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1.3.2 带电粒子在有界磁场中的运动
1.电荷的匀强磁场中只受洛伦兹力时的运动形式
（2）当υ⊥B 时，洛仑兹力提供向心力，做匀速圆周运动；
（1）当υ∥B时，洛仑兹力为零，做匀速直线运动；
（3）当υ与B成θ角时，洛仑兹力提供向心力，做匀速速率螺旋式前进；
2、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力
（1）轨道半径：
（2）运动周期：
知识回顾
1、轨道半径：
2、周期和时间：
一、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动的分析
半径R是入射点到圆心间距离，准确判断入射点和圆心位置是关键
θ是轨迹所对应到圆心角，准确作出轨迹是关键
①定圆心②求半径③定圆心角④求时间
3、基本思路：
定圆心思路：圆心一定在两条半径的交点上
二、带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动
（1）已知入射点和出射点及初末速度v1和v2方向
v1
M
N
v2
θ
O
（2）已知入射点和出射点及初速度v1方向
O
M
N
v1
定圆心思路：圆心一定在半径和弦的中垂线的交点上
1、定圆心思路的两种情况
2、求半径的两种情况
（1）公式法：
（2）几何法（解直角三角形法）：
①已知L和圆心角θ，则R=L/sinθ
②已知L和d,则R2=L2+(R-d)2
3、求运动时间的两种情况
（2）周期法：
（1）速度法
圆心角θ、速度偏转角φ、弦切角α关系
①θ<180°时， θ=φ=2α
②θ<180°时， θ= φ=2 π- 2α
【练习】质量为m，带电量为－q，不计重力的粒子，从x 轴上的 P (a，0)点以速度大小为 v，沿与 x 轴正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于 y 轴射出第一象限。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B；
（2）带电粒子穿过第一象限所用的时间。
x
y
v
60°
（1）轨道半径求解方法：
①公式法：
②几何法：
（2）运动时间求解方法：
①速度法：
②周期法：
（一）直线单边界：
2、对称性：从同一直线边界射入然后再射出时，速度与边界的夹角（弦切角）相等。若出射点到入射点之间距离为d，则
二、三类边界磁场中的轨迹特点
d=2R
d=2Rsinθ
d=2Rsinθ
1、带电粒子垂直、斜交边界进入磁场
【例1】水平直线MN上方有垂直纸面向里的范围足够大的有界匀强磁场,磁感应强度为B,正、负电子同时从MN边界O点以与MN成45°角的相同速率v射入该磁场区域(电子的质量为m,电荷量为e),正、负电子间的相互作用忽略不计,经一段时间后从边界MN射出。求:
(1)它们从磁场中射出时,出射点间的距离x;
(2)它们从磁场中射出的时间差Δt。
O1
O2
（1）定入射点、出射点和圆心（两半径的交点）
（2）求半径
（3）画轨迹（定圆心角）
（4）求时间
基本思路：
【变式训练】如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个电荷量绝对值相同、质量相同的正负粒子（不计重力），从O点以相同的速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则正负粒子在磁场中（　 ）　　
A.运动时间相同
B.运动轨迹的半径相同
C.重新回到边界时的速度相同
D.重新回到边界时与O点的距离相等
BCD
（二）平行边界（双边有界）：存在临界条件。
带电粒子平行、垂直、斜交边界进入磁场，恰好从另一边界出射时
d=R1(1-cosθ) 或 d=2R2
d=R
d=R(1+cosθ)
d=R(1-cosθ)
【例1】如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，其磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线.现有质量为m、电荷量为q的带负电粒子沿图示方向垂直磁场方向射入，要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值是（　 ）
　　A.
　　B.
　　C.
　　D.
D
【变式训练】(多选)如图所示,带正电的A粒子和B粒子先后以同样大小的速度从宽度为d的有界匀强磁场的边界上的O点分别以30°和60°(与边界的夹角)射入磁场,又都恰好不从另一边界飞出,则下列说法中正确的是(　　)
A.A、B两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比是?
B.A、B两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比是?
C.A、B两粒子?之比是?
D.A、B两粒子?之比是?
BD
【变式训练】如图所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场．其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直；穿过b点的粒子速度v2与MN成60°角，设粒子从S到a、b所需时间分别为t1和t2，则t1∶t2为(重力不计) (　　)
A．1∶3 B．4∶3 C．1∶1 D．3∶2
　D
(三)圆形边界：(进出磁场具有对称性)
(1)沿边界圆半径方向射入必沿边界圆半径方向射出，即径向入射径向出射。
②圆心角互补： 2θ+2 α= π,即θ+α= π/2
③半径关系：r=R/tanθ=Rtanα
④运动时间:t= 2θT/2 π= θT/ π
①轨迹圆的半径和切线恰好是边界圆的切线和半径
（3）非径向入射的距离和时间推论：
①若r 轨迹②若r 轨迹>R边界，当边界圆直径恰好是的轨迹一条弦，此时出射点离入射点最远，且Xmax=2R
且带电粒子轨迹最长，偏转角最大，运动时间最长。
(2)不沿径向射入时，速度方向与对应点半径的夹角相等（等角进出）
o’
o
?
【例1】一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示。图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角。当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒。不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为(　　)
【变式训练】在真空中半径 r =3×10-2m的圆形区域内有一匀强磁场，磁场的磁感应强度B=0.2 T，方向如图所示，一个带正电的粒子以v0=1×106 m/s的初速度从磁场边界上的a点沿直径ab射入磁场，已知该粒子的比荷为　　　　　　 ，不计粒子重力. 　
（1）求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径.
（2）若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（用v0与Oa的夹角θ表示）？最大偏转角多大？
当粒子以与ab夹角为37°斜向右上方入射时，粒子飞离磁场时有最大偏转角，最大值为74°.
【例2】一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于x轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域，为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计
（2）若沿各方向射入时，
①最大半径：
②最大速率：
（1）若沿区域圆半径方向射入时，
①最大半径：
②最大速率：
带电粒子从内圆径向射入环形匀强磁场中，恰好不能从磁场中出射时：
　　
　　　　　　　　　　
(四)环形边界：
?????????????????????????????????????
?
【例1】真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图7所示.一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场.已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力.为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（ ）
C
【变式训练】如图4所示，半径分别为R、2R的两个同心圆，圆心为O，大圆和小圆之间区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，其余区域无磁场，一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P点沿PO 方向以速度v1射入磁场，其运动轨迹如图所示，图中轨迹所对的圆心角为120°；若将该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2，不论其入射方向如何，都不可能射入小圆内部区域，则 至少为（ ）
A
1、临界问题求解思路：根据题中“恰好”“最长”等,运用动态思维,寻找临界点,确定临界状态,画好轨迹,定好圆心,建立几何关系。
三、带电粒子运动的临界和极值问题
2、寻找临界点常用结论：
（1）刚好穿出磁场边界的条件：带电粒子轨迹与边界相切或相交。
（2）有界磁场中运动最长时间:
①v大小一定时， 圆心角最大（弧或弦最长），运动时间最长。
②v大小变化时， 圆心角最大（弧或弦不一定最长），运动时间最长
（3）到入射点最远距离：
①和边界相交时，离出射点最远距离是以出射点为端点的直径或半径。
②和边界相切时，离出射点最远的距离是以出射点和切点为端点的弦长。
【例1】(多选)如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，三个质量和电荷量相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，其运动轨迹如图。若带电粒子只受磁场力的作用。则下列说法正确的是(　　)
A．a粒子速率最小
B．c粒子速率最小
C．a粒子在磁场中运动时间最长
D．它们做圆周运动的周期TaAC 　
【变式训练】（多选）如图所示，在半径为R的圆形区域内有匀强磁场．在边长为2R的正方形区域里也有匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大小相同．两个相同的带电粒子以相同的速率分别从M、N两点射入匀强磁场．在M点射入的带电粒子，其速度方向指向圆心；在N点射入的带电粒子，速度方向与边界垂直，且N点为正方形边长的中点，则下列说法正确的是(　 　)
A．带电粒子在磁场中飞行的时间可能相同
B．从M点射入的带电粒子可能先飞出磁场
C．从N点射入的带电粒子可能先飞出磁场
D．从N点射入的带电粒子不可能比M点射入的带电粒子先飞出磁场
ABD
（1）平移法：当带电粒子入射速度大小方向都相同，但入射点在某条直线上，将轨迹圆沿该直线平移，从而找出相交或相切的临界状态。
（2）平移轨迹圆圆心：在入射点连线上或和入射点连线相平行
方法一、平移法
3、常见寻找临界状态的方法：
（1）平移法：（2）放缩法：（3）旋转法（4）磁聚焦和磁发散：
4、轨迹圆的动态变化分析：
B
（3）带电粒子打中的边界区域：最近相交点和最远相交点之间
【例1】如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。大量质量为m、电荷量为十q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A.粒子的入射速度为????????????????????????
B.粒子的入射速度为????????????????????
C.粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为????????????
D.从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间????????????????????
?
BC
三角形有界磁场中两种临界状态：
（1）相切：
（2）相交：
-q
P
+q
+q
Q
P
Q
Q
方法二、放缩法
（1）放缩法：入射速度方向不变，速度大小变化时，可以让轨迹圆从小到大逐渐增大，从而发现相交或相切的临界状态。
（2）放缩轨迹圆的圆心：轨迹圆圆心在和初速度垂直的直线上
（3）带电粒子打中的边界区域：为切点和不偏转相交点之间的距离
1、平行直线边界中放缩
P
P
o
B
d
a
b
c
θ
B
2、矩形边界中放缩
（1）带电粒子打中的边界区域：为切点和相交点之间的距离
3、三角形边界中放缩
×
×
（1）带电粒子打中的边界区域：为切点和相交点之间的距离
【例1】如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)以速度v从AC边的中点O垂直AC边射入磁场区域.若三角形的两直角边长均为2L，要使粒子从CD边射出，则v的取值范围为（ ）
C
【变式训练】如图所示,△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形,比荷为 的电子以速度v0从A点沿AB边入射,欲使电子经过BC边,磁感应强度B的取值为?(　　)
A.B>?　??? ?B.BC.B>?　????D.BD
方法三、旋转法
●
●
●
●
●
●
●
●
（1）旋转法：入射速度大小不变，速度方向连续变化时，轨迹圆绕入射点旋转.
（2）轨迹圆圆心轨迹：以入射点为圆心半径为轨迹圆半径的圆周。
（2）粒子能够达到的区域：以入射点为圆心半径为轨迹圆直径的圆周平面。
带电粒子打中的边界区域：为切点和相交点之间的距离
【例1】放射源在荧光屏高h=????????????????处向各方向释放出速度大小为v的正粒子，电荷量为q，质量为m，求荧光屏上被粒子打中的长度L为多大？
?
×
×
【例2】如图,在一水平放置的平板MN上方有匀强磁场,磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里,许多质量为m,带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向,由小孔O射入磁场区域,不计重力,不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域,其中R=mv/qB。哪个图是正确的? ( )
A
M
N
B
O
2R
R
2R
M
N
O
2R
R
2R
M
N
O
2R
2R
2R
M
N
O
R
2R
2R
M
N
O
D.
A.
B.
C.
方法四、磁聚焦和磁发散
（1）磁聚焦：若相同的带电粒子束，以相同速度，平行进入圆边界磁场，且R边界=r轨迹，则所有带电粒子必定都从与初速度平行的边界圆的切线的切点出射。
?
?
（1）磁发散：若相同的带电粒子束，从同一位置以相同速率，沿不同方向进入圆边界磁场，且R边界=r轨迹，则所有带电粒子必定都从与过入射点的边界圆直径垂直的方向平行出射。
o
o
o
【例1】（多选）如图所示，长方形abcd的长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e 分别是ad、bc的中点，以e为圆心，eb为半径的圆弧和以O为圆心，Od 为半径的圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（eb边界上无磁场），磁感应强度B=0.25T.一群不计重力、质量m=3×10~7kg、电荷量q=2×10-2C的带正电粒子以速度v=5×102m/s 沿垂直于ad且垂直于磁场方向射入磁场区域，粒子间的相互作用不计，则（ ）
A.从Od边射入的粒子，出射点全部分布在ab边
B.从 aO边射入的粒子，出射时全部通过b点
C.从Od边射入的粒子，出射时全部通过b点
D.从 aO边射入的粒子，出射点分布在 ab 边
BC
【例1】如图所示,宽度为d的有界匀强磁场,磁感应强度为B,MM'和NN'是它的两条边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN'射出,则粒子入射速率v的最大值可能是多少?
考向一　洛伦兹力方向不确定形成多解
四、带电粒子在磁场中运动的多解问题
【例2】(多选)一质量为m、电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷做匀速圆周运动,若磁场方向垂直于它的运动平面,且作用在负电荷上的电场力恰好是磁场力的三倍,则负电荷做圆周运动的角速度可能是?(　　 )
A.?　???? B.?
C.?　? ???D.?
AC
【例1】(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场,如图所示,磁感应强度为B,板间距离也为l,极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可采用的办法是?(　　)
A.使粒子的速度v B.使粒子的速度v >?
C.使粒子的速度v >?
考向二　临界状态不唯一形成多解
D.使粒子的速度v满足?AB
【例2】如图甲所示,M、N为竖直放置彼此平行的两块平板,板间距离为d,两板中央各有一个小孔O、O'正对,在两板间有垂直于纸面方向的磁场,磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q,正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0,不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响,不计离子所受重力。求:
(1)磁感应强度B0的大小。
(2)若正离子从O'孔垂直于N板射出磁场,正离子射入磁场速度v0的可能值。
考向三　运动的周期性形成多解

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