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2020-2021学年陕西省西安雁塔区八年级（上）期末数学试卷
一、选择（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1．（3分）下列各数中为无理数的是（　　）
A．﹣1 B． C． D．
2．（3分）下列命题为真命题的是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．若∠1和∠2是对顶角，则∠1＝∠2
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．若a2＝b2，则a＝b
3．（3分）如图，a∥b，∠A＝35°，若∠1＝85°，则∠2的度数是（　　）
A．65° B．60° C．55° D．50°
4．（3分）已知关于x的正比例函数y＝（k2+5）x的图象经过点A（2，m），B（﹣3，n），则m，n的大小关系为（　　）
A．m≥n B．m＜n C．m＞n D．无法确定
5．（3分）九年级（1）班甲、乙、丙、丁四名同学几次数学测试成绩的平均数（分）及方差S2如下表：
甲 乙 丙 丁
平均数（分） 95 97 95 97
方差 0.5 0.5 0.2 0.2
老师想从中选派一名成绩较好且状态稳定的同学参加省初中生数学竞赛，那么应选（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为12，则CD的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
7．（3分）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝﹣3x﹣2沿坐标轴方向平移后，得到直线l2与l1关于坐标原点中心对称，则下列平移作法正确的是（　　）
A．将l1向右平移4个单位长度
B．将l1向左平移6个单位长度
C．将l1向上平移6个单位长度
D．将l1向上平移4个单位长度
8．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC的度数是（　　）
A．15° B．20° C．40° D．50°
9．（3分）若关于x，y的二元一次方程的解也是二元一次方程x+2y＝4的解，则k的值为（　　）
A．l B．﹣1 C．2 D．﹣2
10．（3分）如图，在△ABC中，点A、B、C的坐标分别为（m，0）、（0，2）和（5，3）．则当△ABC的周长最小时，m的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）4是 　 　的算术平方根．
12．（3分）如果点P（5，k）在直线y＝﹣2x+3上，那么点P到x轴的距离为 　 　．
13．（3分）如图，在△ABC中，点O是BC、AC的垂直平分线的交点，OB＝5cm，AB＝8cm，则△AOB的周长是　 　cm．
14．（3分）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，若∠EAC＝42°，则∠1的度数为 　 　．
15．（3分）图①是某条公交车线路的收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行了提高票价的听证会．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图①分别改画成图②和图③．你认为图②和图③两个图象中，反映乘客意见的是 　 　．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC于点C，且AC平分∠BAD，若△ADC的面积为10cm2，则△ABD的面积为 　 　cm2．
三.解答题（共8小题，共72分。解答应写出过程）
17．（10分）计算：
（1）×﹣；
（2）（1﹣）2+．
18．（7分）解下列方程组：
．
19．（6分）已知△ABC，在△ABC内求作一点M，使点M到△ABC的三边距离相等．（保留作图痕迹，不要求写作法）
20．（9分）2020年是特殊的一年，这一年我们经历了新型冠状病毒肺炎疫情，举国上下众志成城，共同抗疫．口罩成为人们防护防疫的必备武器．西安某药店有3000枚口罩准备出售，从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），绘制出如图的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图①中的m值为 　 　；
（2）统计的这组数据的中位数为 　 　；众数为 　 　；
（3）根据样本数据，估计这3000枚口罩中，价格为1.8元的口罩有多少枚？
21．（8分）如图：已知AD＝CB，CE⊥BD，AF⊥BD，垂足分别为点E、F，若DE＝BF，求证：AD∥BC．
22．（10分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．该公司准备投入资金y万元，购买A，B两种机器人共10台，其中购进A型机器人x台．如表是某科技公司提供给快递公司有关两种型号的机器人分拣速度和单价的信息：
型号 分拣速度 单价
A 100件/分钟 6万元/台
B 80件/分钟 4万元/台
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若要使这10台机器人每分钟分拣快递件数总和为920件，该公司需要投入资金多少万元？
23．（10分）为了落实政府的“精准扶贫”政策，某县政府准备购买A、B两种类型的化肥，通过市场调研得知：购买2袋A种化肥和3袋B种化肥共需560元；购买3袋A种化肥比购买2袋B种化肥多用60元．
（1）每袋A种化肥和B种化肥各多少元？
（2）现某村组需要购买A，B两种类型的化肥共30袋，设购买A种化肥a袋，购买A种化肥和B种化肥的总费用为w元，如果购买A种化肥的数量不超过15袋，求购买这批化肥的最少费用．
24．（12分）若一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么这条直线叫做该平面图形的“和谐线”，其中“和谐线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“和谐线段”．
问题探究：
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，画出经过点A的△ABC的“和谐线段”；
（2）如图②，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，请求出分别经过A点，C点的△ABC的两条“和谐线段”的长；
问题解决：
（3）如图③，四边形ABCD是某市规划中的商业区示意图．其中∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝2，CD＝10，现计划在商业区内修一条笔直的单行道MN（小道的宽度不计），入口M在BC上，出口N在CD上，使得MN为四边形ABCD的“和谐线段”，在道路一侧△MNC区域规划为公园，为了美观要求△MNC是以CM为腰的等腰三角形，请通过计算说明设计师的想法能否实现？若可以，请确定点M的位置（即求CM的长）．
2020-2021学年陕西省西安雁塔区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1．（3分）下列各数中为无理数的是（　　）
A．﹣1 B． C． D．
【分析】无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．
【解答】解：A．﹣1是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．是无理数，故本选项符合题意；
C．＝2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．﹣是分数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：B．
2．（3分）下列命题为真命题的是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．若∠1和∠2是对顶角，则∠1＝∠2
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．若a2＝b2，则a＝b
【分析】根据三角形外角的性质、平行的性质、对顶角的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故错误，是假命题；
B、对顶角相等，因为∠1和∠2是对顶角，所以∠1＝∠2，正确，是真命题；
C、三角形的一个外角大于任何一个与之不相邻的内角，故错误，是假命题；
D、若a2＝b2，则a＝±b，故错误，是假命题；
故选：B．
3．（3分）如图，a∥b，∠A＝35°，若∠1＝85°，则∠2的度数是（　　）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【分析】根据平行线性质得出∠4＝∠1，再利用对顶角相等，可得∠5的度数，最后根据三角形内角和得出∠3的大小．
【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1＝85°，
∴∠5＝180°﹣∠1＝95°，
又∵∠2＝∠4，
∵a∥b，
∴∠3＝∠4，
∴∠2＝∠3，
∴∠3＝180°﹣95°﹣35°＝50°，
故选：D．
4．（3分）已知关于x的正比例函数y＝（k2+5）x的图象经过点A（2，m），B（﹣3，n），则m，n的大小关系为（　　）
A．m≥n B．m＜n C．m＞n D．无法确定
【分析】利用偶次方的非负性可得出k2+5＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，再结合2＞﹣3即可得出m＞n．
【解答】解：∵k2≥0，
∴k2+5＞0，
∴y随x的增大而增大．
又∵2＞﹣3，
∴m＞n．
故选：C．
5．（3分）九年级（1）班甲、乙、丙、丁四名同学几次数学测试成绩的平均数（分）及方差S2如下表：
甲 乙 丙 丁
平均数（分） 95 97 95 97
方差 0.5 0.5 0.2 0.2
老师想从中选派一名成绩较好且状态稳定的同学参加省初中生数学竞赛，那么应选（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：从平均数看，成绩最好的是乙和丁，
从方差看，丁方差小，发挥最稳定，
所以老师想从中选派一名成绩较好且状态稳定的同学参加省初中生数学竞赛，那么应选丁；
故选：D．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为12，则CD的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【分析】作DE⊥AB于E，根据三角形的面积公式求出DE，根据角平分线的性质求出CD．
【解答】解：作DE⊥AB于E，如图所示：
则×AB×DE＝12，即×8×DE＝12，
解得，DE＝3，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝3，
故选：A．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝﹣3x﹣2沿坐标轴方向平移后，得到直线l2与l1关于坐标原点中心对称，则下列平移作法正确的是（　　）
A．将l1向右平移4个单位长度
B．将l1向左平移6个单位长度
C．将l1向上平移6个单位长度
D．将l1向上平移4个单位长度
【分析】直线l1：y＝﹣3x﹣2和直线l2：y＝﹣3x+2关于原点对称，依据平移规律，即可得到平移的方向与距离．
【解答】解：直线l1：y＝﹣3x﹣2和直线l2：y＝﹣3x+2关于原点对称，
所以将l1向上平移4个单位长度得到：y＝﹣3x﹣2+4，即直线l2：y＝﹣3x+2．或将l1向左平移个单位长度得到：y＝﹣3（x﹣）﹣2，即直线l2：y＝﹣3x+2．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
8．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC的度数是（　　）
A．15° B．20° C．40° D．50°
【分析】根据线段垂直平分线求出AD＝BD，推出∠A＝∠ABD＝50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，∠AED＝90°，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠ADE＝40°，
∴∠A＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝65°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°，
故选：A．
9．（3分）若关于x，y的二元一次方程的解也是二元一次方程x+2y＝4的解，则k的值为（　　）
A．l B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】根据加减消元法将方程组变为一个方程，再根据已知条件即可求解．
【解答】解：，
①+②得，3x＝14k，
∴x＝k，
①﹣②×2得，3y＝﹣13k，
∴y＝﹣k，
∵x+2y＝4，
∴k+2×（﹣k）＝4，
∴14k﹣26k＝12，
∴k＝﹣1，
故选：B．
10．（3分）如图，在△ABC中，点A、B、C的坐标分别为（m，0）、（0，2）和（5，3）．则当△ABC的周长最小时，m的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A，由等腰直角三角形的性质可求∠OB'A'＝∠OA'B'＝45°，可求
OB'＝OA'＝1，即可求解．
【解答】解：如图所示，做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时△ABC周长最小
过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H，
∵B（0，2），
∴B′（0，﹣2），
∵C（5，3），
∴CH＝BH＝5，
∴∠CB'H＝45°，
∴∠BB'A'＝45°，
∴∠OB'A'＝∠OA'B'＝45°，
∴OB'＝OA'＝2，
则此时A'坐标为（2，0）．
m的值为2．
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）4是 　16　的算术平方根．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：∵42＝16，
∴4是16的算术平方根．
故答案为：16．
12．（3分）如果点P（5，k）在直线y＝﹣2x+3上，那么点P到x轴的距离为 　7　．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标，进而可求出点P到x轴的距离为7．
【解答】解：当x＝5时，y＝﹣2×5+3＝﹣7，
又∵点P（5，k）在直线y＝﹣2x+3上，
∴k＝﹣7，
∴点P到x轴的距离为|﹣7|＝7．
故答案为：7．
13．（3分）如图，在△ABC中，点O是BC、AC的垂直平分线的交点，OB＝5cm，AB＝8cm，则△AOB的周长是　18　cm．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到OA＝OB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵点O是BC、AC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝5cm，
∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝18（cm），
故答案为：18．
14．（3分）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，若∠EAC＝42°，则∠1的度数为 　103°　．
【分析】根据直角三角板的性质∠C＝45°，再由∠EAC＝42°得出∠CAD的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：由直角三角板的性质可知，∠C＝45°，
∵∠EAC＝42°，
∴∠CAD＝90°﹣42°＝48°，
∴∠1＝∠C+∠CAD＝45°+48°＝103°．
故答案为：103°．
15．（3分）图①是某条公交车线路的收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行了提高票价的听证会．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图①分别改画成图②和图③．你认为图②和图③两个图象中，反映乘客意见的是 　图③　．
【分析】结合点的意义可知反映乘客意见的是③．
【解答】解：∵乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏，
∴反映乘客意见的是图③，
故答案为：图③．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC于点C，且AC平分∠BAD，若△ADC的面积为10cm2，则△ABD的面积为 　20　cm2．
【分析】通过添加辅助线构造全等三角形，再根据面积的关系求解．
【解答】解：延长AD，BC相较于点E，过C作CF⊥AE于点F，过B作BH⊥AE于H，
∴BH∥CF，
∴△EFC∽△EHB，
∴＝，
∵AC⊥BC于点C，且AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠EAC，∠ACB＝∠ACE＝90°，
∵AC＝AC，
∴△ACB≌△ACE（ASA），
∴BC＝CE，
∴＝＝，即BH＝2CF，
∵S△ACD＝AD CF＝10cm2，
∴S△ABD＝＝AD 2CF＝20cm2，
故答案为：20．
三.解答题（共8小题，共72分。解答应写出过程）
17．（10分）计算：
（1）×﹣；
（2）（1﹣）2+．
【分析】（1）先算乘法，化为最简二次根式，再合并即可；
（2）先展开，化为最简二次根式，再合并即可；
【解答】解：（1）原式＝﹣
＝2﹣
＝；
（2）原式＝1﹣2+3+3
＝4+．
18．（7分）解下列方程组：
．
【分析】利用加减消元法进行求解即可．
【解答】解：，
由①得：3x+3y+2x﹣2y＝6，
整理得：5x+y＝6③，
③×2得：10x+2y＝12④，
②+④得：11x＝22，
解得x＝2，
把x＝2代入②得：2﹣2y＝10，
解得y＝﹣4，
故原方程组的解是：．
19．（6分）已知△ABC，在△ABC内求作一点M，使点M到△ABC的三边距离相等．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【分析】作出∠ABC和∠ACB的平分线，两角平分线的交点处就是M点位置．
【解答】解：如图：
点M即为所求．
20．（9分）2020年是特殊的一年，这一年我们经历了新型冠状病毒肺炎疫情，举国上下众志成城，共同抗疫．口罩成为人们防护防疫的必备武器．西安某药店有3000枚口罩准备出售，从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），绘制出如图的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图①中的m值为 　28　；
（2）统计的这组数据的中位数为 　1.5元　；众数为 　1.8元　；
（3）根据样本数据，估计这3000枚口罩中，价格为1.8元的口罩有多少枚？
【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出m%的值，从而可以得到m的值；
（2）根据条形统计图中的数据可以得到这组数据的众数和中位数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出价格为1.8元的口罩有多少枚．
【解答】解：（1）m%＝1﹣10%﹣22%﹣32%﹣8%＝28%，
即m的值是28，
故答案为：28；
（2）∵本次调查了5+11+14+16+4＝50枚，
中位数是：1.5元，众数是1.8元；
故答案为：1.5元，1.8元；
（3）3000×32%＝960（枚），
答：价格为1.8元的口罩有960枚．
21．（8分）如图：已知AD＝CB，CE⊥BD，AF⊥BD，垂足分别为点E、F，若DE＝BF，求证：AD∥BC．
【分析】利用已知条件证明△ADF≌△BCE，由全等三角形的性质即可得到∠D＝∠B，从而可求证．
【解答】证明：∵CE⊥BD，AF⊥BD，
∴∠AFD＝∠CEB＝90°，
∵DE＝BF，
∴DE+EF＝BF+EF，
即DF＝BE，
在Rt△ADF与Rt△BCE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△BCE（HL），
∴∠D＝∠B，
∴AD∥BC．
22．（10分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．该公司准备投入资金y万元，购买A，B两种机器人共10台，其中购进A型机器人x台．如表是某科技公司提供给快递公司有关两种型号的机器人分拣速度和单价的信息：
型号 分拣速度 单价
A 100件/分钟 6万元/台
B 80件/分钟 4万元/台
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若要使这10台机器人每分钟分拣快递件数总和为920件，该公司需要投入资金多少万元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以写出y关于x的函数关系式；
（2）根据题意可以得到相应的方程，从而可以求得x的值，进而求得该公司至少需要投入资金多少万．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝6x+4（10﹣x）＝2x+40，
即y关于x的函数关系式为y＝2x+40；
（2）∵要使这10台机器人每分钟分拣快递件数和为920件，
∴100x+80（10﹣x）＝920，
解得，x＝6，
∴y＝2x+40＝2×6+40＝52，
答：该公司需要投入资金52万元．
23．（10分）为了落实政府的“精准扶贫”政策，某县政府准备购买A、B两种类型的化肥，通过市场调研得知：购买2袋A种化肥和3袋B种化肥共需560元；购买3袋A种化肥比购买2袋B种化肥多用60元．
（1）每袋A种化肥和B种化肥各多少元？
（2）现某村组需要购买A，B两种类型的化肥共30袋，设购买A种化肥a袋，购买A种化肥和B种化肥的总费用为w元，如果购买A种化肥的数量不超过15袋，求购买这批化肥的最少费用．
【分析】（1）根据题意分别利用“购买2袋A种化肥和3袋B种化肥共需560元；购买3袋A种化肥比购买2袋B种化肥多用60元”，得出方程组，进而得出答案；
（2）根据一次函数增减性，进而得出答案．
【解答】解：（1）设每袋A种化肥x元，B种化肥y元，根据题意可得：
，
解得：，
答：每袋A种化肥100元，B种化肥120元；
（2）设购买A种化肥a袋，则购买B种化肥（30﹣a）袋，
根据题意可得：w＝100a+120（30﹣a）
＝﹣20a+3600，
∵a≤15，
∴当a＝15时，w最小，
故w最小值＝﹣20×15+3600＝3300（元），
答：购买这批化肥的最少费用为3300元．
24．（12分）若一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么这条直线叫做该平面图形的“和谐线”，其中“和谐线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“和谐线段”．
问题探究：
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，画出经过点A的△ABC的“和谐线段”；
（2）如图②，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，请求出分别经过A点，C点的△ABC的两条“和谐线段”的长；
问题解决：
（3）如图③，四边形ABCD是某市规划中的商业区示意图．其中∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝2，CD＝10，现计划在商业区内修一条笔直的单行道MN（小道的宽度不计），入口M在BC上，出口N在CD上，使得MN为四边形ABCD的“和谐线段”，在道路一侧△MNC区域规划为公园，为了美观要求△MNC是以CM为腰的等腰三角形，请通过计算说明设计师的想法能否实现？若可以，请确定点M的位置（即求CM的长）．
【分析】（1）根据角平分线的作法作出∠BAC的角平分线便可；
（2）根据“和谐线段”的定义得，分别经过A点，C点的△ABC的两条“和谐线段”都是△ABC的中线，由勾股定理求得结果便可；
（3）过点A作AE∥BC，与CD交于点E，过点E作EF⊥BC于点F，在直角三角形CEF中求得CF，CE，在直角三角形ADE中求得AD、AE，再根据三角形与梯形的面积公式，由S四边形ABCD＝S△ADE+S梯形ABCE求得四边形ABCD的面，当△MNC是以CM为腰的等腰三角形时，△MNC为等边三角形，设CM＝x，则CN＝x，过点N作NK⊥CM于点K，用x表示NK，进而用x表示△MNC的面积，根据MN为四边形ABCD的“和谐线段”列出方程求得x便可．
【解答】解：（1）根据题意得，线段AD为所求作的线段；
（2）∵AD是过A点的“和谐线段”，
∴S△ABD＝S△ACD，即，
∴BD＝CD＝BC＝3，
∴AD＝，
∵CE是过A点的“和谐线段”，
∴S△ACE＝S△BCE，即，
∴AE＝BE＝AB＝4，
∴CE＝，
∴经过A点，C点的△ABC的两条“和谐线段”的长分别为，2；
（3）过点A作AE∥BC，与CD交于点E，过点E作EF⊥BC于点F，如图，
∵∠ABC＝90°，
∠BAE＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形ABFE为矩形，
∴AB＝EF＝2，
∵∠BAD＝120°，∠ADC＝90°
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝30°，
∠C＝360°﹣360°﹣∠B﹣∠BAD﹣∠D＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∴CE＝2CF，
∵CE2﹣CF2＝EF2，
∴4CF2﹣CF2＝22，
∴CF＝，CE＝，
∴DE＝CD﹣CE＝10﹣，
∵∠DAE＝30°，
∴BF＝AE＝2DE＝20﹣，
AD＝＝10﹣4，
∴BC＝BF+CF＝20﹣+＝20﹣2，
∴S四边形ABCD＝S△ADE+S梯形ABCE＝＝＝48，
∵△MNC是以CM为腰的等腰三角形，∠C＝60°，
∴△CMN为等边三角形，
设CM＝x，则CN＝x，
过点N作NK⊥CM于点K，则CK＝CM＝x，
∴NK＝x，
∴，
∵MN为四边形ABCD的“和谐线段”，
∴，
即，
解得x＝﹣4（舍）或x＝4，
∴CM＝4．
故设计师的想法能实现，M到C点的距离为4．

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