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学案8 力的合成与分解
一、概念规律题组
1．关于合力的下列说法，正确的是(　　)
A．几个力的合力就是这几个力的代数和
B．几个力的合力一定大于这几个力中的任何一个力
C．几个力的合力可能小于这几个力中最小的力
D．几个力的合力一定大于这几个力中最大的力
2．关于两个分力F1、F2及它们的合力F的说法，下述不正确的是(　　)
A．合力F一定与F1、F2共同作用产生的效果相同
B．两力F1、F2不一定是同种性质的力
C．两力F1、F2一定是同一个物体受的力
D．两力F1、F2与F是物体同时受到的三个力
3．如图1所示，物体放在光滑斜面上，所受重力为G，斜面支持力为FN，设使物体沿斜面下滑的力是F1，则下列说法中错误的是(　　)
图1
A．G是可以分解为F1和对斜面的压力F2
B．F1是G沿斜面向下的分力
C．F1是FN和G的合力
D．物体受到G、FN的作用
4．图2是给墙壁粉刷涂料用的“涂料滚”的示意图．使用时，用撑竿推着粘有涂料的涂料滚沿墙壁上下缓缓滚动，把
图2
涂料均匀地粉刷到墙上．撑竿的重量和墙壁的摩擦均不计，而且撑竿足够长，粉刷工人站在离墙壁一定距离处缓缓上推涂料滚，关于该过程中撑竿对涂料滚的推力F1，涂料滚对墙壁的压力F2，以下说法中正确的是(　　)
A．F1增大，F2减小 B．F1减小，F2增大
C．F1、F2均增大 D．F1、F2均减小
二、思想方法题组
图3
5．水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B.一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，如图3所示，则滑轮受到绳子的作用力为(g取10 N/kg)(　　)
A．50 N
B．50 N
C．100 N
D．100 N
6．受斜向上的恒定拉力作用，物体在粗糙水平面上做匀速直线运动，则下列说法正确的是(　　)
A．拉力在竖直方向的分量一定大于重力
B．拉力在竖直方向的分量一定等于重力
C．拉力在水平方向的分量一定大于摩擦力
D．拉力在水平方向的分量一定等于摩擦力
一、合力的范围及共点力合成的方法
1．合力范围的确定
(1)两个共点力的合成，|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，即两个力大小不变时，其合力随两力夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小，为|F1－F2|，当两力同向时，合力最大，为F1＋F2.
(2)三个共点力的合成：①当三个共点力共线同向时，合力最大为F1＋F2＋F3
②任取两个力，求出合力范围，如第三个力在这个范围内，则三力合成的最小值为零；如不在范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小力的数值之和的绝对值．
2．共点力的合成方法
(1)合成法则：平行四边形定则或三角形定则．
(2)求出以下三种特殊情况下二力的合力：
①相互垂直的两个力合成，合力大小为F＝.
②夹角为θ、大小相等的两个力合成，其平行四边形为菱形，对角线相互垂直，合力大小为F＝2F1cos
③夹角为120°、大小相等的两个力合成，合力大小与分力相等，方向沿二力夹角的平分线
【例1】 在电线杆的两侧
图4
常用钢丝绳把它固定在地上，如图4所示．如果钢丝绳与地面的夹角∠A＝∠B＝60°，每条钢丝绳的拉力都是300 N，试用作图法和解析法分别求出两根钢丝绳作用在电线杆上的合力．(结果保留到整数位)
[规范思维]
　
　
　
　
[针对训练1]两个大小分别为F1和F2(F2A．F2≤F≤F1 B.≤F≤
C．F1－F2≤F≤F1＋F2 D．F－F≤F2≤F＋F
[针对训练2]　(2009·江苏·2)如图5所示，
图5
用一根长1 m的轻质细绳将一幅质量为1 kg的画框对称悬挂在墙壁上，已知绳能承受的最大张力为10 N，为使绳不断裂，画框上两个挂钉的间距最大为(g取10 m/s2)(　　)
A. m B. m
C. m D. m
二、力的分解的方法
1．按力的效果分解
图6
(1)找出重力G的两个作用效果，并求它的两个分力．如图6所示
F1＝Gsin θ，F2＝Gcos θ(用G和θ表示)
(2)归纳总结：按力的效果求分力的方法：①根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向．②再根据两个实际分力的方向画出平行四边形，并由平行四边形定则求出两个分力的大小．
2．按问题的需要进行分解
(1)已知合力和两个分力的方向，可以作出惟一的力的平行四边形；对力F进行分解，其解是惟一的．
(2)已知合力和一个分力的大小与方向，对力F进行分解，其解也是惟一的．
图7
(3)已知一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小，对力F进行分解，则有三种可能(F1与F的夹角为θ)．如图7所示：
①F2②F2＝Fsin θ或F2≥F时有一组解．
③Fsin θ图8
【例2】 如图8所示，用轻绳AO和OB将重为G的重物悬挂在水平天花板和竖直墙壁之间，重物处于静止状态，AO绳水平，OB绳与竖直方向的夹角为θ，则AO绳的拉力FA、OB绳的拉力FB的大小与G之间的关系为(　　)
A．FA＝Gtan θ B．FA＝
C．FB＝ D．FB＝Gcos θ
[规范思维]
　
　
　
　
　
　
　
[针对训练3]　
图9
如图9所示，质量为m的物体悬挂在轻质支架上，斜梁OB与竖直方向的夹角为θ.设水平横梁OA和斜梁OB作用于O点的弹力分别为F1和F2，以下结果正确的是(　　)
A．F1＝mgsin θ B．F1＝
C．F2＝mgcos θ D．F2＝
三、正交分解法
1．定义：把各个力沿相互垂直的两个方向进行分解的方法
用途：求多个共点力的合力时，往往用正交分解法．
图10
2．步骤：如图10所示，(1)建立直角坐标系；通常选择共点力的作用点为坐标原点，让尽可能多的力落在坐标轴上，建立x、y轴．
(2)把不在坐标轴上的各力沿坐标轴方向进行正交分解．
(3)沿着坐标轴方向求合力Fx、Fy.
(4)求Fx、Fy的合力，F与Fx、Fy的关系式为：F＝.方向为：tan α＝Fy/Fx.
图11
【例3】 物体A的质量为2 kg，两根轻细绳b和c的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体A上，在物体A上另施加一个方向与水平线成θ角的拉力F，相关几何关系如图11所示，θ＝60°.若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围．(g取10 m/s2)
[规范思维]
　
　
　
　
　
　
　
　
[针对训练4]　
图12
如图12所示，置于水平地面的三脚架上固定着一质量为m的照相机．三脚架的三根轻质支架等长，与竖直方向均成30°角，则每根支架中承受的压力大小为(　　)
A.mg B.mg
C.mg D.mg
【基础演练】
1．下列四个图中，F1、F2、F3都恰好构成封闭的直角三角形(顶角为直角)，这三个力的合力最大的是(　　)
图13
2．如图13所示，重力为G的物体静止在倾角为α的斜面上，将重力G分解为垂直斜面向下的力F1和平行斜面向下的力F2，那么(　　)
A．F1就是物体对斜面的压力
B．物体对斜面的压力方向与F1方向相同，大小为Gcos α
C．F2就是物体受到的静摩擦力
D．物体受到重力、斜面对物体的支持力、静摩擦力、F1和F2共五个力的作用
3．小明想推动家里的衣橱，但
图14
使出了吃奶的力气也推不动，他便想了个妙招，如图14所示，用A、B两块木板，搭成一个底角较小的人字形架，然后往中央一站，衣橱居然被推动了！下列说法正确的是(　　)
A．这是不可能的，因为小明根本没有用力去推衣橱
B．这是不可能的，因为无论如何小明的力气也没那么大
C．这有可能，A板对衣橱的推力有可能大于小明的重力
D．这有可能，A板对衣橱的推力不可能大于小明的重力
4．如图15所示，
图15
将细线的一端系在右手中指上，另一端系上一个重为G的钩码．用一支很轻的铅笔的尾部顶在细线上的某一点，使细线的上段保持水平，笔的尖端置于右手掌心．铅笔与水平细线的夹角为θ，则(　　)
A．中指受到的拉力为Gsin θ
B．中指受到的拉力为Gcos θ
C．手心受到的压力为
D．手心受到的压力为
5．作用于同一点的两个力，大小分别为F1＝5 N，F2＝4 N，这两个力的合力F与F1的夹角为θ，则θ可能为(　　)
A．45° B．60°
C．75° D．90°
6.
图16
如图16所示是骨折病人的牵引装置示意图，绳的一端固定，绕过定滑轮和动滑轮后挂着一个重物，与动滑轮相连的帆布带拉着病人的脚，整个装置在同一竖直平面内．为了使脚所受的拉力增大，可采取的方法是(　　)
A．只增加绳的长度
B．只增加重物的质量
C．只将病人的脚向右移动
D．只将两定滑轮的间距增大
【能力提升】
图17
7．如图17所示，在竖直平面内的直角坐标系中，一个质量为m的质点在外力F作用下，从坐标原点O由静止开始沿直线ON斜向下运动，直线ON与y轴负方向成θ角，则物体所受拉力F的最小值为(　　)
A．mgtan θ B．mgsin θ
C．mg/sin θ D．mgcos θ
8．如图18所示，
图18
人曲膝下蹲时，膝关节弯曲的角度为θ，设此时大、小腿部的肌群对膝关节的作用力F的方向水平向后，且大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力大致相等，那么脚掌所受地面竖直向上的弹力约为(　　)
A. B.
C. D.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
9.在倾角为α的斜面上，一条质量不计的皮带一端固定在斜面上端，另一端绕过一中间有一圈凹槽的圆柱体，并用与斜面夹角为β的力F拉住，使整个装置处于静止状态，如图19所示．不计一切摩擦，圆柱体质量为m，求拉力F的大小和斜面对圆柱体的弹力FN的大小．
图19
某同学分析过程如下：
将拉力F沿斜面和垂直于斜面方向进行分解．
沿斜面方向：Fcos β＝mgsin α ①
沿垂直于斜面方向：Fsin β＋FN＝mgcos α ②
问：你同意上述分析过程吗？若同意，按照这种分析方法求出F及FN的大小；若不同意，指明错误之处并求出你认为正确的结果．
10.
图20
如图20所示，轻绳AB总长为l，用轻滑轮悬挂重为G的物体．绳能承受的最大拉力是2G，将A端固定，将B端缓慢向右移动d而使绳不断，求d的最大值．
学案8　力的合成和分解
1．CD　[力是矢量，力的合力不能简单的代数加减，故A是错误的，合力可以大于分力，可以等于分力，也可以小于分力，故B是错误的，C、D正确．]
2．AC　[只有同一个物体的受力才能合成，分力作用在不同物体上的力不能合成．合力是对原来几个力的等效替代，可以是不同性质的力，但不能同时存在，故正确答案为A、C.]
3．BC　[重力G可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和垂直于斜面使物体紧压斜面的力F2，选项B正确，A错误．F2是重力的一个分力，不是(物体)对斜面的压力(该压力的本质是弹力，受力物体是斜面，完全不是一回事)．因F1和F2是G的两个分力，F1、F2与G是等效替代关系，不同时出现，不重复考虑，选项D错．物体放在光滑斜面上只受到重力G和支持力FN两个力的作用．因为在垂直于斜面方向上，F2与FN平衡，故F1可以说是FN和G的合力(可以依据平行四边形定则作出)，选项C正确．]
4．D　[对涂料滚进行受力分析，受到重力、竿对滚的推力、墙壁对滚的支持力三个力，其缓慢向上滚的过程中三力平衡，竿对滚的推力方向与竖直方向的夹角变小，根据物体的平衡条件可知，推力竖直向上的分力大小等于涂料滚的重力，涂料滚的重力不变，随推力方向与竖直方向夹角变小，推力也逐渐变小，进而其水平方向上的分力也变小，即涂料滚对墙壁的压力也变小，所以选项D正确．]
5．C　
[本题考查二力平衡条件及两个等大的力互成120 °的合力求法．以滑轮为研究对象，悬挂重物的绳的张力是F＝mg＝100 N，故小滑轮受到绳的作用力沿BC、BD方向，大小都是100 N.从右图中看出，∠CBD＝120°，∠CBF＝∠DBF，得∠CBF＝60°，即△CBF是等边三角形，故F＝100 N．]
6．D　
[物体受力如右图，因为物体匀速直线运动，故所受合外力为零，各方向合外力为零．则：
Fcos θ＝Ff，即Ff>0，Ff＝μFN，即FN>0，FN＝mg－Fsin θ，所以mg>Fsin θ，故只有D项符合题意．]
思维提升
1．合力与分力是一种“等效替换”关系，一个物体不能同时受分力与合力的作用，也就是说，合力与分力不能同时作用在同一个物体上．
2．在力的合成问题中常遇见的题目有以下几种：
①在合成图中有直角，可以利用直角三角形的知识求解．
②若两个力相等，且两个力合成的平行四边形是菱形，可以利用菱形的对角线垂直平分的知识求解．
③若两个力相等，且两个力的夹角为120°，可由几何知识知合力等于其中一个分力大小．
3．正交分解法不仅可以应用于力的分解，也可应用于其他任何矢量的分解，我们选取坐标系时，可以是任意的，不过选择合适的坐标系可以使问题简化，通常坐标系的先取有两个原则：
(1)使尽量多的矢量落在坐标轴上，
(2)尽量使未知量落在坐标轴上．
例1 520 N，方向竖直向下
解析　(1)作图法：如图甲所示，自O点引两条等长的有向线段OC和OD，夹角为60°.设定每单位长度表示100 N，则OC和OD的长度都是3个单位长度，作出平行四边形OCED，其对角线OE就表示两个拉力F1、F2的合力F，量得OE长为5.2个单位长度．
所以合力F＝100×5.2 N＝520 N.
用量角器量得∠COE＝∠DOE＝30°，
所以合力方向竖直向下．
(2)解析法：先画出力的平行四边形，如图乙所示，由于OC＝OD，得到的是菱形．连结CD、OE，两对角线垂直且平分，OD表示300 N，∠COO′＝30°.在三角形OCO′中，OO′＝OCcos 30°.在力的平行四边形中，各线段的长度表示力的大小，则有＝F1cos 30°，所以合力
F＝2F1cos 30°＝2×300× N＝519.6 N≈520 N.
合力方向竖直向下．
[规范思维]　作图法求合力时要严格按照力的图示作图，用毫米刻度尺测量线段的长度．解析法求合力时，仅作出力的示意图即可，关键是用勾股定理或余弦定理计算，两种方法都离不开力的平行四边形定则．
例2 AC　
[本题中选O点为研究对象，它受三个力作用处于静止状态．
解法一　力的作用效果分解法
绳子OC的拉力FC等于重物的重力G.将FC沿AO和BO方向分解，两个分力分别为FA、FB，如图甲所示．可得＝tan θ，＝cos θ
FA＝Gtan θ，FB＝，故A、C正确．
解法二　正交分解法
结点O受到三个力FA、FB、FC作用，如图乙所示．
在水平方向和竖直方向分解FB，列方程得
FBcos θ＝FC＝G，FBsin θ＝FA，
可解得FA＝Gtan θ，FB＝，故A、C正确．
解法三　力的合成法
结点O受到三个力FA、FB、FC作用，如图丙所示，其中FA、FB的合力与FC等大反向，即F合＝FC＝G，则：＝tan θ，＝cos θ
解得：FA＝Gtan θ，FB＝，故A、C正确．]
[规范思维]　力的合成法、力的作用效果分解法、正交分解法都是常见的解题方法，一般情况下，物体只受三个力的情形下，力的合成法、作用效果分解法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系或三角形相似求解；而物体受三个以上力的情况多用正交分解法，但也要视题目具体情况而定．
例3 N≤F≤ N
解析　作出物体A的受力分析图如右图所示，由平衡条件得
Fsin θ＋F1sin θ－mg＝0①
Fcos θ－F2－F1cos θ＝0②
由①式得F＝－F1③
由②③式得F＝＋④
要使两绳都伸直，则有F1≥0，F2≥0
所以由③式得Fmax＝＝ N
由④式得Fmin＝＝ N
综合得F的取值范围为 N≤F≤ N.
[规范思维]　①本题中物体受多个力的作用而保持平衡状态，其合力为零．求多个力的合力要用正交分解法．②本题求F的大小范围，实质上需找到使b绳和c绳都伸直的临界值，也就是保证两绳的拉力都大于或者等于零．
[针对训练]
1．C　2.A　3.D　4.D
1．C　2.B　3.C　4.C　5.AB　6.BC
7. B
[物体受重力和拉力F沿ON方向运动，即合力方向沿ON方向，据力的合成法则作图，如右图所示．
由图可知当F垂直于ON时有最小值，即F＝mgsin θ，故B正确．]
8．D　[设大腿骨和小腿骨的作用力分别为F1、F2，则F1＝F2
由力的平行四边形定则易知F2cos＝，对F2进行分解有F2y＝F2sin
解得F2y＝tan＝，D选项正确．]
9．不同意，理由见解析　mg mgcos α－mgsin β
解析　不同意．平行于斜面的皮带对圆柱体也有力的作用，其受力如图所示．
①式应改为：Fcos β＋F＝mgsin α③
由③得F＝mg④
将④代入②，解得
FN＝mgcos α－Fsin β＝mgcos α－mgsin β.
10.l
解析　如右图所示，以与滑轮接触的那一小段绳子为研究对象，在任何一个平衡位置都在滑轮对它的压力(大小为G)和绳的拉力F1、F2共同作用下静止．而同一根绳子上的拉力大小F1、F2总是相等的，它们的合力FT是重力G的平衡力，方向竖直向上．因此以F1、F2为分力作力的合成的平行四边形一定是菱形．利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合相似三角形知识可得∶＝∶F1，因为绳能承受的最大拉力是2G，所以d最大时F1＝F2＝2G，此时∶＝∶4，所以d最大为l.
易错点评
1．合力可以大于分力，也可以小于分力．
2．对于杆所施加的力，要注意区分活动杆和固定杆，活动杆施加的力一定沿杆；固定杆施加的力可以不沿杆．
3．对于绳所提供的力，要注意区分有无结点．有结点时，结点两侧绳提供的力一般不等；无结点时，绳提供的力大小一定相等．
4．若物体受三个力，其中一个力大小、方向一定，另一个力方向一定，第三个力大小、方向变化时，一般用图解法分析三力的变化．用此法时关键是要正确画出变化中的矢量三角形．

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