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第五章　机械能守恒定律
学案21 功　功率
一、概念规律题组
1．关于作用力与反作用力做功的关系，下列说法正确的是(　　)
A．当作用力做正功时，反作用力一定做负功
B．当作用力不做功时，反作用力也不做功
C．作用力与反作用力所做的功一定是大小相等、方向相反
D．作用力做正功时，反作用力也可能做正功
2．关于摩擦力对物体做功，以下说法中正确的是(　　)
A．滑动摩擦力总是做负功
B．滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功
C．静摩擦力对物体一定做负功
D．静摩擦力对物体总是做正功
3．水平恒力F作用在一个物体上，使该物体沿光滑水平面在力的方向上移动距离l，恒力F做的功为W1，功率为P1；再用同样的水平力F作用在该物体上，使该物体在粗糙的水平面上在力的方向上移动距离l，恒力F做的功为W2，功率为P2，下面选项正确的是(　　)
A．W1P2 B．W1>W2，P1C．W1＝W2，P1>P2 D．W1＝W2，P14．质量为m的木块放在光滑水平面上，在水平力F作用下从静止开始运动，则运动时间t时F的功率是(　　)
A. B. C. D.
二、思想方法题组
5．汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P.快进入闹市区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶．下面四个图象中正确表示了从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系的是(　　)
6．用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是(　　)
A．(－1)d B．(－1)d
C. D.d
一、正负功的判断
1．从做功的两个必要因素判断力对物体是否做功，即物体是否受到力的作用；物体在力的方向上有无位移．
2．根据功和能的关系判断力对物体是否做功．即物体的能量是否发生变化：若能量增加，则力对物体做正功；若能量减少，则力对物体做负功．
3．判断正负功的方法
(1)从力和位移的夹角大小判断：0≤α<90°，做正功；90°<α≤180°，做负功；α＝90°，不做功．
(2)从力和速度的夹角大小判断：0≤θ<90°，做正功；90°<θ≤180°，做负功；θ＝90°，不做功．
(3)根据功能关系判断：物体的能量增加，外力做正功；物体的能量减少，外力做负功．
【例1】一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速，后匀速，再减速的运动过程，则电梯支持力对人做功情况是(　　)
A．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功
B．加速时做正功，匀速和减速时做负功
C．加速和匀速时做正功，减速时做负功
D．始终做正功
[规范思维]
　
　
　
【例2】 如图
图1
1所示，两个质量相同的小球A、B固定在一轻杆的两端，绕一固定转轴O从水平位置由静止释放，当杆到达竖直位置时，设杆对A做功为W1，杆对B做功为W2，则(　　)
A．W1＝0，W2＝0 B．W1>0，W2>0
C．W1>0，W2<0 D．W1<0，W2>0
[规范思维]
　
　
二、功的计算方法
1．恒力做功的计算公式W＝Flcos α.
2．变力做功的计算
(1)用动能定理W＝ΔEk或功能关系W＝ΔE计算
(2)变力做功的功率一定时，用功率和时间计算：W＝Pt.
(3)将变力做功转化为恒力做功．
3．总功的计算：
(1)先求物体所受的合外力，再求合外力的功；
(2)先求每个力做的功，再求各功的代数和．
【例3】一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s.从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图2(a)和图(b)所示．设在第1秒内、第2秒内、第3秒内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系式正确的是(　　)
图2
A．W1＝W2＝W3 B．W1C．W1[规范思维]
　
　
　
【例4】 人
图3
在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m＝50 kg的物体，如图3所示，开始绳与水平方向夹角为60°，人匀速提起重物由A点沿水平方向运动2 m到达B点，此时绳与水平方向成30°角，求人对绳的拉力做了多少功？(g取10 m/s2)
[规范思维]
　
　
　
　
　
　
三、平均功率和瞬时功率的计算
1．在计算中，P＝只能计算平均值，而P＝Fv能计算平均值和瞬时值．
(1)若v是瞬时值，则计算出的功率是瞬时值．
(2)若v是平均值，则计算出的功率是平均值．
2．应用公式P＝Fv时需注意
(1)F与v方向在同一直线上时：P＝Fv.
(2)F与v方向有一夹角α时：P＝Fvcos α.
【例5】
图4
如图4所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，质量为3m的a球置于地面上，质量为m的b球从水平位置静止释放，当a球对地面压力刚好为零时，b球摆过的角度为θ.下列结论正确的是(　　)
A．θ＝60°
B．θ＝45°
C．b球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大后减小
D．b球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大
[规范思维]
　
　
　
【例6】
图5
质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用．力的大小F 与时间t的关系如图5所示，力的方向保持不变，则(　　)
A.3t0时刻的瞬时功率为
B.3t0时刻的瞬时功率为
C.在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为
D.在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为
[规范思维]
　
　
　
　
　
四、机车的两种启动方式
1．机车的功率表达式P＝Fv中，P是发动机的实际功率，F是牵引力．若功率P不变，则F与v成反比，即v增大，F减小；v减小，F增大．
2．分析机车启动问题的基本公式是：
F－F阻＝ma
P＝Fv
其中F阻为机车在运动过程中所受的阻力．在不同的运动情景中虽然F阻来源不同，但分析方法和思路是相同的．
3．两种启动方式的比较
方式过程 恒定功率启动 恒定加速度启动
过程分析 阶段一：v↑ F＝↓ a＝↓阶段二：F＝F阻 a＝0 P＝F阻·vm 阶段一：a＝不变 F不变 v↑ P＝F·v↑，直到P＝P额＝F·vm′阶段二：vm′↑ F＝↓ a＝↓阶段三：F＝F阻时 a＝0 v达最大值vm＝
运动规律 加速度逐渐减小的变加速直线运动(对应下图中的OA段) 最后以vm做匀速直线运动 以加速度a做匀加速直线运动(对应下图中的OA段) 额定功率下的变加速直线运动(对应AB段) 最后以vm做匀速直线运动
v—t图象
【例7】 一列火车总质量m＝500 t，机车发动机的额定功率P＝6×105 W，在轨道上行驶时，轨道对列车的阻力Ff是车重的0.01倍，求：
(1)火车在水平轨道上行驶的最大速度；
(2)在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，当行驶速度为v1＝1 m/s和v2＝10 m/s时，列车的瞬时加速度a1、a2各是多少；
(3)在水平轨道上以36 km/h速度匀速行驶时，发动机的实际功率P′；
(4)若火车从静止开始，保持0.5 m/s2的加速度做匀加速运动，这一过程维持的最长时间．
【基础演练】
图6
1．如图6所示，用恒力F拉着质量为m的物体沿水平面从A移到B的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．有摩擦力时比无摩擦力时F做的功多
B．有摩擦力时比无摩擦力时F做的功少
C．物体加速运动时F做的功比减速运动时F做的功多
D．物体无论是加速、减速还是匀速，力F做的功一样多
图7
2．物体在合外力作用下做直线运动的v－t图象如图7所示．下列表述中正确的是(　　)
A．在0～1 s内，合外力做正功
B．在0～2 s内，合外力总是做负功
C．在1 s～2 s内，合外力不做功
D．在0～3 s内，合外力总是做正功
3．如图8所示是
图8
一汽车在平直路面上启动的速度—时间图象，从t1时刻起汽车的功率保持不变，由图象可知(　　)
A．0～t1时间内，汽车的牵引力增大，加速度增大，功率不变
B．0～t1时间内，汽车的牵引力不变，加速度不变，功率增大
C．t1～t2时间内，汽车的牵引力减小，加速度不变
D．t1～t2时间内，汽车的牵引力不变，加速度不变
4．一质量为m的物体，同时受几个力的作用而处于静止状态．某时刻其中一个力F突然变为，则经过t时刻，合力的功率的大小是(　　)
A. B.
C. D.
图9
5．如图9所示，质量为m的木块放在倾角为α的斜面上与斜面一起水平向左匀速运动，木块(　　)
A．对斜面的压力大小为mgsin α
B．所受的支持力对木块不做功
C．所受的摩擦力对木块做负功
D．所受的摩擦力方向可能沿斜面向下
6．如图10所示，
图10
在雄壮的《中国人民解放军进行曲》中，胡锦涛主席乘国产红旗牌检阅车，穿过天安门城楼，经过金水桥，驶上长安街，检阅了44个精神抖擞、装备精良的地面方队．若胡锦涛主席乘坐的国产红旗牌检阅车的额定功率为P，检阅车匀速行进时所受阻力为Ff，在时间t内匀速通过总长为L的地面方队，由此可知(　　)
A．在时间t内检阅车的发动机实际做功为Pt
B．检阅车匀速行进的速度为
C．检阅车匀速行进时地面对车轮的摩擦力为滑动摩擦力
D．检阅车的实际功率为
7.
图11
用水平力拉一物体在水平地面上从静止开始做匀加速运动，到t1秒末撤去拉力F，物体做匀减速运动，到t2秒末静止．其速度图象如图11所示，且α<β.若拉力F做的功为W，平均功率为P；物体在加速和减速过程中克服摩擦阻力做的功分别为W1和W2，它们的平均功率分别为P1和P2，则下列选项中正确的是(　　)
A．W＝W1＋W2 B．W1＝W2
C．P＝P1＋P2 D．P1>P2
8.
图12
如图12所示，两个完全相同的小球A、B，在同一高度处以相同大小的初速度v0分别水平抛出和竖直向上抛出，忽略空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．两小球落地时的速度相同
B．两小球落地时，重力的瞬时功率相同
C．从开始运动至落地，重力对两小球做功相同
D．从开始运动至落地，重力对两小球做功的平均功率相同
【能力提升】
图13
9．物体沿直线运动的v－t关系如图13所示，已知在第1秒内合外力对物体做的功为W，则(　　)
A．从第1秒末到第3秒末合外力做功为4W
B．从第3秒末到第5秒末合外力做功为－2W
C．从第5秒末到第7秒末合外力做功为W
D．从第3秒末到第4秒末合外力做功为－0.75W
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案
10.
图14
汽车发动机的功率为60 kW，汽车的质量为4 t，当它行驶在坡度为α(sin α＝0.02)的长直公路上时，如图14所示，所受摩擦阻力为车重的0.1倍(g取10 m/s2)，求：
(1)汽车所能达到的最大速度vm；
(2)若汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间？
(3)当汽车以0.6 m/s2的加速度匀加速行驶的速度达到最大值时，汽车做功多少．
11．在一次抗洪抢险活动中，解放军某部利用直升机抢救一重要落水物体，静止在空中的直升机上的电动机通过悬绳将物体从离飞机90 m处的洪水中吊到机舱里．已知物体的质量为80 kg，吊绳的拉力不能超过1 200 N，电动机的最大输出功率为12 kW.为尽快把物体安全救起，操作人员采取的办法是：先让吊绳以最大的拉力工作一段时间，达到最大功率后电动机就以最大功率工作，当物体到达机舱时恰好达到最大速度．(g取10 m/s2)求：
(1)落水物体刚到达机舱时的速度；
(2)这一过程所用的时间．
学案21　功　功率
1．D　2.B
3．C　[由W＝Fl和P＝分析．]
4．C　[a＝，v＝at＝，则P＝Fv＝.]
5．C　[开始匀速，说明牵引力和阻力大小相等；当功率减小时，速度和牵引力都要减小，故汽车做加速度减小的变减速运动，由初始和最终时的功率关系得最终速度为初始时的一半．]
6．B　[钉子钉入木板过程中随着深度的增加，阻力成正比地增加，这属于变力做功问题，由于力与深度成正比，可将变力等效为恒力来处理．据题意可得：
W＝d＝d①
W＝d′＝d′②
联立①②式解得d′＝(－1)d.]
思维提升
1．作用力和反作用力做功没有一定的关系，因为根据做功的两个因素，虽然作用力和反作用力大小相等，但这两个力分别作用在发生相互作用的两个物体上，这两个物体在相同时间内运动的情况是由这两个物体所受的合力、物体的质量以及物体的初始条件这三个因素共同决定的，所以两个物体在相互作用力方向上的位移并没有必然联系，因此作用力和反作用力所做功的数值也没有一定的联系．
2．静摩擦力和滑动摩擦力可以做正功、负功或不做功．一对相互作用的静摩擦力做功之和恒为零，而一对相互作用的滑动摩擦力做功之和恒为负值．
3．注意区分瞬时功率与平均功率．利用P＝只能求平均功率；而利用P＝Fvcos θ既可求平均功率，也可求瞬时功率，需注意的是，只有F与v方向相同时，才有P＝Fv.
4．公式W＝Flcos θ只能用来求恒力的功，不能直接用来求变力的功．变力做功的求法有：
①微元法；②平均力法；③图象法；④动能定理法；⑤功率法．
例1 D　[力对物体做功的表达式为W＝Flcos α，0°≤α<90°时，F做正功；α＝90°时，F不做功；90°<α≤180°时，F做负功．电梯支持力始终竖直向上，与位移同向，α＝0°，故支持力始终做正功，D正确．]
[规范思维]　在本题的三种运动情形中，支持力的方向均与速度方向同向，故都做正功．功的正负与运动状态无关．
例2 C　[A球向上运动的过程中，动能和重力势能都增大，即机械能增大，则杆必对A做正功，W1>0.对于B球，由于动能增大，重力势能减小，机械能的变化不好判断，但从A的能量变化容易判断知A的机械能增大，而A、B组成的系统机械能不变，则B的机械能减小，故杆对B球做负功，W2<0.]
[规范思维]　本题判断功的正负的方法：物体的能量增加，外力做正功；物体的能量减小，外力做负功．
例3 B　[由v－t图象可知第1秒内、第2秒内、第3秒内的力和位移均为正方向，设滑块的初速度为v0，则x1＝t＝ m，x2＝t＝ m，x3＝v0t＝1 m，F1＝1 N，F2＝3 N，F3＝2 N，有W1＝F1x1＝ J，W2＝F2x2＝ J，W3＝F3x3＝2 J，所以得W1[规范思维]　本题全过程力是变力，但各个子过程中力是恒力，可在各个过程中分别计算功，然后求总功．
例4 732 J
解析　经分析，人对绳的拉力做的功与绳对物体的拉力做的功是相同的，又因为人匀速提升物体，故物体处于平衡状态，可知绳上拉力F＝mg
且重物上升的高度h等于右侧绳子的伸长量Δl
由几何关系易求Δl＝2(－1) m
所以，人对绳子的拉力做的功
W＝FΔl＝mgh＝500×2(－1) J＝732 J
[规范思维]　(1)应用功的计算公式W＝Flcos α求功时，F必须是恒力，即大小、方向均不变，l是对地位移(力的作用点的对地位移)，而力的作用点的位移跟物体的位移在很多问题中往往不同．
(2)灵活的选择研究对象可以使问题的矛盾转化，大大简化解题过程．
例5 AC　[b球下摆过程中，竖直方向的速度v⊥先增大后减小，重力对小球做功的功率P＝mgv⊥先增大后减小．a对地面的压力刚好为零，说明绳的拉力FT＝3mg.对b球，设绕行半径为r，在最低点时，mgr＝mv2　FT′－mg＝ 得FT′＝FT＝3mg
所以b在最低点时，a球恰好对地面压力为零．]
[规范思维]　在利用功率公式P＝Fvcos α解题时，注意不要丢了“cos α”，“vcos α”可理解为力F方向的速度．
例6 BD　[0～2t0时间内物体做匀加速直线运动，可求得2t0时刻物体的速度为2t0.2t0～3t0时间内物体也做匀加速直线运动，可求得3t0时刻物体的速度为2t0＋t0＝F0t0.所以3t0时刻的瞬时功率为3F0＝，故B正确；0～2t0时间内水平力做功为F02t0＝，2t0～3t0时间内水平力做功为3F0t0＝，所以总功为，总功率为，所以D正确．]
[规范思维]　在进行功率的计算时，一定注意要求的是平均功率还是瞬时功率．如果是平均功率一般用P＝计算；如果是瞬时功率则要用P＝Fvcos α计算．
例7 (1)12 m/s　(2)1.1 m/s2　0.02 m/s2 (3)5×105 W　(4)4 s
解析　(1)列车以额定功率工作时，当牵引力等于阻力，即F＝Ff＝kmg时，列车的加速度为零，速度达最大值vm，则：vm＝＝＝＝12 m/s.
(2)当v据牛顿第二定律得a1＝＝1.1 m/s2
当v＝v2＝10 m/s时，F2＝＝6×104 N
据牛顿第二定律得a2＝＝0.02 m/s2.
(3)当v＝36 km/h＝10 m/s时，列车匀速运动，则发动机的实际功率P′＝Ffv＝5×105 W.
(4)据牛顿第二定律得牵引力F′＝Ff＋ma＝3×105 N在此过程中，速度增大，发动机功率增大．当功率为额定功率时速度大小为vm′，即vm′＝＝2 m/s据vm′＝at，得t＝＝4 s.
1．BD　2.A　3.BC　4.B　5.AC　6.D　7.A　8.C
9．CD
10．(1)12.5 m/s　(2)13.9 s　(3)4.16×105 J
解析　由P＝Fv可知，汽车在额定功率下行驶，牵引力与速度成反比．当汽车的牵引力与阻力(包括爬坡时克服的下滑力)相等时，速度达最大．只有当汽车牵引力不变时，汽车才能匀加速行驶，当Fv＝P额时，匀加速运动结束，可由W＝Fx 求出这一阶段汽车做的功．
(1)汽车在坡路上行驶，所受阻力由两部分构成，即
F阻＝kmg＋mgsin α＝4 000 N＋800 N＝4 800 N
又因为F＝F阻时，P＝F阻vm，所以vm＝＝ m/s＝12.5 m/s
(2)汽车从静止开始，以a＝0.6 m/s2匀加速行驶，由牛顿第二定律有F′－F阻＝ma
所以F′＝ma＋kmg＋mgsin α＝4×103×0.6 N＋4 800 N＝7.2×103 N
保持这一牵引力，汽车可达到匀加速行驶的最大速度vm′，有vm′＝＝ m/s≈8.33 m/s
由运动学规律可以求出匀加速行驶的时间与位移
t＝＝ s＝13.9 s
x＝＝ m≈57.82 m.
(3)由W＝Fx可求出汽车在匀加速阶段行驶时做功为
W＝Fx＝7.2×103×57.82 J≈4.16×105 J
11．(1)15 m/s　(2)7.75 s
解析　(1)第一阶段绳以最大拉力拉着物体匀加速上升，当电动机达到最大功率时，功率保持不变，物体变加速上升，速度增大，拉力减小，当拉力与重力相等时，速度达到最大．由Pm＝Fvm，得vm＝＝ m/s＝15 m/s
此即物体刚到机舱时的速度．
(2)匀加速上升的加速度为a1＝＝ m/s2＝5 m/s2
匀加速阶段的末速度v1＝＝ m/s＝10 m/s
匀加速上升时间t1＝＝ s＝2 s
匀加速上升的高度h1＝t1＝×2 m＝10 m
以最大功率上升过程由动能定理得Pmt2－mg(h－h1)＝mv－mv
解得t2＝5.75 s
所以吊起落水物体所用总时间为t＝t1＋t2＝(2＋5.75) s＝7.75 s
易错点评
1．在应用公式W＝Flcos θ求恒力F的功时，与物体是否受其它力以及物体的运动状态无关．功的大小只由力的大小、位移大小及二者方向的夹角决定．
2．在应用公式P＝Fv分析机车启动时，F为机车的牵引力，只有机车匀速运动时，牵引力F等于阻力f，才有P＝fv.
3．在机车以恒定加速度启动中，要注意区分匀加速过程终止时的速度与最后的最大速度．

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