试求 .
【答案】－1
【解析】由韦达定理，得a5＋a9＝－，a5a9＝1，∴a5＜0，a9＜0.
∵a＝a5a9＝1，且a7＝a5q2＜0，∴a7＝－1.
归纳与总结
在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口，有时需要进行适当的变形.此外，解题时注意设而不求的思想的应用.
【典例2-2】已知数列为等比数列，，求数列的通项公式 ．
【答案】an＝2n－1或an＝23－n
【解析】解法一：∵a1a3＝，∴a1·a2·a3＝＝8．∴a2＝2．
从而∴或
∴或
∴an＝2n－1或an＝23－n．
解法二：由a1a2a3＝8，得a2＝2．
将a2＝a1q，a3＝a1q2代入a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，
可得
解得或
故可得an＝2n－1或an＝23－n．
解法三：∵数列{an}为等比数列，∴＝a1·a3．
代入a1a2a3＝8，得＝8，∴a2＝2．
不妨设等比数列的前三项为，2，2q，则有＋2＋2q＝7，
整理得2q2－5q＋2＝0，
解得q＝2或q＝．
∴或
∴an＝2n－1或an＝23－n．
【易错点】若三个数成等比数列，则可设为，a，aq，当然也可设为a，aq，aq2．若四个数成等比数列，则可设为a，aq，aq2，aq3，但不能设为，，aq，aq3，因为这个数列的公比为q2，漏掉了公比为负值的情况．
【方法点拨】本题主要考查等比数列的性质“若p＋q＝2n，则ap·aq＝a(p，q，n∈N＋)”的应用．
【变式1】(2018·湖北华师一附中月考)在等比数列中，，则 (　　)
A．1 B．±1
C．2 D．±2
【答案】A
【解析】因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a＝8，
所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，
所以q2＝2，则a1＝＝1，故选A.
【变式2】若在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别为 .
【答案】，2，2或－，2，－2.
【解析】设这五个数依次为a1，a2，a3，a4，a5.
∵a＝a1a5＝4，且a3＞0，
∴a3＝2.又a＝a1a3＝2，
∴a2＝±，当a2＝时，a4＝2；
当a2＝－时，a4＝－2.
所以插入的三个数依次为，2,2或－，2，－2.
【变式3】（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
试题分析：由已知，所以，因为数列的各项均为正，所以，．故选C．
【变式4】（2021·甘肃省会宁县第一中学高二期中（理））已知函数，若等比数列满足，则（ ）
A．2022 B．1011 C．2 D．
【答案】A
【详解】
，
，
是等比数列，，
则.
故选：A
【变式5】（2021·全国·高二课时练习）(多选题)设等比数列的公比为，前项和为，前项积为，并满足条件，，，则下列结论中正确的有( )
A． B． C． D．是数列中的最大值
【答案】BCD
【详解】
选项A：若，由，则，，
则，，则与已知条件矛盾，
所以不符合，故A错误；
选项B：由于，，，所以，，
故，则，则，故B正确；
选项C：因为，故C正确；
选项D：因为前2020项都大于1，从第2021项开始起都小于1，
所以的值是中最大的，故D正确．
故选：BCD.
考法三 等比数列的前n项和性质
【典例3】（1）（2020·安徽和县）已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+2+3t，则t＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣9
（2）（2020·广东佛山市·高三月考）等比数列的前n项和为，若，则为（ ）
A．18 B．30 C．54 D．14
（3）（2020·全国高三专题练习）在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝（ ）
A．135 B．100
C．95 D．80
（4）（2021·山西太原市）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（ ）.
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】（1）C（2）B（3）A（4）B
【解析】（1）因为等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+2+3t，则a1＝S1＝33+3t＝27+3t，
a2＝S2﹣S1＝（34+3t）﹣（33+3t）＝54，a3＝S3﹣S2＝（35+3t）﹣（34+3t）＝162，
则有（27+3t）×162＝542，解得t＝﹣3，故选：C.
（2）是等比数列，则也成等比数列，
，，，则，，则.故选：B.
（3）由等比数列前n项和的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，
其首项为40，公比为，所以a7＋a8＝.故选：A
（4）由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，∴，
设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，即，
∴，∵,∴解得，
又前3项之积，解得，∴.故选:B.
【举一反三】
1．（2021·四川眉山）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】B
【解析】，所以，解得.故选：
2．（2020·静宁县第一中学高三月考）设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
【答案】C
【解析】因为为等比数列的前项和，所以，，成等比数列，
所以，即，解得.故选：C
3．（2020·江苏高三专题练习）已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3=4，a4＋a5＋a6=8，则S12=
A．40 B．60
C．32 D．50
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可知，数列S3，S6 S3，S9 S6，S12 S9是等比数列，即数列4,8，S9 S6，S12 S9是等比数列，因此S12=4＋8＋16＋32=60，选B．
4．（2021安徽池州市）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，设，则，
所以，，故，故选D.
5．（2020·陕西铜川市·高三二模）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6：S3=1：2，则S9：S3=（　　）
A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．1：3
【答案】C
【解析】∵{an}为等比数列则S3，S6-S3，S9-S6也成等比数列
由S6：S3=1：2令S3=x，则S6=x, ,则S3：S6-S3=S6-S3：S9-S6=-1：2
则S9-S6=x则S9=则S9：S3=：x=3：4故选C．
6．（2020·全国高三专题练习）设，.若是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】∵是与的等比中项，∴，∴.
∵，.∴，
当且仅当时取等号.∴的最小值为.故选：D.
考法四 等比数列的判定与证明
【典例4】（2020·江苏南京市第二十九中学高三期中节选）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，.证明：数列是等比数列，并求数列与数列通项公式；
【答案】证明见解析；；，
【解析】，
所以数列是首项为，公比等比数列，
所以，即，；
由，解得，，所以
【易错点】等比数列判定与证明的3点注意
(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．
(2)证明一个数列{an}不是等比数列，只需要说明前三项满足a≠a1·a3，或者是存在一个正整数m，使得a≠am·am＋2即可．
(3)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．　
【方法点拨】掌握等比数列的4种常用判定方法
定义法 若(为非零常数)或(q为非零常数且)，则是等比数列
中项公式法 若数列中且，则数列是等比数列
通项公式法 若数列通项公式可写成(均是不为0的常数，)，则是等比数列
前n项和公式法 若数列的前n项和（为常数且)，则是等比数列
【变式1】对任意等比数列，下列说法一定正确的是(　　)
A．成等比数列 B．成等比数列
C．成等比数列 D．成等比数列
【答案】D
【解析】由等比数列的性质得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.
【变式2】(2018·湖南五市十校高三联考)已知数列的前n项和，则“”是“数列是等比数列”的(　　)
A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若A＝B＝0，则Sn＝0，故数列{an}不是等比数列；
若数列{an}是等比数列，则a1＝Aq＋B，a2＝Aq2－Aq，a3＝Aq3－Aq2，
由＝，得A＝－B.
【变式3】（2020·安徽高三月考）已知正项数列满足：，，，判断数列是否是等比数列，并说明理由；
【答案】答案不唯一，具体见解析；
【解析】∵，
又是正项数列，可得，∴，
∴当时，数列不是等比数列；
当时，易知，故，
所以数列是等比数列，首项为，公比为2.
考法五 等比数列的函数特征与应用
【典例5-1】（2021·辽宁省阜蒙县蒙古族高级中学高二月考）已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】
因为等比数列的通项公式为，
当，时，数列为递减数列，即充分性不成立；
当“数列是递增数列”时，可能是，，即必要性不成立；
即“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
【典例5-2】（2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二月考）设数列是各项均为正数的等比数列，是的前项之积，，，则当最大时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】
设等比数列的公比为，则，可得，
，所以，，
令，解得，
故当最大时，或.
故选：AB.
【变式1】（2019·广西·桂梧高中高二月考）已知公比的等比数列的前项和为，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【详解】
若，，当时，，故A错误；
若，则，，当时，，故B错误；
若，则成立，故C正确；
若，，当时，，故D错误；
故选：C.
【变式2】（2020·江阴市华士高级中学）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ）
A．3盏 B．9盏 C．27盏 D．81盏
【答案】C
【解析】根据题意，设塔的底层共有盏灯，则每层灯的数目构成以为首项，为公比的等比数列，
则有，解可得：，所以中间一层共有灯盏.故选：C
考法六 等比数列前n项和的奇数项和偶数项
【典例6】（2020·河南·高二月考（理））已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【答案】D
【详解】
设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为
则，
又，则，解得，
故数列的所有项之和是.
故选：D
【变式1】（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】
设等比数列的公比为，
则，
即，
因为，所以，
则，
即，解得，
故选：B.
【变式2】（2021·全国·高二课时练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（ ）
A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8
【答案】D
解：设等比数列项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，
根据题意得：S奇＝85，S偶＝170，
∴q2，又a1＝1，
∴S奇85，整理得：1﹣4n＝﹣3×85，即4n＝256，
解得：n＝4，
则这个等比数列的项数为8．
故选D．
【专题7】数列通项公式求法
类型一 公式法：对于给出与关系式，求数列通项公式
【典例2】（1）（2020·广西民族高中）数列的前n项和，则它的通项公式是__________.
（2）（2020·广东深圳市·明德学校高三月考）设是数列的前n项和，且，则的通项公式为__________．
(3)（2020·榆林市第十中学高三月考）已知数列满足，则________，________．
【答案】（1）（2）(3)3
【解析】（1）时，；
且时，，易见，也适合该式.故.故答案为：.
（2）当时，
当时，，∴，∴，
∵，∴，∴．故答案为：.
(3）当时，，
当时，由题意可得：
，
，
两式作差可得：，
故，
因为，不满足，所以.
故答案为：3；.
(4)在数列{}中，已知，，（＞0），求和.
【解析】由题意知
当时，，
当时，，
，
数列是公差为，首项为1的等差数列。
又，，
【答案】，
　　数列的通项与前项和的关系是当时,若适合,则的情况可并入时的通项;当时,若不适合,则要用分段函数的形式表示.
【变式1】（2020·全国高三专题练习）数列的前项和为，则_________________.
【答案】
【解析】当时，;
而不适合上式，.故答案为：.
【变式2】（2020·全国高三专题练习）若数列的前项和，则的通项公式是________．
【答案】
【解析】当时，，，
当时，，，
∴，是首项为，公比为的等比数列，．故答案为：
【变式3】（2020·安徽省舒城中学）若数列是正项数列，且，则_______．
【答案】
【解析】数列是正项数列，且所以，即
时
两式相减得，
所以（ ）当时，适合上式，所以
一、递推数列：
类型一 累加法：形如型的递推式
【典例3】已知数列{}中，.
【解析】由题意知，再由递推得：
，
，
由上式相加得：，
又，.
当数列的通项满足形如型的递推式时，可采用“累加法（叠加法）”的方法求解通项公式.
【变式1】（2020·全国高三专题练习）已知在数列的前项之和为，若，则_______．
【答案】
【解析】 .
.
【变式2】（2020·通榆县第一中学校高三期中）已知数列满足，，则 。
【答案】
【解析】由，可得，
所以
，
类型二 累乘法：形如型的递推式
【典例4】（2020·江西九江市）设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，则an＝________.
【答案】
【解析】∵an＋1＝an，a1＝2，∴an≠0，∴.
∴当n≥2时，an＝，a1＝2也符合上式，则an＝.
故答案为：.
当数列的通项满足形如型的递推式时，可采用“累乘法（叠乘法）”的方法求解通项公式.
【变式1】在数列{}中，已知，，求.
【解析】由题意知，再由递推得：
由上式相乘得：，
又，.
【变式2】（2020·安徽省泗县第一中学）已知，，则数列的通项公式是
【答案】
【解析】由得：，即，
则，，，……..，，
由累乘法可得，又因为，所以.
铺垫：由递推关系式求通项：转化为……等形式的等差、等比数列再求
【典例1】在数列{}中，已知.
（1）若则= .
（2）若，则= .
（3）若，则= .
【解析】（1）由条件知再由递推式得：
由上式相加得
又，，
，
把代入得，
由条件知再由递推式得：
由上式相加得
又，，
，
由条件知，
，再由递推式得：
，
，
，
由上式相加得，
又，
【答案】(1)　 (2) (3)
【变式1】 数列满足.
①证明是等差数列；②求数列{}的通项公式.
【解析】证明：①∵，
所以．
∴，
∴是首项为，公差为的等差数列． ∴， 所以．
类型三 构造法：形如的递推式
通用方法：
方法一：迭代法。即利用递推公式逐次将用表示，直到用表示，求和即得通项公式.
方法二：待定系数法
形如型的递推
【典例5】已知数列{}中，，，求.
【解析】由题意知，在等式两边同加1得，
是一个以首项为，公比为2的等比数列.
.
当数列的通项满足形如型的递推式时，可采用“构造法”的方法构造一个的等比数列，（其中），新的等比数列公比为，首项为，通过新数列可以把的通项公式求解出来.
【变式1】（2020·静宁县第一中学高三月考）已知数列中，，（且），则数列通项公式为
【答案】
【解析】由，知：且()，而，，
∴是首项、公比都为3的等比数列，即，
形如型递推
【典例6】已知数列中，，求.
解法：待定系数法：转化为
【解析】由题意知，在左右同加一个得：
，
是以为首项，公比为2得等比数列，
，
化简得：.
当数列的通项满足形如型的递推式时，可采用“待定系数法转化为，（其中），再令，是一个以为首项，公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式先把的通项公式求解出，进而求出的通项公式.
【变式1】已知数列，且，求通项公式.
【答案】
形如型递推
构造等比数列，再用待定系数法求解即可.
【典例7】已知在数列中，,且，求通项公式.
【答案】
设；
对比系数得，解得
故是以2为公比，首项为6的等比数列.
故
形如型递推
构造等比数列，再用待定系数法求解即可.
【典例8】已知在数列中，有，求通项公式.
【答案】
设；
对比系数得，解得
故是以2为公比，首项为2的等比数列.
故
形如型递推
相除法构造等差数列
【典例8】已知在数列中，有，求通项公式.
【答案】
两边同除得：
是以首项为1，公差为1的等差数列.
形如型递推
【典例8】 已知数列中，，求.
【解析】
方法一、
由题意知，在等式两边同除得，
令，则，由递推式得：
，
，
.
上式相加得：，
又，，
再由.
方法二：
由题意知，在等式两边同除得，
化简得
令，则，由上题的构造法得：
是一个以为首项，公比为的等比数列，
由等比数列的通项公式得：，
化简得：；
再由.
方法三：待定系数法，构造为等比数列.
对比系数求得，进而求得
当数列的通项满足形如型的递推式时，方法一：可采用“构造法”的方法在两边同除，构造一个的新数列，再令，得，利用叠加法得方法先把的通项公式求解出，进而求出的通项公式.方法二：可采用“构造法”的方法在两边同除，变成，再令，得，转化为前面例题的构造法，从而把的通项公式。
【变式1】已知数列中，，，求通项公式　　．
【解答】解：数列中，，，
，
数列是等比数列，首项为7，公比为3．
，
，
故答案为：，
形如型递推式
【典例9】（1）已知数列中，，且当时，，求通项公式.
【解析】将两边取倒数得：
即是首项为1，公差为2的等差数列，
（也符合）
【答案】
（2）已知数列中，，且当时，，求通项公式.
【解析】将两边取倒数得：
即是首项为4，公比为2的等比数列，
（也符合）
【答案】
【变式1】（2020·湖南娄底市）在数列中，已知，，，则等于
【答案】
【解析】 ，
所以是以 为首项，公差为的等差数列， ，
【变式2】已知数列中，，，则求的通项公式　　．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
是以3为首项，以3为公比的等比数列，
，
，
故答案为：
形如型递推式
同除构造新数列
【典例10】已知在数列中，，且，，求
【答案】
【变式1】 已知数列的前n项和为，且满足，.
（1）求证：数列是等差数列； （2）求的通项.
【解题思路】（1）证明
【答案】（1）因为，所以
两边同除以得
化简整理得
所以数列是一个以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）得，所以；
①
形如型递推式
分析：两边取对数后构造等比数列
【典例10】已知在数列中，，，求
【答案】
【专题8】数列前n项和常见方法
【知识点回顾】
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
等差数列的前项和公式：
等比数列的前项和公式：
常用几个数列的求和公式：
(1)、
(2)、
(3)、
类型一 ：公式法、分组求和法
【典例1】（2020·全国）已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为2的等比数列，且.
（1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，则，
∴数列的通项公式为，∴.
又，∴，
∵数列是公比为2的等比数列，
∴，∴；
（2）由题意得，
.
　　分组转化法求和的常见类型:(1)若,且数列,为等差或等比数列,则可采用分组转化法求的前项和;(2)通项公式为的数列,其中数列,是等比数列或等差数列,可采用分组转化法求和.
【变式1】（2020·西藏拉萨市·拉萨那曲第二高级中学）设是公比为正数的等比数列， ，.
（1）求的通项公式； （2）设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意设等比数列的公比为q，，
，，
，即，
的通项公式.
（2）是首项为1，公差为2的等差数列，
，
数列的前n项和.
【变式2】（2020·江苏连云港市）已知等比数列中，且是和的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足求的前n项和
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设等比数列的公比为，又则
由于是和的等差中项，
得，即，解得
所以，
（2）
类型二：倒序相加法
【知识点讲解】
这是推导等差数列前项和公式时所用方法，就是将一个数列倒过来排序（反序），再把它与原数列相加，就可以得到个.
【典例2】（2020·全国高三专题练习）定义在上的函数,,,求.
【答案】
【分析】
由已知条件推导出，因此，由此能求出结果.
【详解】
函数，
，
可得，
即有：
，
又，
可得：
，
，
即有.
故答案为：.
感悟升华（核心秘籍） 倒序相加法特点：距首末两项“等距离”的两项之和都相等，多考选择填空题，与函数，数列向结合。
【变式1】（2020·包头市第九中学）已知函数满足，若数列满足，则数列的前10项和为（ ）
A． B．33 C． D．34
【答案】A
【解析】函数满足，
①，
②，
由①②可得，，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前10项和为.
故选：A.
【变式2】（2020·内蒙古包头市·高三二模）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
【答案】D
【解析】函数满足，①，
②，
由①②可得，
，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为．
故选：D．
【变式3】（2020·宁都中学高三月考）已知若等比数列满足则（ ）
A． B．1010 C．2019 D．2020
【答案】D
【解析】
等比数列满足
即2020故选：D
类型三： 裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
(2)常见的裂项技巧
等差型：或
类型①
特别注意
类型②（尤其要注意不能丢前边的）
理论上来讲像形如都可以裂项的
像也是这种类型。
类型③（尤其要注意不能丢前边的）
无理型：
类型④
指数型：
特别地，类型⑤
对数型：
特别地，类型⑥
【例题1】（2021·甘肃高三开学考试（文））已知数列满足，．
（1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）由题意可得，结合等差数列定义得证；
（2）利用裂项相消法求和.
【详解】
（1）证明：由，
得，
即，且，
所以是首项为，公差为的等差数列；
（2）解：由（1）知，
所以，
则，
所以.
感悟升华（核心秘籍） 本例是裂项相消法的简单应用，注意裂项，是裂通项，裂项的过程中注意前面的系数不要忽略了。
【例题2】（2020·山西高三期中（文））已知是等差数列，，且.若.
（1）求数列通项公式； （2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）首先根据题意得到，再解方程组即可.
（2）首先根据题意得到，再利用裂项法求和即可.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得.
因此，数列的通项公式为；
（2）由（1）得
.
因此，.
感悟升华（核心秘籍） 本例是含有根式型裂项，注意分母有理化计算。
【例题3】（2021·广州市·广东实验中学高三月考）已知数列，，，，，为数列的前项和，为数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）应用累加法求数列通项即可.
（2）利用裂项相消法求.
（3）应用放缩法：、，进而求和即可证结论.
【详解】
（1）由题设，当时， ，
又满足上式，所以
（2）由（1），，
∴.
（3）由，则，
又，则，
综上，得证.
感悟升华（核心秘籍） 本例通项比较复杂，裂项时不能完全记忆类型⑤的公式，建议裂项完后通分检验是否正确。
1．（2021·全国高三专题练习）已知，设，数列的前项和______.
【答案】
【解析】由，，
所以数列{}前项和为
.故答案为：.
例题2　数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，若前n项和为Sn，则Sn为____________.
答案 (＋－－1)
解析 ∵an＝＝(－)，
∴Sn＝(－1＋－＋－＋－＋…＋－＋－＋－)＝(－1－＋＋)＝(＋－－1).
（2021·山东济南·高三月考）数列的前项和为，.
（1）求，；
（2）设，数列的前项和为.证明：.
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】
（1）转化为递推求解；（2）利用裂项相消即可求解.
【详解】
（1）
①②得：
令时，
满足上式
数列是为首项，为公比的等比数列.
（2）证明：由①得：
又为递增数列
类型三：错位相减法（等差×等比）
【知识点讲解】
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
用途： 1、推导等比数列前项和公式；
2、求数列的前n项和，其中，分别是等差数列和等比数列。
通项特征：一次函数*指数型函数（等差×等比）
解题思路
【例题精讲】
例题1 已知数列的通项为，求数列的前项和。
【解析】由题意得：
变式1 求数列（为常数）的前项和。
【解析】 Ⅰ、若，则
Ⅱ、若，则
Ⅲ、若，则
①
②
①式减②式：
综上所述：
例题2 （2021·石嘴山市第三中学高三期末）设数列 的前项和分别为 ，且，，
（1）求数列 的通项公式； （2）令，求的前项和.
【答案】（1），（2）
【解析】（1）由得，
当时，，
当时，也适合，故.
由得，得，
当时，，得，
又，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
综上所述：，.
（2），
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
变式2 （2020·黑龙江高三月考）设数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，①得，②
①②，得，所以，
又，，所以，，，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以.
（2）由（1）得，，
所以，③
，④
③④得，，所以.
类型四:分组、并项求和法
有一类数列即不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列拆开（或者再并项组合），可分为几个等差、等比或常见数列，然后分别求和，再将其合并即可。
例题6 若数列满足：，，则数列的前项和是______
例题7 数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N＋)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝________.
答案　6
解析　由an＋an＋1＝＝an＋1＋an＋2，
∴an＋2＝an，
则a1＝a3＝a5＝…＝a21，a2＝a4＝a6＝…＝a20，
∴S21＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a20＋a21)
＝1＋10×＝6.
变式3 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝____________.
答案 100
解析 由题意知，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)100(2×100－1)＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.
变式4 已知数列{an} 的前n 项和Sn＝，n∈N* .
(1)求数列{an} 的通项公式；
(2)设bn＝=＋(－1)nan ，求数列{bn} 的前2n 项和．
解析 (1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知，an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.
记数列{bn}的前2n项和为T2n，
则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
则A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
解题要点 分组和并项的目的，都是通过变形，把原式化为等差、等比或其它可求和的形式，体现了转化与划归的思想．【专题5】等差数列
【思维导图】
【考点梳理】
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为 (为常数)．
(2)等差中项：数列成等差数列的充要条件是，其中叫做的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：.
注：（1）当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数型；
等差数列的单调性只与公差有关，当时，为递增数列；时，为常数列；时，为递减数列.
前n项和公式：.
考法一 等差数列基本量运算
【典例1】（1）(2017·全国卷Ⅰ)记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
等差数列运算问题的通性通法：
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项和公差，然后由通项公式或前项和公式转化为方程(组)求解．
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
（2）设为等差数列的前n项和，若，，则________.
【易错点】在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．
【方法点拨】等差数列前n项和公式的应用方法
根据不同的已知条件选用两个求和公式，若已知首项和公差，则使用公式；若已知通项公式，则使用公式，同时注意与性质“”的结合使用．
【变式1】等差数列的前项和为，已知，则 (　　)
A．8　　 B．12 C．16　 　 D．24
【变式2】设等差数列的前项和为，若，，，则正整数____.
【变式3】(2018·东北四市高考模拟)已知数列满足，，则…(　　)
A．9 B．15 C．18 D．30
【变式4】（2020·梅河口市第五中学高三月考）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，则（ ）
A．3 B． C．-3 D．
考法二 等差数列性质的应用
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广： (∈N*)．
(2)若为等差数列，且 (∈N*)，则
(3)若是等差数列，公差为，则也是等差数列，公差为.
(4)若，是等差数列，则也是等差数列．
(5)若是等差数列，公差为，则，…(∈N*)是公差为的等差数列．
【典例2】（1）在等差数列中，，表示数列的前项和，则 (　　)
A．18 B．99 C．198 D．297
【易错点】不能将等差数列通项公式及前项和公式的灵活应用，或者中间项求错.
【方法点拨】等差数列奇数项和性质。
（2）已知为等差数列，若，，则________.
【易错点】弄不清是新构造数列的项数.
【方法点拨】若是等差数列，分别为的前项，前项，前项的和，则成等差数列．
（3）(2018·石家庄一模)已知函数的图像关于直线对称，且在上单调，若数列是公差不为的等差数列，且，则数列的前项的和为　　)
A．－200 B．－100 C．－50 D．0
【易错点】忽视由函数的对称性及单调性知在上也单调；
【方法点拨】结合函数的性质知要注意等差数列通项公式及前项和公式的灵活应用，如，，，等．
【变式1】(2018·岳阳模拟)在等差数列中，如果，，那么 (　　)
A．95　　　　　　　　　 B．100 C．135 D．80
【变式2】(2018届高三·西安八校联考)设等差数列的前项和为，且，则 (　　)
A．52 B．78 C．104 D．208
【变式3】设等差数列的前项和为，已知前6项和为36，最后6项的和为180，＝(n＞6)，则数列的项数为________．
【变式4】（2021·全国·高二课时练习）等差数列中，，则＝（ ）
A．10 B．20 C．40 D．2＋log25
考法三 等差数列的判定与证明
【典例3-1】(2018·贵州适应性考试)已知数列满足，且.
(1)求； (2)证明数列是等差数列，并求的通项公式．
等差数列的判定与证明方法
方　法 解　读 适合题型
定义法 对于任意自然数，为同一常数 是等差数列 解答题中证明问题
等差中项法 成立 是等差数列
通项公式法 (为常数)对任意的正整数都成立 是等差数列 选择、填空题中的判定问题
前n项和法 验证(为常数)对任意正整数都成立 是等差数列
【典例3-2】（2021·广西·桂林中学高二开学考试）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2021·山西运城市·高三期中）已知数列中，，，设，求证：数列是等差数列；
【变式2】（2021·全国·高二单元测试）数列满足，已知．
（1）求，； （2）若，则是否存在实数t，使为等差数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式3】（2020·江西丰城九中高三期中节选）数列满足，证明：数列是等差数列；
考法四 等差数列前n项和的性质
【考点梳理】
与等差数列各项的和有关的性质
(1)若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的.
(2)若是等差数列，分别为的前项，前项，前项的和，则成等差数列．
（3）两个等差数列，的前项和之间的关系为.
【典例4-1】（2020·江苏省包场高级中学高二月考）在等差数列中，，其前n项和为，若，则（ ）
A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040
【变式1】（2021·全国·高二课时练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则（ ）
A．0 B．2018 C． D．2020
【变式2】（2020·河北·邢台市南和区第一中学高二月考）已知数列的通项公式是，前项和为，则数列的前11项和为
A． B． C． D．
【典例4-2】（2021·全国·高二单元测试）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．28 B．32 C．16 D．24
【变式1】（2021·河南·高二月考）记等差数列的前项和为，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2020·湖北·秭归县第一中学高二期中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则下列判断错误的是（ ）
A．S5，S10-S5，S15-S10必成等差数列 B．S2，S4-S2，S6-S4必成等差数列
C．S5，S10，S15+S10有可能是等差数列 D．S2，S4+S2，S6+S4必成等差数列
【典例4-3】（2021·河南·高二月考）已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式1】（2021·全国·高二课时练习）已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2021·西藏日喀则·高二期末（理））已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，若，则（ ）
B． C． D．
考法五 等差数列的前n项和的最值问题
【典例5-1】设等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则当最大时，__________．
【典例5-2】（2020·湖北武汉市·高三期末）若是等差数列的前项和，其首项，， ，则使成立的最大自然数是（ ）
A．198 B．199 C．200 D．201
【方法点拨】求等差数列前n项和的最值的方法
(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．
(2)通项公式法：求使成立时最大的n值即可．一般地，等差数列中，若，且则：
①若为偶数，则当时，最大；
②若为奇数，则当或时，最大．
(3)邻项变号法：①时，满足的项数使得取得最大值为；
②当时，满足的项数使得取得最小值为.
【变式1】在等差数列中，，，则数列的前n项和的最大值为(　　)
A．S15　　　　 　　B．S16 C．S15或S16 D．S17
【变式2】设等差数列的前项和为，且，，，则满足的最大自然数的值为(　　)
A．6 B．7 C．12 D．13
【变式3】（2021·全国·高二课时练习）若数列是等差数列，首项，公差，且，，则使数列的前项和成立的最大自然数是（ ）
A．4039 B．4038 C．4037 D．4036
【变式4】（多选）（2021·福建省龙岩第一中学高二月考）设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则（ ）
B．数列是递减数列 C．时，的最大值为11 D．数列中最小项为第7项
考法六 等差数列前n项和偶数项和奇数项和与绝对值问题
关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质．
①若项数为，则，，.
②若项数为，则，，，，.
【典例6-1】 已知数列为等差数列，其前项和为，在前项中，偶数项之和与奇数项之和的比为，则这个数列的公差为________
【变式1】（2020·河北·武邑武罗学校高二期中）已知等差数列的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为
A．10 B．20 C．30 D．40
【变式2】已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为_________；项数为_____________
【典例6-2】 在等差数列中，，，求数列的前项和.
【变式1】设等差数列满足；
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和及使得最大的序号的值；
（3）求数列的前项和；
【专题6】等比数列
【思维导图】
【考点梳理】
1．等比数列的有关概念
(1)等比数列的定义
一般地，如果一个数列从__第2项__起，每一项与它的前一项的比等于__同一__常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的__公比__，通常用字母表示．
注：若， (项数相同)是等比数列，则 ()，，，，仍是等比数列．
(2)等比中项
如果三个数a，G，b成等比数列，则G叫做a和b的等比中项，那么__＝__，即_G2＝ab_.
2．等比数列的有关公式
(1)等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，，则它的通项公式.
注：①可以改写为，当且时，等比数列的第项是指数函数当的函数值.
②当或时，是递增数列;
当或时，是递减数列;
当时，是常数列;
当时，是摆动数列;
考法一 等比数列基本量运算
【典例1】在等比数列中，
(1)已知，求； (2)已知，求和； (3)已知，，求．
解决等比数列有关问题的两种常用思想
方程思想 等比数列中共有五个基本量，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求解关键量，问题就迎刃而解
分类讨论的思想 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当n时，的前n项和；当时，的前n项和
【变式1】已知等比数列的前三项依次为，则 (　　)
A． B． C． D．
【变式2】已知数列是公比为的等比数列，且，则的值为(　　)
A．3 B．2
C．3或－2 D．3或－3
【变式3】已知是首项为1，公差为2的等差数列，表示的前项和．
(1)求及；
(2)设是首项为2的等比数列，公比满足，求的通项公式及其前项和.
考法二 等比数列性质的应用
3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：＝ (n，m∈N*)．
(2)若为等比数列，且 (N*)，则.
(3)若数列是等比数列，公比为，则是公比为的等比数列.
(4)若数列是等比数列，且，则成等比数列.
【典例2-1】等比数列中，是方程的两个根，试求 .
归纳与总结
在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口，有时需要进行适当的变形.此外，解题时注意设而不求的思想的应用.
【典例2-2】已知数列为等比数列，，求数列的通项公式 ．
【易错点】若三个数成等比数列，则可设为，a，aq，当然也可设为a，aq，aq2．若四个数成等比数列，则可设为a，aq，aq2，aq3，但不能设为，，aq，aq3，因为这个数列的公比为q2，漏掉了公比为负值的情况．
【变式1】(2018·湖北华师一附中月考)在等比数列中，，则 (　　)
A．1 B．±1 C．2 D．±2
【变式2】若在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别为 .
【变式3】（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则
A． B． C． D．
【变式4】（2021·甘肃省会宁县第一中学高二期中（理））已知函数，若等比数列满足，则（ ）
A．2022 B．1011 C．2 D．
【变式5】（2021·全国·高二课时练习）(多选题)设等比数列的公比为，前项和为，前项积为，并满足条件，，，则下列结论中正确的有( )
B． C． D．是数列中的最大值
考法三 等比数列的前n项和性质
4．等比数列的前n项和公式
等比数列的公比为 ()，其前项和为.
注：当时，是等比数列的充要条件，此时.
【典例3】（1）（2020·安徽和县）已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+2+3t，则t＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣9
（2）（2020·广东佛山市·高三月考）等比数列的前n项和为，若，则为（ ）
A．18 B．30 C．54 D．14
（3）（2020·全国高三专题练习）在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝（ ）
A．135 B．100 C．95 D．80
（4）（2021·山西太原市）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（ ）.
A．11 B．12 C．13 D．14
【举一反三】
1．（2021·四川眉山）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
2．（2020·静宁县第一中学高三月考）设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
3．（2020·江苏高三专题练习）已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3=4，a4＋a5＋a6=8，则S12=
A．40 B．60 C．32 D．50
4．（2021安徽池州市）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·陕西铜川市·高三二模）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6：S3=1：2，则S9：S3=（　　）
A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．1：3
6．（2020·全国高三专题练习）设，.若是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
考法四 等比数列的判定与证明
【典例4】（2020·江苏南京市第二十九中学高三期中节选）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，.证明：数列是等比数列，并求数列与数列通项公式；
【方法点拨】掌握等比数列的4种常用判定方法
定义法 若(为非零常数)或(q为非零常数且)，则是等比数列
中项公式法 若数列中且，则数列是等比数列
通项公式法 若数列通项公式可写成(均是不为0的常数，)，则是等比数列
前n项和公式法 若数列的前n项和（为常数且)，则是等比数列
【变式1】对任意等比数列，下列说法一定正确的是(　　)
A．成等比数列 B．成等比数列
C．成等比数列 D．成等比数列
【变式2】(2018·湖南五市十校高三联考)已知数列的前n项和，则“”是“数列是等比数列”的(　　)
A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3】（2020·安徽高三月考）已知正项数列满足：，，，判断数列是否是等比数列，并说明理由；
考法五 等比数列的函数特征与应用
【典例5-1】（2021·辽宁省阜蒙县蒙古族高级中学高二月考）已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例5-2】（2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二月考）设数列是各项均为正数的等比数列，是的前项之积，，，则当最大时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2019·广西·桂梧高中高二月考）已知公比的等比数列的前项和为，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式2】（2020·江阴市华士高级中学）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ）
A．3盏 B．9盏 C．27盏 D．81盏
考法六 等比数列前n项和的奇数项和偶数项
5．等比数列的前n项和性质
(1)若公比不为的等比数列的前项和为，则仍成等比数列，其公比为.
(2)等比数列中，若所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，公比为,则：
①若共有项，则；②若共有项，则
【典例6】（2020·河南·高二月考（理））已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【变式1】（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】（2021·全国·高二课时练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（ ）
A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8

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