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2022-2023(上）沈阳市五校协作体高三联考
数学试卷
考试时间：120 分钟 考试分数：150 分
试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷选择题（1－12 题，共 60 分）和第Ⅱ卷(非选择题，13－22
题，共 90 分)。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。作答时，将
答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1、已知集合 ，则（ ）
. . . .
2、设 ，若复数 （其中 为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则
（ ）
. . . .
3、已知 ，则 （ ）
. . . .
4、设 则 的大小关系为（ ）
. . . .
5、攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑。如图所示的带有攒
尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为 ，侧面展开图是圆心角为 的扇形，
则该屋顶的体积为（ ）
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. . . .
6、已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 （ ）
. . . .
7、已知直线 既是曲线 的切线，又是曲线 的切线，则
（ ）
. . . .
8、已知 ，若函数
有且只有两个零点，则实数 的取值范围为（ ）
. .
. .
二、多选题（每题 5分，共 20 分，全部选对得 5 分，漏选得 2 分，错选得 0 分）
9、数列 的首项为 ，且 ， 是数列 的前 项和，则下列结论正
确的是（ ）
. .数列 是等比数列 . .
10、已知抛物线 的焦点为 ， 是抛物线上两动点，且 的最小
值为 ， 是线段 的中点， 是平面内一定点，则下列结论正确的是（ ）
. .若 ，则 到 轴距离为
.若 ，则 . 的最小值为
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11、设函数 ，则下列结论正确的是（ ）
.若 ，则
.存在 ，使得 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于原点对
称
.若 在 上有且仅有 个零点，则 的取值范围为
. 在 上单调递增
12、如图，在棱长为 的正方体 中， 分别是
的中点，则下列结论正确的是（ ）
. 四点共面 .异面直线 与 所成角的余弦值为
.平面 截正方体所得截面为等腰梯形 .三棱锥 的体积为
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
三、填空题（每题 5分，共 20 分）
13、若向量 的夹角为 ， ，则 ___________。
14、已 知 函 数 的 零 点 恰 好 是 的 极 值 点 ， 则
_________________。
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15、在平面直角坐标系 中，点 ，直线 -1）
，动点 满足 ，则动点 的轨迹 的方程为________，
若 的对称中心为 与 交于 两点，则 面积的最大值为______．
16、已知函数 ，若存在实数 ，使得关于 的方程 恰
有三个不同的实数根，则 的取值范围是__________________。
四、解答题（共 70 分）
17、（10 分)已知数列 的前 项和为 ， ,现有如下三个条件分别为
条件① 条件② 条件③
请从上述三个条件中选择能够确定一个数列的两个条件，并完成解答。
你选择的条件是______和______。
(1)求数列 的通项公式;
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
18、(12 分）设 的内角 的对边为 ，已知 的面积为 ，
且 。
(1)求 ;
(2)若 ,求 的最小值，并判断此时 的形状。
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19、（12 分）据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进
入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到
优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为 ，若该考生报考
乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为 ， ， ，其中 ．
(1)若 ，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀
的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数
的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求 的范围．
20、（12 分）如图 1，矩形 中， ， ， 为 上一点且 ．现
将 沿着 折起，使得 ，得到的图形如图 2．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
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21、（12 分）已知椭圆 : 的离心率为 ，且点 在椭圆上。
(1) 求椭圆 的标准方程;
(2) 如图，椭圆 的左、右顶点分别为 ，点 是椭圆上异于 的不同两点，
直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证：直线 过定点，并求出
此定点坐标。
22、（12 分）已知函数 ， .
(1)求函数 的极值；
(2)当 x>0时，证明：
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2022-2023(上）沈阳市五校协作体高三联考
数学 答案
考试时间：120 分钟 考试分数：150 分
一．单项选择题
1.B 2.C 3.D 4.C 5.D 6.B 7.D 8.A
二．多项选择题
9.AB 10.ABD 11.BCD 12.BCD
三．填空题
1
13.2√7 14.-1 15.( 1)2 + 2 = 1; 16.( 2,1)
2
四．解答题
17.【解析】（1）选①②时：
【解法 1】由 +1 = 2可知数列{ }是以公差 = 2的等差数列 ，
又 5 = 5得 5 = 1 + (5 1) ,
得 1 = 3,
故 = 3 + 2( 1),即 = 2 5 4 分
【解法 2】由 +1 = 2可知数列{ }是以公差 = 2的等差数列，
又 5 = 5得 = ( 5) × ,
则 = 5+ ( 5) × 2，
即 = 2 5 4 分
选②③时：
由 +1 = 2可知数列{ }是以公差 = 2的等差数列，
由 2 = 4可知 1 + 2=-4,即2 1 + 2 = 4
得 1 = 3，
故 = 3 + 2( 1)，即 = 2 5 4 分
【备注】选①③这两个条件无法确定数列，不给分。
1 1 1 1 1
（2） = = = ( ) 6 分 +1 (2 5) (2 3) 2 2 5 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= [( )+( ) + ( )+……+( )] 8 分 2 3 1 1 1 1 3 2 5 2 3
1 1 1
= ( ) 9 分
2 3 2 3
1 1
=
6 4 6

所以 = 10 分 6 +9
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18.【解析】（1）（法 1）由正弦定理， = = ，
sin sin sin
得（2 sin sin ）cos =sin cos , 1分
即 2sin cos = cos sin +sin cos ，∴2sin cos = sin( + ) 2分
∵ + + = ，∴ sin( + ) = sin ，即 2sin cos = sin 3分
1
∵ 为三角形内角，故sin ≠ 0 ∴ cos = ， 5分
2
∵ 0 < < ，

∴ = 6分
3
2+ 2 2 2+ 2 2
（法 2）由余弦定理代入得(2 ) = 1分
2 2
化简得 3 + 2 2 2 = 0 2分
∵ ≠ 0, ∴ 2 + 2 2 = 3分
2+ 2 2 1
所以cos = = = 5分
2 2 2
∵ 0 < < ，

∴ = 6分
3
(2)（法一）由（1）得 S
1 √3 3√3
△ABC = sin = = ,解得 = 6， 7分 2 4 2
2 1 2
∵→ = → + → = → + (→ → ) = → + → ， 8分
3 3 3
√ 1 2
2 1 2 4 4 1
∴ |→ |= ( → + → ) = √ → + → → + → 2 = √ 2 + 4 2 + 2 ≥
3 3 9 9 9 3
1 1
√4 + 2 = × 6 = 2 , 9分
3 3
当且仅当 = 2 , |→ |取得最小值 2，此时 = √3, = 2√3 10分

中，由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ,得 = √ 2 + 2 2 cos =3 11分
∵ 2 + 2 = 2 , ∴ 是直角三角形 12分
1 √3 3√3
（法二）由（1）得 S△ABC= sin = = ,解得 = 6， 7分 2 4 2
2 1
∵→ = 2 → ， ∴ = , =
3 3
∵ ∠ + ∠ = , ∴ cos∠ + cos∠ = 0
2 2 2
| |2+( ) 2 | |2+( ) 2
结合余弦定理可得 3 +
3
2 = 0 8分
2× ×| | 2× ×| |
3 3
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2 2化简得| | = 2
1 2 2+ 2
3 3 9
中，由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ,得 2 = 2 + 2
4 1 4 2 1 4
∴ | |=√ 2 + 2 + ≥ √2 + = 2 9分
9 9 3 3 3 3
2
当且仅当 = 时取等号，即|→ |取得最小值 2，
3 3
又 = 6，所以 = √3， = 2√3， 10分
此时 = √ 2 + 2 = 3 11分
∵ 2 + 2 = 2，∴ 是直角三角形。 12分
19.【解析】（1）设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件A
2
1 2 4
P (A) = C13 =
3 3 9 ； 2分
该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件 B ，则
1 3 2 5 2 2 5 3 1 41
P (B) = + + = ． 4分
6 5 3 6 5 3 6 5 3 90
（2）该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为 X ，
1 1
依题意， X ~ B 3, ，则 E (X ) = 3 =1 , 6分
3 3
该同学报考乙大学达到优秀科目的个数设为Y ，
随机变量Y 的可能取值为：0，1，2，3．
5 3 1 n 1 3 5 2 5 3 13+ 2n
P (Y = 0) = (1 n) = , P (Y =1) = (1 n)+ (1 n)+ n = ，
6 5 2 6 5 6 5 6 5 30
5 2 1 3 1 2 2+11n 1 2 2n n
P (Y = 2) = n + n + (1 n) = ，P (Y = 3) = n = = ，
6 5 6 5 6 5 30 6 5 30 15
随机变量Y 的分布列：
Y 0 1 2 3
1 n 13+ 2n 2 +11n n
P
2 30 30 15
1 n 13+ 2n 2+11n n 17 +30n
E (Y ) = 0 +1 + 2 + 3 = ， 10分
2 30 30 15 30
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17 + 30n
因为该考生更希望进入甲大学的面试，则E (Y ) E (X )，即 1，解得
30
13
0 n ，
30
13
所以n的范围为：0 n . 12分
30
20.【解析】（1）∵四边形PABC为矩形， = 3√3， = √6且CD = 2DP，
2 2
∴ BD = BC2 +CD2 = ( 6 ) + (2 3) = 3 2 1分
2 2
∵ PD ⊥ BD，∴ PB = BD2 + PD2 = (3 2 ) + ( 3) = 21 2分
∵ AB = 3 3， PA = 6 ，∴PB2 + PA2 = AB2 ，∴PA ⊥ PB 3分
∵四边形PABC为矩形，∴ PA⊥ PD 4分
∵ PB PD = P， PB, PD 平面 PBD ，∴ PA ⊥平面 PBD 5分
PD PA
（2）过 P 作 PE ⊥ AD，交 AD 于 E ，∵PD = 3 ， PA = 6 ，∴PE = = 2 ，
AD
∴DE = PD2 PE2 =1
由（1）知 PA ⊥平面 PBD ， BD 平面 PBD ，所以PA⊥ BD ，
由 PD ⊥ BD, PD AP = P得 BD ⊥平面PAD ， BD 平面 ABD，
∴平面 ABD ⊥平面 PAD ，
又 PE ⊥ AD， PE 平面 PAD ，∴ PE ⊥平面 ABD， 7分
故以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，
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∴D(0,0,0)， A(0,3,0)， B (3 2,0,0)， P (0,1, 2 )
平面 ABD的一个法向量为m = (0,0,1)
n AB = 0
设平面 PAB的一个法向量为 n = (x, y, z)，则 ，
n AP = 0
3 2x 3y = 0
∵ AB = (3 2, 3,0)， AP = (0, 2, 2 )，∴ ，
2y + 2z = 0
令 x =1，得 y = 2 ， z = 2 ，∴ n = (1, 2,2) 10分
2 2 7
∴ cos m,n = =
7 7
2 7
∵二面角 P AB D为锐二面角，∴二面角 P AB D的余弦值为 ． 12分
7
【备注】其他建系方式或立体几何方法酌情给分。
21. 【解析】
1 2 2 1 2 3
（1）由已知得 = ,所以 2=1 =1 ( ) = , 1 分 2 2 2 4
3 1 9
又点(1， )在该椭圆上，所以 2+ 2 = 1, 2 分 2 4
所以 2= 4, 2 = 3 3 分
2 2
所以椭圆 C的标准方程为 + = 1 4 分
4 3
(2) 由于 BN的斜率为 k,设直线 BN的方程为 = ( 2), 5 分
= ( 2)
联立方程组 { 2 2 ,整理得(4 2 + 3) 2 16 2 +16 2 12 = 0, 6 分
+ = 1
4 3
16 2 12 8 2 6
所以 = 4 2 ,所以 +3 = ， 4 2+3
12 8 2 6 12
从而 = 2 ,即 ( 2 ， 2 ), 7 分 4 +3 4 +3 4 +3
同理可得：由于 的斜率为 3 ,则直线 的方程为 = 3 ( + 2),
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= 3 ( + 2)
联立方程组，得{ 2 2 ，可得(36 2 + 3) 2 + 144 2 + 144 2 12 = 0
+ = 1
4 3
2
2 2 2 2 2 48 4 24
2+2
即(12 + 1) + 48 + 48 4 = 0,所以 = 2 ，所以 12 +1 = ， 12 2+1
12 24 2+2 12
从而 = 2 ,即 ( 2 ， 2 ), 8 分 12 +1 12 +1 12 +1
12 12
1 2 ( 2 ) 4
当 ≠ ± 时， = 12 +1 4 +3 2 = , 9 分 2 24 +2 8 2 6 4 2+1
12 2

+1 4 2+3
12 4 8 2 6
所以直线 MN为 2 = 2 ( ) 4 +3 4 +1 4 2+3
4
整理得 = ( + 1) 10 分
4 2+1
即直线 MN过定点 P( 1，0)
1
当 = ，即 = ± 时，直线 的方程为 = 1,也过点 ( 1，0) 11 分 2
综上可得，直线 过定点 P( 1，0) 12 分
【注:9-12分段可按下面方法表达】
1
当 = ，即 = ± 时，直线 的方程为 = 1,过点 ( 1，0) 9 分 2
12
1 2 0
当 ≠ ± 时， = 12 +1
12 4
2 = 2 = , 10 分 2 24 +2 ( 1) 12 +3 4 2+1
12 2+1
12
0
4
2+3 12 4
= = = ， 8 2 6 2 2
2 ( 1)
12 3 4 +1
4 +3
即 = ，所以直线 过定点 P( 1，0)， 11 分
综上可得，直线 过定点 P( 1，0) 12 分
22.【解析】
ln x 1 ln x
(1) g (x) = + 2定义域为 (0,+ ), g (x) = 2 ， 1分 x x
1 ln x
则 x (0,e)时， g (x) = 0 ， g (x)在 (0,e)单调递增， 2分
x2
1 ln x
x (e,+ )时， g (x) = 0 ， g (x)在 (e,+ )2 单调递减 3分 x
1
故函数 g (x)的极大值为 g (e) = + 2，无极小值。 4分
e
(2) 为了证明 f (x) g (x)，只需证明 xex+1 2 ln x + x（ x 0），
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即只需证明 xex+1 ln x x 2 0 .
h(x) = xex+1令 ln x x 2(x 0)
1+ x
h (x) = (x +1)ex+1 = (x +1) ex+1
1
, 6分
x x
1
令 (x) = ex+1 ，则 (x)在 (0,+ )上单调递增， 7分
x
11
1
而 = e10 10 e
2 10 0, (1) = e2 1 0 ，
10
1
故 (x)在 (0,+ )上存在唯一零点 x0 ，且 x0 ,1 , 9分
10
x (0, x0 )时， (x) 0,h (x) 0，h(x)在 x (0, x0 )上单调递减；
x (x0,+ )时， (x) 0,h (x) 0，h(x)在 x (x0,+ )上单调递增, 10分
x +1 x +1 1
故 h(x) = h(x 00 ) = x0e ln x0 x0 2，又因为 (x
0
0 ) = 0即e = ， min x0
所以 h(x0 ) = ln x0 x0 1= (x0 +1) x0 1= 0，从而h(x) h(x0 ) = 0， 11分
即 xex+1 ln x x 2 0 ，所以 f (x) g (x) 12分
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