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1．算术平方根
（1）定义
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的__________．
（2）表示方法
a的算术平方根记为__________，读作“根号a”，a叫被开方数．
（3）算术平方根的性质
①正数a的算术平方根为；
②0的算术平方根是0，即=__________；
③负数__________算术平方根．
④算术平方根具有双重非负性：被开方数a是非负数，即a≥0；算术平方根本身是非负数，即≥0．
2．平方根
（1）平方根的概念
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的__________或二次方根．
【注意】在这里，a是x的平方数，它的值是正数或零，因为任何数的平方都不可能是负数，即a≥0．
（2）平方根的性质
①一个正数a有__________个平方根，其中一个是“”，另一个为“-”，它们互为相反数；
②0的平方根是0；
③负数没有平方根．
（3）开平方的概念
求一个数a的平方根的运算，叫做__________．
（4）利用平方根的定义解方程
将各式转化为等号的左边是含x的一个式子的平方式，右边是一个非负数的形式，如x2=m或（ax+b）2=m（m≥0），然后利用平方根的定义得到x=±或ax+b=±，进而得到原方程的解．
3．平方根与算术平方根的区别
（1）定义不同；
（2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；
（3）表示方法不同，正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示；
（4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负．
4．立方根的概念和性质
（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__________或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根．
（2）表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．
（3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．
5．开立方
（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做__________．
（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0；
②；
③=a．
（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根．
6．平方根和立方根的区别和联系
1．被开方数的取值范围不同
在中，被开方数a是非负数，即a≥0；在中，被开方数a是任意数．
2．运算后的数量不同
一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根
【知识汇总参考答案】
1．（1）算术平方根（2）（3）0，没有2．（1）平方根（2）两（3）开平方
4．（1）立方根 5．（1）开立方（2）负数（3）逆运算
题型一：平方根的概念
方法技巧
理解并掌握平方根的概念；
理解掌握算术平方根的概念．
【例1】（2022秋 新华区校级期中）已知a﹣7和2a+1是一个正数x的平方根，则这个正数x＝（　　）
A．2 B．2或﹣8 C．25 D．25或225
【思路引导】根据平方根的定义求出a的值，进而可得出结论．
【完整解答】解：∴a﹣7和2a+1是一个正数x的平方根，
当a﹣7＝2a+1时，解得a＝﹣8，
∴﹣8﹣7＝﹣15，
∴（﹣15）2＝225；
当a﹣7和2a+1互为相反数时，
﹣（a﹣7）＝2a+1，解得a＝2，
∴7﹣a＝5，
∴x＝52＝25．
故x的值为25或225．
故选：D．
【考察注意点】本题考查的是平方根的定义，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．
【变式1-1】（2022春 五华区校级期中）下列判断：
①0.25的平方根是0.5；
②只有正数才有平方根；
③（）2的平方根是±；
④﹣7是﹣49的一个平方根．
其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路引导】根据平方根的定义解答即可．
【完整解答】解：①0.25的平方根是±0.5，原说法错误；
②只有正数才有平方根，0也有平方根，原说法错误；
③（）2的平方根是±，原说法正确；
④﹣7不是﹣49的平方根，负数没有平方根，原说法错误．
所以正确的有1个；
故选：A．
【考察注意点】本题考查了平方根．解题的关键是掌握平方根的定义，注意负数不能开平方．平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
【变式1-2】（2022秋 兴庆区校级月考）式子4x2﹣25＝0中x的值是 　±　．
【思路引导】移项，左右两边同时除以4，再开平方，求平方根．
【完整解答】解：∵4x2﹣25＝0，
∴4x2＝25，
∴x2＝，
∴x＝±，
故答案为：±．
【考察注意点】本题考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义．
题型二：立方根根的概念
【例2】（2022春 渝中区校级月考）若≈7.149，≈22.608，则的值约为（　　）
A．71.49 B．226.08 C．714.9 D．2260.8
【思路引导】将转化为，进而得出×100即可．
【完整解答】解：＝＝×100≈7.149×100＝714.9，
故选：C．
【考察注意点】本题考查算术平方根，理解“一个数扩大（或缩小）100倍，10000倍，其算术平方根就随着扩大（或缩小）10倍，100倍”是解决问题的关键．
【变式2-1】（2022春 牡丹江期中）如果＝1.225，那么的结果为（　　）
A．38.73 B．387.3 C．12.25 D．122.5
【思路引导】根据被开方数的小数点向右移动四位，那么它的算术平方根小数点向右移动两位，即可解答．
【完整解答】解：∵1.5×10000＝15000，＝1.225，
∴＝122.5，
故选：D．
【考察注意点】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根与被开方数的关系是解题的关键．
【变式2-2】（2022春 武昌区期中）（1）如图1，分别把两个边长为1cm的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 　　cm；
（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是2πcm2，设圆的周长为C圆，正方形的周长为C正，则C圆　＜　C正（填“＝”或”＜”或“＞“号）
（3）如图2，若正方形的面积为400cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为5：4，他能裁出吗？请说明理由？
【思路引导】（1）根据算术平方根的定义求解即可；
（2）分别求出圆的半径，正方形的边长，进而求出圆周长，正方形的周长，比较得出答案；
（3）求出长方形的长、宽以及正方形的边长，比较长方形的长与正方形边长的大小，得出结论．
【完整解答】解：（1）由题意得，大正方形的面积为2cm2，因此边长为cm，
故答案为：；
（2）设圆的半径为rcm，
则πr2＝2π，
∴r＝，
∴圆的周长为2＝2π（cm），
设正方形的边长为a，
则a2＝2π，
∴a＝，
∴正方形的周长为4a＝4（cm），
∵2π＝＝，4＝＝，而π＜4，
∴＜，
即2π＜4，
也就是C圆＜C正方形，
故答案为：＜；
（3）能，理由如下：
设长方形的长为5xcm，则宽为4xcm，由题意可得，
5x 4x＝300，
∴x＝，
即长为5cm，宽为4cm，
而面积为400cm2的边长为cm，
∵5＝＜
∴能裁出一块面积为300cm2的长方形纸片．
【考察注意点】本题考查算术平方根，用代数式表示长方形的长、宽以及正方形的边长是正确解答的关键．
题型三：非负数的性质：算术平方根
【例3】（2022春 红河州期末）已知，则（a+c）b等于（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．4
【思路引导】根据绝对值，算术平方根以及偶次方的非负性，求出a、b、c的值，再代入计算即可．
【完整解答】解：∵，
∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，c+3＝0，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，
∴（a+c）b＝（1﹣3）2＝4，
故选：D．
【考察注意点】本题考查绝对值，算术平方根以及偶次方的非负性，求出求出a、b、c的值是正确解答的关键．
【变式3-1】（2022秋 金塔县期中）已知x，y为实数，且，则（x+y）2022的值为 　1　．
【思路引导】根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0．”得出x、y的值，然后代入（x+y）2020即可．
【完整解答】解：根据题意，得x﹣2＝0，y+3＝0，
解得x＝2，y＝﹣3，
当x＝2，y＝﹣3时，
（x+y）2022＝（2﹣3）2022＝1．
故答案为：1．
【考察注意点】此题考查的知识点是非负数的性质，解题的关键是明确非负数的性质：两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0．
【变式3-2】（2021秋 永定区期末）已知|x﹣1|+＝0．
（1）求x与y的值；
（2）求x+y的算术平方根．
【思路引导】（1）直接利用算术平方根以及绝对值的性质分析得出答案；
（2）结合（1）中所求，结合算术平方根的定义分析得出答案．
【完整解答】解：（1）∵|x﹣1|+＝0，而|x﹣1|≥0，≥0，
∴，
解得：；
（2）x+y＝1+3＝4．
∵4的平方根为±2，
∴x+y的算术平方根为2．
【考察注意点】此题主要考查了算术平方根以及绝对值，正确得出x，y的值是解题关键．
题型四：立方根
方法技巧
运用立方根的概念与性质进行解题．
【例4】（2022秋 兴庆区校级月考）下列说法中，正确的个数是（　　）
①﹣8的立方根是﹣2；
②81的算术平方根是±9；
③的立方根是；
④﹣的平方根是±．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路引导】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐个进行判断即可．
【完整解答】解：①﹣8的立方根是﹣2，因此①正确；
②81的算术平方根是9，因此②不正确；
③的立方根是，因此③正确；
④﹣没有平方根，因此④不正确；
因此正确的结论有：①③，共2个，
故选：B．
【考察注意点】本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
【变式4-1】（2022秋 兴庆区校级月考）49的算术平方根是 　7　；的平方根是 　±3　；﹣27的立方根是 　﹣3　．
【思路引导】分别根据算术平方根、平方根、立方根的定义即可求解．
【完整解答】解：49的算术平方根是7，
∵＝9，9的平方根是±3，
∴的平方根是±3；
﹣27的立方根是﹣3．
故答案为：7，±3，﹣3．
【考察注意点】此题主要考查了立方根、算术平方根、平方根的定义．解题的关键是掌握立方根、算术平方根、平方根的定义．
【变式4-2】（2022春 黔西南州月考）已知是n﹣m+3的算术平方根，是m+2n的立方根，求B﹣A的平方根．
【思路引导】首先利用算术平方根的定义以及结合立方根的定义得出n，m的值，进而利用平方根的定义求出答案．
【完整解答】解：由题意得：m﹣2＝2，m﹣2n+3＝3，
解得：m＝4，n＝2，
则A＝＝1，B＝，
∴B﹣A＝2﹣1＝1，
则B﹣A的平方根为：±1．
【考察注意点】此题主要考查了立方根以及平方根和算术平方根，正确得出m，n的值是解题关键
一．选择题
1．（2022秋 新华区校级期中）已知a﹣7和2a+1是一个正数x的平方根，则这个正数x＝（　　）
A．2 B．2或﹣8 C．25 D．25或225
【思路引导】根据平方根的定义求出a的值，进而可得出结论．
【完整解答】解：∴a﹣7和2a+1是一个正数x的平方根，
当a﹣7＝2a+1时，解得a＝﹣8，
∴﹣8﹣7＝﹣15，
∴（﹣15）2＝225；
当a﹣7和2a+1互为相反数时，
﹣（a﹣7）＝2a+1，解得a＝2，
∴7﹣a＝5，
∴x＝52＝25．
故x的值为25或225．
故选：D．
【考察注意点】本题考查的是平方根的定义，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．
2．（2022春 五华区校级期中）下列判断：
①0.25的平方根是0.5；
②只有正数才有平方根；
③（）2的平方根是±；
④﹣7是﹣49的一个平方根．
其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路引导】根据平方根的定义解答即可．
【完整解答】解：①0.25的平方根是±0.5，原说法错误；
②只有正数才有平方根，0也有平方根，原说法错误；
③（）2的平方根是±，原说法正确；
④﹣7不是﹣49的平方根，负数没有平方根，原说法错误．
所以正确的有1个；
故选：A．
【考察注意点】本题考查了平方根．解题的关键是掌握平方根的定义，注意负数不能开平方．平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
3．（2022秋 兴庆区校级月考）下列说法中，正确的个数是（　　）
①﹣8的立方根是﹣2；
②81的算术平方根是±9；
③的立方根是；
④﹣的平方根是±．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路引导】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐个进行判断即可．
【完整解答】解：①﹣8的立方根是﹣2，因此①正确；
②81的算术平方根是9，因此②不正确；
③的立方根是，因此③正确；
④﹣没有平方根，因此④不正确；
因此正确的结论有：①③，共2个，
故选：B．
【考察注意点】本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
4．（2022春 仓山区校级期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为﹣8.69，x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，则（　　）
A．x＝，y＝﹣1000b B．x＝，y＝100b
C．x＝100a，y＝ D．x＝，y＝﹣100b
【思路引导】根据算术平方根，平方根，立方根的意义，进行计算即可解答．
【完整解答】解：∵a的算术平方根为17.25，x的平方根为±1.725，
∴a＝17.252＝（1.725×10）2＝100×1.7252，x＝（±1.725）2＝1.7252，
∴a＝100x，
∴x＝a，
∵b的立方根为﹣8.69，y的立方根为86.9，
∴b＝（﹣8.69）3＝﹣8.693，y＝86.93＝（8.69×10）3＝1000×8.693，
∴y＝1000 （﹣b）＝﹣1000b，
故选：A．
【考察注意点】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，平方根，立方根的意义是解题的关键．
二．填空题
5．（2022春 陕州区期中）如果＝3，则＝　﹣2　．
【思路引导】先根据算术平方根的定义得出a的值，再代入依据立方根的定义计算可得．
【完整解答】解：∵＝3，
∴a＝9，
则＝＝＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【考察注意点】本题主要考查立方根、算术平方根，解题的关键是掌握它们的定义．
6．（2022春 武威期末）已知实数a的立方根是4，则的平方根是　±2　．
【思路引导】根据立方根的定义求出a，再根据算术平方根求出，然后根据平方根的定义解答．
【完整解答】解：∵a的立方根是4，
∴a＝64，
∴＝＝8，
∴的平方根是±，
即±2．
故答案为：±2．
【考察注意点】本题考查了立方根的定义，算术平方根的定义，平方根的定义，熟记概念是解题的关键．
7．（2021春 安丘市月考）若一个正数的平方根是m+3和2m﹣15，n的立方根是﹣2，则﹣n+2m的算术平方根是　4　．
【思路引导】首先根据平方根的定义，求出m值，再根据立方根的定义求出n，代入﹣n+2m求值后，再求出这个值的算术平方根即可．
【完整解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是m+3和2m﹣15，
∴（m+3）+（2m﹣15）＝0，
解得：m＝4，
∵n的立方根是﹣2，
∴n＝﹣8，
把m＝4，n＝﹣8代入﹣n+2m＝8+8＝16，
∵42＝16，
∴16的算术平方根是4，
即﹣n+2m的算术平方根是4．
故答案为：4．
【考察注意点】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，解题的关键是掌握平方根、算术平方根、立方根的定义，能够利用定义求出m、n值，然后再求﹣n﹣m的算术平方根，对于七年级学生来说，题目难度较大，解题时要仔细审题．
8．（2022春 海淀区校级期中）将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数 　1　．
【思路引导】根据算术平方根的定义解决此题．
【完整解答】解：设拼成后的正方形的边长为x（x＞0）．
由题意得，x2＝2．
∴x＝≈1.414．
∴该正方形的边长最接近整数1．
故答案为：1．
【考察注意点】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解决本题的关键．
9．（2022春 瑶海区期中）若记[x]表示任意实数的整数部分，例如：[4.2]＝4、[]＝1、…，则[]﹣[]+[]﹣[]+……
+[]﹣[]（其中“+”、“﹣”依次相间）的值为 　﹣3　．
【思路引导】利用题干中的规定依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论．
【完整解答】解：原式＝1﹣1+1﹣2+2﹣2+2﹣2+3﹣3+ +7﹣7＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【考察注意点】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题目，理解新规定并熟练应用是解题的关键．
三．解答题
10．（2022 洪山区校级开学）小丽给了小明一张长方形的纸片，纸片的长宽之比是3：2，纸片面积为294cm2．
（1）求纸片的周长；
（2）小明想利用这张纸片裁出一张面积为157cm2的完整圆形纸片，他能够裁出来吗？说明理由．
【思路引导】（1）设纸片的长宽分别为3xcm，2xcm，利用长方形的面积公式列出等式，利用算术平方根的意义解答即可；
（2）利用圆的面积公式求得面积为157cm2的圆形纸片的直径，并与长方形的纸片的较短边比较即可得出结论．
【完整解答】解：（1）设纸片的长宽分别为3xcm，2xcm，由题意得：
2x×3x＝294．
∴x2＝49．
∵x＞0，
∴x＝7．
∴纸片的长，宽f分别为14cm，21cm．
∴纸片的周长为（14+21）×2＝70cm．
（2）他不能够裁出来面积为157cm2的完整圆形纸片．理由：
面积为157cm2的圆形纸片的半径为rcm，
∴πr2＝157．
若π≈3.14，
∴r2＝50．
∴r＝5．
∴此圆形纸片的直径为10cm．
∵10＞14，
∴他不能够裁出来面积为157cm2的完整圆形纸片．
【考察注意点】本题主要考查了算术平方根的意义及利用算术平方根的意义解决实际问题，正确使用平方根的意义求值是解题的关键．
11．（2021秋 信都区期末）如图，用两个边长为cm的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，
（1）则大正方形的边长是　4　cm；
（2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，能否剩下一个长宽之比为3：2且面积为12cm2的长方形纸片，若能，求出剩下的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
【思路引导】（1）已知两个正方形的面积之和就是大正方形的面积，根据面积公式即可求出大正方形的边长；
（2）先设未知数根据面积＝12（cm2）列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方形边长比较大小再判断即可．
【完整解答】解：（1）两个正方形面积之和为：2×＝16（cm2），
∴拼成的大正方形的面积＝16（cm2），
∴大正方形的边长是4cm；
（2）设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，
则2x 3x＝12，
解得：x＝，
3x＝3＞4，
所以不能使剩下的长方形纸片的长宽之比为3：2，且面积为12cm2．
【考察注意点】本题考查了算术平方根实际应用，能根据题意列出算式是解此题的关键．
12．（2022春 江汉区期中）阅读下列材料：
已知59319的立方根是正整数，要得到的结果，可以按如下步骤思考：
第一步：确定的位数，因为103＝1000，1003＝1000000，而100＜59319＜1000000，所以10＜＜100，由此得是两位数；
第二步：确定个位数字，因为59319的个位上的数是9，而只有9的立方的个位上的数是9，所以的个位上的数是9；
第三步：确定十位数字，划去59319后面的三位319得到59，因为33＝27，43＝64，而27＜59＜64，所以的十位上的数字是3；
综合以上可得，＝39．
请根据上述内容，完成以下问题：
（1）若为正整数，它的个位上的数是m，x的个位上的数是n，请将下表填写完整；
m 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n 1 8 7 　4　 5 　6　 3 　2　 9
（2）已知262144，474552都是整数的立方，则＝　64　，＝　7.8　；
（3）已知71289是某正整数a的平方，则a＝　267　．
【思路引导】（1）根据立方根的意义进行计算即可；
（2）利用题目提供的方法进行计算即可；
（3）利用啊啊平方根的定义进行计算即可．
【完整解答】解：（1）43＝4×4×4＝64，63＝6×6×6＝216，83＝8×8×8＝512，
故答案为：4，6，2；
（2）①要得到的结果，可以按如下步骤思考：
第一步：确定的位数，因为103＝1000，1003＝1000000，而100＜262144＜1000000，所以10＜＜100，由此得是两位数；
第二步：确定个位数字，因为626144的个位上的数是4，而只有4的立方的个位上的数是4，所以的个位上的数是4；
第三步：确定十位数字，划去262144后面的三位144得到262，因为63＝216，73＝343，而216＜262＜343，所以的十位上的数字是6；
综合以上可得，＝64；
②要得到的结果，即要得到的结构，也就是，
我们可以先求出的结果，可以按如下步骤思考：
第一步：确定的位数，因为103＝1000，1003＝1000000，而100＜474552＜1000000，所以10＜＜100，由此得是两位数；
第二步：确定个位数字，因为474552的个位上的数是2，而只有8的立方的个位上的数是2，所以的个位上的数是8；
第三步：确定十位数字，划去474552后面的三位552得到474，因为73＝343，83＝512，而343＜474＜512，所以的十位上的数字是7；
综合以上可得，＝78，
所以＝＝＝＝7.8，
故答案为：64，7.8；
（3）因为2672＝267×267＝71289，
所以a＝＝267，
故答案为：267．
【考察注意点】本题考查立方根、算术平方根，理解算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提
第05讲 平方根与立方根
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1．算术平方根
（1）定义
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的__________．
（2）表示方法
a的算术平方根记为__________，读作“根号a”，a叫被开方数．
（3）算术平方根的性质
①正数a的算术平方根为；
②0的算术平方根是0，即=__________；
③负数__________算术平方根．
④算术平方根具有双重非负性：被开方数a是非负数，即a≥0；算术平方根本身是非负数，即≥0．
2．平方根
（1）平方根的概念
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的__________或二次方根．
【注意】在这里，a是x的平方数，它的值是正数或零，因为任何数的平方都不可能是负数，即a≥0．
（2）平方根的性质
①一个正数a有__________个平方根，其中一个是“”，另一个为“-”，它们互为相反数；
②0的平方根是0；
③负数没有平方根．
（3）开平方的概念
求一个数a的平方根的运算，叫做__________．
（4）利用平方根的定义解方程
将各式转化为等号的左边是含x的一个式子的平方式，右边是一个非负数的形式，如x2=m或（ax+b）2=m（m≥0），然后利用平方根的定义得到x=±或ax+b=±，进而得到原方程的解．
3．平方根与算术平方根的区别
（1）定义不同；
（2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；
（3）表示方法不同，正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示；
（4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负．
4．立方根的概念和性质
（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__________或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根．
（2）表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．
（3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．
5．开立方
（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做__________．
（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0；
②；
③=a．
（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根．
6．平方根和立方根的区别和联系
1．被开方数的取值范围不同
在中，被开方数a是非负数，即a≥0；在中，被开方数a是任意数．
2．运算后的数量不同
一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根
题型一：平方根的概念
方法技巧
理解并掌握平方根的概念；
理解掌握算术平方根的概念．
【例1】（2022秋 新华区校级期中）已知a﹣7和2a+1是一个正数x的平方根，则这个正数x＝（　　）
A．2 B．2或﹣8 C．25 D．25或225
【思路引导】根据平方根的定义求出a的值，进而可得出结论．
【完整解答】解：∴a﹣7和2a+1是一个正数x的平方根，
当a﹣7＝2a+1时，解得a＝﹣8，
∴﹣8﹣7＝﹣15，
∴（﹣15）2＝225；
当a﹣7和2a+1互为相反数时，
﹣（a﹣7）＝2a+1，解得a＝2，
∴7﹣a＝5，
∴x＝52＝25．
故x的值为25或225．
故选：D．
【考察注意点】本题考查的是平方根的定义，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．
【变式1-1】（2022春 五华区校级期中）下列判断：
①0.25的平方根是0.5；
②只有正数才有平方根；
③（）2的平方根是±；
④﹣7是﹣49的一个平方根．
其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-2】（2022秋 兴庆区校级月考）式子4x2﹣25＝0中x的值是 　．
题型二：立方根根的概念
【例2】（2022春 渝中区校级月考）若≈7.149，≈22.608，则的值约为（　　）
A．71.49 B．226.08 C．714.9 D．2260.8
【思路引导】将转化为，进而得出×100即可．
【完整解答】解：＝＝×100≈7.149×100＝714.9，
故选：C．
【考察注意点】本题考查算术平方根，理解“一个数扩大（或缩小）100倍，10000倍，其算术平方根就随着扩大（或缩小）10倍，100倍”是解决问题的关键．
【变式2-1】（2022春 牡丹江期中）如果＝1.225，那么的结果为（　　）
A．38.73 B．387.3 C．12.25 D．122.5
【变式2-2】（2022春 武昌区期中）（1）如图1，分别把两个边长为1cm的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 　　cm；
（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是2πcm2，设圆的周长为C圆，正方形的周长为C正，则C圆　 　C正（填“＝”或”＜”或“＞“号）
（3）如图2，若正方形的面积为400cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为5：4，他能裁出吗？请说明理由？
题型三：非负数的性质：算术平方根
【例3】（2022春 红河州期末）已知，则（a+c）b等于（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．4
【思路引导】根据绝对值，算术平方根以及偶次方的非负性，求出a、b、c的值，再代入计算即可．
【完整解答】解：∵，
∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，c+3＝0，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，
∴（a+c）b＝（1﹣3）2＝4，
故选：D．
【考察注意点】本题考查绝对值，算术平方根以及偶次方的非负性，求出求出a、b、c的值是正确解答的关键．
【变式3-1】（2022秋 金塔县期中）已知x，y为实数，且，则（x+y）2022的值为 　 　．
【变式3-2】（2021秋 永定区期末）已知|x﹣1|+＝0．
（1）求x与y的值；
（2）求x+y的算术平方根．
题型四：立方根
方法技巧
运用立方根的概念与性质进行解题．
【例4】（2022秋 兴庆区校级月考）下列说法中，正确的个数是（　　）
①﹣8的立方根是﹣2；
②81的算术平方根是±9；
③的立方根是；
④﹣的平方根是±．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路引导】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐个进行判断即可．
【完整解答】解：①﹣8的立方根是﹣2，因此①正确；
②81的算术平方根是9，因此②不正确；
③的立方根是，因此③正确；
④﹣没有平方根，因此④不正确；
因此正确的结论有：①③，共2个，
故选：B．
【考察注意点】本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
【变式4-1】（2022秋 兴庆区校级月考）49的算术平方根是 　 　；的平方根是 　 　；﹣27的立方根是 　 　．
【变式4-2】（2022春 黔西南州月考）已知是n﹣m+3的算术平方根，是m+2n的立方根，求B﹣A的平方根．
一．选择题
1．（2022秋 新华区校级期中）已知a﹣7和2a+1是一个正数x的平方根，则这个正数x＝（　　）
A．2 B．2或﹣8 C．25 D．25或225
2．（2022春 五华区校级期中）下列判断：
①0.25的平方根是0.5；
②只有正数才有平方根；
③（）2的平方根是±；
④﹣7是﹣49的一个平方根．
其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022秋 兴庆区校级月考）下列说法中，正确的个数是（　　）
①﹣8的立方根是﹣2；
②81的算术平方根是±9；
③的立方根是；
④﹣的平方根是±．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022春 仓山区校级期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为﹣8.69，x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，则（　　）
A．x＝，y＝﹣1000b B．x＝，y＝100b
C．x＝100a，y＝ D．x＝，y＝﹣100b
二．填空题
5．（2022春 陕州区期中）如果＝3，则＝　 　．
6．（2022春 武威期末）已知实数a的立方根是4，则的平方根是　 　．
7．（2021春 安丘市月考）若一个正数的平方根是m+3和2m﹣15，n的立方根是﹣2，则﹣n+2m的算术平方根是　 　．
8．（2022春 海淀区校级期中）将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数 　 　．
9．（2022春 瑶海区期中）若记[x]表示任意实数的整数部分，例如：[4.2]＝4、[]＝1、…，则[]﹣[]+[]﹣[]+……
+[]﹣[]（其中“+”、“﹣”依次相间）的值为 　 　．
三．解答题
10．（2022 洪山区校级开学）小丽给了小明一张长方形的纸片，纸片的长宽之比是3：2，纸片面积为294cm2．
（1）求纸片的周长；
（2）小明想利用这张纸片裁出一张面积为157cm2的完整圆形纸片，他能够裁出来吗？说明理由．
11．（2021秋 信都区期末）如图，用两个边长为cm的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，
（1）则大正方形的边长是　 　cm；
（2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，能否剩下一个长宽之比为3：2且面积为12cm2的长方形纸片，若能，求出剩下的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
12．（2022春 江汉区期中）阅读下列材料：
已知59319的立方根是正整数，要得到的结果，可以按如下步骤思考：
第一步：确定的位数，因为103＝1000，1003＝1000000，而100＜59319＜1000000，所以10＜＜100，由此得是两位数；
第二步：确定个位数字，因为59319的个位上的数是9，而只有9的立方的个位上的数是9，所以的个位上的数是9；
第三步：确定十位数字，划去59319后面的三位319得到59，因为33＝27，43＝64，而27＜59＜64，所以的十位上的数字是3；
综合以上可得，＝39．
请根据上述内容，完成以下问题：
（1）若为正整数，它的个位上的数是m，x的个位上的数是n，请将下表填写完整；
m 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n 1 8 7 　 　 5 　 　 3 　 　 9
（2）已知262144，474552都是整数的立方，则＝　 　，＝　 　；
（3）已知71289是某正整数a的平方，则a＝　 　．
第05讲 平方根与立方根
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