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5.5.1第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标 把握航向 目的明确
1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
1．二倍角的正弦公式
sin 2α＝2sin αcos α，其中α∈R，简记作S2α.
2．二倍角的余弦公式
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，其中α∈R，简记作C2α.
3．二倍角的正切公式
tan 2α＝，简记作T2α.
注意点：
(1)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去．
(2)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α＋β作为的二倍等情况，这里蕴含着换元的思想．
(3)正切二倍角的范围：α≠＋且α≠＋kπ(k∈Z)．
(4)常见二倍角公式的变形：cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)；
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；
＝cos α，＝sin α；
降幂公式：sin αcos α＝sin 2α；cos2α＝；sin2α＝.
升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos 2α＝2sin2α.
这些公式在统一角或函数名时非常有用．
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一　利用倍角公式化简求值
例1　求下列各式的值．
(1)coscosπ；(2)－cos215°；(3)sin2－cos2；(4)；(5)cos 20°·cos 40°·cos 80°.
解　(1)原式＝cos·sin＝sin＝.
(2)原式＝－(2cos215°－1)＝－cos 30°＝－.
(3)原式＝－＝－cos ＝－cos＝cos ＝.
(4)原式＝＝2×＝2×＝2.
(5)原式＝＝＝＝＝＝.
反思总结　解答此类给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角；(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
跟踪训练1　求下列各式的值．
(1)cos 72°cos 36°；(2)＋；(3)sin cos ；(4)；(5)cos4－sin4.
解：(1)原式＝＝＝＝.
(2)原式＝＝＝＝＝4.
(3)原式＝×2sin cos ＝×sin ＝.
(4)原式＝×＝×tan 45°＝.
(5)原式＝＝cos2－sin2＝cos ＝.
题型二　三角函数式的化简或证明
例2　(1)化简：.
(1)解：＝
＝·＝sin x·＝tan x.
(2)求证：＝tan4 A.
证明：∵左边＝＝2＝2＝(tan2A)2＝tan4 A＝右边，
∴＝tan4 A.
反思总结　利用倍角公式化简或证明三角恒等式的原则及一般步骤：(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想；(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
跟踪训练2 (1)化简：－tan θtan 2θ.
(2)化简：.
(3)求证：sin3αsin 3α＋cos3αcos 3α＝cos32α.
(1)解：原式＝－＝＝＝＝1.
(2)解法一　原式＝＝＝＝tan θ.
解法二　原式＝＝
＝＝tan θ.
(3)证明　左边＝sin2αsin αsin 3α＋cos2αcos αcos 3α
＝sin αsin 3α＋cos αcos 3α
＝(sin αsin 3α＋cos αcos 3α)＋cos 2α(－sin αsin 3α＋cos αcos 3α)
＝cos(α－3α)＋cos 2αcos(3α＋α)＝cos 2α＋cos 2αcos 4α＝cos 2α(1＋cos 4α)
＝cos 2α·2cos22α＝cos32α＝右边．
题型三　利用二倍角公式给值求值
例3　(1)已知sin(＋α)sin(－α)＝，且α∈(，π)，求sin 4α的值．
解：∵(＋α)＋(－α)＝，∴sin(－α)＝cos(＋α)．
∵sin(＋α)sin(－α)＝，∴2sin(＋α)cos(＋α)＝，
∴sin(＋2α)＝，∴cos 2α＝.
又∵α∈(，π)，∴2α∈(π，2π)．∴sin 2α＝－＝－，
∴sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－.
(2)(教材221页例5改编)已知cos ＝，0<α<2π，求sin ，cos ，tan 的值．
解：由0<α<2π，得0<<，所以sin ＝，
所以sin ＝2sin cos ＝2××＝；
cos ＝cos2－sin2＝2－2＝－；
tan ＝＝＝－.
反思总结　解决给值求值问题的方法：(1)给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
(2)注意几种公式的灵活应用，如：①sin 2x＝cos＝cos＝2cos2－1＝1－2sin2.②cos 2x＝sin＝sin＝2sincos.
跟踪训练3　(1)已知sin＝，0解：原式＝＝＝2sin.
∵sin＝cos＝，且0∴sin＝ ＝，
∴原式＝2×＝.
(2)已知cos＝，≤α<，求cos的值．
解：∵≤α<，∴≤α＋<.
∵cos>0，∴<α＋<.
∴sin＝－＝－＝－.
∴cos 2α＝sin＝2sincos＝2××＝－，
sin 2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×2＝.
∴cos＝cos 2α－sin 2α＝×＝－.
题型四　倍角公式的综合运用
例4　已知△ABC的三个内角为A，B，C，f(B)＝4cos Bsin2＋cos 2B－2cos B.
(1)若f(B)＝2，求B的大小；
(2)若f(B)－m>2恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)f(B)＝4cos B·＋cos 2B－2cos B
＝2cos B(1＋sin B)＋cos 2B－2cos B＝2cos Bsin B＋cos 2B
＝sin 2B＋cos 2B＝2sin，
因为f(B)＝2，所以2sin＝2，
即sin＝1.
所以2B＋＝＋2kπ，k∈Z.
又因为0(2)由题意知f(B)－m>2恒成立，即2sin>2＋m恒成立．
因为0所以2sin∈[－2,2]，
所以2＋m<－2，所以m<－4，
故实数m的取值范围是(－∞，－4)．
反思总结　要结合之前所学的所有的公式，对它们灵活运用，融会贯通，在解决具体问题时，要注意题目中的隐含条件，要会对三角函数值的符号进行判断．尤其是在三角形中，其最多只有一个直角或钝角，正弦值均为正，余弦和正切值并不一定为正．
跟踪训练4　若α∈(0，π)，cos α，sin α是一元二次方程x2＋x－＝0的两个实根，则cos 2α等于(　　)
A. B．± C．－ D.
答案：A
解析：∵cos α，sin α是一元二次方程x2＋x－＝0的两个实根，∴cos α＋sin α＝－，cos α·sin α＝－.又α∈(0，π)，cos α·sin α＝－<0，∴sin α>0，cos α<0，∴cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－＝－＝－＝－，∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝×＝.
习题精练 基础巩固 强化落实
选择题
1.已知x∈(－，0)，cos x＝，则tan 2x等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案：D
解析：cos x＝，x∈(－，0)，得sin x＝－，所以tan x＝－，所以tan 2x＝＝＝－，故选D.
2.已知sin 2α＝，则cos2等于(　　)
A. B. C. D.
答案：A
解析：因为cos2＝＝＝，所以cos2＝＝＝，选A.
3.若sin(－α)＝，则cos(＋2α)的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案：B
解析：cos(＋2α)＝－cos(－2α)＝－cos[2(－α)]＝－[1－2sin2(－α)]＝2sin2(－α)－1＝－.
4.若＝1，则的值为(　　)
A．3 B．－3 C．－2 D．－
答案：A
解析：∵＝1，∴tan θ＝－.∴＝＝＝＝＝3.
5.已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是(　　)
A. B. C．－ D．－
答案：A
解析：设底角为θ，则θ∈，顶角为π－2θ.∵sin θ＝，∴cos θ＝＝.∴sin(π－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝.
6.如果|cos θ|＝，<θ<3π，则sin 的值是(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案：C
解析：∵<θ<3π，|cos θ|＝，∴cos θ<0，cos θ＝－.∵<<π，∴sin <0.∵sin2＝＝，∴sin ＝－.
7.设sin α＝，2π<α<3π，则sin ＋cos 等于(　　)
A．－ B. C. D．－
答案：A
解析：∵sin α＝，∴2＝1＋sin α＝.又2π<α<3π，∴π<<，∴sin ＋cos ＝－.
8.已知函数f(x)＝，则(　　)
A．函数f(x)的最大值为，无最小值 B．函数f(x)的最小值为－，最大值为0
C．函数f(x)的最大值为，无最小值 D．函数f(x)的最小值为－，无最大值
答案：D
解析：因为f(x)＝＝＝＝－tan x,0所以函数f(x)的最小值为－，无最大值，故选D.
9.sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案：A
解析：sin10°sin30°sin50°sin70°＝cos20°cos40°cos80°＝＝＝＝＝.
10.“2sin x＝cos x＋1”是“tan ＝”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：由tan ＝，得tan ＝＝＝＝，即2sin x＝1＋cos x成立，即必要性成立，当x＝π时，满足2sin x＝cos x＋1，但tan 无意义，即充分性不成立，则“2sin x＝cos x＋1”是“tan ＝”的必要不充分条件．
二、填空题
11.2sin222.5°－1＝ .
答案：－
解析：原式＝－cos 45°＝－.
12.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ .
答案：
解析：原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝＝＝＝.
13.已知tan ＝3，则＝ .
答案：3
解析：＝＝＝tan ＝3.
14.函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x在区间上的最大值是 .
答案：
解析：f(x)＝＋sin 2x＝＋sin.∵≤x≤，∴≤2x－≤，∴f(x)max＝＋1＝.
15.化简：(3π<α<4π)的结果为 .
答案：2cos
解析：因为3π<α<4π，所以<<2π，<<π，<<，则cos >0，cos <0，cos >0.所以原式＝＝＝＝＝＝2cos .
三、解答题
16.已知角α在第一象限且cos α＝，求的值．
解：∵cos α＝且α在第一象限，∴sin α＝.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝，
原式＝＝＝.
17.已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，)，求α.
解：∵sin22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0，∴4sin2αcos2α＋2sin αcos2α－2cos2α＝0.
∵α∈(0，)，∴2cos2α>0.∴2sin2α＋sin α－1＝0.
∴sin α＝(sin α＝－1舍)．∴α＝.
18.求值：sin2α＋sin2＋sin2.
解：原式＝＋＋
＝－cos 2α－
＝－cos 2α－cos ·cos 2α＝－cos 2α＋cos 2α＝.
19.已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝.
(1)求的值；
(2)求的值．
解：由sin θ＋cos θ＝，①
两边平方并化简得2sin θcos θ＝－＜0，
∵θ∈(0，π)，∴sin θ＞0，cos θ＜0，
sin θ－cos θ＝＝＝，②
由①②得sin θ＝，cos θ＝－.
(1)＝＝＝.
(2)＝＝＝2sin θcos θ＝－.
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高中数学(新RJ·A)必修第一册5.5.1 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
5.5.1第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标 把握航向 目的明确
1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
1．二倍角的正弦公式
sin 2α＝2sin αcos α，其中α∈R，简记作S2α.
2．二倍角的余弦公式
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，其中α∈R，简记作C2α.
3．二倍角的正切公式
tan 2α＝，简记作T2α.
注意点：
(1)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去．
(2)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α＋β作为的二倍等情况，这里蕴含着换元的思想．
(3)正切二倍角的范围：α≠＋且α≠＋kπ(k∈Z)．
(4)常见二倍角公式的变形：cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)；
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；
＝cos α，＝sin α；
降幂公式：sin αcos α＝sin 2α；cos2α＝；sin2α＝.
升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos 2α＝2sin2α.
这些公式在统一角或函数名时非常有用．
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一　利用倍角公式化简求值
例1　求下列各式的值．
(1)coscosπ；(2)－cos215°；(3)sin2－cos2；(4)；(5)cos 20°·cos 40°·cos 80°.
反思总结　解答此类给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角；(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
跟踪训练1　求下列各式的值．
(1)cos 72°cos 36°；(2)＋；(3)sin cos ；(4)；(5)cos4－sin4.
题型二　三角函数式的化简或证明
例2　(1)化简：；(2)求证：＝tan4 A.
反思总结　利用倍角公式化简或证明三角恒等式的原则及一般步骤：(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想；(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
跟踪训练2 (1)化简：－tan θtan 2θ.
(2)化简：.
(3)求证：sin3αsin 3α＋cos3αcos 3α＝cos32α.
题型三　利用二倍角公式给值求值
例3　(1)已知sin(＋α)sin(－α)＝，且α∈(，π)，求sin 4α的值．
(2)(教材221页例5改编)已知cos ＝，0<α<2π，求sin ，cos ，tan 的值．
反思总结　解决给值求值问题的方法：(1)给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
(2)注意几种公式的灵活应用，如：①sin 2x＝cos＝cos＝2cos2－1＝1－2sin2.②cos 2x＝sin＝sin＝2sincos.
跟踪训练3　(1)已知sin＝，0(2)已知cos＝，≤α<，求cos的值．
题型四　倍角公式的综合运用
例4　已知△ABC的三个内角为A，B，C，f(B)＝4cos Bsin2＋cos 2B－2cos B.
(1)若f(B)＝2，求B的大小；
(2)若f(B)－m>2恒成立，求实数m的取值范围．
反思总结　要结合之前所学的所有的公式，对它们灵活运用，融会贯通，在解决具体问题时，要注意题目中的隐含条件，要会对三角函数值的符号进行判断．尤其是在三角形中，其最多只有一个直角或钝角，正弦值均为正，余弦和正切值并不一定为正．
跟踪训练4　若α∈(0，π)，cos α，sin α是一元二次方程x2＋x－＝0的两个实根，则cos 2α等于(　　)
A. B．± C．－ D.
习题精练 基础巩固 强化落实
选择题
1.已知x∈(－，0)，cos x＝，则tan 2x等于(　　)
A. B．－ C. D．－
2.已知sin 2α＝，则cos2等于(　　)
A. B. C. D.
3.若sin(－α)＝，则cos(＋2α)的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
4.若＝1，则的值为(　　)
A．3 B．－3 C．－2 D．－
5.已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是(　　)
A. B. C．－ D．－
6.如果|cos θ|＝，<θ<3π，则sin 的值是(　　)
A．－ B. C．－ D.
7.设sin α＝，2π<α<3π，则sin ＋cos 等于(　　)
A．－ B. C. D．－
8.已知函数f(x)＝，则(　　)
A．函数f(x)的最大值为，无最小值 B．函数f(x)的最小值为－，最大值为0
C．函数f(x)的最大值为，无最小值 D．函数f(x)的最小值为－，无最大值
9.sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
10.“2sin x＝cos x＋1”是“tan ＝”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
11.2sin222.5°－1＝ .
12.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ .
13.已知tan ＝3，则＝ .
14.函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x在区间上的最大值是 .
15.化简：(3π<α<4π)的结果为 .
三、解答题
16.已知角α在第一象限且cos α＝，求的值．
17.已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，)，求α.
18.求值：sin2α＋sin2＋sin2.
19.已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝.
(1)求的值；(2)求的值．
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