资源简介

6.3二项式定理题型整理
知识储备
题型专练
1、二项式定理展开式
2、二项式指定项系数与项的系数
3、二项式定理的性质应用
4、二项式中最值与范围
5、二项式中求和应用
三、课后加练
知识储备
二、题型分类
题型一：二项式定理展开式
1.在的展开式中，的系数为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】B
【详解】展开式的通项为，由，解得，则的系数为，故选：B
2.化简：_________.
【答案】
【解析】
则
所以故答案为：.
题型二：二项式指定项系数与项的系数
1.二项式的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）
【答案】60
【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为：
令可得 ，此时.
2.在二项展开式中，常数项是_______.
【答案】60
【解析】展开式的通项公式是，当时，
.故答案为60
3.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，则其展开式的通项为：，
当时，，所以．
4.的展开式中常数项是（ ）
A．-252 B．-220 C．220 D．252
【答案】A
【详解】由，可得二项式的展开式通项为，
令，解得，所以展开式的常数项为.
题型三：二项式定理的性质应用
1.在的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【详解】由已知得，可知，故选：A.
2.(1＋3x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则含x4项的二项式系数为(　　)
A．21 B．35 C．45 D．28
【解析】　∵Tk＋1＝C(3x)k＝3kCxk，又由已知得35C＝36C，即C＝3C，∴n＝7，因此，含x4项的二项式系数为C＝35，故选B.
3．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的(　　)
A．第11项 B．第13项
C．第18项 D．第20项
解析　(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数为C＋C＋C＝C＋C＋C＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式为an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，解得n＝20.
题型四：二项式中最值与范围
1.已知的展开式中常数项为45，则展开式中系数最大的是（ ）
A．第2项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
【答案】D
【详解】展开式的通项.令，解得，所以展开式中的常数项为，又，所以，所以即，其展开式共有11项，且正中间一项的二项式系数最大，又展开式中的二项式系数与对应项的系数相同，所以展开式中第6项的系数最大，故选：D
2.已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得，又展开式的通项公式为，
设第项的系数最大，则，即，
求得或6，此时，，，故选：A．
3.已知在的展开式中，_________（填写条件前的序号）
条件①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3；
条件②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；
条件③.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中含的项.
【答案】（1）（2）
【详解】通项公式为，，
若填条件①，
（1）依题意得，即，
所以，整理得，
所以或（舍），
因为，所以的展开式共有项，
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，
所以.
（2）通项公式为，令，得，
所以展开式中含的项为.
若填条件②，（1）依题意得，所以，
所以，即，
所以或（舍），
因为，所以的展开式共有项，
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，
所以.
（2）通项公式为，
令，得，所以展开式中含的项为.
若填条件③，
（1）依题意得，则，
所以，所以，
因为，所以的展开式共有项，
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，
所以.
（2）通项公式为，
令，得，所以展开式中含的项为.
题型五：二项式中求和应用
1.已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】二项式的各项系数的和为，二项式的各项二项式系数的和为，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，
所以，.故选：C.
2.已知，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【详解】令则①，
令则②，
令则③，
（1）②-①得：，
（2）(②-③)得：，
（3）(②+③)得：，
(4)．
课后精练
1.若的展开式中的系数为，则等于（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】将题中所给式子可化为
根据二项式定理展开式通项为,的通项为
令 解得
所以的项为令解得
所以的项为
综上可知, 的系数为 解得 故选:D
2.的展开式中常数项为（ ）
A．10 B． C．5 D．
【答案】B
【详解】要求的展开式中的常数项，只需求的展开式中的系数.
因为的展开式中的系数为，所以的展开式中常数项为.
3.（多选题）若的展开式中存在常数项，则n的取值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】BD
【详解】因为的展开式的第项为，若的展开式中存在常数项，则只需，即，又，，所以只需为正偶数即可，故AC排除，BD可以取得；故选：BD.
4.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题设知：只有第5项的二项式系数为最大，∴由对称性知：，而展开式通项，∴时，常数项为.
5.（多选题）若二项式展开式中的常数项为15，则实数m的值可能为（ ）
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【答案】AB
【详解】二项式展开式的通项为，，
令，得， 常数项为，，得，故答案为.
6.的展开式中的系数为，则________．
【答案】
【详解】解：由二项式定理展开式的通项公式得
，
令，解得，
所以展开式中项为，其系数为，解得.
7.已知在的展开式中，第9项为常数项．求：
（1）n的值；
（2）展开式中x5的系数；
（3）含x的整数次幂的项的个数．
【详解】
二项展开式的通项Tk+1==(-1)k．
（1）因为第9项为常数项，即当k=8时，2n-k=0，解得n=10．
（2）令2n-k=5，得k=(2n-5)=6，
所以x5的系数为(-1)6．（3）要使2n-k，即为整数，只需k为偶数，由于k=0，1，2，3，…，9，10，
故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．
已知的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，
求的展开式中：
（1）所有二项式系数之和；
（2）二项式系数最大的项；
（3）系数的绝对值最大的项.
【答案】（1）；（2）；（3）第项.
【详解】解：（1）由题意，解得.
二项式系数和为
（2）由于为偶数，所以的展开式中第6项的二项式系数最大，
即.
（3）设第项的系数的绝对值最大，
则
∴，得，即
∴，∴，
故系数的绝对值最大的是第4项，即：
9.已知（x2+1）n展开式中各项系数之和等于（x2）5的展开式的常数项，
（1）求（x2+1）n展开式的第2项；
（2）若（ax2+1）n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．
【解答】解：（1）由（x2）5得，Tr+1（x2）5﹣r（）r＝（）5﹣r x，
令Tr+1为常数项，则20﹣5r＝0，
∴r＝4，
∴常数项T516．
又（x2+1）n展开式的各项系数之和等于2n．
由题意得2n＝16，
∴n＝4．
∴展开式的第二项为4x6．
（2）由（1）可得n＝4，
由二项式系数的性质知，（ax2+1）4展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，
∴C42a2＝6a2＝54，
∴a＝±3．6.3二项式定理题型整理
知识储备
题型专练
1、二项式定理展开式
2、二项式指定项系数与项的系数
3、二项式定理的性质应用
4、二项式中最值与范围
5、二项式中求和应用
三、课后加练
知识储备
二、题型分类
题型一：二项式定理展开式
1.在的展开式中，的系数为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
2.化简：_________.
题型二：二项式指定项系数与项的系数
1.二项式的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）
2.在二项展开式中，常数项是_______.
3.已知，则（ ）
A． B． C． D．
4.的展开式中常数项是（ ）
A．-252 B．-220 C．220 D．252
题型三：二项式定理的性质应用
1.在的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
2.(1＋3x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则含x4项的二项式系数为(　　)
A．21 B．35 C．45 D．28
3．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的(　　)
A．第11项 B．第13项
C．第18项 D．第20项
题型四：二项式中最值与范围
1.已知的展开式中常数项为45，则展开式中系数最大的是（ ）
A．第2项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
2.已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3.已知在的展开式中，_________（填写条件前的序号）
条件①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3；
条件②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；
条件③.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中含的项.
题型五：二项式中求和应用
1.已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2.已知，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
课后精练
1.若的展开式中的系数为，则等于（ ）
A． B． C．1 D．2
2.的展开式中常数项为（ ）
A．10 B． C．5 D．
3.（多选题）若的展开式中存在常数项，则n的取值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
5.（多选题）若二项式展开式中的常数项为15，则实数m的值可能为（ ）
A．1 B．－1
C．2 D．－2
6.的展开式中的系数为，则________．
7.已知在的展开式中，第9项为常数项．求：
（1）n的值；
（2）展开式中x5的系数；
（3）含x的整数次幂的项的个数．
8.已知的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，
求的展开式中：
（1）所有二项式系数之和；
（2）二项式系数最大的项；
（3）系数的绝对值最大的项.
9.已知（x2+1）n展开式中各项系数之和等于（x2）5的展开式的常数项，
（1）求（x2+1）n展开式的第2项；
（2）若（ax2+1）n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．

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