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天津大学附属中学 2022-2023学年第一学期高三年级期末考试
数学学科试卷
2022 年 12 月 26 日
注意事项： 一、本试卷分为第 I卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考
试用时 120 分钟。
二、答卷前请务必将个人信息填写在答题卡和答题纸密封线内的相应位置。
三、选择题答案请用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂；非选择题请用蓝、黑色墨水
的钢笔或签字笔将答案填写在答题卡的相应位置。在试卷或其它位置作答无效！
项目 第 I 卷 第 II 卷 总分
成绩
一、单选题（本大题共 9小题，共 45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合 t 1 ， t t h ，则 ( )
A. 1 B. C. D.
. 设 ，则“ 5 t h”是“t 1t t 1”的 ( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
. 为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了该地区 1hhh
名学生每天进行体育运动的时间，按照时长单位：分钟分成 组：第一组 h h ，第二组
h 5h ，第三组 5h h ，第四组 h h ，第五组 h h ，第六组 h h ，经整理得到如图
的频率分布直方图，则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第 5百分位数约为
( )
A. .5分钟 B. 5.5分钟 C. .5分钟 D. 5h分钟
. 已知 log h.h.5h.， h.5 ， h.h.5，则 ，，的大小关系为 ( )
A. B. C. D.
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5. 1函数 sin的大致图象可能是 ( )
A. B.
C. D.
. 若所有棱长都是 的直三棱柱 111的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面
积是 ( )
A. 1 B. 1 C. 1 D.
. 已知 sin t h t 图象相邻的两条对称轴的距离为 ，将函数
的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于 轴对称，给出下列命题：
函数 的图象关于直线 对称；
函数 在 上单调递增；
函数 的图象关于点 h 对称．
其中正确的命题个数为 ( )
A. h B. 1 C. D.

8. 双曲线 1 h的离心率为 ，有一个焦点与抛物线
的焦点重合，则
的值为( )
A. 1 1 B. C. D.
9. 已知log ，log ，则log 5 ) )
A. t B. tt C. t D. tt1 tt1 tt1 t1
二、填空题（本大题共 6小题，共 30.0分）
10. 已知复数 满足 1 t t1 t t，则 ．__________
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11. 在 的展开式中，则
的系数是__．
12. 过点 1 h ，倾斜角为 的直线 交圆 1
t 于 两点，则弦 的长为
_______
13. 甲从装有除颜色外完全相同的 个白球和 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸
取 次，记摸得白球个数为 .若 5，则 ， ．
14. 当 h且 1时，函数 log 1 t 1的图像恒过点 ，若点 在直线
t h上，则 t 的最小值为______。
15. 如图，在等腰 中， ，，与，分别是 ，的三等分点，且
1，则 ， ．
三、解答题（本大题共 5小题，共 75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题 15 分
在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，， ， ， ．
Ⅰ求 的值；
Ⅱ求 ；
Ⅲ求 sin 的值．
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17. 本小题 15 分
如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ，
， 5，点 为 的中点．
Ⅰ求证： 平面 ；
Ⅱ求平面 与平面 夹角的正弦值；
Ⅲ为线段 的中点，求直线 与平面 所成的角正弦值．
18. （本小题 15 分

如图，在平面直角坐标系 t中，已知椭圆 ： 长轴是短轴的 倍，
t 1 h
点 1在椭圆 上．
1求椭圆 的方程；
设直线 与圆 t： t 相切，切点在第一象限，与椭圆 相交于 ，两点．
求证：以 为直径的圆过原点 t；
若 t的面积为 ，求直线 的方程．
5
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19. 本小题 15 分
已知等差数列前 项和为 t，数列是等比数列，1 ，1 1， t 1h，
5 ．
1求数列和的通项公式；
为奇数
若 ，设数列的前 项和为，求．
为偶数
20. 本小题 15 分
已知函数 ．
Ⅰ求曲线 在点1 1处的切线方程；
Ⅱ求 的单调区间；
1Ⅲ若对于任意 h，都有 1，求实数 的取值范围．
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