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第01讲 有理数
【学习目标】
1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.
2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.
3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.
4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用.
5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.
【基础知识】
知识点01:有理数的相关概念
1．有理数的分类：
（1）按定义分类： （2）按性质分类：
要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；
（2）有理数“0”的作用：
作用 举例
表示数的性质 0是自然数、是有理数
表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示
表示某种状态 表示冰点
表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数
2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．
要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．
要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．
（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．
4．绝对值：
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作．
（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．
知识点02:有理数的运算
1 ．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．
　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，
－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．
2．运算律：
（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
知识点03:有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．
知识点03:科学记数法、近似数及精确度
1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．
2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.
要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.
3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.
要点诠释：
（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.
（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.
【考点剖析】
考点一：正数和负数
例1．（2022秋 老城区期中）如图，根据某机器零件的设计图纸上信息，判断该零件长度（L）尺寸合格的是（　　）
A．9.68mm B．9.97mm C．10.1mm D．10.01mm
【思路引导】根据10±0.02的意义分析得出答案．
【完整解答】解：如图所示：该零件长度（L）合格尺寸为10﹣0.02到10+0.02之间，
故选：D．
考点二：有理数
例2．（2022秋 浦江县校级月考）如图，每个椭圆表示一个数集，请在每个椭圆内填上6个数，其中三个写在重叠部分，
【思路引导】根据负数与整数集合重叠部分为负整数，列举出几个即可；根据正数与分数集合重叠部分为正分数，列举出几个即可．
【完整解答】解：如图所示：
考点三：数轴
例3．（2022秋 曲阜市期中）如图，点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝2，OA＝OB，若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（　　）
A．﹣a+2 B．﹣a﹣2 C．a+2 D．a﹣2
【思路引导】先根据图形得到A所表示的数，再根据相反数的位置关系求出结果．
【完整解答】解：∵AC＝2，点C所表示的数为a，
∴A点表示的数为：a﹣2，
∵OA＝OB，
∴点B所表示的数为：2﹣a，
故答案为：A．
考点四：相反数
例4．（2020秋 饶平县校级期中）a，b互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为（　　）
A．a2与b2
B．a3与b5
C．a2n与b2n （n为正整数）
D．a2n+1与b2n+1（n为正整数）
【思路引导】依据相反数的定义以及有理数的乘方法则进行判断即可．
【完整解答】解：A、a，b互为相反数，则a2＝b2，故A错误；
B、a，b互为相反数，则a3＝﹣b3，故a3与b5不一定互为相反数，故B错误；
C、a，b互为相反数，则a2n＝b2n，故C错误；
D、a，b互为相反数，由于2n+1是奇数，则a2n+1与b2n+1互为相反数，故D正确；
故选：D．
考点五：绝对值
例5.（2022秋 隆安县期中）下列等式中不成立的是（　　）
A．|﹣5|＝5 B．﹣|﹣5|＝﹣|+5| C．﹣|﹣5|＝5 D．|﹣5|＝|5|
【思路引导】分别计算等式的左右两边，得结论．
【完整解答】解：A、|﹣5|＝5，故A正确；
B、﹣|﹣5|＝﹣5，故B正确；
C、﹣|﹣5|＝﹣5，故C错；
D、﹣（﹣5）＝5，故D正确．
故选：C．
考点六：有理数的加减混合运算
例6.（2022秋 济南期中）如图，a，b，c，d，e，f均为有理数，图中各行，各列及两条对角线上三个数的和都相等，则a﹣b+c﹣d+e﹣f的值为（　　）
A．1 B．﹣3 C．7 D．8
【思路引导】先找出具有已知量最多且含有公共未知量的行或列，即4﹣1+a＝d+3+a，得到d＝0，再以4+b+0＝b+3+c，解得c＝2，以此类推求出各个字母的值即可得出结论．
【完整解答】解：由题意得：4﹣1+a＝d+3+a，
解得d＝0．
∵4+b+0＝b+3+c，
∴c＝1．
∵4﹣1+a＝a+1+f，
∴f＝2．
∴a﹣1+4＝4+3+2，b+3+c＝4+3+2，﹣1+3+e＝4+3+2，
∴a＝6，b＝5，e＝7．
∴a﹣b+c﹣d+e﹣f
＝6﹣5+1﹣0+7﹣2
＝7．
故选：C．
考点七：有理数的混合运算
例7.（2021秋 睢县期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取n＝26，则：
若n＝23，则第2022次“F”运算的结果是（　　）
A．74 B．37 C．92 D．23
【思路引导】根据题意和题目中的新定义，可以计算出前几次的运算结果，然后观察结果，即可发现结果的变化规律，从而可以计算出n＝23，第2022次“F”运算的结果．
【完整解答】解：由题意可得，
当n＝23时，第一次的运算结果为3×23+5＝74，
第二次的运算结果为：74÷2＝37，
第三次的运算结果为：3×37+5＝116，
第四次的运算结果为：116÷22＝29，
第五次的运算结果为：3×29+5＝92，
第六次的运算结果为：92÷22＝23，
第七次的运算结果为：3×23+5＝74，
…，
由上可得，每六次为一个循环，
∵2022÷6＝337，
∴n＝23，则第2022次“F”运算的结果是23，
故选：D．
考点八：近似数和有效数字
例8.（2021秋 卢龙县期末）由四舍五入得到的近似数88.35万．精确到（　　）
A．十分位 B．百分位 C．百位 D．十位
【思路引导】根据近似数的精确度进行判断．
【完整解答】解：由四舍五入得到的近似数88.35万，精确到百位，
故选：C．
【真题演练】
一．选择题
1．（2021秋 阎良区期末）已知点A、B、C、D在数轴上的位置如图所示，且相邻两点之间的距离均为1个单位．若点A表示数a，点D表示的数为﹣2a，则与数轴的原点重合的点是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【思路引导】根据题意：相邻两点之间的距离均为1个单位，可知：AD＝3，所以﹣2a﹣a＝3，可得a＝﹣1，从而得结论．
【完整解答】解：由题意得：﹣2a﹣a＝3，
∴a＝﹣1，
∴与数轴的原点重合的点是B．
故选：B．
2．（2022秋 城阳区校级月考）在数轴上表示a、b两数的点如图所示，则下列判断正确的是（　　）
A．a+b＞0 B．a﹣b＜0 C．a+b＜0 D．|a|＞|b|
【思路引导】根据数轴表示数的方法确定a、b的符号及大小，再根据有理数加减法的计算方法进行判断即可．
【完整解答】解：由数a、b在数轴上的位置可知，
b＜0＜a，且|b|＞|a|，因此选项D不符合题意；
∴a+b＜0，因此选项A不符合题意，选项C符合题意；
a﹣b＞0，因此选项B不符合题意；
故选：C．
3．（2022秋 中江县校级月考）下列判断正确的是（　　）
A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|＝|b|，则a＝﹣b
C．若a＝b，则|a|＝|b| D．若a＝﹣b，则|a|≠|b|
【思路引导】利用绝对值的定义计算判断即可．
【完整解答】解：若|a|＝|b|，则a＝±b，A、B选项错误；
若a＝b，则|a|＝|b|，C选项正确；
若a＝﹣b，则|a|＝|b|，D选项错误，
故选：C．
4．（2022秋 钟楼区校级月考）如果a是大于1的正整数，那么a的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，……已知a3改写成的若干个连续奇数和的式子中，有一个奇数是2023，则a的值是（　　）
A．45 B．46 C．52 D．53
【思路引导】根据数字的变化可知，a3分裂后的第一个数是a（a﹣1）+1，且共有a个奇数，根据此规律求出a即可．
【完整解答】解：∵23＝3+5，
33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，
53＝21+23+25+27+29，
…，
∴a3分裂后的第一个数是a（a﹣1）+1，且共有a个奇数，
∵45×（45﹣1）+1＝1981，
46×（46﹣1）+1＝2071，
∴奇数2023是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，
∴a＝45，
故选：A．
5．（2022秋 曲阜市期中）如图，点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝2，OA＝OB，若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（　　）
A．﹣a+2 B．﹣a﹣2 C．a+2 D．a﹣2
【思路引导】先根据图形得到A所表示的数，再根据相反数的位置关系求出结果．
【完整解答】解：∵AC＝2，点C所表示的数为a，
∴A点表示的数为：a﹣2，
∵OA＝OB，
∴点B所表示的数为：2﹣a，
故答案为：A．
二．填空题
6．（2022秋 徐汇区校级月考）121至少加上 　4　才能被5整除，至少减去 　1　才能被2整除．
【思路引导】利用整除定义可知道，121变成被5整除，只能是125，变成能被2整除，只能是120，再填空即可．
【完整解答】解：121至少加上4，变成125，才能被5整除，至少减去1，变成120，才能被2整除，
故答案为：4，1．
7．（2022秋 建邺区校级月考）用科学记数法表示：1801.42＝　1.80142×103　．
【思路引导】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【完整解答】解：1801.42＝1.80142×103．
故答案为：1.80142×103．
8．（2022秋 市中区校级月考）定义：如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN，例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．下列说法：①log66＝36；②log381＝4；③若log4（a+14）＝2，则a＝2；④log264＝log232+log22；正确的序号有 　②③④　（填序号）．
【思路引导】根据对数的定义，对各选项进行逐一计算、辨别．
【完整解答】解：∵61＝6，
∴log66＝1，
∴语句①表述不符合题意；
∵34＝81，
∴log381＝4，
∴语句②表述符合题意；
∵42＝16，
∴a+14＝16，
解得a＝2，
∴语句③表述符合题意；
∵26＝64，25＝32，21＝2，
∴log264＝6，log232+log22＝5+1＝6，
∴log264＝log232+log22
∴语句④表述符合题意；
故答案为：②③④．
三．解答题
9．（2022秋 丰宁县期中）（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【思路引导】（1）先算乘除法，再算加减法；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算；
（3）先算小括号里面的减法，再算括号外面的乘法；
（4）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算．
【完整解答】解：（1）
＝﹣6+4
＝﹣2；
（2）
＝﹣8+（﹣9+9×）
＝﹣8+（﹣9+3）
＝﹣8﹣6
＝﹣14；
（3）
＝（2﹣4﹣1）×（﹣）
＝﹣×（﹣）
＝3；
（4）
＝﹣÷（﹣4×﹣8）
＝﹣÷（﹣9﹣8）
＝﹣÷（﹣17）
＝﹣×（﹣）
＝．
10．（2022秋 小店区校级月考）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是 　4　，数轴上表示2和﹣1的两点之间的距离为 　3　．
（2）数轴上表示x和﹣1两点之间的距离为 　|x+1|　．若x表示一个有理数，且﹣4＜x＜2，则|x﹣2|+|x+4|＝　6　．
（3）利用数轴求出|x+3|+|x﹣4|的最小值为 　7　，并写出此时x可取哪些整数值 　﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4　．
【思路引导】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|计算便可；
（2）根据数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|解答便可；当x在表示数﹣4与2的两点及两点之间时，利用绝对值性质化简|x﹣2|+|x+4|即可；
（3）利用分类讨论的数学思想解答本题．
【完整解答】解：（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是|5﹣1|＝4，数轴上表示2和﹣1的两点之间的距离是|2﹣（﹣1）|＝3，
故答案为：4；3；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣1）|＝|x+1|．
∵x表示一个有理数，且﹣4＜x＜2，
∴|x﹣2|+|x+4|＝2﹣x+x+4＝6，
故答案为：|x+1|；6；
（3）由数轴可知，当﹣3≤x≤4时，|x+3|+|x﹣4|取得最小值，
最小值是：|x+3|+|x﹣4|＝x+3+4﹣x＝7，
此时，x可取的整数值是：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．
即|x+3|+|x﹣4|的最小值是7，此时x可取的整数值是：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．
故答案为：7；﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．
11．（2022秋 黄石月考）如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN，我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即MN＝n﹣m．请用上面的知识解答下面的问题：如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足|a+3|与（c﹣5）2互为相反数．
（1）a+b＝　﹣4　，b﹣c＝　﹣6　．
（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 　3　表示的点重合；
（3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后．
①请问：3BC﹣2AB的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；
②探究：若点A，C向右运动，点B向左运动，速度保持不变，3BC﹣4AB的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【思路引导】（1）根据最大的负整数是﹣1，绝对值和偶次方具有非负性可求解；
（2）由题意容易得出折叠点表示的数是1，再根据1与﹣1的距离可得答案；
（3）①分别用含t的式子表示出BC与AB，再进行计算即可；
②用含t的式子表示出BC，分两点相遇前和相遇后表示AB，再计算即可．
【完整解答】解：（1）∵|a+3|与（c﹣5）2互为相反数，
∴a+3＝0，c﹣5＝0，
即a＝﹣3，c＝5，
∵b是最大的负整数，
∴b＝﹣1．
∴a+b＝（﹣3）+（﹣1）＝﹣4，b﹣c＝﹣1﹣5＝﹣6；
故答案为：﹣4，﹣6；
（2）当﹣3与5重合时，折叠点是1，
∴1﹣（﹣1）＝2，1+2＝3，
故点B与数3表示的点重合；
故答案为：3；
（3）①A：﹣3﹣2t，B：﹣1+t，C：5+3t，
∴BC＝（5+3t）﹣（﹣1+t）＝6+2t，
AB＝（﹣1+t）﹣（﹣3﹣2t）＝2+3t，
∴3BC﹣2AB＝3（6+2t）﹣2（2+3t）＝14；
答：3BC﹣2AB＝14，值不会改变；
②A：﹣3+2t，B：﹣1﹣t，C：5+3t，
∴BC＝（5+3t）﹣（﹣1﹣t）＝6+4t，
当B在A的右侧时，AB＝（﹣1﹣t）﹣（﹣3+2t）＝2﹣3t，
此时，3BC﹣4AB＝3（6+4t）﹣4（2﹣3t）＝10+24t，
当B在A的左侧时，AB＝（﹣3+2t）﹣（﹣1﹣t）＝3t﹣2，
此时，3BC﹣4AB＝3（6+4t）﹣4（3t﹣2）＝26．
答：在点B与点A相遇前，3BC﹣4AB的值随t的变化而变化；相遇后3BC﹣4AB的值不会改变是26
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第01讲 有理数
【学习目标】
1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.
2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.
3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.
4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用.
5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.
【基础知识】
知识点01:有理数的相关概念
1．有理数的分类：
（1）按定义分类： （2）按性质分类：
要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；
（2）有理数“0”的作用：
作用 举例
表示数的性质 0是自然数、是有理数
表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示
表示某种状态 表示冰点
表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数
2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．
要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．
要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．
（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．
4．绝对值：
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作．
（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．
知识点02:有理数的运算
1 ．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．
　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，
－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．
2．运算律：
（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
知识点03:有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．
知识点03:科学记数法、近似数及精确度
1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．
2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.
要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.
3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.
要点诠释：
（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.
（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.
【考点剖析】
考点一：正数和负数
例1．（2022秋 老城区期中）如图，根据某机器零件的设计图纸上信息，判断该零件长度（L）尺寸合格的是（　　）
A．9.68mm B．9.97mm C．10.1mm D．10.01mm
【思路引导】根据10±0.02的意义分析得出答案．
【完整解答】解：如图所示：该零件长度（L）合格尺寸为10﹣0.02到10+0.02之间，
故选：D．
考点二：有理数
例2．（2022秋 浦江县校级月考）如图，每个椭圆表示一个数集，请在每个椭圆内填上6个数，其中三个写在重叠部分，
【思路引导】根据负数与整数集合重叠部分为负整数，列举出几个即可；根据正数与分数集合重叠部分为正分数，列举出几个即可．
【完整解答】解：如图所示：
考点三：数轴
例3．（2022秋 曲阜市期中）如图，点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝2，OA＝OB，若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（　　）
A．﹣a+2 B．﹣a﹣2 C．a+2 D．a﹣2
【思路引导】先根据图形得到A所表示的数，再根据相反数的位置关系求出结果．
【完整解答】解：∵AC＝2，点C所表示的数为a，
∴A点表示的数为：a﹣2，
∵OA＝OB，
∴点B所表示的数为：2﹣a，
故答案为：A．
考点四：相反数
例4．（2020秋 饶平县校级期中）a，b互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为（　　）
A．a2与b2
B．a3与b5
C．a2n与b2n （n为正整数）
D．a2n+1与b2n+1（n为正整数）
【思路引导】依据相反数的定义以及有理数的乘方法则进行判断即可．
【完整解答】解：A、a，b互为相反数，则a2＝b2，故A错误；
B、a，b互为相反数，则a3＝﹣b3，故a3与b5不一定互为相反数，故B错误；
C、a，b互为相反数，则a2n＝b2n，故C错误；
D、a，b互为相反数，由于2n+1是奇数，则a2n+1与b2n+1互为相反数，故D正确；
故选：D．
考点五：绝对值
例5.（2022秋 隆安县期中）下列等式中不成立的是（　　）
A．|﹣5|＝5 B．﹣|﹣5|＝﹣|+5| C．﹣|﹣5|＝5 D．|﹣5|＝|5|
【思路引导】分别计算等式的左右两边，得结论．
【完整解答】解：A、|﹣5|＝5，故A正确；
B、﹣|﹣5|＝﹣5，故B正确；
C、﹣|﹣5|＝﹣5，故C错；
D、﹣（﹣5）＝5，故D正确．
故选：C．
考点六：有理数的加减混合运算
例6.（2022秋 济南期中）如图，a，b，c，d，e，f均为有理数，图中各行，各列及两条对角线上三个数的和都相等，则a﹣b+c﹣d+e﹣f的值为（　　）
A．1 B．﹣3 C．7 D．8
【思路引导】先找出具有已知量最多且含有公共未知量的行或列，即4﹣1+a＝d+3+a，得到d＝0，再以4+b+0＝b+3+c，解得c＝2，以此类推求出各个字母的值即可得出结论．
【完整解答】解：由题意得：4﹣1+a＝d+3+a，
解得d＝0．
∵4+b+0＝b+3+c，
∴c＝1．
∵4﹣1+a＝a+1+f，
∴f＝2．
∴a﹣1+4＝4+3+2，b+3+c＝4+3+2，﹣1+3+e＝4+3+2，
∴a＝6，b＝5，e＝7．
∴a﹣b+c﹣d+e﹣f
＝6﹣5+1﹣0+7﹣2
＝7．
故选：C．
考点七：有理数的混合运算
例7.（2021秋 睢县期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取n＝26，则：
若n＝23，则第2022次“F”运算的结果是（　　）
A．74 B．37 C．92 D．23
【思路引导】根据题意和题目中的新定义，可以计算出前几次的运算结果，然后观察结果，即可发现结果的变化规律，从而可以计算出n＝23，第2022次“F”运算的结果．
【完整解答】解：由题意可得，
当n＝23时，第一次的运算结果为3×23+5＝74，
第二次的运算结果为：74÷2＝37，
第三次的运算结果为：3×37+5＝116，
第四次的运算结果为：116÷22＝29，
第五次的运算结果为：3×29+5＝92，
第六次的运算结果为：92÷22＝23，
第七次的运算结果为：3×23+5＝74，
…，
由上可得，每六次为一个循环，
∵2022÷6＝337，
∴n＝23，则第2022次“F”运算的结果是23，
故选：D．
考点八：近似数和有效数字
例8.（2021秋 卢龙县期末）由四舍五入得到的近似数88.35万．精确到（　　）
A．十分位 B．百分位 C．百位 D．十位
【思路引导】根据近似数的精确度进行判断．
【完整解答】解：由四舍五入得到的近似数88.35万，精确到百位，
故选：C．
【真题演练】
一．选择题
1．（2021秋 阎良区期末）已知点A、B、C、D在数轴上的位置如图所示，且相邻两点之间的距离均为1个单位．若点A表示数a，点D表示的数为﹣2a，则与数轴的原点重合的点是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
2．（2022秋 城阳区校级月考）在数轴上表示a、b两数的点如图所示，则下列判断正确的是（　　）
A．a+b＞0 B．a﹣b＜0 C．a+b＜0 D．|a|＞|b|
3．（2022秋 中江县校级月考）下列判断正确的是（　　）
A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|＝|b|，则a＝﹣b
C．若a＝b，则|a|＝|b| D．若a＝﹣b，则|a|≠|b|
4．（2022秋 钟楼区校级月考）如果a是大于1的正整数，那么a的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，……已知a3改写成的若干个连续奇数和的式子中，有一个奇数是2023，则a的值是（　　）
A．45 B．46 C．52 D．53
5．（2022秋 曲阜市期中）如图，点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝2，OA＝OB，若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（　　）
A．﹣a+2 B．﹣a﹣2 C．a+2 D．a﹣2
二．填空题
6．（2022秋 徐汇区校级月考）121至少加上 　 　才能被5整除，至少减去 　 　才能被2整除．
7．（2022秋 建邺区校级月考）用科学记数法表示：1801.42＝　 　．
8．（2022秋 市中区校级月考）定义：如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN，例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．下列说法：①log66＝36；②log381＝4；③若log4（a+14）＝2，则a＝2；④log264＝log232+log22；正确的序号有 　 　（填序号）．
三．解答题
9．（2022秋 丰宁县期中）（1）；
；
；
．
10．（2022秋 小店区校级月考）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是 　 　，数轴上表示2和﹣1的两点之间的距离为 　 　．
（2）数轴上表示x和﹣1两点之间的距离为 　 　．若x表示一个有理数，且﹣4＜x＜2，则|x﹣2|+|x+4|＝　 　．
（3）利用数轴求出|x+3|+|x﹣4|的最小值为 　 　，并写出此时x可取哪些整数值 　 　．
11．（2022秋 黄石月考）如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN，我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即MN＝n﹣m．请用上面的知识解答下面的问题：如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足|a+3|与（c﹣5）2互为相反数．
（1）a+b＝　 　，b﹣c＝　 　．
（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 　 　表示的点重合；
（3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后．
①请问：3BC﹣2AB的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；
②探究：若点A，C向右运动，点B向左运动，速度保持不变，3BC﹣4AB的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
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