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1．平行线的定义和画法
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做__________，记作a∥b，读作a平行于b．
（2）平行线没有公共点；在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行，应特别注意“在同一平面内”这一条件，重合的直线视为一条直线．
（3）平行线定义满足三个条件：一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交，三者缺一不可．
（4）平行线的画法
一落：把三角尺一边落在已知直线上；
二靠：用直尺紧靠三角尺的另一边；
三推：沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；
四画：沿三角尺过已知点的边画直线．
【注意】在作图中必须确保直尺定好位置后不再变动位置；三角尺移动时，要始终保持一边紧靠直尺．
2．平行线的基本事实及其推论
（1）平行线的基本事实（平行公理）：经过直线__________一点，有且只有__________条直线与这条直线平行．
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线__________，那么这两条直线也互相平行．
3．平行线的判定
（1）判定方法1
两条直线被第三条直线所截，如果同位角__________，那么这两条直线平行. 简单说成：__________.
（2）判定方法2
两条直线被第三条直线所截，如果内错角__________，那么这两条直线平行. 简单说成：__________.
（3）判定方法3
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角__________，那么这两条直线平行. 简单说成：__________.
归纳：判定平行线的思路：
（1）定：确定已知条件是位置关系还是数量关系；
（2）选：若已知条件是位置关系，则用平行公理的推论证明；若已知条件是数量关系，则选用平行线的3个判定方法证明；
（3）证：根据所选证明方法写出证明过程．
拓展：在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，即a⊥b，a⊥c，则b∥c．
【知识汇总参考答案】
1．（1）平行线
2．（1）外；一（2）平行
3．（1）相等；同位角相等，两直线平行（2）相等；内错角相等，两直线平行（3）互补；同旁内角互补，两直线平行
题型一：平行线的概念
方法技巧
1.在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内错互补的结论，这是平行线特有的性质.
2.利用平行线的性质构建等角链.
【例1】（2018春 垦利区期末）下列说法正确的有（　　）
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②相等的角叫对顶角；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤两点之间的距离是两点间的线段；
⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路引导】①根据两点之间线段最短判断．
②对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
③根据平行公理进行判断．
④根据垂线的性质进行判断．
⑤距离是指的长度．
⑥根据在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系．
【完整解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，故①说法正确．
②相等的角不一定是对顶角，故②说法错误．
③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③说法错误．
④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④说法错误．
⑤两点之间的距离是两点间的线段的长度，故⑤说法错误．
⑥在同一平面内，两不重合的直线的位置关系只有两种：相交和平行，故⑥说法正确．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
【变式1-1】（2018春 雁塔区校级月考）平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为　0，1，3，4，5，6　个．
【思路引导】从平行线的角度考虑，先考虑四条直线都平行，再考虑三条、两条直至都不平行，作出草图即可看出．
【完整解答】解：（1）当四条直线平行时，无交点；
（2）当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点；
（3）当两两直线平行时，有4个交点；
（4）当有两条直线平行，而另两条不平行时，有5个交点；
（5）当四条直线同交于一点时，只有一个交点；
（6）当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点；
（7）当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点．
故答案为：0，1，3，4，5，6．
【变式1-2】（2021秋 内乡县期末）如图所示，在∠AOB内有一点P．
（1）过P画l1∥OA；
（2）过P画l2∥OB；
（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？
【思路引导】用两个三角板，根据同位角相等，两直线平行来画平行线，然后用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的关系为：相等或互补．
【完整解答】解：（1）（2）如图所示，
（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．
题型二：平行公理及其推论
方法技巧
(1)平行公理体现了平行线的存在性和唯一性，平行公理的推论体现了平行线的传递性，它们都可以作为以后推理的依据．
(2)平行公理中强调“经过直线外一点”，而垂线性质中只要求“经过一点”，不限定点是否在直线上．
【例2】（2018春 莫旗期末）下列四种说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；
③相等的角是对顶角；
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．
其中，错误的是　①②③　（填序号）．
【思路引导】根据平行公理、对顶角定义、平行线逐个判断即可．
【完整解答】解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴①错误；
∵在同一平面内，两条不相交的线段可能在一条直线上，说两线段是平行线段不对，∴②错误；
∵相等的角不一定是对顶角，∴③错误；
∵在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，正确，∴④正确；
故答案为：①②③．
【变式2-1】（2020春 椒江区期末）如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°．∠BFC等于多少度？为什么？
【思路引导】由AB∥CD，AB∥GE得CD∥GE，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠B+∠BFG＝180°，∠C+∠CFE＝180°，而∠B＝110°，∠C＝100°，可以求出∠BFG和∠CFE，最后可以求出∠BFC．
【完整解答】解：∠BFC等于30度，理由如下：
∵AB∥GE，
∴∠B+∠BFG＝180°，
∵∠B＝110°，
∴∠BFG＝180°﹣110°＝70°，
∵AB∥CD，AB∥GE，
∴CD∥GE，
∴∠C+∠CFE＝180°，
∵∠C＝100°．
∴∠CFE＝180°﹣100°＝80°，
∴∠BFC＝180°﹣∠BFG﹣∠CFE＝180°﹣70°﹣80°＝30°．
题型三：利用角平分线的性质与判定进行计算与证明
方法技巧
有些平行线的证明，无法直接导出相等角，此时考虑连线或作平行线转化角.
1.在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内错互补的结论，这是平行线特有的性质.
2.利用平行线的性质构建等角链.
3.利用已知得可知，思考结论看需知.
【例3】（2021秋 晋江市校级期末）如图，∠1和∠2分别为直线l3与直线l1和l2相交所成角．如果∠1＝62°，那么添加下列哪个条件后，可判定l1∥l2（　　）
A．∠2＝118° B．∠4＝128° C．∠3＝28° D．∠5＝28°
【思路引导】欲证l1∥l2，在图中发现l1、l2被直线l3所截，且已知∠1＝62°，可根据同位角相等，两直线平行，再结合答案来补充条件．
【完整解答】解：∠1＝62°，要使l1∥l2，
则需∠3＝62°（同位角相等，两直线平行），
由图可知，∠2与∠3是邻补角，
则只需∠2＝180°﹣62°＝118°，
故选：A．
【变式3-1】（2021秋 嵩县期末）如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠7+∠4﹣∠1＝180°，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠2＝∠3中能判断直线a∥b的有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【思路引导】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论．
【完整解答】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b；
②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b；
③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；
④由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7＝∠1+∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b；
⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3，可得∠1＝∠2，即可得到a∥b；
⑥由∠2＝∠3，不能得到a∥b；
故能判断直线a∥b的有5个．
故选：C．
【变式3-2】（2021秋 沈丘县期末）如图，点E在AC的延长线上，对于下列给出的四个条件：
①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；③∠A＝∠DCE；④∠D+∠ABD＝180°．
能判断AB∥CD的有　②③④　（填正确结论的序号）
【思路引导】根据平行线的判定定理即可直接作出判断．
【完整解答】解：①根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证明AB∥CD；
②根据内错角相等，两直线平行即可证得AB∥CD；
③根据同位角相等，两直线平行即可证得AB∥CD；
④根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得AB∥CD．
故答案为②③④．
【变式3-3】（2022春 金乡县期末）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，当0°＜∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示：∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）．
（1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为　135°　；
②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为　40°　；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE的角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
【思路引导】（1）①根据∠DCE＝45°，∠ACD＝∠BCE＝90°，结合图形计算即可；②根据∠ACB＝140°，∠ACD＝∠BCE＝90°，结合图形计算即可；
（2）仿照（1）中的算法即可得到∠ACB与∠DCE的数量关系；
（3）依据0°＜∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方，利用平行线的判定定理，分两种情况讨论即可．
【完整解答】解：（1）①∵∠ACD＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠ACB＝90°+45°＝135°，
故答案为：135°；
②∠ACB＝140°，∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°，
∴∠DCE＝∠DCA﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°；
故答案为：40°；
（2）∠ACB与∠DCE互补．理由：
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，
又∵∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝90°+90°﹣∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE+∠DCE＝180°，
即∠ACB与∠DCE互补；
（3）存在一组边互相平行，
当∠ACE＝45°时，∠ACE＝∠E＝45°，此时AC∥BE；
当∠ACE＝30°时，∠ACB＝120°，此时∠A+∠ACB＝180°，故AD∥BC
【练1】（2022 天津模拟）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，下列不能判定DE∥AC的条件是（　　）
A．∠3＝∠C B．∠1+∠4＝180° C．∠1＝∠AFE D．∠1+∠2＝180°
【思路引导】利用平行线的判定方法分别分析得出答案．
【完整解答】解：A、当∠C＝∠3时，DE∥AC，故不符合题意；
B、当∠1+∠4＝180°时，DE∥AC，故不符合题意；
C、当∠1＝∠AFE时，DE∥AC，故不符合题意；
D、当∠1+∠2＝180°时，EF∥BC，不能判定DE∥AC，故符合题意．
故选：D．
【练2】（2022秋 南岗区校级月考）下列说法正确的个数有（　　）个．
（1）若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2是邻补角；
（2）直线外一点到这条直线的垂线段，叫点到直线的距离；
（3）邻补角的角平分线互相垂直；
（4）如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；
（5）如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；
（6）同旁内角互补．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路引导】根据邻补角的定义对（1）进行判断；根据点到直线的距离的定义对（2）进行判断；根据邻补角的定义和角平分线的定义对（3）进行判断；根据同位角的定义对（4）进行判断；根据平行线的判定方法对（5）进行判断；根据同旁内角的定义对（6）进行判断．
【完整解答】解：（1）∠1+∠2＝180°，∠1与∠2不一定是邻补角，原来的说法错误；
（2）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离，原来的说法错误；
（3）邻补角的角平分线互相垂直是正确的；
（4）如果两条直线平行，那么两条直线被第三条直线所截的同位角相等，原来的说法错误；
（5）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；
（6）同旁内角不一定互补，原来的说法错误．
故选：A．
【练3】（2021秋 江阴市期末）有下列说法：①两条不相交的直线叫平行线；②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两条直线相交所成的四个角中，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直；④有公共顶点的两个角是对顶角．其中说法正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路引导】依据平行线的定义、对顶角的定义、垂线进行判断，即可得出结论．
【完整解答】解：①同一平面内，两条不相交的直线叫平行线；故不符合题意；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故符合题意；
③两条直线相交所成的四个角中，如果有两个角相等，那么这两条直线不一定互相垂直；故不符合题意；
④有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角是对顶角；故不符合题意；
故其中说法正确的个数是1，
故选：A．
【练4】（2021秋 沈丘县期末）如图，点E在AC的延长线上，对于下列给出的四个条件：
①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；③∠A＝∠DCE；④∠D+∠ABD＝180°．
能判断AB∥CD的有　②③④　（填正确结论的序号）
【思路引导】根据平行线的判定定理即可直接作出判断．
【完整解答】解：①根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证明AB∥CD；
②根据内错角相等，两直线平行即可证得AB∥CD；
③根据同位角相等，两直线平行即可证得AB∥CD；
④根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得AB∥CD．
故答案为②③④．
【练5】（2018春 雁塔区校级月考）平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为　0，1，3，4，5，6　个．
【思路引导】从平行线的角度考虑，先考虑四条直线都平行，再考虑三条、两条直至都不平行，作出草图即可看出．
【完整解答】解：（1）当四条直线平行时，无交点；
（2）当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点；
（3）当两两直线平行时，有4个交点；
（4）当有两条直线平行，而另两条不平行时，有5个交点；
（5）当四条直线同交于一点时，只有一个交点；
（6）当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点；
（7）当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点．
故答案为：0，1，3，4，5，6．
【练6】（2021秋 桐柏县期末）如图，点E是BA延长线上一点，下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠D；③∠2＝∠4；④∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD的有 　②③④　．（填序号）
【思路引导】根据平行线的判定方法直接判定即可得解．
【完整解答】解：∵∠1＝∠3，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
故①不符合题意；
∵∠5＝∠D，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
故②符合题意；
∵∠2＝∠4，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
故③符合题意；
∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD （同旁内角互补，两直线平行），
故④符合题意；
故答案为：②③④．
【练7】（2022春 田东县期末）一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放．如果把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题：
（1）找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来；
（2）找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来；
（3）找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并求出它们的度数．（不包括直角尺自身所成的角）
【思路引导】（1）直线DE∥BC，故直线DE上的线段都与BC平行．
（2）根据∠CDE和∠ACB都是直角，即可找出互相垂直的线段．
（3）根据角的概念进行解答．
【完整解答】解：此题答案不唯一，只要答案正确即可得分．
（1）如：DE∥CB，DF∥CB，FE∥CB．
（2）如：ED⊥AC，FD⊥AC，FD⊥AD．
（3）如：钝角：∠GFD＝135°，∠CGB＝∠FGE＝105°．
直角有：∠ADE＝90°．
如：锐角∠GCB＝30°，∠AFD＝45°，∠CGF＝75°．
【练8】（2021春 海拉尔区期末）已知：如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）试探究∠2与∠3的数量关系．
【思路引导】（1）已知BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠1+∠2＝90°，可得∠ABD+∠BDC＝180°，根据同旁内角互补，可得两直线平行．
（2）已知∠1+∠2＝90°，即∠BED＝90°；那么∠3+∠FDE＝90°，将等角代换，即可得出∠3与∠2的数量关系．
【完整解答】证明：（1）∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，
∴∠1＝∠ABD，∠2＝∠BDC；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ABD+∠BDC＝180°；
∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）
解：（2）∵DE平分∠BDC，
∴∠2＝∠FDE；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠BED＝180﹣（∠1+∠2）＝90°＝∠DEF＝90°；
∴∠3+∠FDE＝90°；
∴∠2+∠3＝90°．
【练9】（2017秋 江阴市期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．
【思路引导】根据四边形的内角和定理和∠A＝∠C＝90°，得∠ABC+∠ADC＝180°；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行．
【完整解答】解：BE∥DF．理由如下：
∵∠A＝∠C＝90°（已知），
∴∠ABC+∠ADC＝180°（四边形的内角和等于360°）．
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠1＝∠2＝∠ABC，∠3＝∠4＝∠ADC（角平分线的定义）．
∴∠1+∠3＝（∠ABC+∠ADC）＝×180°＝90°（等式的性质）．
又∠1+∠AEB＝90°（三角形的内角和等于180°），
∴∠3＝∠AEB（同角的余角相等）．
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
【练10】（2016秋 丹江口市期末）将下列推理过程填写完整．
（1）如图1，已知∠B+∠BED+∠D＝360°，求证AB∥CD．
证明：过E点作EF∥CD（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）
∵EF∥CD，
∴∠D+∠DEF＝180°，（　两直线平行，同旁内角互补　）
∵∠B+∠BED+∠D＝360°，（已知）
∴∠B+∠BEF＝∠B+∠BED+∠D﹣（∠D+∠DEF）＝360°﹣180°＝180°
∴EF∥AB，（　同旁内角互补，两直线平行　）
∴　AB　∥　CD　，（平行于同一直线的两直线平行）
（2）如图2，已知∠BED＝∠B+∠D，求证AB∥CD．
证明：过E点作EF∥CD（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）
∵EF∥CD，
∴∠D＝∠FED，（　两直线平行，内错角相等　）
∵∠BED＝∠B+∠D（已知）
∴∠B＝∠BEF﹣∠D＝∠BED﹣∠FED＝∠BEF，
∴　AB　∥　EF　，（　内错角相等，两直线平行　）
∴　AB　∥　CD　．（平行于同一直线的两直线平行）
【思路引导】（1）过E点作EF∥CD，首先根据平行线的性质可得∠D+∠DEF＝180°，然后可得∠B+∠BEF＝180°，进而可根据同旁内角互补，两直线平行可得AB∥CD；
（2）过E点作EF∥CD，根据平行线的性质可得∠D＝∠FED，进而可得∠B＝∠BEF，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥EF，再根据平行于同一直线的两直线平行可得AB∥CD．
【完整解答】（1）证明：过E点作EF∥CD（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）
∵EF∥CD，
∴∠D+∠DEF＝180°，（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∵∠B+∠BED+∠D＝360°，（ 已知 ）
∴∠B+∠BEF＝∠B+∠BED+∠D﹣（∠D+∠DEF ）＝360°﹣180°＝180°，
∴EF∥AB，（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∴AB∥CD，（ 平行于同一直线的两直线平行）；
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；AB；CD；
（2）证明：过E点作EF∥CD（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）
∵EF∥CD，
∴∠D＝∠FED，（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠BED＝∠B+∠D，（已知）
∴∠B＝∠BED﹣∠D＝∠BED﹣∠FED＝∠BEF，
∴AB∥EF，（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴AB∥CD，（ 平行于同一直线的两直线平行）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；AB；EF；内错角相等，两直线平行；AB；CD
第02讲 平行线及其判定
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1．平行线的定义和画法
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做__________，记作a∥b，读作a平行于b．
（2）平行线没有公共点；在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行，应特别注意“在同一平面内”这一条件，重合的直线视为一条直线．
（3）平行线定义满足三个条件：一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交，三者缺一不可．
（4）平行线的画法
一落：把三角尺一边落在已知直线上；
二靠：用直尺紧靠三角尺的另一边；
三推：沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；
四画：沿三角尺过已知点的边画直线．
【注意】在作图中必须确保直尺定好位置后不再变动位置；三角尺移动时，要始终保持一边紧靠直尺．
2．平行线的基本事实及其推论
（1）平行线的基本事实（平行公理）：经过直线__________一点，有且只有__________条直线与这条直线平行．
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线__________，那么这两条直线也互相平行．
3．平行线的判定
（1）判定方法1
两条直线被第三条直线所截，如果同位角__________，那么这两条直线平行. 简单说成：__________.
（2）判定方法2
两条直线被第三条直线所截，如果内错角__________，那么这两条直线平行. 简单说成：__________.
（3）判定方法3
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角__________，那么这两条直线平行. 简单说成：__________.
归纳：判定平行线的思路：
（1）定：确定已知条件是位置关系还是数量关系；
（2）选：若已知条件是位置关系，则用平行公理的推论证明；若已知条件是数量关系，则选用平行线的3个判定方法证明；
（3）证：根据所选证明方法写出证明过程．
拓展：在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，即a⊥b，a⊥c，则b∥c．
题型一：平行线的概念
方法技巧
1.在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内错互补的结论，这是平行线特有的性质.
2.利用平行线的性质构建等角链.
【例1】（2018春 垦利区期末）下列说法正确的有（　　）
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②相等的角叫对顶角；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤两点之间的距离是两点间的线段；
⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路引导】①根据两点之间线段最短判断．
②对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
③根据平行公理进行判断．
④根据垂线的性质进行判断．
⑤距离是指的长度．
⑥根据在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系．
【完整解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，故①说法正确．
②相等的角不一定是对顶角，故②说法错误．
③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③说法错误．
④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④说法错误．
⑤两点之间的距离是两点间的线段的长度，故⑤说法错误．
⑥在同一平面内，两不重合的直线的位置关系只有两种：相交和平行，故⑥说法正确．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
【变式1-1】（2018春 雁塔区校级月考）平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数
为　 　个．
【变式1-2】（2021秋 内乡县期末）如图所示，在∠AOB内有一点P．
（1）过P画l1∥OA；
（2）过P画l2∥OB；
（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？
题型二：平行公理及其推论
方法技巧
(1)平行公理体现了平行线的存在性和唯一性，平行公理的推论体现了平行线的传递性，它们都可以作为以后推理的依据．
(2)平行公理中强调“经过直线外一点”，而垂线性质中只要求“经过一点”，不限定点是否在直线上．
【例2】（2018春 莫旗期末）下列四种说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；
③相等的角是对顶角；
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．
其中，错误的是　①②③　（填序号）．
【思路引导】根据平行公理、对顶角定义、平行线逐个判断即可．
【完整解答】解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴①错误；
∵在同一平面内，两条不相交的线段可能在一条直线上，说两线段是平行线段不对，∴②错误；
∵相等的角不一定是对顶角，∴③错误；
∵在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，正确，∴④正确；
故答案为：①②③．
【变式2-1】（2020春 椒江区期末）如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°．∠BFC等于多少度？为什么？
题型三：利用角平分线的性质与判定进行计算与证明
方法技巧
有些平行线的证明，无法直接导出相等角，此时考虑连线或作平行线转化角.
1.在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内错互补的结论，这是平行线特有的性质.
2.利用平行线的性质构建等角链.
3.利用已知得可知，思考结论看需知.
【例3】（2021秋 晋江市校级期末）如图，∠1和∠2分别为直线l3与直线l1和l2相交所成角．如果∠1＝62°，那么添加下列哪个条件后，可判定l1∥l2（　　）
A．∠2＝118° B．∠4＝128° C．∠3＝28° D．∠5＝28°
【思路引导】欲证l1∥l2，在图中发现l1、l2被直线l3所截，且已知∠1＝62°，可根据同位角相等，两直线平行，再结合答案来补充条件．
【完整解答】解：∠1＝62°，要使l1∥l2，
则需∠3＝62°（同位角相等，两直线平行），
由图可知，∠2与∠3是邻补角，
则只需∠2＝180°﹣62°＝118°，
故选：A．
【变式3-1】（2021秋 嵩县期末）如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠7+∠4﹣∠1＝180°，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠2＝∠3中能判断直线a∥b的有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式3-2】（2021秋 沈丘县期末）如图，点E在AC的延长线上，对于下列给出的四个条件：
①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；③∠A＝∠DCE；④∠D+∠ABD＝180°．
能判断AB∥CD的有　 　（填正确结论的序号）
【变式3-3】（2022春 金乡县期末）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，当0°＜∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示：∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）．
（1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为　 　；
②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为　 ；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE的角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
【练1】（2022 天津模拟）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，下列不能判定DE∥AC的条件是（　　）
A．∠3＝∠C B．∠1+∠4＝180° C．∠1＝∠AFE D．∠1+∠2＝180°
【练2】（2022秋 南岗区校级月考）下列说法正确的个数有（　　）个．
（1）若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2是邻补角；
（2）直线外一点到这条直线的垂线段，叫点到直线的距离；
（3）邻补角的角平分线互相垂直；
（4）如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；
（5）如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；
（6）同旁内角互补．
A．1 B．2 C．3 D．4
【练3】（2021秋 江阴市期末）有下列说法：①两条不相交的直线叫平行线；②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两条直线相交所成的四个角中，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直；④有公共顶点的两个角是对顶角．其中说法正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【练4】（2021秋 沈丘县期末）如图，点E在AC的延长线上，对于下列给出的四个条件：
①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；③∠A＝∠DCE；④∠D+∠ABD＝180°．
能判断AB∥CD的有　 　（填正确结论的序号）
【练5】（2018春 雁塔区校级月考）平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为　 ， 　个．
【练6】（2021秋 桐柏县期末）如图，点E是BA延长线上一点，下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠D；③∠2＝∠4；④∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD的有 　 　．（填序号）
【练7】（2022春 田东县期末）一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放．如果把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题：
（1）找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来；
（2）找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来；
（3）找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并求出它们的度数．（不包括直角尺自身所成的角）
【练8】（2021春 海拉尔区期末）已知：如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）试探究∠2与∠3的数量关系．
【练9】（2017秋 江阴市期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．
【练10】（2016秋 丹江口市期末）将下列推理过程填写完整．
（1）如图1，已知∠B+∠BED+∠D＝360°，求证AB∥CD．
证明：过E点作EF∥CD（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）
∵EF∥CD，
∴∠D+∠DEF＝180°，（　 ）
∵∠B+∠BED+∠D＝360°，（已知）
∴∠B+∠BEF＝∠B+∠BED+∠D﹣（∠D+∠DEF）＝360°﹣180°＝180°
∴EF∥AB，（　 　）
∴ 　∥ ，（平行于同一直线的两直线平行）
（2）如图2，已知∠BED＝∠B+∠D，求证AB∥CD．
证明：过E点作EF∥CD（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）
∵EF∥CD，
∴∠D＝∠FED，（　 　）
∵∠BED＝∠B+∠D（已知）
∴∠B＝∠BEF﹣∠D＝∠BED﹣∠FED＝∠BEF，
∴　 　∥　 ，（　 　）
∴　 　∥ ．（平行于同一直线的两直线平行）
第02讲 平行线及其判定
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